第一节数学课的开场白

高一第一节数学课的开场白：随笔 2010-08-13 22:29:06 阅读1033 评论0 字号：大中小
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一、 数学很重要：

有一天和一个朋友去必胜客吃饭，点了一个12寸的披萨，结果服务员说没了，就说给我们< br>一个9寸的外加一个6寸的来抵换，我的朋友觉得还好，立马同意了，我说，慢着，让我想
想？
我拿起圆珠笔和草稿纸算了一下：
一个 12寸的披萨的面积是＝圆周率X半径 （12寸的半径是6寸）的平方＝
3.1415926X6X6＝113.0973 平方寸。

一个9寸的披萨的面积是＝圆周率X半径（9寸的半径为4.5寸）的平方
=3.1 415926X4.5X4.5=63.62 平方寸

一个6寸的披萨的面积是＝圆周率X半径（6寸的半径为3寸）的平方＝3.1415926X3X3＝
28.274平方寸。
所以，一个9寸的披萨加上一个6寸的披萨，总共的面积只有＝63.62＋28.274＝91.894 平< br>方寸！只有大约92平方寸！而一个12寸的披萨面积有113平方寸！我们实际上吃了很大的
亏 了。
结论：凡事不能光看表面，想当然！

学好数学真的很重要！！！

数学很重要， “学好数学，走遍天下都不怕”。

学经济需要数学，学信息安全也 要数学，人工智能要数学，统计要数学，线形规划要数学，
好像还没有不用数学的，从头恶补，连小学奥 数的一起补。

生活中处处都需要数学，算账，运筹，甚至连早上起床都要算算，几分钟穿好 衣服，几分钟
叠好被子，几分钟洗刷好，几分钟走到食堂，几分钟吃完饭，几分钟走到教室，几分钟接水 ，
然后求和，用8点减，就是差不多几点起床。

二、 数学可以学好：

在这里，我首先想给大家讲一个故事。
从前有一位进京赶考的书生，考前 ，一个晚上他断断续续做了一个梦。这个梦大概是这
样的，他梦见自己在种青菜，但是这菜呢，是种在墙 头上的。书生百思不得其解。每二天他
便去请教了算命先生。算命先生倒是一个老实人，长叹一口气说， 算了算了，你这钱我也不
收你的了，这次大考你是没有一点希望的啦，赶快卷铺盖回家吧。书生不解。算 命的说，种
菜种到墙头上去了，你这不是找错地方了吗没戏没戏。回家去吧。书生觉得很有道理，就收< br>了铺盖要回家。同住的同窗见了忙问何故。书生想反正就要回去了，说出来也无妨。便如实

相告。同窗听了哈哈大笑，连声说恭喜恭喜。书生又不解。敢问喜从何来啊。同窗便说。此
乃高 中的先兆哇．把菜种到墙头上去了，这种菜的地方可真是够高啊，高种者，高中也．所
以，家还是不急着 回，和我一起去考，肯定高中。后来书生听从劝说，果然黄榜高中。
从这则故事中，我们可以 感觉到，心态，思想，精神，对于一个人有多么重要。消极的
思想像阴天，初一十五都不亮，而积极的思 维和心态则像太阳，照到哪里哪里亮。米卢有一
句话非常著名，他说，态度决定一切。确实，常常，态度 是可以决定一切的。

一个人是这样，一个公司一个单位是这样，一个民族一个国家也是这样 。中国第一家进入哈
佛大学ＭＢＡ课程作为案例来研究的公司，海尔集团，他们的理念就是：为客户寻找 产品。
正是这样一种超前的以人为本的营销思想，才成就了他们中国电子行业龙头老大的地位。
日本广岛亚运会的时候，可以坐几万人的体育场散会后竟然连一张纸片都没有，全世界
惊讶不已。也正是因了这种精神，日本从战后一个一穷二白的濒临灭亡的小国，几十年后，
又迅速成长为 实力直逼美国这样的经济大国。
具体到我们现在。我们这个班，也要有一种思想，一种心态， 一种精神，激励我们奋发，
鞭策我们前进，照亮我们成长??

三、 学数学要下苦功夫：

1． 高中数学课的设置
高中数学内容丰富，知识面广 泛，将有：《代数》上、下册、《立体几何》和《平面解析几何》
四本课本，高一年级学习完《代数》上 册和《立体几何》两本书。高二将学习完《代数》下
册和《平面解析几何》两本书。一般地，在高一、高 二全部学习完高中的所有高中三年的知
识内容，高三进行全面复习，高三将有数学“会考”和重要的“高 考”。

2． 初中数学与高中数学的差异。
（1）、知识差异。 初中数学知识少、浅、难度容易、知识面笮。高中数学知识广泛，将对初中的数学知识推广
和引伸， 也是对初中数学知识的完善。如：初中学习的角的概念只是“0—1800”范围内的，
但实际当中也有 7200和“—300”等角，为此，高中将把角的概念推广到任意角，可表示包
括正、负在内的所有大 小角。又如：高中要学习《立体几何》，将在三维空间中求一些几何
实体的体积和表面积；还将学习“排 列组合”知识，以便解决排队方法种数等问题。如：①
三个人排成一行，有几种排队方法，（ =6种）；②四人进行乒乓球双打比赛，有几种比赛场
次？（答： =3种）高中将学习统计这些排列的 数学方法。初中中对一个负数开平方无意义，
但在高中规定了i2=-1,就使-1的平方根为±i.即 可把数的概念进行推广，使数的概念扩大到
复数范围等。这些知识同学们在以后的学习中将逐渐学习到。
（2）、学习方法的差异。
初中课堂教学量小、知识简单，通过教师课堂教慢的速 度，争取让全面同学理解知识点
和解题方法，课后老师布置作业，然后通过大量的课堂内、外练习、课外 指导达到对知识的
反反复复理解，直到学生掌握。而高中数学的学习随着课程开设多（有九们课学生同时 学习），
每天至少上六节课，自习时间三节课，这样各科学习时间将大大减少，而教师布置课外题量相对初中减少，这样集中数学学习的时间相对比初中少，数学教师将相初中那样监督每个学
生的作业 和课外练习，就能达到相初中那样把知识让每个学生掌握后再进行新课。
模仿与创新的区别。
初中学生模仿做题，他们模仿老师思维推理教多，而高中模仿做题、思维学生有 ，但随着知

