2020届高中数学 专题01集合与常用逻辑用语

2020届专题一数学
考试范围：集合与常用逻辑用语
一、选择题(本大题 共15小题；每小题5分，共75分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。) < br>1．将集合
(x,y)
?
?
x?y?5
2x?y?1
?
用列举法表示，正确的是
（ ）
A．
?
2,3
?
B．
??
2,3
??
C．
?
x?2,y?3
?
D．
?
2,3
?

2.设集合
U?
R，
M ?{x|x?2011}
，集合
N?{x|0?x?1}
，则下列关系中正确的是
（ ）
A．
M?
?
C
U
N
?
?R

C．
N?
?
C
U
M
?

3．已知 集合
M?
?
x|x?7|＜9
?
，
N?
B．
M?N?
?
x0＜x＜1
?

D．
M?N?
?

?
x|y?9?x
2
?
，且
M、N
都是全集
U
的子集，则下图韦恩图中阴
影部分表 示的集合
（ ）

A．
?
x?3?x＜?2
?
B．
?
x?3?x??2
?
C．
?
xx?16
?
D．
?
xx＞16
?

4．定义集合
A?
?
x
1
,x
2
,...,x
n
?
，
B?< br>?
y
1
,y
2
,...y
m
??
, n,m?N
?
?
，若
x
1
?x
2
?... ?x
n
?y
1
?y
2
?...?y
m
则称 集
合
A、B
为等和集合。已知以正整数为元素的集合
M
，
N
是等和集合，其中集合
M?
?
1,2,3
?
，则
集 合N的个数有 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．命题“所有能被5整除的数都是偶数”的否定形式是
（ ）
A．所有不能被5整除的数都是偶数 B．所有能被5整除的数都不是偶数
C．存在一个不能被5整除的数都是偶数 D．存在一个能被5整除的数不是偶数
6．若集合
A?{x|
2
|2x?5|1
?3},B?{x|log
0.5(x
2
?4x?4)?0},C?{x|2
x?3x?1
?}
， 则“
x?A?B
”是“
x?C
”
2x?52
（ ）
A．充要条件
C．必要不充分条件
B．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（理）非负整数
a
,
b
满 足
a?b?ab?1
，记集合
M?
??
a,b
??
，则
M
的元素的个数为
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（文）下列特称命题中，假命题是
（ ）
2
A．?
x
∈R，
x
－2
x
－3＝0 B．至少有一个
x
∈Z，
x
能被2和3整除
2
C．存在两个相交平面垂直于同一直线 D．?
x
∈{
x
|
x
是无理数}，使
x
是有理数
8．（理）下列命题中的真命题是

（ ）
A．
3
是有理数 B．
2
2
是实数 C．
e
2
是有理数 D．
?
x|x是小数
?
?R

（文）若三角方程
c osx?0
与
cos2x?0
的解集分别为
E,F
，则
（ ）
A．E
?
F
?
B．E
?
?
F C．
E=F
D．
E?F?
?

?
?
?
?
?
?
?
?
?
9．已知平面向
a
，
b
满足
a?1
，
b?2
，
a
与
b
的夹角为
60
?
，则
m?1
是
a?mb?a
的
??
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条
10．在下列结论中，正确的结论为
（ ）
①“
p且q
”为真是“
p或q
”为真的充分不必要条件;
②“
p且q
”为假是“
p或q
”为真的充分不必要条件;
③“
p或q
”为真是“
?
p
”为假的必要不充分条件;
④“
?
p
”为真是“
p且q
”为假的必要不充分条件.
B．①③ C．②④ D．③④
?
?
?
?
2
?< br>?
11．设有两个命题，命题
p
：对
a
，
b
均为单位向量，其夹角为
?
，
a?b＞
1是
?
?
?
0,
?
的充
?
?
3
?
A．①②
要条件，命题
q
：若函数
y?kx
2
?kx?8
的值恒小于 0，则
?32?k?0
，那么
（ ）
A．“
p
且
q
”为真命题
C．“﹁
p
”为真命题
12．已知
B．“
p
或
q
”为真命题
D．“﹁
q
”为假命题
?
x
2
?2,x?0f(x)?
?
，试求
?x?[?1,1]
，
|f(x)|?ax
成立的充要条件
?
3x?2,x?0
（ ）
A．
a?
?
??,?1
?
?
?
0,??
?
B．
a?
?
?1,0
?
C．
a?
?
0,1
?
D．
a?
?
?1,0
?

