高中数学必修5新教学案:第三章 不等式 小结与复习-河北省高中数学教资面试题库
高中数学教学设计获奖作品
《
简单的线性规划问题》
一、教学内容分析
普通高中课程标准教科书数学5(必修)第三章第3课时
这是一堂关于简单的线性规划的“问题教学”.
线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成
熟、应用较广泛的一个分支,
它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题.
简单的线性规划(涉及两个变量)关心的是两类问题:一是在人力、物力、
资金等资源一定的条件下,
如何使用它们来完成最多的任务;二是给定一项任务,
如何合理规划,能以最少的人力、物力、资金等资
源来完成.突出体现了优化的
思想.
教科书利用生产安排的具体实例,介绍了线性规划问题的
图解法,引出线性
规划等的概念,最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.
二、学生学习情况分析
本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上,又通过
实例,理解了平面
区域的意义,并会画出平面区域,还能初步用数学关系式表示简单的二元线性规
划的限制条件,将实际问题转化为数学问题. 从数学知识上看,问题涉及多个已
知数据、多个字母变
量,多个不等关系,从数学方法上看,学生对图解法的认识
还很少,数形结合的思想方法的掌握还需时日
,这都成了学生学习的困难.
三、设计思想
本课以问题为载体,以学生为主体,以数学实验
为手段,以问题解决为目的,
以几何画板作为平台,激发他们动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。注
重引
导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程,“从具体到一般”
的抽象思维
过程,应用“数形结合”的思想方法,培养学生的学会分析问题、解
决问题的能力。
四、教学目标
1.了解线性规划的意义,了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域
和
最优解等概念;理解线性规划问题的图解法;会利用图解法求线性目标函数的最优解.
2.
在实验探究的过程中,让学生体验数学活动充满着探索与创造,培养学生的数
据分析能力、探索能力、合
情推理能力及动手操作、勇于探索的精神;
3、在应用图解法解题的过程中,培养学生运用数形结合思
想解题的能力和化归能
力,体验数学来源于生活,服务于生活,体验数学在建设节约型社会中的作用.
五、教学重点和难点
求线性目标函数的最值问题是重点;从数学思想上看,学
生对为什么要将求目标
函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题?以及如何想到
要
这样转化?存在一定疑虑及困难;教学应紧扣问题实际,通过突出知识的形成发展过
程,引入
数学实验来突破这一难点.
六、教学过程设计
(一)引入
(1)情景
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4
个A配件耗时1h,每
生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h.该产每天最多
可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,
按每天工作8h计算,该厂所有
可能的日生产安排是什么?
请学生读题,引导阅读理解后,列表 →建立数学关系式 → 画平面区域,
学生就近既分工又
合作,教师关注有多少学生写出了线性数学关系式,有多
少学生画出了相应的平面区域,在巡视中并发现
代表性的练习进行展示,强
调这是同一事物的两种表达形式数与形.
【问题情景使学生感到数
学是自然的、有用的,学生已初步学会了建立线
性规划模型的三个过程:列表 →建立数学关系式→ 画
平面区域,可放手让学
生去做,再次经历从实际问题中抽象出数学问题的过程,教师则在数据的分
析整理、表格的设计上加以指导】
教师打开几何画板,作出平面区域.
(2)问题 师:进一步提出问题,若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品
获利3万元,采用哪种生产安
排利润最大?
学生不难列出函数关系式
z?2x?3y
.
师:这是关于变
量
x、y
的一次解析式,从函数的观点看
x、y
的变化
引起z的变化
,而
x、y
是区域内的动点的坐标,对于每一组
x、y
的值都
有唯一
的z值与之对应,请算出几个z的值.
填入课前发下的实验探究报
告单中的第2—4列进行观察,看看你有什么发现?
学生会选择比较好算的点,比如整点、边界点等.
【学生思维的最近发现区是
上节的相关知识,因此教师有目的引导学生利用
几何直观解决问题,虽然这个过程计算比较繁琐,操作起
来有难度,但是教
学是一个过程,从中让学生体会科学
探索的艰辛,这样引导出教科书给出的数形结合的合理性,也为引入信息
技术埋下伏笔】
(二)实验
教
师打开画板,当堂作出右
图,在区域内任意取点,进行计
算,请学生与自己的数据对比,继续在实验探究报告单上补充填写画板上的新数据.
