高中数学分类讨论归纳总结(二)：集合中的分类讨论

高中数学分类讨论归纳总结(二)：集合中的分类讨论
高中数学分类讨论归纳总结（二）：集合中的分类讨论
一、参数取值引起的分类讨论
1．已知函数y＝2
x
，x∈[2,4]的值域为集合A，y＝log
2
[ －x
2
＋(m＋3)x－2(m＋1)]的定义域为
集合B，其中m≠1.设全集为R，若A??
R
B，求实数m的取值范围．
解析： 由－x
2
＋(m＋3)x－2(m＋1)＞0，得(x－m－1)(x－2)＜0，
若m＞1，则B＝{x|2＜x＜m＋1}，所以?
R
B＝{x|x≤2或x≥m＋1}．
因为A??
R
B，所以m＋1≤4，所以1＜m≤3.
若m＜1，则B＝{x|m＋1＜x＜2}，所以?
R
B＝{x|x≤m＋1或x≥2}，
此时A??
R
B成立．
2．已知集合A ＝{a－2,2a
2
＋5a,12}，且－3∈A，则a＝__________.
3
解析：∵－3∈A，∴－3＝a－2或－3＝2a
2
＋5a. ∴a＝－1或a＝－.
2
当a＝－1时，a－2＝－3,2a
2
＋5a＝－3，与元素互异性矛盾，应舍去．
3733
当a＝－时，a－2＝－，2a
2
＋5a＝－3. ∴a＝－满足条件．答案：－
2222
二、空集引起的分类讨论
1、已知集合A＝ {x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}．若B?A，则实数m的取值范
围是( )
A．－3≤m≤4 B．－3＜m＜4 C．2＜m≤4 D．m≤4
思维启迪：若B?A，则B＝?或B≠?，要分两种情况讨论．
解析：当B＝?时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠?时，若B?A，如图．


m＋1≥－2，
?
?
则
?
2m－1≤7，
?
?
m＋1＜2m－1，

解得2＜m≤4.
综上，m的取值范围为m≤4，故选D.
x－2 x－a
2
－2
2、．已知全集U＝R，非空集合A＝{x|＜0}，B＝{x|＜0} ．命题p：x∈A，
x－?3a＋1?x－a
命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a 的取值范围．
解析：∵a
2
＋2＞a，∴B＝{x|a＜x＜a
2
＋2}． 1
①当3a＋1＞2，即a＞时，A＝{x|2＜x＜3a＋1}．∵p是q的充分条件，∴A?B .
3

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?
?
a≤2，
3－5
1
∴
?
即＜a≤.
32
?
3a＋1≤a
2
＋2，
?

1
②当3a＋1＝2，即a＝时，A＝?，符合题意；
3
1
③当3a＋1＜2，即a＜时，A＝{x|3a＋1＜x＜2}，
3
?
?
a≤3a＋1，
11
由A?B得
?
2
∴－≤a＜.
23
?
a＋2≥2，
?

?
1
3－5
?
. 综上所述，实数a的取值范围是
?
－，
?
2
??
2
针对性练习：
1． A＝{1,2,3 }，B＝{x∈R|x
2
－ax＋1＝0，a∈A}，则A∩B＝B时，a的值是( )
A．2
C．1或3
B．2或3
D．1或2
解析 D 当a＝1时，B＝{x∈R|x
2
－x＋1＝0}＝?，A∩B＝B；当a＝2时，
B＝{x∈R|x
2
－2x＋1＝0}＝{1}，A∩B＝B；当a＝3时，A∩B＝B不成立 ．
2．关于x的不等式[x－(3－a)](x－2a)＜0的解集为A，函数y＝m( －x
2
＋3x－2)的定义域
为B.若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解析：由－x
2
＋3x－2＞0， 得x
2
－3x＋2＜0，故1＜x＜2，即B＝(1,2)．
由A∪B＝A，知B?A.
(1)若3－a＜2a，即a＞1时，A＝(3－a,2a)．
a＞1，
?
?
∵(1,2)?(3－a,2a)，∴
?
3－a≤1，
?
?
2a≥2.

解得a≥2.
(2)若3－a＝2a，即a＝1时，A＝?，不合题意；
(3)若3－a＞2a，即a＜1时，A＝(2a,3－a)．
a＜1，
?
?
∵(1,2)?(2a,3－a)． ∴
?
2a≤1，
?
?
3－a≥2.

1
解得a≤.
2
1
综上，实数a的取值范围是a≤，或a≥2.
2
3．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝ {x|x
2
－(2m＋1)x＋2m＜0}．
(1)若A∪B＝A，求实数m的取值范围；
(2)若(?
R
A)∩B中只有一个整数，求实数m的取值范围．
解析： (1)若A∪B＝A，则B?A. A＝{x|－1≤x≤2}，

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111
①当m＜时，B＝{x|2m＜x＜1}，此时－1≤2m，∴－≤m＜；
222
1
②当m＝时，B＝?，B?A成立；
2
11
③当m＞时，B＝{x|1＜x＜2m}，此时2m≤2，∴＜m≤1.
22
1
综上所述，所求m的取值范围是－≤m≤1.
2
(3)∵A＝{x|－1≤x≤2}，∴?
R
A＝{x|x＜－1或x＞2}，(9分)
1
①当m＜时，B＝{x|2m＜x＜1}，
2
3
若(?
R
A)∩B中只有一个整数，则－3≤2m＜－2， ∴－≤m＜－1；
2
1
②当m＝时，B＝?，不符合题意；
2
1
③当m＞时，B＝{x|1＜x＜2m}， 若(?
R
A)∩B中只有一个整数，则3＜2m≤4，
2
3
∴＜m≤2.
2
33
综上，m的取值范围是－≤m＜－1或＜m≤2.
22