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高中数学教材全套教案集合与简易逻辑

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 16:49
tags:高中数学集合

高中数学课本电子版百度云下载-高中数学必修二第三章第一节


第一章 集合与简易逻辑
第一教时
教材:集合的概念
目的:要求学生初步理解集合的概念,知道常用数集及其记法;
初步了解集合的分类及性质。
过程:
一、引言:(实例)用到过的“正数的集合”、“负数的集合”
如:2x-1>3
?
x>2所有大于2的实数组成的集合称为
这个不等式的解集。
如:几何中,圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
如:自然数的集合 0,1,2,3,……
如:高一(5)全体同学组成的集合。
结论: 某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个
对象叫元素。
指出:“集合”如点、直线、平面一样是不定义概念。
二、集合的表示: { … } 如{我校的篮球队员},{太平洋、大
西洋、印度洋、北冰洋}
用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员} ,B={1,2,3,4,
5}
常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+
整数集 Z
有理数集 Q
实数集 R
集合的三要素: 1。元素的确定性; 2。元素的互异性; 3。
元素的无序性
(例子 略)

三、关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的
元素,就说a属于集A 记作 a A ,相反,a不属于集A 记作 a A
(或a A)
例: 见P4—5中例
四、练习 P5 略
五、集合的表示方法:列举法与描述法
列举法:把集合中的元素一一列举出来。
例:由方程x2-1=0的所有解组成的集合可表示为{ 1,1}
例;所有大于0且小于10的奇数组成的集合可表示为{1,3,5,
7,9}
描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
语言描述法:例{不是直角三角形的三角形}再见P6例
数学式子描述法:例 不等式x-3>2的解集是{x R| x-3>2}或{x|
x-3>2}或{x:x-3>2} 再见P6例
六、集合的分类
1.有限集 含有有限个元素的集合
2.无限集 含有无限个元素的集合 例题略
3.空集 不含任何元素的集合
七、用图形表示集合 P6略
八、练习 P6
小结:概念、符号、分类、表示法
九、作业 P7习题1.1





40
20
0
一月二月三月四月
北美区

三、 处理苏大《教学与测试》第一课 含思考题、备用题
第二教时
教材: 1、复习 2、《课课练》及《教学与测试》中的有关内容
目的: 复习集合的概念;巩固已经学过的内容,并加深对集合的理解。
四、 处理《课课练》
五、
作业 《教学与测试》 第一课 练习题

第三教时
过程:
一、 复习:(结合提问)
1.集合的概念 含集合三要素
2.集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法
3.集合的分类:有限集、无限集、空集、单元集、二元集
4.关于“属于”的概念
二、 例一 用适当的方法表示下列集合:
1.平方后仍等于原数的数集
解:{x|x
2
=x}={0,1}
2.比2大3的数的集合
解:{x|x=2+3}={5}
3.不等式x
2
-x-6<0的整数解集
解:{x?Z| x
2
-x-6<0}={x?Z| -24.过原点的直线的集合
解:{(x,y)|y=kx}
5.方程4x
2
+9y
2
-4x+12y+5=0的解集
解:{(x,y)| 4x
2
+9y
2
-4x+12y+5=0}={(x,y)| (2x-1)
2
+(3y+2)
2
=0}={(x,y)| (12,-23)}
6.使函数y=
1
x
2
?x?6
有意义的实数x的集合
解:{x|x
2
+x-6?0}={x|x?2且x?3,x?R}
教材: 子集
目的: 让学生初步了解子集的概念及其表示法,同时了解等集与真子集的有关概念.
过程:
一 提出问题:现在开始研究集合与集合之间的关系.
存在着两种关系:“包含”与“相等”两种关系.
二 “包含”关系—子集
1. 实例: A={1,2,3} B={1,2,3,4,5} 引导观察.
结论: 对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,
则说:集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作A?B (或B?A)
也说: 集合A是集合B的子集.
2. 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?B (或B?A)
注意: ?也可写成?;?也可写成?;? 也可写成?;?也可写成?。
3. 规定: 空集是任何集合的子集 . φ?A
三 “相等”关系
1. 实例:设 A={x|x
2
-1=0} B={-1,1} “元素相同”
结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,
同 时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,
即: A=B
2. ① 任何一个集合是它本身的子集。 A?A


② 真子集:如果A?B ,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B
?
?


③ 空集是任何非空集合的真子集。
④ 如果 A?B, B?C ,那么 A?C
证明:设x是A的任一元素,则 x?A

?
A?B,
?
x?B 又
?
B?C
?
x?C 从而 A?C
同样;如果 A?B, B?C ,那么 A?C
⑤ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
四 例题: P8 例一,例二 (略) 练习 P9
补充例题 《课课练》 课时2 P3
五 小结:子集、真子集的概念,等集的概念及其符号
几个性质: A?A
A?B, B?C ?A?C
A?B B?A? A=B
作业:P10 习题1.2 1,2,3 《课课练》 课时中选择
第四教时
教材:全集与补集
目的:要求学生掌握全集与补集的概念及其表示法
过程:
一 复习:子集的概念及有关符号与性质。
提问(板演):用列举法表示集合:A={6的正 约数},B={10的正约数},C={6
与10的正公约数},并用适当的符号表示它们之间的关系。
解: A=?1,2,3,6}, B={1,2,5,10}, C={1,2}
C?A,C?B

二 补集
1.实例:S是全班同学的集合,集合A是班 上所有参加校运会同学的集合,集合
B是班上所有没有参加校运动会同学的集合。
集合B是集合S中除去集合A之后余下来的集合。
结论:设S是一个集合,A是S的一个子集 (即
A?S
),由S中所有不属于
A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余 集)
记作: C
s
A 即 C
s
A ={x ? x?S且 x?A}
S

C
s
A
A

2.例:S={1,2,3,4,5,6} A={1,3,5} C
s
A ={2,4,6}
三 全集
定义: 如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以
看作一个全集。通常用U来表示。
如:把实数R看作全集U, 则有理数集Q的补集C
U
Q是全体无理数的集合。
四 练习:P10(略)
五 处理 《课课练》课时3 子集、全集、补集 (二)
六 小结:全集、补集
七 作业 P10 4,5
《课课练》课时3 余下练习
第五教时
教材: 子集,补集,全集
目的: 复习子集、补集与全集,要求学生对上述概念的认识更清楚,并能较好地处
理有关问题。


过程:
一、复习:子集、补集与全集的概念,符号
二、辨析: 1

补集必定是全集的子集,但未必是真子集。什么时候是真子集?
2

A?B 如果把B看成全集,则C
B
A是B的真子集吗?什么时候(什么
条件下)C
B
A是B的真子集?
三、处理苏大《教学与测试》第二、第三课
作业为余下部分选
第六教时
教材: 交集与并集(1)
目的: 通过实例及图形让学生理解交集与并集的概念及有关性质。
过程:
一、 复习:子集、补集与全集的概念及其表示方法
提问(板演):U={x|0

x<6,x?Z} A={1,3,5} B={1,4}
求:CuA= {0,2,4}. CuB= {0,2,3,5}.
二、 新授:
1、实例: A={a,b,c,d} B={a,b,e,f}



c d a b e f
c d a b e f

公共部分 A∩B 合并在一起 A∪B
2、定义: 交集: A∩B ={x|x?A且x?B} 符号、读法
并集: A∪B ={x|x?A或x?B}

见课本P10--11 定义 (略)
3、例题:课本P11例一至例五
练习P12
补充: 例一、设A={2,-1,x
2
-x+1}, B={2y,-4,x+4}, C={-1,7} 且A∩B=C
求x,y。
解:由A∩B=C知 7?A ∴必然 x
2
-x+1=7 得
x
1
=-2, x
2
=3
由x=-2 得 x+4=2?C ∴x?-2
∴x=3 x+4=7?C 此时 2y=-1 ∴y=-
1
2

∴x=3 , y=-
1
2

例二、已知A={x|2x
2
=sx-r}, B={x|6x
2
+(s+2)x+r=0} 且 A∩B={
1
2
}求A∪B。
解:
?
1

1
2
?A且
1
?
?
1
22
s?r
2
?B ∴
?
?
3
?
2
?
1

2
(s?2)?r?0

?
?
?
2r?s?1
?
2r?s??5

解之得 s= ?2 r= ?
3
2

∴A={
1
,
?
3
} B={
1
,
?
1
2
2
2
2
} < br>∴A∪B={
1
,
?
3
,?
1
2
2 2
}
三、小结: 交集、并集的定义
四、作业:课本 P13习题1、3 1 --5
补充:设集合A = {x | ?4

x

2}, B = {x | ?1

x

3}, C = {x |x

0或x

5
2
},


求A∩B∩C, A∪B∪C。
《课课练》 P 6--7 “基础训练题”及“ 例题推荐”