识的难度大和知识面广泛，学生不能全部模仿，即就是学生全部模仿训练做题 ，也不能开拓
学生自我思维能力，学生的数学成绩也只能是一般程度。现在高考数学考察，旨在考察学生
能力，避免学生高分低能，避免定势思维，提倡创新思维和培养学生的创造能力培养。初中
学生 大量地模仿使学生带来了不利的思维定势，对高中学生带来了保守的、僵化的思想，封
闭了学生的丰富反 对创造精神。如学生在解决：比较a与2a的大小时要不就错、要不就答
不全面。大多数学生不会分类讨 论。
（3）、学生自学能力的差异
初中学生自学那能力低，大凡考试中所用的解题方法 和数学思想，在初中教师基本上已反复
训练，老师把学生要学生自己高度深刻理解的问题，都集中表现在 他的耐心的讲解和大量的
训练中，而且学生的听课只需要熟记结论就可以做题（不全是），学生不需自学 。但高中的
知识面广，知识要全部要教师训练完高考中的习题类型是不可能的，只有通过较少的、较典< br>型的一两道例题讲解去融会贯通这一类型习题，如果不自学、不靠大量的阅读理解，将会使
学生失 去一类型习题的解法。另外，科学在不断的发展，考试在不断的改革，高考也随着全
面的改革不断的深入 ，数学题型的开发在不断的多样化，近年来提出了应用型题、探索型题
和开放型题，只有靠学生的自学去 深刻理解和创新才能适应现代科学的发展。
其实，自学能力的提高也是一个人生活的需要，他从一个 方面也代表了一个人的素养，人的
一生只有18--- 24年时间是有导师的学习，其后半生，最精彩的人生是人在一生学习，靠的
自学最终达到了自强。
（4）、思维习惯上的差异
初中学生由于学习数学知识的范围小，知识层次低，知识面笮， 对实际问题的思维受到了局
限，就几何来说，我们都接触的是现实生活中三维空间，但初中只学了平面几 何，那么就不
能对三维空间进行严格的逻辑思维和判断。代数中数的范围只限定在实数中思维，就不能深
刻的解决方程根的类型等。高中数学知识的多元化和广泛性，将会使学生全面、细致、深刻、
严 密的分析和解决问题。也将培养学生高素质思维。提高学生的思维递进性。
（5）、定量与变量的差异
初中数学中，题目、已知和结论用常数给出的较多，一般地，答 案是常数和定量。学生在分
析问题时，大多是按定量来分析问题，这样的思维和问题的解决过程，只能片 面地、局限地
解决问题，在高中数学学习中我们将会大量地、广泛地应用代数的可变性去探索问题的普遍
性和特殊性。如：求解一元二次方程时我们采用对方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的求解，讨论 它
是否有根和有根时的所有根的情形，使学生很快的掌握了对所有一元二次方程的解法。另外，
在高中学习中我们还会通过对变量的分析，探索出分析、解决问题的思路和解题所用的数学
思想。
3、如何学好高中数学
良好的开端是成功的一半，高中数学课即将开始与初中知识有联系， 但比初中数学知识系统。
高一数学中我们将学习函数，函数是高中数学的重点，它在高中数学中是起着提 纲的作用，
它融汇在整个高中数学知识中，其中有数学中重要的数学思想方法；如：函数与方程思想、< br>数形结合思想等，它也是高考的重点，近年来，高考压轴题都以函数题为考察方法的。高考
题中与 函数思想方法有关的习题占整个试题的60%以上。
（1）、 有良好的学习兴趣
两千 多年前孔子说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”意思说，干一件事，知道
它，了解它不如 爱好它，爱好它不如乐在其中。“好”和“乐”就是愿意学，喜欢学，这就
是兴趣。兴趣是最好的老师， 有兴趣才能产生爱好，爱好它就要去实践它，达到乐在其中，
有兴趣才会形成学习的主动性和积极性。在 数学学习中，我们把这种从自发的感性的乐趣出
发上升为自觉的理性的“认识”过程，这自然会变为立志 学好数学，成为数学学习的成功者。

