2000年全国高中数学联赛试卷及答案

2000年全国高中数学联合竞赛试卷
（10月15日上午8:00?9:40）
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．设全集是实数，若A={x|x－2≤0} ，B={x|10=10
x
}
，
则A∩
?
R
B是( )
(A){2} (B){?1} (C){x|x≤2} (D) ?
ααα
2．设sin
?
＞0
，
cos
?
＜0
，
且sin＞cos，
则的取值范围是( )
333
ππ
2kπ
π2kπ
π
(A)(2k
?
+
，
2k
?
+)
，
k?Z (B)( +
，
+)
，
k? Z
633633
5π
ππ
5π
(C)(2k
?
+
，
2k
?
+
?< br>)
，
k? Z (D)(2k
?
+
，< br>2k
?
+)∪(2k
?
+
，
2k
?
+
?
)
，
k? Z
6436
3．已知点A为双曲线x2
?y
2
=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形 ，
则△ABC的面积是( )
333
(A) (B) (C)33 (D)63
32
4．给定正数p
，
q
，
a
，
b
，
c，其中 p?q，若p
，
a
，
q是等比数列，p
，
b
，c
，
q是等差数列，则一元二
次方程bx
2
?2ax+c=0( )
(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根
54
5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是( )
35
343411
(A) (B) (C) (D)
170852030
ππ
6．设ω= cos+isin，则以
?，?
3
，?
7
，?
9
为 根的方程是( )
55
432
(A)x+x+x+x+1=0 (B) x
4
?x
3
+x
2
?x+1=0
(C) x
4
?x
3
?x
2
+x+1=0 (D) x
4
+x
3
+x
2
?x?1=0
二．填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．arcsin(sin2000?)=__________．
n
x
2
－2
3
2
3
3
3
n
2．设a
n< br>是(3?x)的展开式中x项的系数(n=2
，
3
，
4
，…)，则
lim
(++…+))=________.
a
n
n→∞
a
2
a
3
3．等比数列a+log
2
3，
a+log
4
3
，
a+log
8
3的公比是 ____________.
x
2
y
2
4．在椭圆
2
+
2
=1 (a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率
ab
5－1
是，则∠ABF=_________.
2
5．一个球与正四面体的六条棱都 相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.
6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}；
(2)a?b，b?c，c?d，d?a；
(3)a是a，b，c，d中的最小值，
____
那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________
三、解答题(本题满分60分，每小题20分)
S
n
1．设S
n< br>=1+2+3+…+n
，
n?N
*
，求f(n)=的最大值．
(n+32)S
n+1





- 1 -

113
2．若函数f(x)=－x
2
+在区间 [a
，
b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，b]．
22



















x
2
y
2
3．已知C
0
：x+y=1和C
1
：
2
+
2
=1 (a＞b＞0)．试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C
1
上任意
aa
一点P，均存在以P为顶点，与C
0
外切，与C
1
内接的平行四边形？并证明你的结论．

22
- 2 -

2000年全国高中数学联赛二试题

（10月15日上午10∶00-12∶00）

一．（本题满分50分）
如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M 、
N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相 等．



A



M


N

B

C
E F


D


二．（本题满分50分）
设数列{a
n
}和{b
n
}满足a
0
=1，a
1
=4，a
2
=49，且
?
a
n+1
=7a
n
+6b
n
－3，
?n=0，1，2，……
?
b
n+1
=8a
n
+7b< br>n
－4．
证明a
n
（n=0，1，2，…）是完全平方数．














三．（本题满分50分）
有n个人，已知他们中 的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n－2个人之间通电话的次数相等，
都是3
k
次，其中k是自然数，求n的所有可能值．
- 3 -