第七教时
教材:交集与并集(2)
目的:通过复习及对交集与并集性质的剖析,使学生对概念有更深刻的理解
过程:一、复习:交集、并集的定义、符号
提问(板演):(P
13
例8 )
设全集 U = {1,2,3,4,5,6,7,8},A = {3,4,5} B = {4,7,8}
求:(C
U
A)∩(C
U
B), (C
U
A)∪(C
U
B), C
U
(A∪B), C
U
(A∩B)
解:C
U
A = {1,2,6,7,8} C
U
B = {1,2,3,5,6}
(C
U
A)∩(C
U
B) = {1,2,6}
(C
U
A)∪(C
U
B) = {1,2,3,5,6,7,8}
?
A∪B = {3,4,5,7,8} A∩B = {4}
∴ C
U
(A∪B) = {1,2,6}
C
U
(A∩B) = {1,2,3,5,6,7,8,}
结合图 说明:我们有一个公式:
U
A
B
(C
U
A)∩( C
U
B) = C
U
(A∪B)
(C
U
A)∪( C
U
B) = C
U
(A∩B)

二、另外几个性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,
A∪A = A, A∪φ= A , A∪B = B∪A.
(注意与实数性质类比)
例6 ( P
12
) 略

进而讨论 (x,y) 可以看作直线上的点的坐标
A∩B 是两直线交点或二元一次方程组的解
同样设 A = {x | x
2
?x?6 = 0} B = {x | x
2
+x?12 = 0}
则 (x
2
?x?6)(x
2
+x?12) = 0 的解相当于 A∪B
即: A = {3,?2} B = {?4,3} 则 A∪B = {?4,?2,3}
三、关于奇数集、偶数集的概念 略 见P
12

例7 ( P
12
) 略
练习 P
13

四、关于集合中元素的个数
规定:集合A 的元素个数记作: card (A)
作图
A
观察、分析得:

B
card (A∪B) ? card (A) + card (B)
card (A∪B) = card (A) +card (B) ?card (A∩B)
五、(机动):《课课练》 P
8
课时5 “基础训练”、“例题推荐”
六、作业: 课本 P
14
6、7、8
《课课练》 P
8—9
课时5中选部分

第八教时
教材:交集与并集(3)
目的:复习交集与并集,并处理“教学与测试”内容,使学生逐步达到熟练技巧。
过程:
一、复习:交集、并集
二、1.如图(1) U是全集,A,B是U的两个子集,图中有四个用数字标出的


区域,试填下表:

区域号

相应的集合
集合 相应的区域号

1 C
U
A∩C
U
B
A 2,3

2 A∩C
U
B
B 3,4

3 A∩B
U 1,2,3,4

4 C
U
A∩B
A∩B 3


1

A
B
U
1
2
A
U
2
3
4
5

8
6
3
B
C
7
4
图(1)
图(2)
2.如图(2) U是全集,A,B,C是U的三个子集,图中有8个用数字标
出的区域,试填下表: (见右半版)
3.已知:A={(x,y)|y=x
2
+1,x?R} B={(x,y)| y=x+1,x?R }求A∩B。
解:
?
?
y?x
2
?1

?

?
y?x?1
?

?
x?0
?
x?1< br>?
y?1

?
?
y?2

A∩B= {(0,1),(1,2)}

区域号 相应的集合
1 C
U
A∩C
U
B∩C
U
C
2 A∩C
U
B∩C
U
C
3 A∩B∩C
U
C
4 C
U
A∩B∩C
U
C
集合 相应的区域号
A 2,3,5,6

B 3,4,6,7
5 A∩C
U
B∩C
C 5,6,7,8
6 A∩B∩C
∪ 1,2,3,4,5,6,7,8
7 C
U
A∩B∩C
A∪B 2,3,4,5,6,7
8 C
U
A∩C
U
B∩C
A∪C 2,3,5,6,7,8
三、《教学与测试》P7-P8 (第四课)
B∪C 3,4,5,6,7,8
P9-P10 (第五课)中例题
如有时间多余,则处理练习题中选择题
四、作业: 上述两课练习题中余下部分

第九教时
(可以考虑分两个教时授完)
教材: 单元小结,综合练习
目的: 小结、复习整单元的内容,使学生对有关的知识有全面系统的理解。
过程:
一、复习:
1.基本概念:集合的定义、元素、集合的分类、表示法、常见数集
2.含同类元素的集合间的包含关系:子集、等集、真子集
3.集合与集合间的运算关系:全集与补集、交集、并集
二、苏大《教学与测试》第6课 习题课(1)其中“基础训练”、例题
三、补充:(以下选部分作例题,部分作课外作业)
1、用适当的符号(?,?,
?
?



?
?



,=,?)填空:
0 ? ?; 0 ? N; ?
?
?



{0}; 2 ? {x|x?2=0};
{x|x
2
-5x+6=0} = {2,3}; (0,1) ? {(x,y)|y=x+1};
{x|x=4k,k?Z}
?
?



{y|y=2n,n?Z}; {x|x=3k,k?Z} ? {x|x=2k,k?Z};
{x|x=a
2
-4a,a?R}
?
?



{y|y=b
2
+2b,b?R}
2、用适当的方法表示下列集合,然后说出其是有限集还是无限集。
① 由所有非负奇数组成的集合; {x=|x=2n+1,n?N} 无限集


② 由所有小于20的奇质数组成的集合; {3,5,7,11,13,17,19} 有限集
③ 平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合; {(x,y)|x<0,y>0} 无限集
④ 方程x
2
-x+1=0的实根组成的集合; ? 有限集
⑤ 所有周长等于10cm的三角形组成的集合;
{x|x为周长等于10cm的三角形} 无限集
3、已知集合A={x,x
2
,y
2
-1}, B={0,|x|,y} 且 A=B求x,y。
解:由A=B且0?B知 0?A
若x
2
=0则x=0且|x|=0 不合元素互异性,应舍去
若x=0 则x
2
=0且|x|=0 也不合
∴必有y
2
-1=0 得y=1或y=-1
若y=1 则必然有1?A, 若x=1则x
2
=1 |x|=1同样不合,应舍去
若y=-1则-1?A 只能 x=-1这时 x
2
=1,|x|=1 A={-1,1,0} B={0,1,-1}
即 A=B
综上所述: x=-1, y=-1
4、求满足{1}
?
?



A?{1,2,3,4,5}的所有集合A。
解:由题设:二元集A有 {1,2}、{1,3}、{1,4}、{1,5}
三元集A有 {1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,5}、{1,3,4}、{1,3,5}、{1,4,5}
四元集A有 {1,2,3,4}、{1,2,3,5}、{1,2,4,5}、{1,3,4,5}
五元集A有 {1,2,3,4,5}
5、设U={x?N|x<10}, A={1,5,7,8}, B={3,4,5,6,9}, C={x?N|0

2x-3<7} 求:
A∩B,A∪B,(C
u
A)∩(C
u
B), (C
u
A)∪(C
u
B),A∩C, [C
u
(C∪B)]∩(C
u
A)。
解:U={x?N|x<10}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, C={x?N|
3

x<5}={2,3,4}
A∩B={5} A∪B={1,3,4,5,6,7,8,9}
2
∵CuA={0,2,3,4,6,9} CuB={0,1,2,7,8}
∴(CuA)∩(CuB)={0,2} (CuA)∪(CuB)={0,1,2,3,4,6,7,8,9}
A∩C=? 又 ∵C∪B={2,3,4,5,6,9} ∴Cu(C∪B)={0,1,7,8}
∴[Cu(C∪B)]∩(CuA)={0}
6、设A={x|x=12m+28n,m、n?Z}, B={x|x=4k,k?Z} 求证:1


8?A 2


A=B
证:1

若12m+28n=8 则m=
?7n?2
3
当n=3l或n=3l+1(l?Z)时

m均不为整数 当n=3l+2(l?Z)时 m=-7l-4也为整数
不妨设 l=-1则 m=3,n=-1 ∵8=12×3+28×(-1) 且 3?Z -1?Z
∴8?A
2

