2020年全国高中数学联赛试题及详细解析 (3)

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
一、选择题
本题共有6小题， 每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正
确的，请将正确答案的代 表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出
的代表字母超过一个（不论是否写在括 号内），一律得0分。
1．设全集是实数，若
A
={
x
|
x?2
≤0}，
B
={
x
|
10
x
2?2
=
10
x
},则
A?B
是 （ ）
(A) {2} (B) {?1} (C) {
x
|
x
≤2} (D)
?


2．给定正数
p
,
q
,
a
,
b
,
c
，其中
p
?
q
，若
p
,a
,
q
是等比数列，
p
,
b
,
c,
q
是等差数列，则一元二
2
次方程
bx
?2
ax
+
c
=0 （ ）
(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根
3．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线
y?
(A)
54
x?
的距离中的最小值是
35
3434
11
(B) (C) (D) （ ）
170852030
4．设
?
?cos
4
?
55
3243 2
(A)
x
+
x
+
x
+
x
+1=0 (B)
x
?
x
+
x
?
x
+1=0
432432
(C)
x
?
x
?
x
+
x
+1=0 (D)
x
+
x
+
x
?
x
?1=0 < br>?isin
?
，则以
?
,
?
,
?
,
?
为根的方程是 （ ）
379

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
5．arcsin(sin2000?)=__________.
6．设
a
n
是(3?
x)
n
的展开式中
x
项的系数(
n< br>=2,3,4,…)，则
3
2
3
3
3
n
li m(????
)=________.
n??
aaa
23n
7．等 比数列
a
+log
2
3,
a
+log
4
3 ,
a
+log
8
3的公比是____________.
x
2
y
2
8． 在椭圆
2
?
2
? 1
(
a
＞
b
＞0)中，记左焦点为
F
，右顶点为< br>A
，短轴上方的端点为
B
.若
ab

该椭圆的离 心率是
5?1
，则∠
ABF
=_________.
2


【加试】（10月15日上午10∶00-12∶00）
一．（本题满分50分）
如图，在锐角三角形
ABC
的
BC
边上有两点
E
、
F
，满足∠
BAE
=∠
CAF
，作
FM
⊥
AB
，
FN
⊥
AC
（
M
、
N是垂足），延长
AE
交三角形
ABC
的外接圆于
D
．证 明：四边形
AMDN
与三角形
ABC
的面积相等．

A



M

N


B
C
E F


二．（本题满分50分）
D
设数列{
a
n
}和{
b
n
}满足，且 ?
a
n?1
?7a
n
?6b
n
?3
n?0,1,2,?
?
b?8a?7b?4
nn
?
n?1
证 明
a
n
（n=0，1，2，…）是完全平方数．

三．（本题满分50分）
有
n
个人，已知他们中 的任意两人至多通电话一次，他们中的任意
n
－2个人之间通电
k
话的次数相 等，都是3 次，其中
k
是自然数，求
n
的所有可能值．


















2000年全国高中数学联合竞赛试题答案

1.【答案】D
【解析】由
x?2?2
得x=2，故A={2}；由
10
2}.所以
A?B
=φ.

x
2
?2
?10
x
得< br>x
2
?x?2?0
，故B={-1，

3．【答案】C
【解析】如图所示，设BD=t，则OD=
3
t-1，从而B（
3
t -1，t）
22
满足方程
x?y?1
，可以得到t=
3
, 所以等边三角形，ΔABC的面积是
33
.

4．【答案】 A
【解析】由题意知pq=a
2
，2b=p+c,2c=q+b
?
b?
2p?q
3
，
c?
p?2q2p?qp?2q
3
2
3
22
≥
pq?pq
2
=pq=a .因为p≠q，故bc> a，方程
?
bc=
333
2
的判别式Δ= 4a -4bc<0，因此，方程无实数根.

5．【答案】B
【解析】设整点坐标(m,n)，则它到直线25x-15y+12=0的距离为
d?
25m?15n?12
25?(?15)
22
?
5(5m?3n)?12< br>534

由于m,n∈Z，故5(5m-3n)是5的倍数，只有当m=n=-1，时5(5m-3n)=-10 与12的和的
绝对值最小，其值为2，从而所求的最小值为
34
.
85

二、填空题（满分54分，每小题9分）
7．【答案】-20°
【解析】sin2000°=sin(5×360°+200°)=sin200°=-sin20°
故
a
rcsin(sin2000°)=
a
rcsin(-sin20°)= -
a
rcsin(sin20°)= -20°

8．【答案】18
【解析】由二项式定理知，
a
n? 2
n
?C
2
?3
，因此
3
n
a
?
3
2
?2
n
?1)
?18
?
?
1 1
?
?
n?1
?
n
?
?

nn(n
lim
?
?
3
2
?
3
3
???
3
n
?
?
18
?
1
?
n ??
?
?
a
2
a
=
3
a
n
?
?
lim
?
1?
?
=18.
n??
?
n
?