那么如何才能建立好的学习数学兴趣呢？
课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。
听课中要配合老师讲课，满足 感官的兴奋性。听课中重点解决预习中疑问，把老师课堂
的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音 乐，及时回答老师课堂提问，培养思考与老
师同步性，提高精神，把老师对你的提问的评价，变为鞭策学 习的动力。
思考问题注意归纳，挖掘你学习的潜力。
听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的？
把概 念回归自然。所有学科都是从实际问题中产生归纳的，数学概念也回归于现实生活，
如角的概念、至交坐 标系的产生、极坐标系的产生都是从实际生活中抽象出来的。只有回归
现实才能使对概念的理解切实可靠 ，在应用概念判断、推理时会准确。
(2)、 建立良好的学习数学习惯。
习惯是经过 重复练习而巩固下来的稳重持久的条件反射和自然需要。建立良好的学习数学习
惯，会使自己学习感到有 序而轻松。高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、
重归纳、注意应用。学生在学习数学的 过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊
语言，并永久记忆在自己的脑海中。另外还要保证每 天有一定的自学时间，以便加宽知识面
和培养自己再学习能力。
（3）、 有意识培养自己的各方面能力
数学能力包括：逻辑推理能力、抽象思维能力、计算能力、空间想象能 力和分析解决问题能
力共五大能力。这些能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。在平时学习中要注 意开发
不同的学习场所，参与一切有益的学习实践活动，如数学第二课堂、数学竞赛、智力竞赛等
活动。平时注意观察，比如，空间想象能力是通过实例净化思维，把空间中的实体高度抽象
在大脑中， 并在大脑中进行分析推理。其它能力的培养都必须学习、理解、训练、应用中得
到发展。特别是，教师为 了培养这些能力，会精心设计“智力课”和“智力问题”比如对习
题的解答时的一题多解、举一反三的训 练归类，应用模型、电脑等多媒体教学等，都是为数
学能力的培养开设的好课型，在这些课型中，学生务 必要用全身心投入、全方位智力参与，
最终达到自己各方面能力的全面发展。
4、其它注意事项
（1）、注意化归转化思想学习。
人们学习过程就是用掌握 的知识去理解、解决未知知识。数学学习过程都是用旧知识引出和
解决新问题，当新的知识掌握后再利用 它去解决更新知识。初中知识是基础，如果能把新知
识用旧知识解答，你就有了化归转化思想了。可见， 学习就是不断地化归转化，不断地继承
和发展更新旧知识。
（2）、学会数学教材的数学思想方法。
数学教材是采用蕴含披露的方式将数学思想溶于数 学知识体系中，因此，适时对数学思想作
出归纳、概括是十分必要的。概括数学思想一般可分为两步进行 ：一是揭示数学思想内容规
律，即将数学对象其具有的属性或关系抽取出来，二是明确数学思想方法知识 的联系，抽取
解决全体的框架。实施这两步的措施可在课堂的听讲和课外的自学中进行。
课 堂学习是数学学习的主战场。课堂中教师通过讲解、分解教材中的数学思想和进行数学技
能地训练，使高 中学生学习所得到丰富的数学知识，教师组织的科研活动，使教材中的数学
概念、定理、原理得到最大程 度的理解、挖掘。如初中学习的相反数概念教学中，教师的课
堂教学往往有以下理解：①从定义角度求3 、-5的相反数，相反数是 的数是_____.②从数
轴角度理解：什么样的两点表示数是互为相反数 的。（关于原点对称的点）③从绝对值角度
理解：绝对值_______的两个数是互为相反数的。④相 加为零的两个数互为相反数吗？这些
不同角度的教学会开阔学生思维，提高思维品质。望同学们把握好课 堂这个学习的主战场。

5、学数学的几个建议。
（1）、记数学笔记， 特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外
知识。
(2)、建立 数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：
找错、析错、改错、防 错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因
弄个水落石出、以便对症下药；解答 问题完整、推理严密。
(3)、记忆数学规律和数学小结论。
(4)、与同学建立好关系，争做“小老师”，形成数学学习“互助组”。
(5)、争做数学课外题，加大自学力度。
(6)、反复巩固，消灭前学后忘。
(7)、学会总结归类。可：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类














要调动学生的学习兴趣，使他们在快乐中主动地学习。以问题方式展开 教学，激发引导学生
思维活动，并且根据学生的学习规律和思维特点，适当地提出问题，把握课堂。 1、上课
前要备好课，熟悉教材，写好并熟悉教案、讲案，争取上课时做到脱案授课。
2、上课时要做到思路清晰、表达清楚、语言流利，并针对课时内容的重、难点进行强调。

3、教学当中要因材施教，有针对性，充分调动学生的积极性。
4、课后要及时了解学生掌 握知识的情况，及时解决学生提出的问题，做到即问既答，让学
生相信老师。
5、平时多跟 学生交流，增进师生之间的相互了解，不仅是做学生的老师，更重要是做学生
的贴心朋友。
参考资料：a rel=href=http:rytarget=http:
rya,


puxiaobinr 2009-09-18 00:30:44 115.62.103.*
1.失明的数学家欧拉
欧拉的惊人成就并不是偶然的 。他可以在任何不良的环境中工作，经常抱着孩子在膝上

完成论文，也不顾较大的孩子在 旁边喧哗。欧拉在28岁时，不幸一支眼睛失明，过了30
年以后，他的另一只眼睛也失明了。在他双目 失明以后，也没有停止过数学研究。他以惊人
的毅力和坚韧不拔的精神继续工作着，在他双目失明至逝世 的十七年间，还口述著作了几本
书和400篇左右的论文。由于欧拉的著作甚多，出版欧拉全集是十分困 难的事情，1909年
瑞士自然科学会就开始整理出版，直到现在还没有出完，计划是72卷。


欧拉在他的886种著作中，属于他生前发表的有530本书和论文，其中不少是 教科书。他
的著作文笔流畅、浅显、通俗易懂，读后引人入胜十分令读者敬佩。尤其值得一提的是他编< br>写的平面三角课本，采用的记号如sinx，cosｘ，……等等直到现今还在用。


