同花顺选股公式教程一元二次方程常见解法论文

一元二次方程常见解法探析
摘 要 一元二次方程作为初中数学的重要内容之一，其在初
中代数中的地位不言而喻。在一元二次方程的学习过程中，关键在
于其基本解法。本文着重研究 了一元二次方程的多种常见解法，并
在此基础上分析各解法的特点及具体适用性，力求帮助学生更有效< br>率的解答一元二次方程。
关键词 一元二次方程 解法 探析
一、一元二次方程解法教学的重要性
一元二次方程是初中数学的重要内容，其在数学和实际生 活中
的运用不胜枚举，且在中考中占据大量分值。随着数学学习内容的
不断深入，一元二次方程 更多的是以解题工具的形式出现，如在应
用题、取值题等题型中的运用。因此，一元二次方程的解往往成 为
判定解题准确与否关键。由此可见，既快又准的解一元二次方程在
数学学习中至关重要。鉴于 此，本文就一元二次方程的几种常见解
法进行分析，力图建立特定的解方程思维模式，以帮助学生提高解
决此类题之效率。
二、一元二次方程解法分析
一元二次方程的重点与关键在于其解 法。常用的解法主要有：
因式分解法、配方法、直接开方法和公式法。为更直观展现解法特
点， 本文选取本分题型加以归类分析：
（一）直接开方法
适用此法的方程多以x2=p或（ax+b）2=p的形式出现。观察此

类方程特征发现，其中一次项系数为0。
例7.解方程x2=225 例8.（x+3）2=9
直接开方得x1=15， x2= -15 直接开方得x+3=±3
x1= 0，x2= -6
该方法较为简单，仅能决部分一元二次 方程。且在考试中多出
现在解题的某一环节中，而较少单独作为大题来命题。
（二）因式分解法
因式分解法是运用分解因式的方法求一元二次方程的根。其特
点在 于分解后的因式中至少一个为零。具体原则：（1）将方程式右
边化为0，且始终为0；（2）将等式左 边尽可能化简成为两个因式
的成绩；（3）令各因式结果为0；（4）解化简后的多个因式。因式
分解法具体包括：提公因式法、公式法、十字相乘法。
1.提公因式法。特有模式：ax2+bx= 0（其中a，b为系数），此
方法的特点在于等式右边值为0，等式左边存在公因式。
例1.解方程5x2+15x=0 例2.解方程（2x+3（2=4x+6
因式分解得： 5x（x+3） =0 移项得（2x+3）2-2（2x+3）
=0
x1=0， x2= -3 因式分解得（2x+3）
（2x+3-2）=0
x1= -32， x2= -12
例1是提取公因式法较为直接的使用。但在考试中，例2更为
常见。通过例2可知，在使用提取公因式 法时，不能仅限于观察未

知项，需从整体进行分析。
2.公式法。直接利用常见公式解方程求根的方法。在此法中较< br>为常见的公式有平方差公式和完全平方公式。具体表现形式如下：
（1）平方差：（a2-b2） =（a+b）（a-b）；（2）完全平方：（a±b）
2=a2±2ab+b2。此方法特点在于已知 方程与上述公式形式一致。
例3.解方程4x2-9=0 例4.解方程
9x2+6x+1=0
因式分解得（2x-3）（2x+3）=0 因式分解得
（3x+1）2=0
x1= -32， x2=32 x= -13
公式法的使用可以大幅提高解题速度，但其关键在于必须熟记
平方差和完全平方公式。
3、十字相乘法。十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于
常数项，交叉相乘再相加等于一次项系 数。特有模式：x2+（a+b）
x+ab=0。通常在方程既有常数项，又无上述公式可使用时，惯用 此
法。该法可以快速的解出跟，提高学生自信心。
例5.解方程3x2+11x+10=0 例6.解方程3x2-x-10=0
分析：x 2 分析：x
-2
3x 5 3x
5
6x+5x=11x

-6x+5x= -x
因式分解得（x+2）（3x+5）=0 因式分解得（x-2）
（3x+5）=0
x1= -2， x2= -53 x1=2，x2= -53
使用十字相乘法的关键在于两点：（1）在运算过程中，务必注
意 系数项的符号；（2）当首项系数不为1时，需多次试验。
通过上述分析可知，使用因式分解法有一定 的局限性，仅限于
解部分有特定关系的一元二次方程。
（三）配方法
配方法是将已 知方程配成完全平方公式，而此法是解一元二次
方程的通法。究其根本即是将一元二次方程化为x2=p 来加以解答。
例9.x2+10x+9=0 例10.2x2+3x+1=0
移项得x2+10x= -9 化首项系数为1得x2+3 x
2+12=0
配方得x2+10x+25=-9+25 配方得x2+3x2+916=
-12+916
即（x+5）2+16 即（x+34）2=116
直接开方得x+5=±4 直接开方得x+34=±
14
即x1= -1 ，x2= -9 即x1= -12 ，
x2= -1
通过例题9和例题10对比发现，虽配方法可解任何一元二次方

程，但当已知方程二次项系数为1，一次项系数为偶数时，该方法
的使用可大幅减少计算量。而 当二次项系数不为1，或一次项系数
不为偶数时，使用该方法计算量将增大。如在做题过程中遇到二次< br>项系数不为1时，首先需将其系数转化为1，然后再用配方法计算。
总结配方法口诀：“二次系数 化为一，常数要往右边移，一次系数
一半方，两边加减最相当
（四）公式法
此公式 法与分解因式法中提及的公式法略有差异。该公式法是
用求根公式求出一元二次方程的跟的方法。其可解 任何ax2+bx+c=0
（a≠0）的方程。其步骤有：（1）将已知方程化为一元二次方程的
一般形式；（2）分别确定a、b、c的值；（3）求出b2-4ac的值；（4）
当b2-4ac≥ 0时，将其带入原方程式，求出两根；当b2-4ac0
x1= -23 ，x2=1
2、 当ax2+bx+c=0（a≠0）的各项系数均为无理数，且较难使用
因式分解法和配方法时，可使用 该法。
例12.解方程x2-5x+4=0 例13.解方程x2-x+4=0
确定各项系数：a=1，b=-5，c=4 确定各项系数：a=1，b=-1，
c=4
δ=b2-4ac=25-4×1×4=9>0 δ=b2-4ac=1-4×1×4=-150时，
一元二次方程有两个不同的根；②当b2-4ac=0时，一元二次方程
的两根相等；③当b2 -4ac<0时，一元二次方程无解。此方法较配
方法具有更广阔的适用性，其在使用过程中省略了配方 的过程，且

有效弥补了在使用配方法解决二次项系数不为1时所存在的不足。
三、总结
综上所 述，在解一元二次方程时，要善于观察已知方程的特点。
同一方程有时可使用两种或两种以上不同方法解 答。因而在方法选
择上，要遵循由易到难的顺序。即在遇到解一元二次方程题型时，
首先观察该 题是否可采用直接开方法解答，如若不行则依次考虑提
取公因式法、配方法、公式法。总之解法之选必为 最简单、快捷、
准确之道。
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