任取x
1
?A 即x
1
=12m+28n (m,n?Z)
由12m+28n=4=4(3m+7n) 且3m+7n?Z 而B={x|x=4k,k?Z}
∴12m+28n?B 即x
1
?B 于是A?B
任取x
2
?B 即x
2
=4k, k?Z
由4k=12×(-2)+28k 且 -2k?Z 而A={x|x=12m+28n,m,m?Z}
∴4k?A 即x
2
?A 于是 B?A
综上:A=B
7、设 A∩B={3}, (CuA)∩B={4,6,8}, A∩(CuB)={1,5}, (CuA)∪(CuB)
={x?N*|x<10且x?3} , 求Cu(A∪B), A, B。
解一: (CuA)∪(CuB) =Cu(A∩B)={x?N*|x<10且x?3} 又:A∩B={3}
U=(A∩B)∪Cu(A∩B)={ x?N*|x<10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A∪B中的元素可分为三类:一类属于A不属于B;一类属于B不属于A;一类既属
A又属于B
由(C
u
A)∩B={4,6,8} 即4,6,8属于B不属于A
由(C
u
B)∩A={1,5} 即 1,5 属于A不属于B
由A∩B ={3} 即 3 既属于A又属于B
∴A∪B ={1,3,4,5,6,8}
∴C
u
(A∪B)={2,7,9}
A中的元素可分为两类:一类是属于A不属于B,另一类既属于A又属于B
∴A={1,3,5}
同理 B={3,4,6,8}
解二 (韦恩图法) 略
8、设A={x|?3

x

a}, B={y|y=3x+10,x?A}, C={z|z=5?x,x?A}且B∩C=C求实
数a的取值。
解:由A={x|?3

x

a} 必有a

?3 由?3

x

a知
3×(?3)+10

3x+10

3a+10


故 1

3x+10

3a+10 于是 B={y|y=3x+10,x?A}={y|1

y

3a+10}
又 ?3

x

a ∴?a

?x

3 5?a

5?x

8
∴C={z|z=5?x,x?A}={z|5?a

z

8}
由B∩C=C知 C?B 由数轴分析:
?
?
3a?10?8
? ?
2
?
5?a?1
且 a

?3
综上所得
3

a

4 且都适合a

?3
:a的取值范围{a|?
2
2
+6x=0},B={
3

a

4 }
9、设集合A={x?R|xx?R|x
2
+3(a+1)x+a
2
?1=0}且A∪B=A求实数a的
取值 。
解:A={x?R|x
2
+6x=0}={0,?6} 由A∪B=A 知 B?A
当B=A时 B={0,?6}
?
?
?3(a?1)??6
? a=1 此时 B={x?R|x
2
当B A
?
?
a
2
?1?0
+6x=0}=A
?



1

若 B?? 则 B={0}或 B={?6}
由 ?=[3(a+1)]
2
?4(a
2
?1)=0 即5a
2
+18a+13=0 解得a=?1或 a=?
13
5

当a=?1时 x
2
=0 ∴B={0} 满足B A
?
24
?


当a=?
13
5
时 方程为
x
2
?
∴B={
5
x?
144
2 5
?0
x
1
=x
2
=
12
12
5

2

若B=?
5
} 则 B?A(故不合,舍去)
即 ??0 由 ?=5a
2
+18a+13?0 解得?
13
?a
此时 B=? 也满足B A
?
?

5
??1

综上: ?
13
?a

?1或 a=1
10、方程
5
x
2
?ax+b=0的两实根为m,n,方程x
2
?bx+c= 0的两实根为p,q,其中m、n、
p、q互不相等,集合A={m,n,p,q},作集合S={x| x=?+?,??A,??A且???},
P={x|x=??,??A,??A且???},若已知S ={1,2,5,6,9,10},P={?7,?3,?2,6,
14,21}求a,b,c的值。
解:由根与系数的关系知:m+n=a mn=b p+q=b pq=c
又: mn?P p+q?S 即 b?P且 b?S
∴ b?P∩S 又由已知得 S∩P={1,2,5,6,9,10}∩{?7,?3,?2,6,14,21}={6}
∴b=6
又:S的元素是m+n,m+p,m+q,n+p,n+q,p+q其和为
3(m+n+p+q)=1+2+5+6+9+10=33 ∴m+n+p+q=11 即 a+b=11

由 b=6得 a=5
又:P的元素是mn,mp,mq,np,nq,pq其和为
mn+mp+mq+np+nq +pq=mn+(m+n)(p+q)+pq=?7?3?2+6+14+21=29
且 mn=b m+n=a p+q=b pq=c
即 b+ab+c=29 再把b=6 , a=5 代入即得 c=?7
∴a=5, b=6, c=?7
四、作业:《教学与测试》余下部分及补充题余下部分


第十一教时
教材:含绝对值不等式的解法
目的:从绝对值的意义出发,掌握形如 | x | = a的方程和形如 | x | > a, | x | < a (a>0)不
等式的解法,并了解数形结合、分类讨论的思想。
过程:
一、实例导入,提出课题
实例:课本 P14(略) 得出两种表示方法:
1.不等式组表示:
?
?
x?500?5
?
500?x?5
2.绝对值不等式表示::| x ? 500 | ≤5
课题:含绝对值不等式解法
二、形如 | x | = a (a

0) 的方程解法
?
复习绝对值意义:| a | =
?
a(a?0)
?
0(a?0)
?

?
?a(a?0)

几何意义:数轴上表示 a 的点到原点的距离
. 例:| x | = 2 .
三、形如| x | > a与 | x | < a 的不等式的解法
例 | x | > 2与 | x | < 2
-2

0 2
1?从数轴上,绝对值的几何意义出发分析、作图。解之、见 P15 略
结论:不等式 | x | > a 的解集是 { x | ?a< x < a}
| x | < a 的解集是 { x | x > a 或 x < ?a}
2?从另一个角度出发:用讨论法打开绝对值号


| x | < 2
?

?
?
x?0
?
x?0
?
x?2

?
?
?x?2
? 0

x < 2或?2 < x < 0
合并为 { x | ?2 < x < 2}
同理 | x | < 2
?

?
?
x?0
?
x?0
?
x?2

?
?
?x?2
? { x | x > 2或 x < ?2}
3?例题 P15 例一、例二 略
4?《课课练》 P12 “例题推荐”
四、小结:含绝对值不等式的两种解法。
五、作业: P16 练习 及习题1.4
第十二教时
教材:一元二次不等式解法
目的:从一元二次方程、一 元二次不等式与二次函数的关系出发,掌握运用二次函数
求解一元二次不等式的方法。
过程 :
一、课题:一元二次不等式的解法
先回忆一下初中学过的一元一次不等式的解法:如 2x?7>0
?
x>
7
2

这里利用不等式的性质解题
y

从另一个角度考虑:令 y=2x?7 作一次函数图象:
引导观察,并列表,见 P17 略
O
x
当 x=3.5 时, y=0 即 2x?7=0
当 x<3.5 时, y<0 即 2x?7<0
当 x>3.5 时, y>0 即 2x?7>0
结论:略 见P17
注意强调:1?直线与 x轴的交点x
0
是方程 ax+b=0的解
2?当 a>0 时, ax+b>0的解集为 {x | x > x
0
}

当 a<0 时, ax+b<0可化为 ?ax?b<0来解

二、一元二次不等式的解法
同样用图象来解,实例:y=x
2
?x?6 作图、列表、观察
y
当 x=?2 或 x=3 时, y=0 即 x
2
?x?6=0
当 x3 时, y>0 即 x
2
?x?6>0
?2 O 3 x
当 ?22
?x?6<0
∴方程 x
2
?x?6=0 的解集:{ x | x = ?2或 x = 3 }
不等式 x
2
?x?6 > 0 的解集:{ x | x < ?2或 x > 3 }
不等式 x
2
?x?6 < 0 的解集:{ x | ?2 < x < 3 }
这是 △>0 的情况:
若 △=0 , △<0 分别作图观察讨论
得出结论:见 P18--19
说明:上述结论是一元二次不等式 ax+bx+c>0(<0) 当 a>0时的情况
若 a<0, 一般可先把二次项系数化成正数再求解
三、例题 P19 例一至例四
练习:(板演)
有时间多余,则处理《课课练》P14 “例题推荐”
四、小结:一元二次不等式解法(务必联系图象法)
五、作业:P21 习题 1.5
《课课练》第8课余下部分
第十三教时
教材:一元二次不等式解法(续)
目的:要求学生学会将一元二次不等式转化为一元二次不等 式组求解的方法,进而学
会简单分式不等式的解法。


过程:
一、复习:(板演)
一元二次不等式 ax
2
+bx+c>0与 ax
2
+bx+c<0 的解法
(分 △>0, △=0, △<0 三种情况)
1.2x
4
?x
2
?1

0 2.1

x
2
?2x<3 (《课课练》 P15 第8题中)
解:1.2x
4
?x
2
?1

0
?
(2x
2
+1)(x
2
?1)

0
?
x
2

1

?
x

?1 或 x

1
2.1

x
2
?2x<3
?