欧拉1720年秋天入巴塞尔大学，由于异常勤奋和聪慧，受到约翰·伯努利的尝识，给以特 别
的指导。欧拉同约翰的两个儿子尼古拉·伯努力和丹尼尔·伯努利也结成了亲密的朋友。


欧拉19岁写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院的奖金，从此开始了创作生涯。以后< br>陆续得奖多次。1725年丹尼尔兄弟赴俄国，向沙皇喀德林一世推荐欧拉，于是欧拉于172
7 年5月17日到了彼得堡，1733年丹尼尔回巴塞尔，欧拉接替他任彼得堡科学院数学教授，
时年仅2 6岁。


1735年，欧拉解决一个天文学的难题（计算慧星轨道）。


这个问题几个著名数学家，几个月的努力才得以解决，欧拉却以自已发明的方法， 三日而成。
但过度的工作使他得了眼病，不幸右眼失明，这时才28岁。

2.数学家的故事——苏步青

苏步青1902年9月出生在浙江省平阳县的一个 山村里。虽然家境清贫，可他父母省吃俭用，
拼死拼活也要供他上学。他在读初中时，对数学并不感兴趣 ，觉得数学太简单，一学就懂。
可量，后来的一堂数学课影响了他一生的道路。
那是苏步青 上初三时，他就读浙江省六十中来了一位刚从东京留学归来的教数学课的杨老
师。第一堂课杨老师没有讲 数学，而是讲故事。他说：“当今世界，弱肉强食，世界列强依
仗船坚炮利，都想蚕食瓜分中国。中华亡 国灭种的危险迫在眉睫，振兴科学，发展实业，救
亡图存，在此一举。?天下兴亡，匹夫有责?，在座的 每一位同学都有责任。”他旁征博引，讲
述了数学在现代科学技术发展中的巨大作用。这堂课的最后一句 话是：“为了救亡图存，必

须振兴科学。数学是科学的开路先锋，为了发展科学，必须学 好数学。”苏步青一生不知听
过多少堂课，但这一堂课使他终身难忘。
杨老师的课深深地打 动了他，给他的思想注入了新的兴奋剂。读书，不仅为了摆脱个人困境，
而是要拯救中国广大的苦难民众 ；读书，不仅是为了个人找出路，而是为中华民族求新生。
当天晚上，苏步青辗转反侧，彻夜难眠。在杨 老师的影响下，苏步青的兴趣从文学转向了数
学，并从此立下了“读书不忘救国，救国不忘读书”的座右 铭。一迷上数学，不管是酷暑隆冬，
霜晨雪夜，苏步青只知道读书、思考、解题、演算，4年中演算了上 万道数学习题。现在温
州一中（即当时省立十中）还珍藏着苏步青一本几何练习薄，用毛笔书写，工工整 整。中学
毕业时，苏步青门门功课都在90分以上。
17岁时，苏步青赴日留学，并以第一 名的成绩考取东京高等工业学校，在那里他如饥似渴
地学习着。为国争光的信念驱使苏步青较早地进入了 数学的研究领域，在完成学业的同时，
写了30多篇论文，在微分几何方面取得令人瞩目的成果，并于1 931年获得理学博士学位。
获得博士之前，苏步青已在日本帝国大学数学系当讲师，正当日本一个大学 准备聘他去任待
遇优厚的副教授时，苏步青却决定回国，回到抚育他成长的祖任教。回到浙大任教授的苏 步
青，生活十分艰苦。面对困境，苏步青的回答是“吃苦算得了什么，我甘心情愿，因为我选
择 了一条正确的道路，这是一条爱国的光明之路啊！”
这就是老一辈数学家那颗爱国的赤子之心

3.数学家的墓志铭

一些数学家生前献身于数学，死后在他们的墓碑上，刻着代表着他们生平业绩的标志。
古希 腊学者阿基米德死于进攻西西里岛的罗马敌兵之手（死前他还在主：“不要弄坏我的
圆”。）后，人们为 纪念他便在其墓碑上刻上球内切于圆柱的图形，以纪念他发现球的体积
和表面积均为其外切圆柱体积和表 面积的三分之二。 德国数学家高斯在他研究发现了正十
七边形的尺规作法后，便放弃原来立志学文的打算 而献身于数学， 以至在数学上作出许多
重大贡献。甚至他在遗嘱中曾建议为他建造正十七边形的棱柱为底座的墓碑。
16世纪德国数学家鲁道夫，花了毕生精力，把圆周率算到小数后35位，后人称之为鲁 道
夫数，他死后别人便把这个数刻到他的墓碑上。 瑞士数学家雅谷·伯努利，生前对螺线（被
誉为生命之线）有研究，他死之后，墓碑上 就刻着一条对数 螺线，同时碑文上还写着：“我
虽然改变了，但却和原来一样”。这是一句既刻划螺线性质又象征他对数 学热爱的双关语

4.祖冲之（公元429-500年）是我国南北朝时期，河北省涞源县 人．他从小就阅读了许多天
文、数学方面的书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于使他成为我国古代杰出的数 学家、天文学
家．
祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算．秦汉以前，人们以& quot;径一周三&qu
ot;做为圆周率，这就是"古率"．后来发现古率误 差太大，圆周率应是"圆径
一而周三有余"，不过究竟余多少，意见不一．直到三 国时期，刘徽提出了计算圆周率
的科学方法--"割圆术"，用圆内接正多边形的 周长来逼近圆周长．刘徽计算到圆