2000年全国高中数学联合竞赛试题解答
第一试
一．选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．设全集是实数，若A={x|x－2≤0} ，B={x|10=10
x
}
，
则A∩
?
R
B是( )
(A){2} (B){?1} (C){x|x≤2} (D) ?
解：A={2}，B={2，－1}，故选D．
ααα
2．设sin
?＞0
，
cos
?
＜0
，
且sin＞cos
，< br>则的取值范围是( )
333
ππ
2kπ
π
2k π
π
(A)(2k
?
+
，
2k
?
+)，
k?Z (B)( +
，
+)
，
k?Z
633633
5π
ππ
5π
(C)(2k
?
+
，
2k
?
+
?)
，
k? Z (D)(2k
?
+
，2k
?
+)∪(2k
?
+
，
2k
?
+
?
)
，
k?Z
6436
πα
2kπ
π< br>2kπ
π
解：满足sin
?
＞0，cos
?
＜0的α 的范围是(2k
?
+，2k
?
+π)，于是的取值范围是(+
，+)，
233633
αααπ
5π
ππ
5π
满足si n＞cos的的取值范围为(2k
?
+
，
2k
?
+)．故所 求范围是(2k
?
+
，
2k
?
+)∪(2k
?+
，
2k
?
+
?
)
，
3334443 6
k?Z．选D．

3．已知点A为双曲线x
2
?y
2< br>=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，
则△ABC的面积是( )
333
(A) (B) (C)33 (D)63
32
y
3
B
解： A(－1，0)，AB方程：y=(x+1)，代入双曲线方程，解得B(2，3)，
3
∴ S=33．选C．
x
A
O
4．给定正数p
，
q
，
a
，
b
，
c，其中p?q，若p
，
a
，< br>q是等比数列，p
，
b
，
c
，
q
C
是等差数列，则一元二次方程bx
2
?2ax+c=0( )
(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根
(D)有两个异号实根
2p+qp+2q
解：a
2
=pq，b+c=p+q．b=，c=；
33
112
△=a
2
－bc=pq－(2p+q)(p+2q)=－(p－ q)
2
<0．选A．
499
54
5．平面上整点（纵、横坐标都是 整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是( )
35
343411
(A) (B) (C) (D)
170852030
|25x－15y+12 ||5(5x－3y+2)+2|
解：直线即25x－15y+12=0．平面上点(x，y)到直线的 距离==．
534534
∵5x－3y+2为整数，故|5(5x－3y+2)+2|≥2． 且当x=y=－1时即可取到2．选B．
ππ
6．设ω=cos+isin，则以
? ，?
3
，?
7
，?
9
为根的方程是( )
55
432
(A)x+x+x+x+1=0 (B) x
4
?x
3
+x
2
?x+1=0
(C) x
4
?x
3
?x
2
+x+1=0 (D) x
4
+x
3
+x
2
?x?1=0
解：ω
5
+1=0，故
?，?
3
，?
7
，?
9< br> 都是方程x
5
+1=0的根．x
5
+1=(x+1)(x
4
－x
3
+x
2
－x+1)=0．选B．
二．填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．arcsin(sin2000?)=__________.
π
解：2000°=180°×12－160°．故填－20°或－．
9
n
x
2
－2
3
2
3
3
3
n
2．设a
n
是(3?x)的展开式中x项的系数(n=2
，
3
，4
，
…)，则
lim
(++…+))=________.
a
n
n→∞
a
2
a
3
- 4 -