?
??
x
2
?2x?3
?
?
?
?
x?2x ?1

?

?
x
2
?2x?3?0
?

?
x
2
?2x?1?0


?

?
?
?1?x?3
?
x?1?2或x?1?2

?
?1
1?
2
或 1+
2

x<3
二、新授:
1.讨论课本中问题:(x+4)(x?1)<0
等价于(x+4)与(x?1)异号,即:
?
?
x?4?0

?
?
x?4?0
?
x?1?0

?
x?1?0

解之得:?4 < x < 1 与 无解
∴原不等式的解集是:{ x |
?
x?4?0x?4?0
?
?
x?1?0
}∪{ x |
?
?
?
x?1?0
}
={ x | ?4 < x < 1 }∪φ= { x | ?4 < x < 1 }
同理:(x+4)(x?1)>0 的解集是:{ x |
?
?
x?4?0
?
x?4?0
?x?1?0
}∪{ x |
?
2.提出问题:形如
x?a
?
x?1?0
}
x?b
?0
的简单分式不等式的解法:
同样可转化为一元二次不等式组 { x |
?
?
x?a?0
x?a
?
x?b?0
}∪{ x |
?
?
x?a?0
?
x?b?0
}
x?b
?0
也可转化(略)
注意:1?实际上 (x+a)(x+b)>0(<0) 可考虑两根 ?a与 ?b,利用法则求解:
但此时必须注意 x 的系数为正。
2?简单分式不等式也同样要注意的是分母不能0(如
x?a
x?b
?0
时)

3?形如
x?a
x?b
?c?0
的分式不等式,可先通分,然后用上述方法求解
3.例五:P21 略
4.练习 P21 口答板演
三、如若有时间多余,处理《课课练》P16--17 “例题推荐”
四、小结:突出“转化”
五、作业:P22 习题1.5 2--8 及《课课练》第9课中挑选部分
第十四教时
教材: 苏大《教学与测试》P13-16第七、第八课
目的: 通过教学复习含绝对值不等式与一元二次不等式的解法,逐步形成教熟练的
技巧。
过程:
一、复习:1. 含绝对值不等式式的解法:(1)利用法则;
(2)讨论,打开绝对值符号
2.一元二次不等式的解法:利用法则(图形法)
二、处理苏大《教学与测试》第七课 — 含绝对值的不等式
《课课练》P13 第10题:
设A=
?
?
?
(a?1)
2
(a ?1)
2
?
?
x|x??
?
?
B={x|2< br>≤
x

3a+1}是否存在实数a的值,分别
?
22
?
?
使得:(1) A∩B=A (2)A∪B=A
解 :∵
(a?1)
2
(a?1)
2
?
(a?1)
2< br>2
?x?
∴ 2a

x

a
2
2
?
2
+1
∴ A={x|2a

x

a
2
+1}
(1) 若A∩B=A 则A?B ∴ 2

2a

a
2
+1

3a+1
?
1

a

3
(2) 若A∪B=A 则B?A
∴当B=?时 2>3a+1
?
a<
1
3


当B??时 2a

2

3a+1

a
2
+1 无解
∴ a<
1
3

三、处理《教学与测试》第八课 — 一元二次不等式的解法
《课课练》 P19 “例题推荐” 3
关于x的不等式
x
2
?kx?k
x
2
?x?3
?3
对一切实数x恒成立, 求实数k的取值范围。
解:∵ x
2
?x+3>0恒成立 ∴ 原不等式可转化为不等式组:
?
?
2
?
2x?
?
k?3
?
x?9?k?0
?
?
4x
2
?
?
k?3
?
x?9?k?0
由题意上述两不等式解集为实数

?
?
?
2
?
1
?
?
k?3
?
?8
?
9?k
?
?0
?

?
?
?9?k?7

?5?410?k?7

?
?
2
?
?
k? 3
?
2
?16
?
9?k
?
?0
?
?
5?410?k?5?410
即为所求。
四、作业:《教学与测试》第七、第八课中余下部分。
第十五教时
教材:二次函数的图形与性质(含最值);
苏大《教学与测试》第9课、《课课练》第十课。
目的: 复习二次函数的图形与性质,期望学生对二次函数y=ax
2
+bx+c的三 个参数a,b,c
的作用及对称轴、顶点、开口方向和 △ 有更清楚的认识;同时对闭区间内的二
次函数最值有所了解、掌握。
过程:
一、复习二次函数的图形及其性质 y=ax
2
+bx+c (a?0)

y
2
1.配方
b
?< br>4ac?b
2
y?a
?
?
?
x?
2a
?
?
?
4a
顶点,对称轴
2.交点:与y轴交点(0,c)
(0,c)
与x轴交点(x
1
,0)(x
2
,0)
O

x
1
x
2
x

求根公式
x
?
1
?x
2
?
a

3.开口
4.增减情况(单调性) 5.△的定义
二、图形与性质的作用 处理苏大《教学与测试》第九课
例题:《教学与测试》P17-18例一至例三 略
y
三、关于闭区间内二次函数的最值问题
结合图形讲解: 突出如下几点:
a
2
1.必须是“闭区间” a
a
1
O
x
1

x

a
2
2.关键是“顶点”是否在给定的区间内;
3.次之,还必须结合抛物线的开口方向,“顶点”在区间中点的左侧还是右侧综
合判断。
处理《课课练》 P20“例题推荐”中例一至例三 略
四、小结:1


调二次函数y=ax
2
+bx+c (a?0) 中三个“参数”的地位与作用。我们
实际上就是利用这一点来处理解决问题。
2


于二次函数在闭区间上的最值问题应注意顶点的位置。
五、作业: 《课课练》中 P21 6、7、8
《教学与测试》 P18 5、6、7、8 及“思考题”
第十六教时
教材: 一元二次方程根的分布
目的: 介绍符号“f(x)”,并要求学生理解一元二次方程ax
2
+bx+c=0 (a?0)的根的分布
与系数a,b,c之间的关系,并能处理有关问题。
过程:
一、为了本课教学内容的需要与方便,先介绍函数符号“f(x)”。 如:二次函数记


作f(x)= ax
2
+bx+c (a?0) x=1时的函数值记作f(1) 即f(1)=a+b+c
二、 例一 已知关于x的方程 (k?2)x
2
?(3k+6)x+6k=0有两个负根,求k的取值
范围。

?
?
解:
?
??
?
3k ?6
?
2
?4
?
k?2
?
?6k?0
?< br>?
?
?
2
5
?k?6
?
3k?6

?
k?2
?0

?
?
?
?2?k?2

??
2
?k?0

?
6k
?
k?0或k?2
5

?
?
k?2
?0
?
?
此题主要依靠
?
及韦达定理求解,但此法有时不大奏效。
例二 实数a在什么范围 内取值时,关于x的方程3x
2
?5x+a=0的一根大于
?2而小于0,另一根大于 1而小于3。
y
?
?
f(?2)?3?
?
?2
?
2
?5?
?
?2
?
?a?0
解:
?
?
f(0)?a?0
f(-2)
f(3)
(1)?3?5?a?0

?
f
?

O

1

3

x
?
f(3)?3?3
2
?5?3?a?0

-2

?
?12
f(1)
此题利用函数图象及函数值来“控制”一元二次方程根的分布。
例三 已知 关于x的方程x
2
?2tx+t
2
?1=0的两个实根介于?2和4之间,求
实数t的取值。
y
?
f(?2)?t
2
?
?4t?3?0
解:
?
?
f(4)?t
2
?8t?15?0
?
??4t
2
?4(t
2
?
?1)?4?0

??1?t?3

-2

O
4
x
?
?
?
?2??
b
2a
?t?4
此题既利用了函数值,还利用了
?
及顶点坐标来解题。
三、作业题(补充)
*1. 关于x的方程x
2
+ax+a?1=0,有异号的两个实根,求a的取值 范围。
(a<1)
*2. 如果方程x
2
+2(a+3)x+(2a ?3)=0的两个实根中一根大于3,另一根小于
3,求实数a的取值范围。 (a *3. 若方程8x
2
+(m+1)x+m?7=0有两个负根,求实数m的取值范围。
(m>7)
*4. 关于x的方程x
2
?ax+a
2
?4=0有两个正根,求实数a的取值范围。

(a>2)
(注:上述题目当堂巩固使用)
5.设关于x的方程4x
2
? 4(m+n)x+m
2
+n
2
=0有一个实根大于?1,另一个
实根 小于?1,则m,n必须满足什么关系。 ((m+2)
2
+(n+2)
2
<4)
6.关于x的方程2kx
2
?2x?3k?2=0有两个实根,一根大于1另一个实根
小于1,求k的取值范围 。 (k0)
7.实数m为何值时关于x的方程7x
2
?(m+13)x+m
2
?m?2=0的两个实根
x
1< br>,x
2
满足01
2
<2。 (?28.已知方程x
2
+ (a
2
? 9)x+a
2
?5a+6=0的一根小于0,另一根大于2,求实
数a的取值范围。 (29.关于x的二次方程2x
2
+3x?5m=0有两个小于1的实根,求实数 m的
取值范围。 (?940

m<1)
10.已知方程x
2
?mx+4=0在?1

x

1上有解,求实数m的取值范围。
?
?
? ?m
2
?16?0
解:如果在?1

x

1上有两 个解,则
?
?
?2?x
1
?x
2
?2

?m??