内接96边形， 求得π=3.14，并指出，内接正 多边形的边数越多，所求得的π值越精确．祖
冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出 π在3.1415926与3.1415927
之间．并得出了π分数形式的近似值，取为约率 ，取为 密率，其中取六位小数是3.14192
9，它是分子分母在1000以内最接近π值的分数．祖冲之究 竟用什么方法得出这一结果，
现在无从考查．若设想他按刘徽的"割圆术"方法去 求的话，就要计算到圆内接1
6，384边形，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见 他在治学上的顽强
毅力和聪敏才智是令人钦佩的．祖冲之计算得出的密率， 外国数学家获得同样结果， 已是
一千多年以后的事了．为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把π=叫做&qu
ot;祖率"．
祖冲之博览当时的名家经典，坚持实事求是，他从亲自测量计算的大量 资料中对比分析，发
现过去历法的严重误差，并勇于改进，在他三十三岁时编制成功了《大明历》，开辟 了历法
史的新纪元．
祖冲之还与他的儿子祖暅（也是我国著名的数学家）一起，用巧妙的方 法解决了球体体积的
计算．他们当时采用的一条原理是："幂势既同，则积不容异．&quo t;意即，位于两平
行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒 相等，
则这两个立体的体积相等．这一原理，在西文被称为卡瓦列利原理， 但这是在祖氏以后一
千多年才由卡氏发现的．为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为&
quot; 祖暅原理"．

5.数学奇才——伽罗华

1832年5 月30日晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪
伤判断他是决斗后受了重 伤，就把这个不知名的青年抬到医院。第二天早晨十点钟，他就离
开了人世。数学史上最年轻、最有创造 性的头脑停止了思考。人们说，他的死使数学发展推
迟了好几十年。这个青年就是死时不满21岁的伽罗 华。

伽罗华生于离巴黎不远的一个小城镇，父亲是学校校长，还当过多年市长。家庭的影 响使伽
罗华一向勇往直前，无所畏惧。1823年，12岁的伽罗华离开双亲到巴黎求学，他不满足呆< br>板的课堂灌输，自己去找最难的数学原著研究，一些老师也给他很大帮助。老师们对他的评
价是“ 只宜在数学的尖端领域里工作”。

1828年，17岁的伽罗华开始研究方程论，创造了 “置换群”的概念和方法，解决了几百年来
使人头痛的方程来解决问题。伽罗华最重要的成就，是提出了 “群”的概念，用群论改变了整
个数学的面貌。1829年5月，伽罗华把他的成果写成论文，递交法国 科学院，但伴随着这
篇杰作而来的是一连串的打击和不幸。先是父亲因不堪忍受教士诽谤而自杀，接着因 他的答
辩既简捷又深奥令考官们不满而未能进入著名的巴黎综合技术学校。至于他的论文，先是被
认为新概念太多又过于简略而要求重写；第二份推导详尽的稿子又因审稿人病逝而下落不
明；1831 年1月提交的第三份论文又因评阅人不能全部看懂而被否定。

称量皇冠的难题
6.王冠的重量
在一般人看来，阿基米德是个“怪人”。用罗马历史学家普鲁塔克的话说：“ 他象是一个中了邪
术的人，对于饭食和自己的身体全不关心。”有时候，饭摆在桌子上叫他吃饭，他好象 没听
见，仍旧在火盆的灰里画他的几何图形。他的妻子，要时时看守他。譬如他用油擦身的时候，
便呆坐着用油在自己身上画图案，而忘记原来是作什么事的了。他的妻子更怕送他到浴堂里
去洗澡，这 个笑话是因为国王的一个新冠冕而引起的。

国王在前不久，叫一个工匠替他打造一顶金皇 冠。国王给了工匠他所需要的数量的黄金。工
匠的手艺非常高明，制做的皇冠精巧别致，而且重量跟当初 国王所给的黄金一样重。可是，
有人向国王报告说：“工匠制造皇冠时，私下吞没了一部分黄金，把同样 重的银子掺了进去。”
国王听后，也怀疑起来，就把阿基米德找来，要他想法测定，金皇冠里掺没掺银子 ，工匠是
否私吞黄金了。这次，可把阿基米德难住了。他回到家里苦思苦想了好久，也没有想出办法，< br>每天饭吃不下，觉睡不好，也不洗澡，象着了魔一样。

有一天，国王派人来催他进 宫汇报。他妻子看他太脏了，就逼他去洗澡。他在澡堂洗澡的时
候，脑子里还想着称量皇冠的难题。突然 ，他注意到，当他的身体在浴盆里沉下去的时候，
就有一部分水从浴盆边溢出来。同时，他觉得入水愈深 ，则他的体量愈轻。于是，他立刻跳
出浴盆，忘了穿衣服，就跑到人群的街上去了。一边跑，一边叫：“ 我想出来了，我想出来
了，解决皇冠的办法找到啦！”

他进皇宫后，对国王说： “请允许我先做一个实验，才能把结果报告给你。”国王同意了。阿
基米德将与皇冠一样重的金子、一块 银子和皇冠，分别一一放在水盆里，看金块排出的水量
比银块排出的水量少，而皇冠排出的水量比金块排 出的水量多。

阿基米德对国王说：“皇冠掺了银子！”国王看了实验，没有弄明白，让阿 基米德给解释一下。
阿基米德说：“一公斤的木头和一公斤的铁比较，木头的体积大。如果分别把它们放 入水中，
体积大的木头排出的水量，比体积小的铁排出的水量多。我把这个道理用在金子、银子和皇冠上。因为金子的密度大，而银子的密度小，因此同样重的金子和银子，必然是银子的体积
大于金子 的体积。所 以同样重的金块和银块放入水中，那么金块排出的水量就比银块的水
量少。刚才的实验表明 ，皇冠排出的水量比金块多，说明皇冠的密度比金块的密度小，这就
证明皇冠不是用纯金制造的。”阿基 米德有条理的讲述，使国王信服了。实验结果证明，那
个工匠私吞了黄金。