利润最大的实验探究报告单
实验目的
?
x?2y?8,<
br>?
4x?16,
?
?
求
z?2x?3y
的最大值,使
x,y
满足约束条件
?
4y?12,
?
x?0,
?
?
?
y?0.
(1)
(2) 理解用图解法求线性规划问题的最优解,体会数形结合的思想.
进行实验与收集数据
(1)打开几何画板依次画出点、线构造平面区域;
(2)在
区域内任取一点M,度量横坐标及纵坐标,计算
z
=
2x?3y
的值,并制表
显示在
屏幕上;
(3)拖动点M在区域内运动,观察度量值
z
的变化,猜想
z
取得最大值时点M的位置.
同时请学生将有代表性的位置的数据记录在下表中的第2
—5列:
直
线
在
计点
y
数的直线的
y
x
2x?3y
轴
点坐方程
上
n 标
的
截
距
1
2
教师引导学生提
出猜想:点M的坐标为(4,2)时,
z
=
2x?3y
取
得最大值14.
【在信息技术与课程整合过程中,为改变老师单机的演示学生被动观看
的现状,让学
生参与进来,老师(可以根据学生要求)操作,学生记录,共
同提出猜想,在当前技术条件受限时不失为
一个好方法】
师:这有限次的实验得来的结论可靠吗?我们毕竟无法取遍所有点,
因为区域内
的点是无数的!况且没有计算机怎么办,数据复杂手工无法计
算怎么办?
因此,有必要寻找操作性强的可靠的求最优解的方法.
【形成认知冲突,激发求知欲望,调整探究思路,寻找解决问题的
新方法】
继续观察实验报告单,聚焦每一行的点坐标和对应的度量值,比如M
(3.2, 1.2)时方
程是
2x?3y?10
,填写表中的第6—7列,引导学生先
在点与直线之间建立起联
系 ------点M的坐标是方程
2x?3y?10
的解,
那么点M就应该在直线<
br>2x?3y?10
上,反过来直线
2x?3y?10
经过点M,
当然也
就经过平面区域,所以点M
的运动就可转化为直线的平移运
动。
教师拖动直线并跟踪
,学生看
到直线平移时可以取遍区域内的
所有点!这样我们的猜想就非常合
乎情理了.
然后顺利过渡到直线与
平面区域之间的关系.
师:由于我们可以将x,y所
满足的条
件用平面区域表示了,你
能否也给利润
z
=2
x
+3
y作出几何解
释呢?
学生很自然地联想到上面实验的结果,将等式
z
=2
x
+3
y
视为关于x,
y的一次方程,它在几何上表示直线,当z取
不同的值时可得到一族平行
直线.
请把你猜想1换一种说法:
猜想与假设
2_________________________________________________
______
直线
z
=
2x?3y
经过点(4,2)时,
z
=
2x?3y
取得最大值14.
2z
将直线
z
=
2x?3y
改写为
y??x?
,这时你能把猜想2再换一种
33<
br>说法吗?
此时水到渠成.
猜想与假设
3________________
_______________________________________
2
z
直线
y??x?
经过点
M
时,在
y
轴上的截距最
大,此时
z
=
2x?3y
33
取得最大值14.
<
br>最后探究出“
z
=
2x?3y
最值问题可转化为经过可行域的直线2z
y??x?
在y轴上的截距的最值问题”来解决,实现其图解的目的.
33
【
借助计算机技术用运动变化的方法,创设实验环境,形成多元联系,展示数
学关系式
、平面区域、表格等各种形态的表现形式,在数、图、表的关联中进行
观察、分析,从而逐步帮助学生进
行有层次的猜想,也为我们的研究提供一种方
向,这是新课程积极倡导的合情推理】
教师介绍线性规划、线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行
域和最优解等概念.
(三)探究
师:在上述问题中,若生产一件甲产品获利3万元,生产一件乙产品
获利
2万元,又应当如何安排生产才能获得最大的利润?再换几组数据试
试(课本第100页)
让学生“主动”更换数据,教师借助几何画板“被动”地进行操作演示,师
生继续实验
…,发现结论同样成立. 进一步发现目标函数直线的纵截距与
z
的最
值之间的关系,
有时并不是截距越大,z值越大.
