全国高中数学联赛预赛试题(含详细答案)

全国高中数学联赛江西省预赛试题
一、选择题（每小题
6
分,共
36
分）
1
、若函数
f
?
x
?
?lg
?
ax
2
?4x?a? 3
?
的值域为
R
，则实数
a
的取值范围是（ ）.
A
、
?
4,??
?
；
B
、
?< br>0,4
?
；
C
、
?
0,4
?
；D
、
?
??,?1
?
U
?
4,??
?
．
x
2
y
2
a
?1
有公共点，则的取值
2
、设
a?b?1
，
?
b?0
?
，若直线
ax?by?2
和椭圆
?
62
b
22
范围是（ ）.
?
11
?
A
、
?
?,
?
；
B
、
?
?1,1
?
；
C
、
?
??,?1
?
U
?
1,??
?
；
D
、
?
?2,2
?
.
?
22
?
3
、四面体
ABCD
的六条棱长分别为
7,13,18,27,36 ,41
，且知
AB?41
，则
CD?
.

A
、
7
；
B
、
13
；
C
、
18
；
D
、
27
．
4
、若对所有实数
x
，均有
sin
k
x?sinkx?c os
k
x?coskx?cos
k
2x
，则
k?
（ ）.
A
、
6
；
B
、
5
；
C
、
4
；
D
、
3
．
5、设
a
n
?2?7
??
2n?1
，
b
n
是
a
n
的小数部分，则当
n?N
*
时，
a
n
b
n
的值（ ）．

A
、必为无理数 ；
B
、必为偶数；
C
、必为奇数；
D
、可为无理数或有理数 ．
6
、设
n
为正整数，且
3n?1
与
5n?1< br>皆为完全平方数，对于以下两个命题：
（甲）.
7n?13
必为合数；（乙） .
8
?
17n
2
?3n
?
必为两个平方数的和.
你的判断是（ ）
A.甲对乙错； B. 甲错乙对； C.甲乙都对； D.甲乙都不一定对.
二、填空题（每小题
9
分，共
54
分）
x
2y
2
?1
所截出的弦的中点恰为
P
，则直线
7
、过点
P
?
1,1
?
作直线
l
，使得它被椭圆?
94
l
的方程为 .
8
、设< br>x?R
，则函数
f
?
x
?
?x
2
? 1?
?
x?12
?
2
?16
的最小值为 . < br>四面体
ABCD
中，面
ABC
与面
BCD
成
60
0
的二面角，顶点
A
在面
BCD
上的射影
H< br>9
、
是
?BCD
的垂心，
G
是
?ABC的重心，若
AH?4
，
AB?AC
，则
GH?
．
10
、
sin20
0
?sin40
0
?si n80
0
?
.
11
、数列
?
a< br>n
?
满足：
a
1
?1
，且对每个
n?N*
，
a
n
,a
n?1
是方程
x
2?3nx?b
n
?0
的两根，

则
?
b< br>k
?
.
k?1
20
从前
2008个正整数构成的集M?
?
1,2,L,2008
?
中取出一个
k
元子集
A
，使得
A
中
12
、
任两数之和不 能被这两数之差整除，则
k
的最大值为 ．
三、解答题： < br>（
20
分）
AD
是直角三角形
ABC
斜边
B C
上的高，（
AB?AC
），
I
1
,I
2
分别是
13
、
?ABD,?ACD
的内心，
?AI
1
I
2
的外接圆
eO
分别交
AB,AC
于
E,F< br>，直线
EF,BC
交于
点
M
；
证明：
I< br>1
,I
2
分别是
?ODM
的内心与旁心．




（
20
分）设
x,y,z
为非负实 数，满足
xy?yz?zx?1
，证明：
14
、
1115
???
．
x?yy?zz?x2





（
20
分）对于
2n
元 集合
M?
?
1,2,L,2n
?
，若
n
元集
A?
?
a
1
,a
2
,L,a
n
?
，
15
、
B?
?
b
1
,b
2
,L,b
n
?
满足：
AUB?M,AIB??
，且
?
a
k
?
?
b
k
，则称
AUB
是集
M
的
k?1k?1
nn
一个“等和划分”（
AUB
与BUA
算是同一个划分）．
试确定集
M?
?
1,2,L,12
?
共有多少个“等和划分”．