?
f
?
1
?
?0

?
?
f
?
?1
?
?0
如果有一个解,则f(1)?f(?1)

0 得 m
≤?5 或 m≥5




(附:作业补充题)





作 业 题
(补充)

*1. 关于x的方程x
2
+ax+a?1=0,有异号的两个实根,求a的取值范围。
如果 方程x
2
+2(a+3)x+(2a?3)=0的两个实根中一根大于3,另一根小于3,求实 数
a的取值范围。
*3. 若方程8x
2
+(m+1)x+m?7=0有两个负根,求实数m的取值范围。




*2.


*4. 关于x的方程x
2
?ax+a
2
?4=0有两个正根,求实数a的取值范围。
(注:上述题目当堂巩固使用)
5.设关于x的方程4x
2
?4( m+n)x+m
2
+n
2
=0有一个实根大于?1,另一个实根小于
?1,则m,n必须满足什么关系。
6.关于x的方程2kx
2
?2x?3k? 2=0有两个实根,一根大于1另一个实根小于1,
求k的取值范围。
7.实数m为何值时关于x的方程7x
2
?(m+13)x+m
2
? m?2=0的两个实根x
1
,x
2
满足
01
< x
2
<2。
8.已知方程x
2
+ (a
2
?9)x+a
2
?5 a+6=0的一根小于0,另一根大于2,求实数a的取
值范围。
9.关于x的二次方程2x
2
+3x?5m=0有两个小于1的实根,求实数 m的取值范围。
10.已知方程x
2
?mx+4=0在?1

x< br>≤
1上有解,求实数m的取值范围。






作 业 题
(补充)

*1. 关于x的方程x
2
+ax+a?1=0,有异号的两个实根,求a的取值范围。
*2. 如果方程x
2
+2(a+3)x+(2a?3)=0的两个实根中一根大于3,另一根 小于3,求实数
a的取值范围。
*3. 若方程8x
2
+(m+1)x+m?7=0有两个负根,求实数m的取值范围。
*4. 关于x的方程x
2
?ax+a
2
?4=0有两个正根,求实数a的取值范围。

(注:上述题目当堂巩固使用)
5.设关于x的方程4x
2?4(m+n)x+m
2
+n
2
=0有一个实根大于?1,另一个实根小 于
?1,则m,n必须满足什么关系。
6.关于x的方程2kx
2
?2 x?3k?2=0有两个实根,一根大于1另一个实根小于1,
求k的取值范围。
7.实数m为何值时关于x的方程7x
2
?(m+13)x+m
2
? m?2=0的两个实根x
1
,x
2
满足
01
< x
2
<2。
8.已知方程x
2
+ (a
2
?9)x+a
2
?5 a+6=0的一根小于0,另一根大于2,求实数a的取
值范围。
9.关于x的二次方程2x
2
+3x?5m=0有两个小于1的实根,求实数 m的取值范围。
10 .已知方程 x
2
? mx+4=0 在?1

x

1上有解,求实数m的取值范围。






第十七教时
教材: 绝对值不等式与一元二次不等式练习课
目的: 通过练习逐步做到能较熟练掌握上述两类不等式的解法。
过程:
一、复习:绝对值不等式与一元二次不等式的复习。
二、例题:
例1、解不等式
2?1?
3?5x
4

解:原不等式可化为:①
1?
3?5x
?2
和②
1?
3?5x
??2

解①:
x??
7
4
5
解②:
x?
9
4
5




∴原不等式的解集是{x|
x??
7
}∪{x|
x ?
9
}={x|
x??
7

x?
9
55
5
5
}
例2、解不等式
2?5x15
3
?
4
?
6

解:原不等式 可化为:
?
5
?
2?5x
6
?
1
?
5

??10??20x?11?

121
346
10

20
?x?
20
∴原不等式的解集是{x|
121
20
?x?
20
}

?
或解:原不等式化为
?
2?5x
?
15
?< br>4
??
6
(略)


?
2
3?5x
?
3
?
15
4
?
6
例3、解关 于x的不等式
2x?3?1?a
(a?R)
解:原不等式可化为:
2x?3?a?1

当 a+1>0 即a>?1时 ?(a+1)<2x+3??
a?4a?
2
?x?
2
2

当 a+1

0即 a

?1时 解集为?
∴当a>?1时 原不等式的解集是 {x|
?
a?4a?2
2
?x?
2
};
当a

?1时 解集为?
例4、解不等式
2?1?4x?7

解一:原不等式可化为:
2?4x?1?7


?
?
?
4x?1?2
?
?
x ??
13
4
或x?
313
?
?
4x?1?7

?
?
?
3
4

???x??或?x?2


?
?
244
2
?x?2
?
解二: ∵
1 ?4x?
?
4x?1当x?
1

?
1
?
1
?
4
∴ Ⅰ:
?
?
x?

?
x?
(下略)
?
?
1?4x当x?
1
4

?
4
Ⅱ:
?
?
2?4x?1?7
?< br>4
?
2?1?4x?7
解三:原不等式解集等价于下面两个不等式解集的并集: 2

1?4x<7
2

?(1?4x)<7
(下略)
例5、解不等式 |x+2| + |1?x|解:原不等式即为 |x+2| + |x?1| Ⅰ:
?
?
x??2
?
?x?2?1?x?x?4

?
?

Ⅱ:
?
?
?2?x?1
?
x?2?1?x?x?4

?
?1 Ⅲ:
?
?
x?1
?
x?2?x?1?x?4

?
1

x
<
3
∴ 原不等式的解集为:{x|?1例6、解下列不等式:
① 3-6x-2x
2
<0
解:整理得 2x
2
+6x-3<0用 求根公式求根得解集{x|
?3?15?3?
2
?x?
15
2
}
② (x-1)(3-x) 解:整理得 2x
2
?3x+4>0 ∵
???23?0
∴不等式解集为 R

2x?5
3x?1
?1

解:移项,通分,整理得
x?4
3x?1
?0
不等式解集为{x|x

-4或x>
1
3
}
或解:取并集
?
?
3x?1?0
?
3x?1?0
?
2x?5?3x?1

?
?
2x?5?3x?1

④ 0

x
2
-2x-3<5
解:原不等式的解集为下面不等式组的解集

?
?
?
x
2
?2x?3?0
?
x??1或x?3
?
?
x
2
?2x?5?5

?
?
?
?2?x?4

∴原不等式的解集为 {x|-2
-1 或 3

x<4}

例7、已知U=R且 A={x|x
2
-5x-6<0} B={x| |x-2|

1} 求:
1)A∩B 2)A∪B 3)(C
u
A)∩(C
u
B)
解:A={x|-1
1或x

3}
A∩B={x|-1
1或3

x<6} A∪B=R
C
u
A={x|x

-1或x

6} C
u
B={x|1 ∴(C
u
A)∩(C
u
B)= {x|x

-1或x

6}∪{x|1 也可求 C
u
(A∪B)= ?
例8、解关于x的不等式 (1-a)x
2
+4ax-(4a+1)>0 (a?R)
解:1 当1-a=0即 a=1时 原不等式化为 4x-5>0 x>
5
4

2 当 1-a>0即a<1时 ∵
?
=4(3a+1)


(1)当
?
?
a?1
?
3a?1?0

?
1
3
?a?1

?
>0
此时原不等式的解集是
?
?
?
?2a?3a?1?2a?3a
?x|x?或x?
?1
?
?
(2)当a=
?
1?a1?a
?
?

?
?
1
3

?
=0 原不等式化为 4x
2
-4x+1>0 即 (2x-1)
2
>0
此时原不等式的解集是 {x?R|x?
1
2
}
(3)当a<
?
1
3

?
<0 且 1-a>0 此时原不等式的解集为R
3 当1-a<0即a>1时 原不等式可化为 (a-1)x
2
-4ax+(4a+1)<0
这样a-1>0这时
?
=4(3a+1)>0 用求根公式求得:
此时原不等 式的解集为:
?
?
?
x|
2a?3a?12a?3a?1
?
?
a?1
?x?
?