实验结论__________________________
_____________________________
“目标函数的最值问题可转化直线
z
=2
x
+3y与平面区域有公
共点
时,在区域内找一个点M,使直线经过点M时在
y
轴上的截距最大”
【
从笔算到计算,从点到直线再到平面(区域),从一个函数到多个函数,
从特殊到一般,从具体到抽象的
认识过程,使学生经历数学知识形成、发现、发
展的过程,获得问题的解决,这有助于培养学生的科学素
养】
(四)练习小结
学生练习P104第1题.
[及时检验学生利用
图解法解线性规划问题的情况,练习目的:会用
数形结合思想,将求
z?2x?y
的最
大值转化为直线
y??2x?z
与平面区
域有公共点时,在区域内找一个点
M
,使直线经过点
M
时在
y
轴上的截距
最小的
问题,为节省时间,教师可预先画好平面区域,让学生把精力集中
到求最优解的解决方案上]
(五)实例展示
(课本第100页例5饮食营养搭配)
营养学家指出,成人良好的日常饮食至少应该提供0.075kg的碳水化
合物, 0.06k
g的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg的碳
水化合物,0.07kg的蛋
白质,0.14kg的脂肪,花费28元;而1kg食物B
含有0.105kg的碳水化合物,0.14
kg的蛋白质,0.07kg的脂肪,花费21
元.为了满足营养学家的指出的日常饮食要求,同时使花
费最低,需要同
时食用食物A和食物B多少kg?
【一是使学生认识到现实生活中
存在许多简单的二元线性规划问题,
二是让学生经历完整的分析研究问题、制定解决问题的策略的过程,
让学
生全面参与课堂教学,完善知识结构体系】
这里要关注平面区域本题是开放型的,而引例是封闭型的.
(六)课后伸申
师:在
上述线性规划问题中,线性约束条件及线性目标函数是确
定的,求最优解.这是问题的一方面,另一方面
(1)若要求结果为整数呢?最优解是在哪?
(2)若已知有唯一(或无数)最优解时,反过
来确定线性约束条
件或目标函数某些字母系数的取值(范围),又如何解决呢?
(七)小结
求最优解的一般步骤(板书):
(1)画线性约束条件所确定的平面区域;
(2)取目标函数z=0,过原点作相应的直线;
(3)平移该直线,观察确定区域内最优解的位置;
(4)解有关方程组求出最优解,代入目标函数得最值.
作业:第104页练习2,第106页习题3—4,第107页习题3.
七、教学反思 为了将学生从繁琐的数字计算和画区域图中解脱出来,将精力放在对最优
解的理解和突出思想方法上
,可根据下列不同的情况,设计教学条件,支持教学.
(1)理想的实验应该是在网络环境的支持下完
成的,教学之前,老师将积件传
输到学生的计算机中,学生在单机的条件下自己动手操作.
(
2)在学生缺乏信息技术工具的条件下,教学和作业都应避免繁琐的计算,而
把注意力放在“算理”上.
另外数学探究的时间长会使学生失去耐心,基本训练时间无法保证,导致当
前效果不直接, <
br>教学评价难以跟进,教师宜把握尺度、控制时间,组织起有效的课堂教学,提高
驾
驭课堂的能力与水平.
点评
该教学设计从研读教材入手,精心
挖掘教学内容中的实验因子,
依据教师实验报告的引导,使学生自己动手操作,通过观察、发现、
思考、分析、归纳提出猜想等活动,完成对最优解的意义建构,体现
了新课程“倡导积极主动、勇于探
索的学习方式”。同时在教育技术平
台上进行师生互动“操盘”,改变单一的教师演示的模式,通过实时
的
动态模拟,实现数、图、表的多元联系,这初步体现了教学过程中教
师、学生、内容、媒体四
要素功能的转变,激发了学生探究的兴趣,
提高了他们的实验、分析、探究能力,最终获得问题的解决。
这种兴
趣和能力可迁移至课外,因而折射出“研究性学习”教学思想,长期坚
持,对学生学习能
力培养的教学达成度也会更高
!
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