全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
一、选择题（每小题
6
分,共
36
分）
1
、若函数
f
?
x
?
?lg
?
ax
2
?4x?a? 3
?
的值域为
R
，则实数
a
的取值范围是（ ）.
A
、
?
4,??
?
；
B
、
?< br>0,4
?
；
C
、
?
0,4
?
；D
、
?
??,?1
?
U
?
4,??
?
．
答案：
B
．
解：欲使f
?
x
?的值域为
R
，当使真数
ax
2
?4x?a?3
可取到一 切正数，故或者
a?0
；
或者
a?0
且4
2
?4a
?
a?3
?
?0，解得
0?a?4

x
2
y
2
a
?1
有公共点，则的取值
2
、设
a ?b?1
，
?
b?0
?
，若直线
ax?by?2
和 椭圆
?
62
b
22
范围是（ ）.
?
11
?
A
、
?
?,
?
；
B
、
?
?1,1
?
；
C
、
?
??,?1
?
U
?
1,??
?
；
D
、
?
?2,2
?
.
?
22
?
答：
C
．
解：将
y?
2?ax
代入椭圆方程并整理得，
?
3a
2
?b
2
?
x
2
?12ax?12?6b
2
?0
，
b2
因直线和椭圆有公共点，则判别式
?
12a
?
?4
?
3a
2
?b
2
??
12?6b
2
?
?0
，利用
a
2
?b
2
?1
，化简得
a
2
?b
2
，所以
a
a
?1
．即
?
?
??,?1
?
U
?
1,??
?
． < br>b
b
3
、四面体
ABCD
的六条棱长分别为
7,13 ,18,27,36,41
，且知
AB?41
，则
CD?
.

A
、
7
；
B
、
13
；
C
、
18
；
D
、
27
．
答案：
B
.
解：四面体中，除
CD
外，其余的棱皆与AB
相邻接，若长
13
的棱与
AB
相邻，不妨设
BC? 13
，据构成三角形条件，可知
AC?
?
7,18,27
?
，
?AC?36, ?BD?7
，
?
?
AD,CD
??
?
18,27
?
，于是
?ABD
中，两边之和小于第 三边，矛盾。
因此只有
CD?13
.另一方面，使
AB?41,CD?13
的四面体
ABCD
可作出，例如取
BC?7,AC?36,BD?18,AD ?27
.故选
B


4
、若对所有实数
x
，均有
sin
k
x?sinkx?cos
k
x?coskx?cos
k
2x
，则
k?
（ ）.

A
、
6
；
B
、
5
；
C
、
4
；
D
、
3
．
答：
D
.
解：记
f
?
x
?
? sin
k
x?sinkx?cos
k
x?coskx?cos
k2x
，则由条件，
f
?
x
?
恒为
0
，取
x?
得
sin
?
2
，
?
?
k
?
k
?
?
?
?1
?
，则
k
为奇数，设
k?2n?1
，上式成为
sin
?
n
?
?
?
??1
，因此
n
为偶
2
?
2
?
数，令
n?2m
，则
k?4m?1
，故选择支中只有
k ?3
满足题意．
5
、设
a
n
?2?7
??
2n?1
，
b
n
是
a
n
的小数部分，则当
n?N
*
时，
a
n
b
n
的值（ ）．