综上可得:当a<-
1
?
?
a?1
?
?
3
时原不等式解集为R
当a= -
1
1
3
时原不等式解集为{x?R|x?
2
}

?
1
3
?a?1
时原不等式解集为
?
?
?
?
x|x?
?2a?3a?1?2a?3a?1
?
?
1? a
或x?
1?a
?
当a=1时原不等式解集为{x| x>
?
5
?
?
4
}
当a>1时原不等式解集为< br>?
?
?
2a?3a?12a?3a?1
?
?
?
x|?x?
?
a?1a?1
?
?

例9、已知A={x| |x-a|

1} B={x|
x
2
?
?x?30
x?3
?0
}且A∩B=?求a的范围。
解:化简A={a-1
≤x≤
a+1}

x
2
?x?30
(x?6)(x?5
x?3
?0

?

)
x?3

0 介绍“标根法”
B={x|-5

x<3 或 x

6}
要使A∩B=?必须满足 a+1<-5 或
?
?
a?1?3
?
a?1?6
即a<-6或4

a<5
∴ 满足条件的a的范围是a<-6或4

a<5
例10、(1)若不等式 (1-a)x
2
-4x+6>0的解集是{x|-3(2)若-32
-4x+6>0成立, 求a的取值范围。
?
解:(1)由题设可知 1-a<0
?
?
4
?
1?a
??3?1??2

?a?3
?
6

??
(2)设 y=(1-a)x
2
-4x+6
?
1?a
3?1??3

1

当1-a>0即a<1时 抛物线开口向上
?
=24a-8
当a<
1
3

?
<0 解集为R -3
1
?
>0 此时对称轴 x=-
?4
3
2(1?a)
?
2
1?a
?3
而x=1时y=3-a>0
由图象可知: -30
当a=
1
3

??0
这时对x?3都有y>0 故-3∴ a<1时 若-32
-4x+6>0都成立
2

当a=1时不等式为-4x+6>0对于-3即-4x+6>0成立
3

当a>1时1-a<0 抛物线开口向下 要使-32
-4x+6>0成立
??
a?1
必须
?
a?1
?
x??3时y?0

?
?
?
?
9(1?a)?18?0
1?a?3


?
x?1时y?0
?

?
?
(1? a)?2?0
综上:若-32
-4x+6>0成立,则a的取 值范围是a

3
三、作业:《教学与测试》 第10课(选部分)
第十八教时
教材:逻辑联结词(1)
目的:要求学生了解复合命题的意义,并能指 出一个复合命题是有哪些简单命题与逻
辑联结词,并能由简单命题构成含有逻辑联结词的复合命题。
过程:
一、提出课题:简单逻辑、逻辑联结词
二、命题的概念:例:12>5 ① 3是12的约数 ② 0.5是整数 ③
定义:可以判断真假的语句叫命题。正确的叫真命题,错误的叫假命题。
如:①②是真命题,③是假命题
反例:3是12的约数吗? x>5 都不是命题
不涉及真假(问题) 无法判断真假


上述①②③是简单命题。 这种含有变量的语句叫开语句(条件命题)。
三、复合命题:
1.定义:由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题。
2.例:(1)10可以被2或5整除④ 10可以被2整除或10可以被5整除
(2)菱形的对角线互相 菱形的对角线互相垂直且菱形的
垂直且平分⑤ 对角线互相平分
(3)0.5非整数⑥ 非“0.5是整数”
观察:形成概念:简单命题在加上“或”“且”“非”这些逻辑联结词成复合
命题。
3.其实,有些概念前面已遇到过
如:或:不等式 x
2
?x?6>0的解集 { x | x3 }
且:不等式 x
2
?x?6<0的解集 { x | ?2< x<3 } 即 { x | x>?2且x<3 }
四、复合命题的构成形式
如果用 p, q, r, s……表示命题,则复合命题的形式接触过的有以下三种:
即: p或q (如 ④) 记作 p?q
p且q (如 ⑤) 记作 p?q
非p (命题的否定) (如 ⑥) 记作 ?p
五、例一: P26(略)
学生练习 P26 “练习”
处理《课课练》 课时13 “基础训练”及“例题推荐”
六、小结:1.命题 2.复合命题 3.复合命题的构成形式
七、作业:课本 P29 习题1.6 1、2
《课课练》课时13 余下部分

第十九教时
教材: 逻辑联结词(2)
目的: 通过实例,要求学生理解逻辑联结词,“或”“且”“非”的含义,并能利用
真值表, 判断含有复合命题的真假。
过程:
一、复习:“命题”“复合命题”的概念
本堂课研究的问题是:概括简单命题的真假,讨论含有“或“且”“非”的复
合命题的真假。
二、先介绍“真值”:命题分“真”“假”两种判断结论。也可用1表示“真”;
0表示“假”。这里1与0表示真值,所以真值只能是1或0。
生活中常有“中间情况”从而诞生了“模糊逻辑”。
三、真值表:
1.非p形式:
例:命题P:5是10的约数(真) 命题p:5是8的约数(假)
则命题非p:5不是10的约数(假) 非p:5不是8的约数(真)
结论:为真非为假 、为假非为真
p 非p
真 假
假 真
记忆:“真假相反”
2.p且q形式
例:命题p:5是10的约数(真) q:5是15的约数 (真)
s:5是12的约数 (假) r:5是8的约数 (假)
则命题p且q:5是10的约数且是15的约数(真)
p且q:5是10的约数且是8的约数(假)
p且q:5是12的约数且是8的约数(假)


p q p且q p q p或q
真 真 真 真 真 真
真 假 假 真 假 真
假 真 假 假 真 真
假 假 假 假 假 假
记忆:“同真为真”(其余为假) “同假为假”(其余为真)
3.p或q形式 仍看上例
则命题p或q: 5是10的约数或5是15的约数 (真)
p或r:5是10的约数或5是8的约数 (真)
s或r:5是12的约数或5是8的约数 (假)
四、几个注意问题:
1.逻辑中的“或”与日常生活中的“或”是有区别的
例:“苹果是长在树上或长在地里”生活中这句话不妥,但在逻辑中却是
真命题。
2.逻辑联结词中“或”与“且”的意义:
举出一些生活例子,见 P28 洗衣机例子 开门的事
电路:
或门电路(或) 与门电路(且)
3.学生讨论:举例
五、例题:P25例二
练习(提问) P28
六、有时间则处理“教学与测试”第11课
七、作业:P29 习题1.6 3、4
第二十教时

教材:四种命题
目的:要求学生 掌握四种命题,给出一个简单的命题(原命题)要能写出它的逆命题、
否命题、逆否命题。
过程:
一、复习初中学过的命题与逆命题的知识
定义:如果第一 个命题的条件(或题设)是第二个命题的结论,且第一个命题
的结论是第二个命题的条件,这两个命题叫 互逆命题。其中一个命题叫
做原命题,另一个命题叫做原命题的否命题。
例:“同位角相等,两直线平行” (1)
条件(题设):同位角相等。 结论:两直线平行
它的逆命题:两直线平行,同位角相等。 (2)
二、新授:
1.看两个命题:同位角不相等,两直线不平行 (3)
两直线不平行,同位角不相等 (4)
比较命题(1)与(3):一个命题的条件和结论,分别是另一个命题的条 件
的否定和结论的否定。…………互否命题
比较命题(1)与(4): 一个命题的条件和结论,分别是另一个命题的结论
的否定和条件的否定。……互为逆否命题
2.概括:(1)为原命题 (2)为逆命题
(3)为否命题 (4)为逆否命题
3.若p为原命题条件,q为原命题结论
则:原命题:若 p 则 q 逆命题:若 p 则 q
否命题:若 ?p 则 ?q 逆否命题:若 ?q 则 ?p
4.例一 见 P30 例一 略
注意:关键是找出原命题的条件(p),结论(q)
然后适当改写成更明显的形式。
5.注意:1?为什么称“互为
..
”逆命题(否命题,逆否命题)
2?要重视对命题的剖析:条件、结论
三、练习 (P31)




