高中数学教师竞聘上岗演讲稿-高中数学单元导学案
一、选择题
本题共有6小题,每题均给出(A)、(B)、(C)、(D)
四个结论,其中有且仅有一个是
正确的,请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得6分
;不选、选错或
选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分。
1. 给定
公比为
q
(
q
?1)的等比数列{
a
n
},设b
1
=
a
1
+
a
2
+
a3
,
b
2
=
a
4
+
a
5<
br>+
a
6
,…,
b
n
=
a
3
n
?
2
+
a
3
n
?
1
+
a
3
n
,…,
则数列{
b
n
}【答】( )
(
A
) 是等差数列 (
B
)
是公比为
q
的等比数列
3
(
C
)
是公比为
q
的等比数列 (
D
) 既非等差数列也非等比数列
2. 在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有3名选手各比赛了2场
之
后就退出了,这样,全部比赛只进行了50场。那么,在上述3名选手之间比赛的场
数是
【答】( )
(
A
)0 (
B
)1
(
C
)2 (
D
)3
2
3. 已知
点
A
(1,2),过点(5,?2)的直线与抛物线
y
=4
x
交于另外两点
B
,
C
,那么,△
ABC
是
(
A
) 锐角三角形 (
B
) 钝角三角形
(
C
) 直角三角形 (
D
) 不确定 【答】( )
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上。
7. 已知正整数
n
不超过2000,并且能表示成不少于60个连续正整数之和,那
么,这样的
n
的个数是___________.
cos2
?
?i
sin2
?
5
,那么,复数
z?
的辐角主值是_________.
12
239?i
ctgC
222
9. 在△
ABC
中,记
BC
=
a
,
CA
=
b
,
A
B
=
c
,若9
a
+9
b
?19
c
=0,则=__________.
ctgA?ctgB
8.
已知
?
=arctg
x
2
y
2
10. 已知点P
在双曲线
??1
上,并且
P
到这条双曲线的右准线的距离恰是
P
到这条
169
双曲线的两个焦点的距离的等差中项,那么,
P的横坐标是_____.
11. 已知直线
ax
+
by
+c
=0中的
a
,
b
,
c
是取自集合{?3,?
2,?1,0,1,2,3}中的3个不同的元素,
并且该直线的倾斜角为锐角,那么,这样的直线的条
数是______.
12. 已知三棱锥
S
?
ABC
的底面是正三
角形,
A
点在侧面
SBC
上的射影
H
是△
SBC<
br>的垂心,二
面角
H
?
AB
?
C
的平面角等于
30?,
SA
=2
3
。那么三棱锥
S
?
ABC<
br>的体积为__________.
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
2
[来源:学|科|网]
2
13. 已知当
x
?[0,1]时,不等式
xcos
?<
br>?x(1?x)?(1?x)sin
?
?0
恒成立,试求的取值
范围。
5
x
2
y
2
14. 给定A
(?2,2),已知
B
是椭圆
??1
上的动点,
F<
br>是左焦点,当|
AB
|+|
BF
|取最
3
2516<
br>小值时,求
B
的坐标。
2
15. 给定正整数
n
和正数
M
,对于满足条件
a
1
2
?a<
br>n?1
≤
M
的所有等差数列
a
1
,
a
2
,
a
3
,….,试
求
S
=
a
n
+1
+
a
n
+2
+…+
a
2
n
+1
的最大值。
[来源:学科网ZXXK]
第二试
三、(满分50分) 给定正整数
n
,已知用克数都是正整数的
k
块
砝码和一台天平可以称出质
量为1,2,3,…,
n
克的所有物品。
(1)求
k
的最小值
f
(
n
);
(2)
当且仅当
n
取什么值时,上述
f
(
n
)块砝码的组成方式是
唯一确定的?并证明你的
结论。
1999年全国高中数学联合竞赛答案
一、选择题
题号
答案
1
C
2
A
3
B
4
D
[来源:
学.科.网]
5
B
6
C
1.给定公比为
q
(
q
?1)的等比数列{
a
n
},设
b
1
=
a
1
+
a
2
+
a
3
,
b
2
=
a
4+
a
5
+
a
6
,…,
b
n
=
a
3
n
?
2
+
a
3
n
?
1
+
a
3
n
,…,
则数列{
b
n
}【答】( )
(
A
) 是等差数列 (
B
)
是公比为
q
的等比数列
3
(
C
)
是公比为
q
的等比数列 (
D
) 既非等差数列也非等比数列
2.平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点,那么,满足不等式
22
(|
x
|?1)+(|
y
|?1)<2的整点(
x
,
y
)的个数是 【答】( )
(
A
)16 (
B
)17
(
C
)18 (
D
)25
【答案】(A) 【解析】由
?
|x|?1
?
?
?
|y|?1
?
?2
,可得(|x|-1,|y|-1)为(0,0),(0,1),(0,-1),
(1,0)或(-1,0).从而,不难得到(x,y)共有16个.
22
5.在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有3名选手各比赛了2
场之后就退
出了,这样,全部比赛只进行了50场。那么,在上述3名选手之间比赛的场数
是
【答】( )
(
A
)0 (
B
)1
(
C
)2 (
D
)3
【答案】(B)
【解析】设这三名选手之间的比赛场数是r,共n名选手参赛
.由题意,可得
2
即
C
n?3
?6?r?50
,
?
n?3
??
n?4
?
=44+r.由于0≤r≤3,经检验可知,仅
当r=1时,n=13
2
为正整数.