A
、必为无理数；
B
、必为偶数；
C
、必为奇数 ；
D
、可为无理数或有理数．
答：
C
．
解：令
u?2?7,v?2?7
，则
u?v?4,uv??3
，
u,v
是方 程
x
2
?4x?3
的两根，
则
u
2
?4 u?3,v
2
?4v?3
，所以当
n?2
时，
u
n
?4u
n?1
?3u
n?2
,v
n
?4v
n?1
?3v
n?2
，令
S
n
?u
n
?v
n
，则当
n?2
时，
S
n
?S
n?1?S
n?2
,S
0
?2,S
1
?4
，故所有< br>S
n
为偶数，
?
因
0?
?
7?2
?
ab?
?
7?2
?
7?2
2n?1
??
?7?2
?
2n?1
?u
2n?1
?v
2n?1
? S
2n?1
?2k
，
7?2
?
7?2
?
2 n?1
?2k?
?
?
7?2
2n?1
?
2n?1< br>，
2n?1
?1
，所以
2n?1
nn
?
?
?
7?2
?
?
2n?1
为
a
n
的 小数部分，即
b
n
?
?
7?2
，
2n?1
?3
2n?1
?
奇数．
6
、设
n
为正整数，且
3n?1
与
5n?1
皆为完全平方数，对于以下两个 命题：
（甲）.
7n?13
必为合数；（乙）.
8
?
17 n
2
?3n
?
必为两个平方数的和.
你的判断是（ ）
A.甲对乙错； B. 甲错乙对； C.甲乙都对； D.甲乙都不一定对.
答案:
C

解：设
3n?1?a
2
, 5n?1?b
2
，
a,b
为正整数；则
1，
7n?13 ?9
?
3n?1
?
?4
?
5n?1
?
?< br>?
3a
?
?
?
2b
?
?
?
3a?2b
??
3a?2b
?
…
○
22
由此知，< br>3a?2b
为正整数，且
3a?2b?1
，因为若
3a?2b?1，则
27n?9?
?
3a
?
?
?
2b?1< br>?
?4b
2
?4b?1
，即
27n?4
?
n
2
?n?2
?
，则
4n
，记
22
1得，
n?4k
，得
5n?1?20k?1
不为平方数，矛盾！所以
3a? 2b?2
，故由
○
7n?13
为合数；又因为
8
?
17n
2
?3n
?
?
?
?
?
3n?1?
?
?
5n?1
?
?
?
?
?
4
?
3n?1
?
?
?
5n?1
?
?
?

22
?
2
?
22
?
?
?< br>a?b2a?b?2a?b
??
??
?
?
ab
?，故选
C
.（例如
65
是上述
n
之一）.
? ?
??
2
2
2

二、填空题（每小题
9
分，共
54
分）
x
2
y
2
?1
所截出 的弦的中点恰为
P
，则直线
7
、过点
P
?
1,1< br>?
作直线
l
，使得它被椭圆
?
94
l
的方程 为 .
答案：
4x?9y?13
．
解：设直 线
l
的方程为y?k
?
x?1
?
?1，代入椭圆方程，整理 得，
?
9k
2
?4
?
x
2
?18k?
1?k
?
x?9k
2
?18k?27?0
，设其两根 为
x
1
,x
2
，则
即
?
x
1?x
2
?1
，
2
18k
?
1?k
?
4
4
?2,k??
，所以直线的方程为
y??
l
?
x?1
?
?1
，即
4x?9y?13

2
9k?49
9
8
、设
x?R
，则函数
f
?
x
?
?x
2
?1?
?
x?12
?
CA
2
?16
的最小值为 .
P
B
答案：
13
.
解：如图，取
A
为数 轴原点，
AB?12
，
作
AB
垂线
AC,BD
，使
AC?1,BD?4
，在数轴上取点
P
，使
再
D
E
则
f
?
x
?
?CP?DP
，当
C,P, D
AP?x
，
线时，
f
值最小，此时
f
min?CD?AE?12
2
?5
2
?13
.
共
四 面体
ABCD
中，面
ABC
与面
BCD
成
600
的二面角，顶点
A
在面
BCD
上的射影
H
9
、
是
?BCD
的垂心，
G
是
?ABC
的重 心，若
AH?4
，
AB?AC
，则
GH?
．
4
答案：
21
．
9
1
解：设面
AHD< br>交
BC
于
F
，则因
AB?AC
，故
G
在
AF
上，且
GF?AF
，
3
?AFH?60
0
，于是
AF?
AH8148
?FH?AF?GF?
，，，在三角形
GFH
0
sin602
3333
中，由余弦定理得
GH?< br>4
21