3
k
2·3
2
18
解：a
n
=3=
k
－
2
=，故填18．
a
k
3n(n－1)n(n－1)
3．等比数列a+log
2
3
，
a+l og
4
3
，
a+log
8
3的公比是__________ __.
a+log
4
3a+log
8
3
(a+log4
3)－(a+log
8
3)log
4
3－log
8< br>3
11
解：q=====．填．
a+log
2
3a+log
4
3
(a+log
2
3)－(a+log
4
3)l og
2
3－log
4
3
33
22
xy
4． 在椭圆
2
+
2
=1 (a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上 方的端点为B.若该椭圆的离心率
ab
5－1
是，则∠ABF=_________.
y
2
5－1
5+15+3
2
B
解：c=a，∴|A F|=a．|BF|=a，|AB|
2
=|AO|
2
+|OB|
2< br>=a．
222
故有|AF|
2
=|AB|
2
+|B F|
2
．即∠ABF=90°．填90°．
O
A
x
F5－1
2
或由b
2
=a
2
－c
2
=a =ac，得解．
2
A
5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个
球的体积是________.
H
3
解：取球心O与任一棱的距离即为所求．如图，AE=BE=a，
O< br>2
D
B
663
G
AG=a，AO=a，BG=a，AB∶AO =BG∶OH．
E
343
C
AO·BG24
3
2
3
2
3
OH==a．V=
πr
=
πa
．填
πa
．．
AB432424
6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}；
(2)a?b，b?c，c?d，d?a；
(3)a是a，b，c，d中的最小值，
____
那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________
解：a、c可以相等，b、d也可以相等．
n
－
2
2
C
n
．∴
⑴ 当a、c相等，b、d也相等时，有
C
4
=6种；
⑵ 当a、c相等，b、d不相等时，有
A
3
+
A
2
=8种；
⑶ 当a、c不相等，b、d相等时，有
C
3
C
2
+
C
2
=8种；
⑷ 当a、c不相等，b、d也不相等时，有
A
3
=6种；共28种．填28．

三、解答题(本题满分60分，每小题20分)
S
n
1．设S
n< br>=1+2+3+…+n
，
n?N
*
，求f(n)=的最大值．
(n+32)S
n+1
1n(n+1)11
解：S
n
=n(n+1 )，f(n)= = ≤．(n=8时取得最大值)．
2(n+32)(n+1)(n+2)6450
n+ +34
n

1 13
2．若函数f(x)=－x
2
+在区间[a
，
b]上的最小值为 2a，最大值为2b，求[a
，
b]．
22
113113
解：⑴ 若a≤b<0，则最大值为f(b)=－b
2
+=2b．最小值为f(a)=－a
2< br>+=2a．即a，b是方程x
2
+4x
2222
－13=0的两个根， 而此方程两根异号．故不可能．
1313
⑵ 若a<024
113
当 x=a或x=b时f(x)取最小值，①f(a)=－a
2
+=2a时．a=－2±17，但a <0，故取a=－2－17．由
22
11339
于|a|>|b|，从而f(a)是最 小值．②f(b)=－b
2
+==2a>0．与a<0矛盾．故舍．
2232
- 5 -

3
111
22
2

⑶ 0≤a113113
∴ －b
2
+=2a．－a
2
+=2b．相减得a+b=4．解得a=1，b=3 ．
2222
13
∴ [a，b]=[1，3]或[－2－17，]．
4

x
2
y
2
3．已知C
0
：x +y=1和C
1
：
2
+
2
=1 (a＞b＞0)．试问：当 且仅当a，b满足什么条件时，对C
1
上任意
aa
一点P，均存在以P为顶点 ，与C
0
外切，与C
1
内接的平行四边形？并证明你的结论．
解： 设PQRS是与C
0
外切且与C
1
内接的平行四边形．易知圆的
y< br>外切平行四边形是菱形．即PQRS是菱形．于是OP⊥OQ．
设P(r
1
c osθ，r
1
sinθ)，Q(r
2
cos(θ+90°)，r
2< br>sin(θ+90°)，则在直角三
P
11
角形POQ中有r
1
2
+r
2
2
=r
1
2
r
2
2< br>(利用△POQ的面积)．即
2
+
2
=1．
r
1< br>r
2
S
22
r
1
cos
2
θ
r
2
sin
2
θ
1cos
2
θ
sin< br>2
θ
但+
2
=1，即
2
=
2
+2
，
O
x
a
2
bb
r
1
a
Q
1sin
2
θ
cos
2
θ
11
同理，
2
=
2
+
2
，相加得
2
+
2
=1．
bab
r
2
a
R
11
反之，若
2
+
2
=1成立，则对于椭圆上任一点P(r
1
cosθ， r
1
sinθ)，
ab
1cos
2
θ
sin
2
θ
1sin
2
θ
cos
2
θ
1111
取椭圆上点Q(r
2
cos(θ+90°)，r
2
sin(θ+90 °)，则
2
=
2
+
2
，，
2
=
2
+
2
，，于是
2
+
2
=
2
+2
=1，此时
bb
r
1
a
r
2
ar
1
r
2
ab
PQ与C
0
相切．即存在满足条 件的平行四边形．
故证．
22