11．【答案】
2
3
?
a

24
12．【答案】28
【解析】
abcd
中恰有2个不中数字时，能组成C
4
= 6个不中数字
1111
abcd
中恰有3个不中数字时，能组成C
1
3
C
2
C< br>2
+
C
2
C
2
=12+4=16个不中数字
2
abcd
中恰有4个不中数字时，能组成P
3
3
=6个不中数字

所以，符合要求的数字共有6+16+6=28个


14．【答案】所求区间为[1,3]或[-2-
17
【解析】 化三种情况讨论区间[a,b].
(1) 若0
?
a13
]. < br>4
1
2
13
?
2b??a?
?
22
，解之得[ a, b ] = [ 1, 3 ],
?
113
?
2a? ?b
2
?
22
?
(2)若a <0 因此f (x)在x=0处取最大值2b在x=a或x=b处取最小值
1313
,b=.由于a<0,
24
113
2
1339
又f(b)=-() + =
?0

24232
2a.故2b=
1
2
13
a
+,
2
2
13
解得a=-2-
17
;于是得 [a,b]=[-2-
17
,].
4
故 f(x)在x=a处取最小值2a,即 2a=
(2) 当a?
0时，f(x)在[a,b] 上单调递增，故f(a)=2a, f(b)=2b,
13
1
2
13
1
a
+,2b= -
a
2
+.
22
22
1
2
13
由于方程x+2x-=0的两根异号，故满足a
?
b
?
0的区间不存在.
22
13
综上所述，所求区间为[1,3]或[-2-
17
].
4
即2a=-

15．【答案】所求条件为
2
11
+
2
=1.
2
ab
Q
R
-2
O
P
2
S
第15题 （必要性）
-2

又在Rt△POQ中，设点O到PQ的距离为h，则
1
1
1
=+=1,故得h=1
2
2
h
OP
OQ
同理，点O到QR，RS，SP的距离也为1，故菱形PQRS与C
0
外切.充分 性得证.
[注]对于给出
a?b?ab
，











2222
ab
a?b
22
=1等条件者，应同样给分.

2000年全国高中数学联合竞赛试卷答案
加试

二．【解析】
[证法一]：由假设得a
1
=4, b
1
= 4且当n
?
1时（2a
n+1
-1）+
3b
n?1
=(14a
n
+12b
n
-7)+
3
(8a
n+7b
n
-4)
=[(2a
n
-1)+
3b
n
](7+4
3
)
n?1
n
依次类推可得（2a
n
-1）+
3b
n
= (7+
43)
(2a
1
-1+
3b
1
)=(7+4
3)

1
11
nn
(7+4
3)
+(7+4
3)
+ .
2
44
11
2n
n2
由于 7
?
4
3
=（2
?
3)
，所以 a
n
=[(2+
3)
+(2-
3
)
]

22
n
同理（2a
n
-1+ ）-
3b
n
=(7+4
3)
从而 a
n
=
由二项式展开得 c
n
=
11
n
2k
k
nn?2k
(2+
3)
+(2-
3
)=< br>?
C
n

3

2
,
22
0?2k?n
显然C
n
为整数，于是a
n
为完全平方数.
[证法二]：由已知得a
n+1
=7a
n
+6b
n
-3= 7a
n
+6(8a
n-1
+7b
n-1
-4)-3=7a< br>n
+48a
n-1
+42b
n-1
-27 ,
由 a
n
=7a
n-1
+6b
n-1
-3 ,得 42b
n-1
=7a
n
-49a
n-1
+21 ,
从而 a
n+1
=7a
n
+48a
n-1
+7a< br>n
-49a
n-1
+21-27=14a
n
-a
n- 1
-6 .
也就是 a
n+1
=14a
n
-a
n-1
-6 .
设(a
n+1
-ka
n
+t)=p(a
n
-ka
n-1< br>+t) ……①②③④

?
p?k?14
?
则有
?
pk?1

?
t(1?p)?6
?
?
k?7?43?2?3
2
?
k?7?43?2?3
2
??
22
??
解得
?< br>p?7?43?2?3
或
?
p?7?43?2?3

?
t?3?23
?
t?3?23
??
??
?
?
?< br>?
?
?
?
?


三．【解析】显然n
?
5. 记n 个人为A
1
，A
2
， A
N
，
设A
1
通话的次数为m
1
, A
i
与

A
j
之间通话的数为y
ij
, l
?
i,j?n
.则

1
n
m
i
+m
j
– y
i . j =
?
m
s
-
3
k
= c . （*）
2
s?1
其中c是常数 ，l
?
i,j?n
.
根据（*）知，
m
i
?m
j
?(m
i
?m
s
)?(m
j
?m
s
)
=
y
i. s
?y
j.s
?
1 , l
?
i,j?n
.
?
m
i
?m
j
?1
, l
?
i,j?n

设 m
i
=max{m
s
,1
?s?n.
} ,m
j
= min{m
s,
1
?
s
?
n.} ,
则 m
i
+m
j
?
1.
若 m
i
+m
j
=1 ,则对于任意 s
?i,j,
1
?
s
?
n ,
都有(m
i
+m
s
-y
I ,s
)- (m
j
+m
s
-y
I ,s
)=1-(y
I ,s
– y
j ,s
)=0 , 即 y
I ,s
– y
j ,s
= 1
故 y
I ,s
=1 , y
j ,s
= 0 . s
?i,j,
1
?
s
?
n ,
因此 m
i
?
n -2 , m
j
?
1 . 于是 ，m
i
+m
j

?
n -3
?
2 .
出现矛盾 ，故 m
i
+m
j
=0 ，即 m
s
(1
?
s
?
n)恒为常数 。
根据 （*）知，y
I ,j
= 0 或 y
I ,j
= 1 。
若 y
I ,j
= 0 ,则 m
s
=0 , 1
?
s
?
n 。与已知条件矛盾 。

因此 ，y
I ,s
=1
?
m
s
=n-1 , 1
?
s
?
n . 所以
1
k
k
n(n-1)-(2n-3)=
3
, 即 (n-2)(n-3)=2
?3
.
2