9
10
、
sin20
0
? sin40
0
?sin80
0
?
.
答案：
3
．
8

解：
8sin20
0
?sin40
0
?sin80
0
?4
?
cos2 0
0
?cos60
0
?
sin80
0

? 4sin80
0
cos20
0
?2sin80
0
?2
?
sin100
0
?sin60
0
?
?2sin800
?2sin60
0
?3
，
所以
sin20
0
?sin40
0
?sin80
0
?
3
．
8

11
、数列
?
a
n
?
满足：
a
1
?1
，且对每个
n?N
*
，
a
n
,a
n?1
是方程
x
2
?3nx?b
n
?0
的两根，
则
?
b
k
?
.
k?1
20
答：
6385
．
解：对每个
n?N< br>*
，
a
n
?a
n?1
??3n
……
○
1，
a
n
a
n?1
?b
n
……
○
2，
将
○
1写作
a
n?1
?3
?
n?1
?
33n3
?
3n3
?
?
?
???
?
a
n
??
?
，因此
?
a
n
??
?
是一个公比为
?1
的等
242 4
?
24
?
?
?
比数列，故
a
n
?
3
?
2n?1
?
3n3
n?1
7
n? 1
7
?
?
?1
?
?
， ，即
a
n
??
??
?
?1
?
44
244
20
3
?
2n?1
?
9
2
29
n
7
n
21
a
n?1
???
?
?1
?
?
；于是
b
n
?a
n
a
n?1
?n??
?
?1
?
?
；
?
b
k
?6385
．
44
488
k?1
从前
2008
个正整数构成的集
M?
?
1,2,L,2008
?
中取出一个
k
元子集
A
，使得
A
中
12
、
任两数之和不能被这两数之差整除， 则
k
的最大值为 ．
答案：
670
. 解：首先，我们可以取
670
元集
A?
?
1,4,7,L,20 08
?
，
A
中任两数之和不能被
3
整
除，而其差是
3
的倍数；其次，将
M
中的数自小到大按每三数一段，共分为
670
段：
1,2,3,4,5,6,7,8,9,LL,2005,2006,2007,2008 ,

从
A
中任取
671
个数，必有两数
x,y取自同一段，则
x?y?1
或
2
，注意
x?y
与
x?y
同奇偶，于是
?
x?y
??
x?y
?
．因 此
k
的最大值为
670
.
三、解答题：
（
20
分）
AD
是直角三角形
ABC
斜边
BC
上的高，（
AB?AC
），
I
1
,I
2
分别是
13< br>、
?ABD,?ACD
的内心，
?AI
1
I
2
的外接圆
eO
分别交
AB,AC
于
E,F
，直线
EF,BC
交于
点
M
；

证明：
I
1
,I
2
分别是
?ODM
的内心与旁心．
证：如图，连< br>DI
1
,DI
2
,BI
1
,AI
2
,I
1
F
，由
?EAF?90
0
，则圆心
O
在
EF
上，设直径
EF
交
AD
于
O
?< br>，并简记
?ABC
的三内角为
A,B,C
，由
?I
1
BD?
??I
2
AD,?I
1
DB?45
0
??I
2
DA
，