第二试
一．（本题满分50分）
如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE =∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、
N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证 明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．
证明：连MN，则由FM⊥AM，FN⊥AN知A< br>、
M
、
F
、
N四点共圆，且
该圆的直径为AF．又? AMN=?AFN，但?FAN=?MAD，故
A
?MAD+?AMN=?FAN+?AFN= 90?．∴MN⊥AD，且由正弦定理知，
M
MN=AFsinA．
11
∴S
AMDN
= AD·MN= AD·AFsinA．
N< br>22
B
C
连BD，由?ADB=?ACF，?DAB=?CAF，得⊿ABD∽ ⊿AFC．
E
F
∴ AD∶AB=AC∶AF，即AD·AF=AB·AC．
11
D
∴ S
AMDN
= AD·AFsinA= AB·ACsinA=S
ABC
．
22
二．（本题满分50分）
设数列{a
n
}和{b
n
}满足a
0
=1，a
1
=4，a
2
=49，且
?
a
n+1
=7a
n
+6b
n
－3，
?n=0，1，2，……
?
b
n+1
=8a
n
+7b< br>n
－4．
证明a
n
（n=0，1，2，…）是完全平方数．
证明 ⑴×7：7a
n+1
=49a
n
+42b
n
－21， ⑵×6：6b
n+1
=48a
n
+42b
n
－24．
两式相减得，6b
n+1
－7a
n+1
=－a
n
－ 3，即6b
n
=7a
n
－a
n
－
1
－3．
111
代入⑴：a
n+1
=14a
n
－a
n
－
1
－6．故a
n+1
－=14(a
n
－)－(a
n
－
1
－)．
222
其特征方程为x
2
－14x+1=0，特征方程的解为x=7±43．
11
故a
n
=α(7+43)
n
+β(7－43)
n
+,现a
0
=1，a
1
=4，a
2
=49．解得 α=β=．
24
- 6 -

111111
∴ a
n
=(7+43)
n
+(7－43)
n
+=(2+3)< br>2n
+(2－3)
2n
+
442442
11
=[( 2+3)
n
+(2－3)
n
]
2
．
22
11
由于[(2+3)
n
+(2－3)
n]是整数，故知a
n
是整数的平方．即为完全平方数．
22

三．（本题满分50分）
有n个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n －2个人之间通电话的次数相等，
都是3
k
次，其中k是自然数，求n的所有可能值．
解：由条件知，统计各n－2人组的通 话次数都是3
k
次，共有
C
n－42
2
n
－
2
n
=
C
n
个n－2人组，若某两人通话1
2
次 ，而此二人共参加了
C
n－2
=
C
n－2
个n－2人组， 即每次通话都被重复计算了
C
n－2
次．即总通话次数应为
n(n－1)·3
k
次．
(n－2)(n－3)
由于(n－1，n－2)=1，故n－2|n?3
k
．
若n－2|n，故n－2|2，易得n=4，(n=3舍去)此时k=0．
由n－2|3
k
，n=3
m
+2，(m为自然数，且m≤k)，此时
mm
n(n－1)
6
－
k
(3+2)(3+1)
k
·3 =
mm
·3=[3
m
+4+
m
]·3
km
，即3
m
－1|6．
(n－2)(n－3)3(3－1)3－1
∴ m=0，1．当m=0时，n=3(舍去)，当m=1时，n=5．
又：n=4时，每两个人通话次数 一样，可为1次(任何两人都通话1次)；当n=5时，任何两人都通话
1次．均满足要求．
∴ n=0，5．

- 7 -