全国高中数学联赛试题第一试

全国高中数学联赛试题
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1. 已知△ABC，若对任意
t?R
，
BA?tBC?AC
，则△ABC一定为
A．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 （ ）
2
2. 设
log
x
(2x?x?1)?log
x
2 ?1
，则
x
的取值范围为
A．
?x?1
B．
x?
1
2
1

x?1
D．
0?x?1
【答】（ ）
,且 x?1
C．
2
3. 已知集合
A?x5x?a?0
，
B?x6x?b?0< br>,
a,b?N
，且
A?B?N?
?
2,3,4
?，
则整数对
?
a,b
?
的个数为
A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 （ ）
4. 在直三棱柱
A
1
B
1
C
1
?ABC
中，
?BAC?
????
?
2
，AB?AC?AA
1
?1
. 已知Ｇ与Ｅ分别为
A
1
B
1
和
CC
1
的 中点，Ｄ与Ｆ分别为线段
AC
和
AB
上的动点（不包括端点）. 若
GD?EF
，则线段
DF
的长度的取值范围为
A.
?
（ ）
5. 设
f(x)?x
3
?log
2
x?x
2
?1
，则对任意实数
a,b
，
a?b? 0
是
f(a)?f(b)?0
的
A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答】 （ ）
6. 数码
a
1
,a
2
,a
3
,
A．
(10
?
1
??
1
?
?
1
?
1, 2
D.
?
, 1
?
B.
?
, 2
?
C.
?
, 2
?
【答】
?
5
??
55
????
?
?
?< br>,a
2006
中有奇数个9的2007位十进制数
2a
1
a< br>2
a
3
a
2006
的个数为
1
2
2006
1
?8
2006
)
B．
(10
2006
?8
2006
)
C．
10
2006
?8
2006
D．
10
2006
?8
2006
【答】
2
（ ）
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7. 设
f(x)?sinx?sinxcosx?cosx
，则
f(x)
的值域是 。
8. 若对一切
?
?
R，复数
z?(a?cos
?)?(2a?sin
?
)i
的模不超过2，则实数
a
的取值范围
为 .
44
x
2
y
2
??1
的左右焦点 分别为
F
1
与
F
2
，点P在直线l：
x?3y?8 ?23?0
9. 已知椭圆
164
上. 当
?F
1
PF2
取最大值时，比
PF
1
PF
2
的值为 .

10. 底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为
1
cm 的实心铁球，四个球两两相切，
2
其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注
水 cm
3
.
11. 方程
(x
2006
?1)(1?x
2
?x
4
??x
2004
)?2006x
2005
的实数解的个数为 .
12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 .
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13. 给定整数
n?2
，设
M
0
(x
0
,y
0
)
是抛物线
y?nx?1
与直线
y?x
的一个交点. 试证
明对于任意正整数
m
，必存在整数
k?2
，使
(x
0
,y
0
)
为抛物线
y?kx?1
与直线
mm2
2
y?x
的一个交点.













14. 将 2006表示成5个正整数
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
之和. 记
S?
（1）当
x
1< br>,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
取何值 时，S取到最大值；
（2）进一步地，对任意
1?i,j?5
有
x
i
?x
j
?2
，当
x
1
,x
2
, x
3
,x
4
,x
5
取何值时，S取到
最小值. 说明理由.









1?i?j?5
?
x
i
x
j
. 问：

1nn?1
2
15. 设
f(x)?x?a
. 记
f(x )?f(x)
，
f(x)?f(f(x))
，n?2,3,
，
1
??
M?a?R对所有正整数 n， f
n
(0)?2
. 证明：
M?
?
?2,
?
.
4
??
??



















参考答案

一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
1.【答】 （ C ）【解】令
?ABC?
?
，过A作
AD?BC
于D。由
BA?tBC?AC
，
推 出
2
BA?2tBABC?tBC?AC
2
22
22
2< br>2
22
,令
t?
BABC
BC
2
，代入上式 ，得
2
BA?2BAcos
?
?cos
?
BA?AC，即
BAsin
?
?AC
2
2
, 也即
BAsin
?
?AC
。从而有
AD?AC
。由此可得
?ACB?
?
2
。