四、拓宽引申:
例:写出命题“若 xy= 0 则 x = 0或 y = 0”的逆命题、否命题、逆否命题
解:逆命题:若 x = 0或 y = 0 则 xy = 0
否命题:若 xy ? 0 则 x ? 0且 y ? 0
逆否命题:若 x ? 0且 y ? 0 则 xy?0
五、作业:P33 习题1.7 1 、2
《课课练》P28-29 课时15中选部分
第二十一教时
教材:四种命题的关系
目的:要求学生理解四种命题的关系,并能利用这个关系判断命题的真假。
过程:
一、复习:四种命题
提问:说出命题“若两个三角形全等,则这两个三角形相似”的逆命题、
否命题、逆否命题。(解答略)
二、
1.接复习提问:原命题与逆否命题互逆否,否命题与逆命题互逆否,逆命题与
逆否命题互逆。
小结:得表:

原命题

互逆
逆命题

若p则q 若q则p


互 否










互 否



否命题 逆否命题
若?p则?q
互逆
若?q则?p

2.如果原命题为真,则逆命题、否命题、逆否命题真假如何?
例:原命题:“若 a = 0 则 ab = 0”是真命题
逆命题:“若 ab = 0 则 a = 0”是假命题

否命题:“若 a ? 0 则 ab ? 0”是假命题
逆否命题:“若 ab ? 0 则 a ? 0”是真命题
小结:原命题为真,逆命题不一定为真,
否命题也不一定为真,逆否命题为真。
3.又例:若四边形 ABCD为平行四边形,则对角线互相平分。
它的逆命题、否命题、逆否命题均为真。
三、例题: P32 例二 (略)
又例:命题“若 x = y 则 x
2
= y
2
”写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并
判断它的真假。
解:逆命题:若 x
2
= y
2
则 x = y (假,如 x = 1, y = ?1)
否命题:若 x

? y 则 x
2
? y
2
(假,如 x = 1, y = ?1)
逆否命题:若 x
2
? y
2
则 x ? y (真)
又例:写出命题:“若 x + y = 5则 x = 3且 y = 2”的逆命题否命题逆否命题,
并判断它们的真假。
解:逆命题:若 x = 3 且 y = 2 则 x + y = 5 (真)
否命题:若 x

+ y ? 5 则 x ? 3且y?2 (真)
逆否命题:若 x

? 3 或y?2 则 x + y ?5 (假)
四、处理《课课练》 30—31 16课
五、作业:课本33—34习题1.7中3,4
《课课练》16课余下部分
第二十二教时
教材:反证法
目的:要求学生初步学会反证法的步骤,并能用以证明一些命题。
过程:


一、提出问题:初中平几中有一个命题:
“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”。
二、如何证明:
1,(教师给出如下方法)
证:先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点,
则O在AB的中垂线l上,O又在BC的中垂线m上,
即O是l与m的交点。
但∵A、B、C共线,∴l∥m(矛盾)
∴过在同一直线上的三点A、B、C不能作图。
2.指出这种证明方法是“反证法”。
定义:从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明命题成立,这样的证明方
法叫反证法。
即:欲证p则q,证:p且非q(反证法)
3,反证法的步骤:1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立。
2)从这个假设出发,通过推理论证,得出矛盾。
3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。
4,反证法:1)反设(即假设) p则q(原命题) 反设p且非q。
2)可能出现三种情况:
①导出非p为真——与题设矛盾。
②导出q为真——与反设中“非q“矛盾。
③导出一个恒假命题——与公理、定理矛盾。
三、例一(P32例3) 用反证法证明:如果a>b>0,那么
a?b

证一(直接证法)
a?b?
?
a?b
??
a?b
?

∵a>b>0,∴a ? b>0即
?
a?b
??
a?b
?
?0
,∴
a?b?0


a?b

证二 (反证法)假设
a
不大于
b
,则
a?b或a?b

∵a>0,b>0,∴
a?b?a?a?a?b
① 或
a?b?b?b

由①、②(传递性)知:
a?a?b?b
即 a < b(与题设矛盾)

同样,若
a?b?a?b
(与题设矛盾)

a?b

例二、(P32-- 33例4)用反证法证明圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
证明:反设AB、CD被P平分
∵P不是圆心,连结OP
则由垂径定理:
A
OP?AB,OP?CD
O
D
则过P有两条直线与OP垂直(矛盾)
∴弦AB,CD不被P平分

P

C
B

例三、用反证法证明:
2
不是有理数。
证:假设
2
是有理 数,则不妨设
2?
m
(m,n为互质正整数)
从而:
(< br>m
)
2
n
?2

m
2
?2n
2
,可见m是偶数。
设m=2p(p是正整数)
n
,则
2n
2
?m
2
?4p
2
,可见n 是偶数。
这样,m.,n就不是互质的正整数(矛盾)。∴
2?
m
n
不可能

2
不是有理数。
四、小结:反证法定义、步骤、注意点
五、作业:P33练习 P34习题1.7 5 及《课课练》P33例二。
第二十三教时
教材: 充要条件(1)
目的: 通过实例要求学生理解充分条件、 必要条件、充要条件的意义,并能够初步
判断给定的两个命题之间的关系。
过程:
一、复习:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假:


1) 若x>0则x
2
>0; 2) 若两个三角形全等,则两三角形的面积相等;
3) 等腰三角形两底角相等; 4) 若x
2
=y
2
则 x=y。
(解答略)
二、给出推断符号,紧接着给出充分条件、必要条件、充要条件的意义
1.由上例一: 由x>0,经过推理可得出x
2
>0
记作: x>0 ? x
2
>0 表示x>0是x
2
>0的充分条件
即: 只要x>0成立 x
2
>0就一定成立 x>0蕴含着x
2
>0;
同样表示:x
2
>0是x>0的必要条件。
一般:若p则q, 记作p?q 其中p是q的充分条件, q是p的必要条件
显然: x
2
>0 ? x>0 我们说x
2
>0不是x>0的充分条件
x>0也不是x
2
>0的必要条件
由上例二: 两个三角形全等 ? 两个三角形面积相等
显然, 逆命题 两个三角形面积相等 ? 两个三角形全等
∴我们说: 两个三角形全等是两个三角形面积相等的充分不必要条件
两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件
由上例三: 三角形为等腰三角形 ? 三角形两底角相等
我们说三角形为等腰三角形是三 角形两底角相等的充分且必要条件,这
种既充分又必要条件,称为充要条件。
由上例四:显然 x
2
=y
2
? x=y
x
2
=y
2
是x=y的必要不充分条件; x=y 是x
2
=y
2
的充分不必要条件。
三、小结: 要判断两个命题之间的关系,关键是用什么样的推断符号把两个命
题联结起来。
四、例一:(课本P34例一)

例二:(课本P35-36 例二)
练习 P35 、P36
五、作业:P36-37 习题1.8
第二十五教时
教材:简易逻辑、四种命题、反证法、充要条件;《教学与测试》11、12、13课
目的:复习上述教学内容,要求学生对有关知识的掌握更加牢固,理解更加深刻。
过程:
一、复习:
1、简易逻辑:(1) 命题的概念 — 能判断真假
(2) 逻辑联结词及复合命题:“或”、“且”、“非”
(3) 复合命题的真假 — 真值表, 简单复合命题的否定
2、四种命题:(1) 四种命题 — 原命题、逆命题、否命题、逆否命题
(2) 四种命题的关系:互逆、互否、互为逆否及其真假
3、反证法: 步骤及如何导出“矛盾”
4、充要条件:(1) 有关意义:充分条件,必要条件,充要条件 — 强调利用推断
符号
(2) 充要条件与四种命题的关系
二、处理《教学与测试》第11课 P21-22 口答为主
例一:主要强调“命题”的意义
例二:首先要写出三种简单复合形式,然后判断其真假。
例三:注意训练将常用的命题“改写”成三种不同形式以利解题
三、处理《教学与测试》第12课 P23-24
例一:注意命题的否定形式,尤其是简单复合命题的否定形式。
例二:强调由原命题写出其他三种命题。


例三:突出反证法的步骤及注意事项。
四、处理《教学与测试》第13课 P25-26
例一:要能利用推断符号判断充分条件,必要条件和充要条件。
例二:突出三个(或以上)命题的充要条件的判断方法。
例三:体现充要条件的应用。
五、作业:上述三课中余下部分(其中相当的部分可做在书上)
第二十六教时
教材:“简易逻辑”习题课
目的:通过习题的讲解与练习,努力达到熟练技巧。
过程:
一、分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题:
1.p:李明是高中一年级学生 q:李明是共青团员
解:p或q:李明是高中一年级学生或是共青团员
p且q:李明是高中一年级学生且是共青团员
非p:李明不是高中一年级学生
2.p:
5?2
q:
5
是无理数
解:p或q:
5
是大于2或是无理数
p且q:
5
是大于2且是无理数
非p:
5
不大于2
3.p:平行四边形对角线相等 q:平行四边形对角线互相平分
解:p或q:平行四边形对角线相等或互相平分
p且q:平行四边形对角线相等且互相平分
非p: 平行四边形对角线不一定相等
4.p:10是自然数 q:10是偶数
解:p或q:10是自然数或是偶数
p且q:10是自然数且是偶数