A
B1
??DAC

22
DI
1
DB
?
所以
?DBI
1
∽
?DAI
2
，得，且
DI
2
DA
?I
1
DI
2
?90
0
??BDA
，故
?I
1
DI
2
∽
?BDA
，
M
F
O
E< br>I
1
I
2
BD
C
而
?DI
1
I
2
?B,?AI
1
D?90
0
?
B
，
2
B
，
2
注意
?AI
1
D??AI1
F??FI
1
I
2
??DI
1
I
2
，
?AI
1
F??AEF,?FI
1
I
2
??FAI
2
?
所以
?AEF?90
0
?B?C??DAB
，因此
O
?
E?O
?
A
，同理得
O
?
F?O
?
A
，故
O
?
与
O
重
合，即圆心
O
在
AD
上，而
?EOD??OEA??OAE ?2?OAE?2C
，
?EOI
1
?2?EAI
1
??B AD?C
，所以
OI
1
平分
?DOM
；
同理得< br>OI
2
平分
?DOF
，即
I
1
是
? ODM
的内心，
I
2
是
?ODM
的旁心．
证二： 如图，因为
?BAC?90?
，故
?AI
1
I
2
的 外接圆圆心
O
在
EF
上，连
OI
1
,OI
2,
I
1
D,I
2
D
，
则由
I
1
,I
2
为内心知，
A
F
O
E
I
1
M
H
I
2
?I
1
AI
2
?45 ?
， 所以
?I
1
OI
2
?2?I
1
A I
2
?90???I
1
DI
2
，
于是
O,I
1
,D,I
2
四点共圆，所以
BD< br>C
?I
2
I
1
O??I
1
I
2O?45?
，又因
?I
2
DO??I
2
I
1< br>O?45???I
2
DA
，因此点
O
在
AD
上，即
O
为
EF
与
AD
的交点．设
AD
与
eO
交于另一点
H
，而由
?EAI
1
??I
1
AH
2
，
?
,HF
?
的中点，所以
?EOI??DOI
，
?HAI
2
??FAI
2
，可知，
I
1
,I
2
分别为
EH
11
?DOI
2
??FOI
2．因此，点
I
1
,I
2
分别为
?OMD
的内心 与旁心．
（
20
分）设
x,y,z
为非负实数，满足
xy ?yz?zx?1
，证明：
14
、

1115
???
．
x?yy?zz ?x2
简证：为使所证式有意义，
x,y,z
三数中至多有一个为
0
；
据对称性，不妨设
x?y?z?0
，则
x?0,y?0,z?0
，对正数
x,y
作调整，
由于
11
??
y?zz?x< br>2
2
?
y?z
??
z?x
?
?
2< br>1?z
2
，取等号当且仅当
x?y
，
1?x
2此时条件式成为
x?2xz?1
，则
x?1
，且有
z?
，于是
2x
11112
14x
????
，
??
2
2
x?yy?zz?x2x
2x1?x
1?z
只要证
14 x5
23
2
1?9x?5x?5x?0
，即，也即
??
1? x5x?4x?1
?
?0
，此为显
??
?
2
2x1 ?x2
然，取等号当且仅当
x?y?1,z?0
，故命题得证．
详证：为使 所证式有意义，
x,y,z
三数中至多有一个为
0
；据对称性，不妨设
x?y?z?0
，则
x?0,y?0,z?0,xy?1
；
1?x
2
?
1
?
、当
x?y
时，条件式成为
x?2xz ?1
，
z?
2x
，
x
2
?1
，而
0
2
11121214x
???2x?????
，
x?y y?zz?xz?x2x
1?x
2
2x1?x
2
?x
2x< br>只要证，
14x5
23
2
1?9x?5x?5x?0
，即，也 即
??
1?x5x?4x?1
?
?0
，此为
??
?
2
2x1?x2
显然；取等号当且仅当
x?y?1,z?0
． ?
2
?
、再证，对所有满足
xy?yz?zx?1
的非负实数< br>x,y,z
，皆有
0
1115
???
．显然，三数
x,y,z
中至多有一个为
0
，据对称性，
x?yy?zz?x2
仍设
x?y?z?0
，则
x?0,y?0,z?0,xy?1
，令
x ?cotA,y?cotB
，
A,B
为锐角，以

A,B
为内角，构作
?ABC
，则
cotC??cot
?
A?B
?
?
1?cotAcotB1?xy
?