二、填空题
题号
答案
7. 已知正整数
n
不超过2000,并且
能表示成不少于60个连续正整数之和,那么,这
样的
n
的个数是_________
__.
【答案】6.
7
6
8 9 10 11
43
12
?
64
5
8.已
知
?
=arctg
【答案】
cos2
?
?isin2
?
5
,那么,复数
z?
的辐角主值是_________.
12
239?i
?
4
2
【解析】
z的辐角主值 argz=arg[(12+5i)(239-i)]
=arg[(119+120i)(239-i)]
=arg[28561+28561i]=
?
4
ctgC
222<
br>9.在△
ABC
中,记
BC
=
a
,
CA=
b
,
AB
=
c
,若9
a
+9
b
?19
c
=0,则=__________.
ctgA?ctgB
【答案】.
【解析】
[来源:学,科,网]
12.已知三棱锥
S
?
ABC
的底面是正三角形,<
br>A
点在侧面
SBC
上的射影
H
是△
SBC
的
垂心,二
面角
H
?
AB
?
C
的平面角等于30?,
SA
=2
3
。那么三棱锥
S
?
ABC
的体
积为__________.
【答案】
93
4
【解析】由题设,
AH⊥面SBC.作BH⊥SC于E.由三垂线定理可知SC⊥AE,SC⊥AB.故
SC⊥面ABE.
设S在面ABC内射影为O,则SO⊥面ABC.由三垂线定理之逆定理,可知CO⊥AB
于F.同理,
BO⊥AC.故O为△ABC的垂心.
又因为△ABC是等边三角形,故O为△ABC的中心,从而SA=SB=SC=.
因为CF⊥A
B,CF是EF在面ABC上的射影,由三垂线定理,EF⊥AB.所以,∠EFC是二
面角H-AB-
C的平面角.故∠EFC=30°,
OC=SCcos60°=
3
,SO=
OC tg60°=3.
又OC=
93
3
AB,故AB=
3
OC=3. 所以,VS-ABC=.
4
3
三、解答题
13.已知当
x
?[0,
1]时,不等式
xcos
?
?x(1?x)?(1?x)sin
?
?
0
恒成立,试求的取值
范围。
【解析】
22
因此,原题中θ的取
值范围是2kπ+
?
5
?
<θ<2kπ+ ,k?Z.
1212
或解:若对一切x∈[0,1],恒有
14.给定
A
(?2,2),已知
B
是椭圆
最小值时,求
B
的坐标。
【解析】
5
y
x
??1
上的动点,
F
是
左焦点,当|
AB
|+|
BF
|取
3
2516
2<
br>2
15.给定正整数
n
和正数
M
,
对于满足条件
a?a
试求
S
=
a
n
+1
+
a
n
+2
+…+
a
2
n
+1
的
最大值。
2
1
2
n?1
≤
M
的所有等差数列a
1
,
a
2
,
a
3
,….,
[来源:Z#xx#]
1999年全国高中数学联合竞赛
加试参考答案及评分标准
一、(满分50分) 如图,在四边形
ABCD
中,对角线
AC
平分∠
BAD
。在
CD
上取一点
E
,
BE
与
AC
相交于
F
,延长
DF
交
BC
于
G
。求证:∠
GAC
=∠
EAC
.
二、(满分50分) 给定实数
a
,
b
,
c
,已知复数
z
1
,
z
2
,
z
3
满
足:
?
|z
1
|?|z
2
|?|z
3
|?1
?
?
z
1
?
z
2
?
z
3
?1
,求|
az
1
+
bz
2
+
cz
3
|的值。
?
?
z
2
z
3
z
1
【解析】记 e
可设
iθ
=cosθ+isinθ.
,则
iθiφ
,
z
1
?e
i(
?
?
?
)
.
z
3
+φ)
由题设,有e+e+e=1.φ
两边取虚部,有
0=sinθ+sinφ-sin(θ+φ)
-i(θ
三、(满分50分) 给定正整数
n
,已
知用克数都是正整数的
k
块砝码和一台天平可以
称出质量为1,2,3,…,
n
克的所有物品。
(1)求
k
的最小值
f
(
n
);
(2)
当且仅当
n
取什么值时,上述
f
(
n
)块砝码的组成方式是
唯一确定的?并证明你的
结论。
【解析】(1)设这k块砝码的质量数分别为a
1<
br>,a
2
,…,a
k
,且1≤a
1
≤
a
2
≤…≤a
k
,a
i
∈Z,1≤i≤k.因为天平两端都可以放砝
码,故可称质
量为 x
i
a
i
,x
i
∈{-1,0
,1}.若利用这k块砝码可以称出质量为1,
2,3,…,n的物品,则上述表示式中含有1,2,…
,n,由对称性易知
也含有0,-1,-2,…,-n,即
{x
i
a<
br>i
|x
i
∈{-1,0,1}}{0,±1,…,±n}.
所以,2n+1=|{0,±1,…,±n}| ≤|{
|≤3,
k
x
i<
br>a
i
|x
i
∈{-1,0,1}}
即
n≤
Ⅱ.下面我们证明:当n=时,f(n)=m块砝码的组成方式是惟
一的,即a
i
=3
i-1
(1≤i≤m).
≤
l
≤,都有
l
=x
i
a
i
,x
i
∈{-1,0,1}.
}.
若对每个-
即{x
i
ai
|x
i
∈{-1,0,1}}{0,±1,…,±
注意左边集合中至多有3m个元素.故必有
{x
i
a
i
|x<
br>i
∈{-1,0,1}}={0,±1,…,±}.
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