很多滴沥~ ~ ~ ~我找了六个，希望你认真看看~ ~ ~ 1。从一加到一百
高斯有 许多有趣的故事，故事的第一手资料常来自高斯本人，因为他在晚年时总喜欢谈他小
时后的事，我们也许 会怀疑故事的真实性，但许多人都证实了他所谈的故事。
高斯的父亲作泥瓦厂的工头，每星期六他总是 要发薪水给工人。在高斯三岁夏天时，有一次

当他正要发薪水的时候，小高斯站了起来说 ：「爸爸，你弄错了。」然后他说了另外一个数
目。原来三岁的小高斯趴在地板上，一直暗地里跟着他爸 爸计算该给谁多少工钱。重算的结
果证明小高斯是对的，这把站在那里的大人都吓的目瞪口呆。
高斯常常带笑说，他在学讲话之前就已经学会计算了，还常说他问了大人字母如何发音后，
就自己学着 读起书来。
七岁时高斯进了 St. Catherine小学。大约在十岁时，老师在算数课上出了一道难题：「把
1到 100的整数写 下来，然后把它们加起来！」每当有考试时他们有如下的习惯：第一个
做完的就把石板〔当时通行，写字 用〕面朝下地放在老师的桌子上，第二个做完的就把石板
摆在第一张石板上，就这样一个一个落起来。这 个难题当然难不倒学过算数级数的人，但这
些孩子才刚开始学算数呢！老师心想他可以休息一下了。但他 错了，因为还不到几秒钟，高
斯已经把石板放在讲桌上了，同时说道：「答案在这儿！」其他的学生把数 字一个个加起来，
额头都出了汗水，但高斯却静静坐着，对老师投来的，轻蔑的、怀疑的眼光毫不在意。 考完
后，老师一张张地检查着石板。大部分都做错了，学生就吃了一顿鞭打。最后，高斯的石板
被翻了过来，只见上面只有一个数字：5050（用不着说，这是正确的答案。）老师吃了一
惊，高斯就 解释他如何找到答案：1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝ 101，……，49
＋52＝101，50＋51＝101，一共有50对和为 101的数目，所以答案是 50×101＝5050。
由此可见高斯找到了算术级数的对称性，然后就 像求得一般算术级数合的过程一样，把数目
一对对地凑在一起。

2。波兰伟大的数学家伯格曼（Stefan Bergman，1898－1977年）离开波兰后， 先后在美
国布朗大学、哈佛大学和斯坦福大学工作。他不大讲课，生活支出主要靠各种课题费维持。由于很少讲课，他的外语得不到锻炼，无论口语还是书面语都很晦涩。但伯格曼本人从不这
样认为。 他说：“我会讲12种语言，英语最棒。”事实上他有点口吃，无论讲什么话别人都
很难听懂。有一次他 与波兰的另一位分析大师用母语谈话，不一会对方提醒他：“还是说英
语吧，也许更好些。”

1950年国际数学大会期间，意大利一位数学家西切拉（Sichera）偶然提起伯格曼的一< br>篇论文可能要加上“可微性假设”，伯格曼非常有把握地说：“不，没必要，你没看懂我的论文。”
说着拉着对方在黑板上比划起来，同事们耐心地等着。过了一会西切拉觉得还是需要可微性
假设。伯格 曼反而更加坚定起来，一定要认真解释一下。同事们插话：“好了，别去想它，
我们要进午餐了。”伯格 曼大声嚷了起来：“不可微—不吃饭。”（No differentiability, no lu
nch）最终西切拉留下来听他一步一步论证完。

有证据表明伯格曼总在 考虑数学问题。有一次清晨两点钟，他拨通了一个学生家里的电
话号码：“你在图书馆吗？我想请你帮我 查点东西！”

还有一次伯格曼去西海岸参加一个学术会议，他的一个研究生正好要到那里旅 行结婚，他们
恰好乘同一辆长途汽车。这位学生知道他的毛病，事先商量好，在车上不谈数学问题。伯格

曼满口答应。伯格曼坐在最后一排，这对要去度蜜月的年轻夫妇恰巧坐在他前一排靠窗的 位
置。10分钟过后，伯格曼脑子里突然有了灵感，不自觉地凑上前去，斜靠着学生的座位，
开 始讨论起数学。再过一会，那位新娘不得不挪到后排座位，伯格曼则紧挨着他的学生坐下
来。一路上他们 兴高采烈地谈论着数学。幸好，这对夫妇婚姻美满，有一个儿子，还成了著
名数学家。
3。哥德尔（Kurt Godel，1906－1978年）的举止以“新颖”和“古怪”著称，爱因 斯坦是他要
好的朋友，他们当时都在普林斯顿。他们经常在一起吃饭，聊着非数学话题，常常是政治方< br>面的。麦克阿瑟将军从朝鲜战场回来后，在麦迪逊大街举行隆重的庆祝游行。第二天哥德尔
吃饭时 煞有介事地对爱因斯坦说，《纽约时报》封面上的人物不是麦克阿瑟，而是一个骗子。
证据是什么呢？哥 德尔拿出麦克阿瑟以前的一张照片，又拿了一把尺子。他比较了两张照片
中鼻子长度在脸上所占的比例。 结果的确不同：证毕。