cotA?cotBx?y
?z?0
，于是
C?90
0
，且由
x?y?z?0
知，
cotA?cotB?cotC?0
；于是
A?B?C?90
0
，即
?ABC
是一个非钝角三角形．
下面采用调整法，对于任一个以
C
为最大角的非钝角三角形
ABC
，固定最大 角
A?B
，且设
C
，将
?ABC
调整为以
C
为顶角的等腰
?A
?
B
?
C
，其中
?A
?
??B
?
?
2
t?cot
111
A?BC
??
，据
?
1
0
?
知，
?tan
，记
f
?
x,y,z
?
?
x?yy?zz?x
22f
?
t,t,z
?
?
5
．
2
11112
????
……
○
1．
x?yy? zz?x2tt?z
今证明，f
?
x,y,z
?
?f
?t,t,z
?
．即
?
11
??
112
?
即要证
?
2
?
?
?
?
??
?
?0
……
○
x?y2ty?zz?xt?z
????
先证
x?y?2t
……
○
3，即证
cotA?cotB?2cot
A?B
，
2
A?B
sin
?
A?B
?
2
，此即
sin
2
A?B
?sinAsinB
，也即 即
?
A?B
2
sinAsinB
sin
2
2cos
1?cos
?
A?B
?
?sinAsinB
，即
cos
?
A?B
?
?1
，此为显然．
由于在?A
?
B
?
C
中，
t
2
?2tz?1
，则
2
?
t?z
?
2
?
t?z
?
2
??
；而在
?ABC
中，
t?z
?
t ?z
?
2
1?z
2
11x?y?2zx?y?2z
???< br>，因此
○
2式成为
y?zz?x
?
y?z
??z?x
?
1?z
2
?
x?y?2t
?
?
?
只要证，
??
11
??0
……
○
4， < br>?
2
?
2t
?
x?y
?
??
1?z
11
2
??0
……
5
，
即证 ，注意
○
3式以及
2tx?y?1?z
??
○
2
1?z2t
?
x?y
?
2
?
1?t
2
?< br>1?t
2
42
2
22
z?
，只要证
4t?1 ?
?
6
?
，即
15t?1?2t
，也即
t
?
15t?2
?
?1
…
○
2t
2t
??

由于最大角
C
满足：
60
0
?C?900
，而
t?cot
1
A?BC
?t?1
，所以
?tan
，则
22
3
1
?
1
?
t
2
?
15t
2
?2
?
?
?
15??2< br>?
?1
，故
○
6成立，因此
○
5得证，由
○
3及
○
5得
○
4成立，从
3
?
3
?
而
○
1成立，即
f
?
x,y,z
?
?f
?
t,t,z
?
，因此本题得证．
（
20
分）对 于
2n
元集合M?
?
1,2,L,2n
?
，若
n< br>元集A?
?
a
1
,a
2
,L,a
n
?
，
15
、
B?
?
b
1
,b
2
,L,b
n
?
满足：
AUB?M,AIB??
，且
?
a
k
?
?
b
k
，则称
AUB
是 集
M
k?1k?1
nn
的一个“等和划分”（
AUB
与BUA
算是同一个划分）．
试确定集
M?
?
1,2,L,12
?
共有多少个“等和划分”．
解一：不妨设
12?A
，由于当集< br>A
确定后，集
B
便唯一确定，故只须考虑集
A
的
个数 ，设
A?
?
a
1
,a
2
,L,a
6
?
，
a
6
为最大数，由
1?2?L?12?78
，则 < br>a
1
?a
2
?L?a
6
?39
，
a
6
?12
，于是
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?a
5
?27
，
故
A
1
?
?
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
?
中有奇数个奇数．
?
1
?< br>、若
A
1
中有
5
个奇数，因
M
中的六个奇数 之和为
36
，而
27?36?9
，则
A
1
??
1,3,5,7,11
?
，这时得到唯一的
A?
?
1 ,3,5,7,11,12
?
；
?
2
?
、若
A< br>1
中有
3
个奇数、两个偶数；用
p
表示
A
1
中这两个偶数
x
1
,x
2
之和；
q
表示
A
1
中这三个奇数
y
1
,y
2
,y
3
之和，则
p?6,q?9
，于是
q?21,p?18
．共 得
A
1
的
24
种
情形．
其中，
?
1
0
?
、当
p?6,q?21
，则
?
x
1
,x
2
?
?
?
2,4
?
，
?< br>y
1
,y
2
,y
3
?
?
?
1,9,11
?
,
?
3,7,11
?
，
?
5,7,9
?
；可搭配成
A
1
的
3
个情形； < br>?
2
?
、当
p?8,q?19
，则
?
x,x
?
?
?
2,6
?
，
?
y,y,y
?
?
?
1,7,11
?
,
?
3,5,11
?
,
?
3,7,9
?
；可搭
0
12123
配成
A
1
的
3
个情形；
?
3
?
、当
p?10,q?17
，则
?
x,x
?
?
?2,8
?
,
?
4,6
?
，
?
y,y, y
?
?
?
1,5,11
?
,
?
1,7,9
?
，
0
12123