2.【答】（ B ）【解】因为
?
?
x?0,x?1
1
，解得
x?,x?1
. 由
2
2
?
2x?x?1?0

log
x
(2x
2
?x?1)?log
x
2 ?1 ?log
x
(2x
3
?x
2
?x)?log
x2
?
0?x?1

?
?
32
?
2x?x?x?2
x?1
?
解得
0?x?1
；或
?
3
解得
x?1
，所以
x
的取值范围为
2
?
2x?x?x?2
1
x?, 且 x?1
.
2
3.【答】 （ C ）【解】
5x?a?0
?x?
ab
；
6x?b?0
?x?
。要使
56
?
b
1??2
?
2
?
6?b?1
?
6
11
，则，即。所 以数对
?
a,b
?
共有
C
6
C
5
?30
。
A?B?N?2,3,4
??
?
a
?
0?a?25
?
2
?
4??5
?
5
?
4.【答】 （ A ）【解】建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为
ｘ
轴，ＡＣ 为
ｙ
轴，Ａ
Ａ
１
为ｚ轴，则
F(t
1
,0 ,0)
（
0?t
1
?1
），
E,10,()
11< br>，
G(,0,1)
，
D(0,t
2
,0)
（
0?t
2
?1
）。
22
所以
EF?(t
1
,?1,?)
，
GD?(?,t
2
,?1)
。因为
GD?E F
，所以
t
1
?2t
2
?1
，由此推出
1
2
1
2
0?t
2
?
2
2
11
2
22
。又
DF?(t
1
,?t
2
,0)
，
DF?t
1
?t
2
?5t
2
?4 t
2
?1?5(t
2
?)?
，
55
2
1< br>?DF?1
。
5
从而有
5.【答】 （ A ）【解】显然
f(x)?x
3
?log
2
x?x
2
?1
为奇函 数，且单调递增。于
是
若
a?b?0
，则
a??b
，有< br>f(a)?f(?b)
，即
f(a)??f(b)
，从而有
f(a)? f(b)?0
.
反之，若
f(a)?f(b)?0
，则
f(a)? ?f(b)?f(?b)
,推出
a??b
，即
a?b?0
。
6. 【答】（ B ）【解】出现奇数个9的十进制数个数有
2006k
??
C
2006
9
2006?k
以及
k?0
20 06
?
?
A?C
1
2006
9
2005
? C
3
2006
9
2003
??C
2005
2006
9
。又由于
(9?1)
(9?
2006
2006k
2006
k?0
1)?
?
C
k006
?(
k
1
?
)
2
，从而得
9

1
2005
?C
2006
9?(10
2006
?8
2006
)
。
2
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
11
244
7.【解】
f(x)?sinx?sinxcosx?cosx ?1?sin2x?sin2x
。令
t?sin2x
，则
22
11 911919
f(x)?g(t)?1?t?t
2
??(t?)
2
。 因此
ming(t)?g(1)???0,

?1?t?1
22822824
19199
maxg(t)?g(?)??0?
。 即得
0?f(x)?
。
?1?t?1
2 8288
13
A?C
2006
9
2005
?C
20 06
9
2003
?
8. 【解】依题意，得
z?2

?(a?cos
?
)?(2a?sin
?
)?4

22
?2a(cos
?
?2sin
?
)?3?5a
2
??25asin(
?
?
?
)?3?5a
2
（
?
?arcsin
1
）（对任
5
意实数
?
成立）
?25a?3?5a
2

?a?
5
. 故
a
的取值范围为
5
?
55
?
?,

??
。
5
??
5
9. 【解】 由平面几何知，要使
?F
1
PF
2
最大，则过
F
1
,F
2< br>，P三点的圆必定和直线l相切于
P点。设直线l交x轴于A
(?8?23,0)
，则
?APF
1
??AF
2
P
，即
?APF1
?AF
2
P
，即
PF
1
AP
2
（1），又由圆幂定理，
AP?AF
1
? AF
2
（2），而
F
?
F
2
(23,0)
，
1
(?23,0)
，
PF
2
AF
2
A< br>(?8?23,0)
，从而有
AF
1
?8
，
AF2
?8?43
。代入（1），（2）得
PF
1
?
PF< br>2
AF
1
8
??4?23?3?1
。
AF
2
8?43
10. 【解】设四个实心铁球的球心为
O
1
,O
2
,O
3
,O
4
，其中
O
1
,O
2
为下层两球的球心，
A,B,C,D
分别为四个球心在底面 的射影。则ABCD是一个边长为
3
2
的正方形。所以注水
2
212
24
?
1
?
)
?
。 高为
1?
。故应注水
?
(1?)?4?
?
??
＝
(?
232
23
?
2
?
11.【解】
(x
2006< br>?1)(1?x
2
?x
4
???x
2004
)?20 06x
2005

?(x?
1
x
2005
)(1? x
2
?x
4
?
?x
2005
?
?x
2004
)?2006

1
x
2005
?
1x
2003
?
x
?
2001
1
?
1< br>?2006

x
?x?x
3
?x
5
?

111
?2006?x??x
3
?
3
??x
2005
?
2005
?21003?2006

xxx
1
3
11
2005
要使等号成立，必须
x?,x?
3
,,x?
2005
，即
x??1
。
xxx
但是
x?0
时，不满足原方程。所以
x?1
是原方程 的全部解。因此原方程的实数解个
数为 1 。
12. 【解】第4次恰好取完所有红球的概率为
2
?
9
?
18291?
8
?
21
?
??
??????
??
??
=0.0434.
10
?
10
?
101010101 0
?
10
?
1010
三. 解答题（本题满分60分，每小题20分）
n?n
2
?4
13. 【证明】 因为
y?nx?1
与
y?x
的交点为
x
0
?y
0
?
.显然有
2
2
22
x
0
?
1
?n
。…（5分）
x
0
mm
2
m
若
(x
0
,y
0
)
为抛物线
y?kx?1
与直线
y?x
的一个交点，则
k?x
0
?
（10分 ）
记
k
m
?x
0
?
m
1
. …
m
x
0
11
k?k(x?)?k
m?1
?nk< br>m
?k
m?
，，则
m?1m01