哥德尔一生花了很大精力想搞清楚连续统假设（CH）是否独立 于选择公理（AC）。在
60年代早期，一个初出茅庐的年轻数学家柯恩（Paul J．Cohen） ，与斯坦福大学的同事
们聊天时扬言：他也许可以通过解决某个希尔伯特（Hilbert）问题或者证 明CH独立于AC
而一举成名。实话说，柯恩当时只是傅里叶分析方面的行家，对于逻辑和递归函数，他 只摆
弄过不长时间。柯恩果然去专攻逻辑了，大约用了一年的时间，真的证明了CH与AC独立。
这项成果被认为是20世纪最伟大的智力成就之一，他因此获得菲尔兹奖（Fieids Medal，
比自然科学界的诺贝尔奖还难获得）。柯恩的技术是“力迫”（forcing）法，现已成为现代逻
辑的一种重要工具。

当初的情形是：柯恩拿着证明手稿去高等研究院找哥德尔，请他核查证明是否有漏洞。

哥德 尔起初自然很怀疑，因为柯恩早已不是第一个向他声明解决了这一难题的人了。在哥德
尔眼里，柯恩根本 就不是逻辑学家。柯恩找到哥德尔家，敲了门。门只开了6英寸的一道
缝，一支冷冰冰的手伸出来接过手 稿，随后门“砰”地关上了。柯恩很尴尬，悻悻而去。不过，
两大后，哥德尔特别邀请柯恩来家里喝茶。 柯恩的证明是对的：大师已经认可了。
4。维纳（1894－1964年）是最早为美洲数学赢得 国际荣誉的大数学家，关于他的轶事多
极了。维纳早期在英国，有一次遇见英国著名数学家李特尔伍德（ Littlewood）时说：“噢，
还真有你这么个人。我原以为Littlewood只是哈代（H ardy）为写得比较差的文章署的笔名
呢。”维纳本人对这个笑话很懊恼，在自传中极力否认此事。此 故事的另一种版本说的是朗
道（Edmund Laudau）：朗道很怀疑李特尔伍德的存在性，为此专程去英国亲自看了这个
人。

维纳后来赴美国麻省理工学院任职，长达25年。他是校园中大名鼎鼎的人物，人人都
想与 他套点近乎。有一次一个学生问维纳怎样求解一个具体问题，维纳思考片刻就写出了答
案。实际上这位学 生并不想知道答案，只是问他“方法”。维纳说：“可是，就没有别的方法了
吗？”思考片刻，他微笑着 随即写出了另一种解法。维纳最有名的故事是有关搬家的事。一

次维纳乔迁，妻子熟悉维 纳的方方面面，搬家前一天晚上再三提醒他。她还找了一张便条，
上面写着新居的地址，并用新居的房门 钥匙换下旧房的钥匙。第二天维纳带着纸条和钥匙上
班去了。白天恰有一人问他一个数学问题，维纳把答 案写在那张纸条的背面递给人家。晚上
维纳习惯性地回到旧居。他很吃惊，家里没人。从窗子望进去，家 具也不见了。掏出钥匙开
门，发现根本对不上齿。于是使劲拍了几下门，随后在院子里踱步。突然发现街 上跑来一小
女孩。维纳对她讲：“小姑娘，我真不走运。我找不到家了，我的钥匙插不进去。”小女孩说
道：“爸爸，没错。妈妈让我来找你。”

有一次维纳的一个学生看见维纳正在 邮局寄东西，很想自我介绍一番。在麻省理工学院
真正能与维纳直接说上几句话、握握手，还是十分难得 的。但这位学生不知道怎样接近他为
好。这时，只见维纳来来回回踱着步，陷于沉思之中。这位学生更担 心了，生怕打断了先生
的思维，而损失了某个深刻的数学思想。但最终还是鼓足勇气，靠近这个伟人：“ 早上好，
维纳教授！”维纳猛地一抬头，拍了一下前额，说道：“对，维纳！”原来维纳正欲往邮签上写
寄件人姓名，但忘记了自己的……。
5。苹果树下的例行出步

希尔伯特在海德尔堡上了一学期以后，接下来的一个学期，本来可以允许他再转到柏林
去听课，但他深深 地依恋自己的家乡，于是他又回到了哥尼斯堡大学．再下一个学期——1
882年春天，希尔伯特仍决定 留在哥尼斯堡．

这时赫尔曼·阅可夫斯基从柏林学习了三个学期后也回到了哥尼斯堡大学 ．闽可夫斯基从
小就数学才能出众，据说有一次上数学课，老师因把问题理解错了而“挂了黑板”，同学 们异
口同声叫道：“闭可夫斯基去帮帮忙！”在柏林上学时，他因为出色的数学工作曾得到过一笔
奖金．这时，年仅17岁的阅可夫斯基正沉浸在一项很深奥的研究之中——解巴黎科学院出
榜征解的一 个问题：把一个数表成五个平方数的和．一年后，1883年春天，18岁的阅可夫
斯基和英国著名的数 学家史密斯共享巴黎科学院的这项大奖．这件事轰动了整个哥尼斯
堡．希尔伯特的父亲因此曾告诫自己的 儿子不要冒冒失失地去和“这样知名的人”交朋友．但
由于对数学的热爱和共同的信念，希尔伯特和比他 小两岁的闽可夫斯基很快成了好朋友．