?
3,5,9
?
，可搭配成
A
1
的
6
个情形；
当
p? 12,q?15
，则
?
x,x
?
?
?
2,10?
,
?
4,8
?
，
?
y,y,y
?< br>?
?
1,3,11
?
,
?
1,5,9
?，
?
3,5,7
?
，
?
4
?
、
0
12123
可搭配成
A
1
的
6
个情形； ?
5
?
、当
p?14,q?13
，则
?
x,x
?
?
?
4,10
?
,
?
6,8
?
，
?
y,y,y
?
?
?
1,3,9
?,
?
1,5,7
?
，可搭配
0
12123
成< br>A
1
的
4
个情形；
?
6
?
、当< br>p?16,q?11
，则
?
x,x
?
?
?
6 ,10
?
，
?
y,y,y
?
?
?
1,3, 7
?
；
0
12123
可搭配成
A
1
的
1
个情形；
?
7
?
、当
p?18,q?9
，则
?
x, x
?
?
?
8,10
?
，
?
y,y,y?
?
?
1,3,5
?
；
0
12123
可搭配成
A
1
的
1
个情形．
?
3
?
、若
A
1
中有一个奇数、四个偶数，由于< br>M
中除
12
外，其余的五个偶数和
2?4?6?8?10?30
，从中去掉一个偶数，补加一个奇数，使
A
1
中五数之和为
27
， 分
别得到
A
1
的
4
个情形：
?
7,2,4 ,6,8
?
,
?
5,2,4,6,10
?
,
?3,2,4,8,10
?
,
?
1,2,6,8,10
?
．
综合以上三步讨论，可知集
A
有
1?24?4?29
种情形，即
M
有
29
种“等和划分”．
解二：元素交换法，显然
?
a
i
?
?
b
i
?39
，恒设
12 ?A
；
i?1i?1
66
?
1
?
、首先注意极端 情况的一个分划：
A?
?
1,2,3,10,11,12
?
,B?< br>?
4,5,6,7,8,9
?
，显
0
00
然数组?
1,2,3
?
与
?
10,11,12
?
中， 若有一组数全在
A
中，则另一组数必全在
A
中；
以下考虑
10,11
两数至少一个不在
A
中的情况，为此，考虑
A
0
,B
0
中个数相同且和数相
等的元素交换：
?
2
?
、
?
10,1
?
?
?
5,6
?
,
?
4,7
?
；
?
10,2
?
?
?
5,7
?
,
?
4,8
?
；
?
10,3< br>?
?
?
6,7
?
,
?
5,8
?,
?
4,9
?
；
0
?
10,2,3
?
?
?
4,5,6
?
；共得到
8
个对换；
?
3
?
、
?
11,1
?
?
?
5 ,7
?
,
?
4,8
?
；
?
11,2
?
?
?
6,7
?
,
?
5,8
?
,
?
4,9
?
；
?
11,3
?
?
?
6,8
?
,
?
5,9
?
；
0
?
11,1,3
?
?
?
4,5,6
?
；
?
11,2,3
?
?
?
4,5,7
?
；共得到
9
个对换；

?
4
?
、
?
10, 11,1
?
?
?
6,7,9
?
,
?
5,8 ,9
?
；
?
10,11,2
?
?
?
6,8 ,9
?
；
?
10,11,3
?
?
?
7,8 ,9
?
；
0
?
10,11,1,2
?
?
?
4,5,7,8
?
,
?
4,5,6,9
?
；?
10,11,1,3
?
?
?
4,6,7,8
?
,
?
4,5,7,9
?
；
?
10,11,2,3
?
?
?
5,6,7,8
?
,
?
4,6,7,9< br>?
,
?
4,5,8,9
?
；共得到
11
个对 换．每个对换都得到一个
新的划分，因此，本题共得
1?8?9?11?29
种等和划 分．