(m?2)
（13.1）
x
0
m
x
02
由于
k
1
?n
是整数，
k
2
?x< br>0
?
11
22
?(x?)?2?n?2
也是整数，所以根据数 学归纳
0
2
x
0
x
0
m
法，通过（13. 1）式可证明对于一切正整数
m
，
k
m
?x
0
?< br>1
是正整数. 现在对于任意正
x
0
m
整数
m
，取
k?x
0
?
m
1
x
0
m
， 使得
y
2
?kx?1
与
y?x
的交点为
(x
0
,y
0
)
. ………………… （20分）
14. 【解】 （1） 首先这样的S的值是有界集，故必存在最大值与最小值。 若
mm
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
?x< br>5
?2006
, 且使
S?
1?i?j?5
?
x< br>i
x
j
取到最大值，则必有
………（5分） (*)
x
i
?x
j
?1,

(1?i,j?5

)
?
?x
1
?1
，< br>x
2
?
?x
2
?1
,
x
i
?
?x
i
事实上，假设（*）不成立，不妨假设
x
1
?x< br>2
?2
。则令
x
1
(
i?3,4,5
) < /p>

?
?x
2
?
?x
1
?x
2< br>，
x
1
?
?x
2
?
?x
1
x
2
?x
1
?x
2
?1?x
1
x
2
。将S改写成 有
x
1
S?
同时有
1?i?j?5
?

x
i
x
j
?x
1
x
2
?
?
x
1
?x
2
??
x
3
?x
4
?x
5
?
?x
3
x
4
?x
3
x
5
?x
4
x
5

?
x
2
??(x
1
?
?x
2
?
)
?
x
3
?x
4
?x
5
?
?x
3
x
4< br>?x
3
x
5
?x
4
x
5
S
?
?x
1
。于是有
?
x
2
?
?x
1
x
2
?0
。
S
?
?S?x
1
这 与S在
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
时取到最大值矛盾。所以必有
x
i
?x
j
? 1,

(1?i,j?5)
. 因此当
x
1
?40x2x< br>3
?
2
?,x
4
?x
取
?4
到0
最
1
大
值。 ……………………（10分）
（2）当
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
?x
5
?2006
且
x
i
?x
j
?2
时，只有
（I） 402， 402， 402， 400， 400；
（II） 402， 402， 401， 401， 400；
（III） 402， 401， 401， 401， 401；
三种情形满足要求。 ……………………（15分）
而后面两种情形是在第一组情形下作
x
i
?< br>?x
i
?1
，
x
?
j
?x
j
?1
调整下得到的。根据上一
小题的证明可以知道，每调整一次，和式
S?
1?i?j?5
?
取
x
i
x
j

变大。 所以在
x
1
?x
2
?x
3
?402,x
4
?x
5
?400
情形到最小
值。 …………………（20分）
15. 【证明】（１）如果
a??2
，则
f( 0)?|a|?2
，
a?M
。 ………………………
（5分）
1
1
nn?12
1
，由题意
f(0)?a
，f(0)?(f(0))?a
,
n?2,3,
. 则
4
111
n1
① 当
0?a?
时，
f(0)?
（
?n?1
）. 事实上，当
n?1
时，
f(0)?a?
,
422
设
n?k?1
时成立（
k?2
为某整数），则对
n?k
，
（２）如果
?2?a?
?
1
?
11
f
k
( 0)?f
k?1
(0)?a?
??
??
.
?
2
?
42
2
2
② 当
?2?a?0< br>时，
f(0)?a
（
?n?1
）.事实上，当
n?1
时，
f(0)?a
, 设
n
1
n?k?1
时成立（
2
k?2
为某整数），则对
n?k
，有
?|a|?a?f
k
(0)?
?
f
k?1
(0)
?
?a?a
2
?a
.注意到 当
?2?a?0
时,总有
a
2
??2a
，即
1
??
a
2
?a??a?|a|
. 从而有
f
k
(0)?|a|
.由归纳法，推出
?
?2,
?
?M
。 ……………
4
??

（15分）
（3）当
a?
11
n
时，记
a
n
?f(0)
，则对于任意
n? 1
，
a
n
?a?
且
44
。对于任意
2a
n?1
?f
n?1
(0)?f(f
n
(0))?f( a
n
)?a
n
?a
n?1
，
1111
2< br>a
n?1
?a
n
?a
n
?a
n
?a ?(a
n
?)
2
?a??a?
, 则
a
n?1
?a
n
?a?
。 所以，
244411
2?a
。当时，
a
n?1
?a?a
n?1
?a?n(a?)a?n(a?)?a?2?a?a?2
，即
n?
1n?1
4
a?
1
4
f
n?1
(0)?2
。因此
a? M
。综合（１）（
M?
?
?
?
?2,
1
?
4
?
?
。 …………………………（20分）
4
）（），我们有２３