1884年春天，年轻的数学家阿道夫·赫维茨 从哥廷根来到哥尼斯堡担任副教授，年龄还
不到25岁，在函数论方面已有出色的研究成果．希尔伯特和 闽可夫斯基很快就和他们的新
老师建立了密切的关系．他们这三个年轻人每天下午准5点必定相会去苹果 树下散步．希
尔伯特后来回忆道：“日复一日的散步中，我们全都埋头讨论当前数学的实际问题；相互交
换我们对问题新近获得的理解，交流彼此的想法和研究计划．”在他们三人中，赫维茨有着
广泛 “坚实的基础知识，又经过很好的整理，”所以他是理所当然的带头人，并使其他两位心
悦诚服．当时希 尔伯特发现，这种学习方法比钻在昏暗的教室或图书馆里啃书本不知要好多
少倍，这种例行的散步一直持 续了整整八年半之久．以这种最悠然而有趣的学习方式，他们
探索了数学的“每一个角落”，考察着数学 世界的每一个王国，希尔伯特后来回忆道：“那时从

没有想到我们竟会把自己带到那么远 ！”三个人就这样“结成了终身的友谊．”

正如徐利治教授所指出的，良师益友间的互相 切磋讨论对希尔伯特的成长发展也起了十分
重要的作用，可以想见那段时间是希尔伯特才、学、识获得迅 速成长的重要阶段，假如没有
这段经历，那么希尔伯特在1900年竟能在许多重要领域中一次提出那么 多著名难题，倒是
不易想象的了． 有关希尔伯特散步的这个小故事告诉我们，师生除了在课堂上的活动 以外，
师生在课外的交流以及同学间的课外交流，也是一种重要的学习方式，对数学学习非常有益。而且，在散步中交流因为没有书本，也不用纸和笔，因此没有繁琐的推导和计算，只能交谈
那些能用 话“说出来”的东西，即对问题的理解，分析总是中的思想和方法，挖掘统帅形式推
导的灵魂，.... ..而这些对学好数学非常重要。同学们不妨经常邀几位要好的同学一起散步交
谈，肯定会其乐无究的。




















第一节课的开场白



因故中途接了两个班的数学课，第一课我如是说：

先给大家讲一个禅宗的故事。

佛陀给大家讲法，众弟子在台下倾听， 佛陀手中竖起一朵花，万千弟
子中只有一个会意的一笑。佛祖认为这个弟子理解了，故选为衣钵传人。< br>那么多的弟子在听法，但是各有各的感悟理解。就象老师给你讲课一样，
大家听到的，看到的都一 样，但是，接受的理解的知识不一样。佛家讲
究苦修而到内悟，这与学习是一个道理。学习先要经历苦学 ，才能达到
理解感悟。只有苦学到一定的境界，才会理解感悟的快，才会理解感悟
到更高的境界 。才会有可能做到自修自悟（发现创造）。我们常期求的
灵感就是这样的，反复积累体会，偶然得到。就 是这个道理。

建构主义认为，知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境即知识背景下，借助包括教师和学习伙伴的帮助，利用必要的学习
资料，通过自己思考感悟的方 式而获得。学习的质量是学习者建构意义
能力的函数，而不是学习者重现教师思维过程能力的函数。换句 话说，
获得知识的多少取决于学习者根据自身经验去思考理解有关知识的的
能力，而不取决于学 习者记忆和背诵教师讲授内容的能力。

许多同学认为学习成绩取决于老师，往往把老师 看得极为重要，这
实际上是对老师的过分依赖，说明自己缺乏独立自主性和自立自强性。
高中的 学生，学习的成败主要在于自己，老师只不过是“引导”者和“伴
奏”者，他仅仅是给我们指出了获取知 识的途径、方法以及思路，更重
要的还需我们自己涉猎。所以，除了上课认真听讲，积极思考外，课前< br>的预习，课后的复习以及查阅资料，自我总结、推导、拓展、贮存就显

得更加重要 。“从来就没有救世主，全靠我们自己！”在人生的任何时期，
绝对是至理名言。

这并不是说明老师的不重要，好老师可以更好的帮助大家，引导大家
如何思考，如何理解感悟。会在有限 的时间内提高我们的学习效率。所
以老师也应该作的更好，时刻反思，提高自己的水平，与学生共同成长 。

最后谈谈，我们要有“敬畏”之心。要敬畏自然规律，要敬畏法律法
规 ，要敬畏学校的纪律。也要敬畏“老师”，早在两千多年前教育家孔子
就指出：敬人者，人恒敬之。尊敬 他人是一个人的基本道德规范，作为
学生最起码的一条就是尊敬老师。敬畏老师是说的要尊敬老师，而不 是
怕老师，敌对老师。在我们求知的过程中，要对前人，前人创立的知识，
以及对自己学习有帮 助的师长肃然起敬，怀有虔诚之心，才能有一个良
好的态度获得知识。

当然 ，老师也会出现一些让人不可理喻的缺点和错误，如果因为老师
在工作中偶尔出现的缺点和错误，就不理 解、尊敬老师，那么就把老师
看作是不食人间烟火的神了，当然也就不会以人的心理或行为去看待老师了。保持学习有兴趣和学习效率最有效的方法就是心理的愉快，与老
师的抵触情绪是心理和谐宁静 的大敌，它直接的后果是产生不愉快学习
的体验，当然成绩退步和下降亦在情理之中。实际上对老师的尊 重并不
在于认同老师的对错与否，而在于以诚挚的心与老师交流。把老师看成
良师，更应该看成 良友。是你学习，生活，成长过程中指导者，参与者，
陪伴者。

请记住，在你的成长过程中，老师仅仅是一个外在条件，所以，作为
学生一定要清楚：你的未来掌握在你 自己的手中。