非p: 10不是自然数
二、分别指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题:
1.x=2或x=3是方程x
2
?5x+6=0的根
解: p:x=2是方程x
2
?5x+6=0的根 q:x=3是方程x
2
?5x+6=0的根
是p或q的形式
2.?既大于3又是无理数
解: p:?大于3 q:?是无理数 是p且q的形式
3.直角不等于90?
解: p:直角等于90? 是非p形式
4.x+1

x?3
解: p:x+1
>
x?3 q:x+1
=
x?3 是p或q的形式

5.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。
解: p:垂直于弦的直径平分这条弦
q:垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧 是p且q的形式
三、
分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复 合命题,并判
断它们的真假:
1.p:末位数字是0的自然数能被5整除 q:5?{x|x
2
+3x?10=0}
解:p或q:末位数字是0的自然数能被5整除或5?{x|x
2
+3x?10=0}
p且q:末位数字是0的自然数能被5整除且5?{x|x
2
+3x?10=0}
非p:末位数字是0的自然数不能被5整除
∵p真q假 ∴“p或q” 为真,“ p且q”为假,“非p”为假。
2.p:四边都相等的四边形是正方形 q:四个角都相等的四边形是正方形
解:p或q:四边都相等的四边形是正方形或四个角都相等的四边形是正方形
p且q:四边都相等的四边形是正方形且四个角都相等的四边形是正方形
非p:四边都相等的四边形不是正方形
∵p假q假 ∴“p或q” 为假,“ p且q”为假,“非p”为真。
?
?



3.p:0?? q:{x|x
2
?3x?5<0} R
解:p或q: 0??或{x|x
2
?3x?5<0}
?
?



R
p且q: 0??且{x|x
2
?3x?5<0}
?
?



R
非p: 0??
∵p假q真 ∴“p或q” 为真,“ p且q”为假,“非p”为真。
4.p:5

5 q:27不是质数
解:p或q:5

5或27不是质数
p且q:5

5且27不是质数
非p: 5>5
∵p真 q真 ∴“p或q” 为真,“ p且q”为真,“非p”为假。
5.p:不等式x
2
+2x?8<0的解集是:{x|?4q:不等式x
2
+2x?8<0的解集是:{x| x 2}
解:p或q:不等式x
2
+2x?8<0的解集是:{x|?4 2}
p且q:不等式x
2
+2x?8<0的解集是:{x|?4 2}
非p:不等式x
2
+2x?8<0的解集不是:{x|?4 ∵p真 q假 ∴“p或q” 为真,“ p且q”为假,“非p”为假。
p则q”的形式,并判断它们的真假:
1.实数的平方是非负数。
解:若一个数是实数,则它的平方是非负数。(真命题)
2.等底等高的两个三角形是全等三角形。
解:若两个三角形等底等高,则这两个三角形是全等三角形。(假命题)
3.被6整除的数既被3整除又被2整除。
解:若一个数能被6整除,则它能被3整除又能被2整除。(真命题)
4.弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧。
解:若一条直线是弦的垂直平分线,则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧。
命题)

五、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断真假:
1.面积相等的两个三角形是全等三角形。
解:逆命题:两个全等三角形面积相等。(真命题)
否命题:面积不等的两个三角形不是全等三角形。(真命题)
逆否命题:不全等的两个三角形面积不相等。(假命题)
2.若x=0则xy=0。
解:逆命题:若xy=0则x=0。(假命题)
否命题:若x?0则xy?0。(假命题)
逆否命题:若xy?0则x?0。(真命题)
3.当c<0时,若ac>bc则a 解:逆命题:当c<0时,若abc。(真命题)
否命题:当c<0时,若ac

bc则a

b。(真命题)
逆否命题:当c<0时,若a

b则ac

bc。(真命题)
4.若mn<0,则方程mx
2
?x+n=0有两个不相等的实数根。
解:逆命题:若方程mx
2
?x+n=0有两个不等实数根,则mn<0。(假命题)
否命题:若mn

0,则方程mx
2
?x+n=0没有两个不等实数根。( 假命题)
逆否命题:若方程mx
2
?x+n=0没有两个不等实数根,则mn

0。(真命题)
六、写出下列各命题的否定及其否命题,并判断它们的真假:
1.若x,y都是奇数,则x+y是偶数。
解:命题的否定:x,y都是奇数且x+y不是偶数。(假命题)
否命题:若x,y不都是奇数,则x+y不是偶数。(假命题)
2.若xy=0则x=0或y=0
解:命题的否定:xy=0且x?0又y?0。(假命题)
否命题:若xy?0则x?0且y?0。(真命题)
真七、用反证法证明:
1 .已知a与b均为有理数,且
a

b
都是无理数,证明
a
+
b
也是无理数。
四、把下列改写成“若








证明:假设
a
+
b
是有理数,则(
a
+
b
)(
a
?< br>b
)=a?b
由a>0, b>0 则
a
+
b
>0 即
a
+
b
?0

a?b?
a?b
a?b
∵a,b?Q 且
a
+
b
?Q

a?b
a?b
?Q 即(
a
?
b
)?Q
这样(
a
+
b
)+(
a
?
b
)=2
a
?Q
从而
a
?Q (矛盾) ∴
a
+
b
是无理数。
2.在同一平面内一直线的垂线与斜线一定相交。
证明: 假设l
1
与l
2
不相交,则l
1
∥l
2

l



2
l
1
如图,设l
1
与l
2
相交所得的一对同位角为?1和?2

2











1
则?1=?2 ∵l
2
是l的斜线 ∴?2?90?

l
从而 ?1?90?
说明l
1
与l的交角不是直角,这与l
1
?l矛盾
∴l
1
和l
2
一定相交。
八、指出下列各组命题中p是q的什么条 件(充分不必要条件,必要不充分条件,充
要条件,既不充分也不必要条件):
1.p:a
2
>b
2
q:a>b 则p是q的 既不充分也不必要条件 。
2.p:{x|x>?2或x<3} q:{x|x
2
?x?6<0} 则p是q的 必要而不充分条件 。
3.p:a与b都是奇数 q:a+b是偶数 则p是q的 充分不必要条件 。
4.p:01
3
q:方程mx
2
?2x+3=0有两个同号且不相等的实数根
则p是q的 充要条件 。
九、判断下列命题的真假:
1.(x?2)(x+3)=0是(x?2 )
2
+(y+3)
2
=0的充要条件。
解:是假命题。反例;若x=2, y??3
2.x
2
=4x+5是 x
4x?5?x
2
的必要条件。

解:是假命题。{x| x
2
=4x+5}={?1,5} {x| x
4x?5?x
2
}={0,5}
3.内错角相等是两直线平行的充分条件。
解:是真命题。
4.ab<0是 |a+b|<|a?b| 的必要而不充分条件。
解:是假命题。|a?b|>|a+b|

0 ? (a?b)
2
>(a+b)
2
? a
2
?2ab+b
2
> a
2
+2ab+b
2
? 4ab<0 ? ab<0 ∴(ab<0是 |a+b|<|a?b| 的充要条件)
十、已知关于x的方程 (1?a)x
2
+(a+2)x?4=0 a?R 求:
1) 方程有两个正根的充要条件;
2) 方程至少有一个正根的充要条件。
解:1) 方程(1?a)x
2
+(a+2)x?4=0有两个实根的充要条件是:
?
?
1?a?0
?
??0

即:
?
?
a?1
?
?
(a?2)
2
?16(1?a)?0
?
?
a?1
?
a?2或a?10

即: a

10或a

2且a?1
设此时方程两根为x
1
,x
2
∴有两正根的充要条件是:
?
?
?
a?1
?
a?1

?
?
?
a?2或a?10
?
?
a
?
x?x

?
a
?
?2或
2
a?10
2
?0
a?1
? 1
2或a

10 即为所求。
1
?
??0
?
x
1
x
2
?0
?
4
?
?
a?1
?0
2) 从1)知1
2或a

10方程有两个正根
当a=1时, 方程化为 3x?4=0有一个正根x=
4
3

方程有一正、一负根的充要条件是:
?
1?a?0
?
?

?
?
??0
?
?
a?1
?
?
a?2或a?10
? a<1
?
x
1
x
2
?0
?
4
?
?
a?1
?0
综上:方程(1?a)x
2
+(a+2)x?4=0至少有一正 根的充要条件是a

2或a

10。




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