2
13．对于数列
?
a
n
?
，“
a
n
,a
n?1
,a
n?2
(n?1,2,3?)
成等比数列”是“
a
n?1
?a
n
a
n?2
”的
（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也
不必要条件
14．在四棱锥
V-ABCD
中，
B
1
，
D
1
分别为侧棱
VB
，
VD
上的点，则命题P：“若
B
1
，
D
1
分别为侧棱
VB
，
VD
的中点，则四面体
AB
1
CD
1
的体积与四棱锥
V-ABCD
的体积之比为1：4”和它的逆命
题，否命题，逆否命 题中真命题的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
??
15．（理）设< br>M
为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数
t
和向量
a?M,都有
ta?M
,则
称
M
为“点射域”.现有下列平面向量的集 合:
2
①
{(x,y)|x?y}
；
?
?
x?y?0?
(x,y)|
???
； ②
?< br>?
x?y?0
?
③
{(x,y)|x?y?2x?0}
； ④
{(x,y)|3x
2
?2y
2
?6?0}
；
上述为“点射域”的集合的个数是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4 < br>22

（文）在整数集Z中，被5除所得余数为
k
的所有整数组成 一个“类”，记为[
k
]，即[
k
]={5n+
k
n
∈Z}，
k
=0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
①2020∈[1]；
②-3∈[3]；
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]
④“整数a
,
b
属于同一“类”的充要条件是“
a?b
∈[0]”.其中 正确的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共15小题；每小题5分，共75分。将答案填在题中的横线上。）
16．“若
x?M
则
y?M
”的逆否命题是 ．
17．（理）当两个集合中一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称两集合之间构成“偏食”.对于集合
A?
??1,
1
,1
?
?
，
?
2
?
2
?
B?
?
?
xax?1,a?0
?
，若
??
?
A
与
B
构成“全食”，或构成“偏食”，则
a
的取值集合
为 ．
（文）
P:x
1
,x
2
是方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的两实数根；
q:x
1
?x
2
??
,则
p
是
q
的
条件．
2
1 8．命题“?
x
∈R,2
x
－3
ax
＋9<0”为假命题， 则实数
a
的取值范围为 ．
19．对任意
A
中任取两个元素
x,y
，定义运算
x?y?ax?by?cxy< br>，其中
a,b,c
是常数，等式右边
的运算是通常的加法和乘法运算.已知1?2?3,2?3?4
，并且集合
A
中存在一个非零常数
m
，
使得对任意
x
，都有
x*m=x
，则称
m
是集合< br>A
的“钉子”.集合
A?
?
x|0?x?4
?
的“钉 子”
为 ．
20．下列命题中的假命题是 ．（把所有假命题的序号都填上）
①
?
x?R
,
3
x?2
＞0
；
③
?
x?R
,
10
x
＜1
；
②
?
x?Z
,
?
x?2
?
2
＞0
；
④
?
x?R
,
cosx?log
2
x
< br>b
a
B?
?
a,b
?
，21．设集合
A?{ x|x
2
?ax?b?x}?{a}
，令集合
C?
?
(x, y)|x?B,y?B
?
，则
C
= ．
2
)
是奇函数的充要条件是
a=
．
x?1
23．设
l
1
、
l
2
表示两条 直线，
α
表示平面，若有①
l
1
⊥
l
2
； ②
l
1
⊥
α
；③
l
2
?
α
，则以其中两
个为条件，另一个为结论，可以构造的所有命题中正确命题的个数
为 ．
24．已知集合
A?{xx
2
?4x?3?0}
，集合
B?{xx
2
?ax?a?1?0}
，p：
x?A
，q：
x ?B
，若
?
q是
?
p的
22．设函数
f(x)?x ?ln(a?
必要不充分条件，则实数a的取值范围是 ．
25．记函数
f
1
(x)?f(x),f
2
(x)?f(f (x)),L,f
n
(x)?f(fLf(x)))
，这些函数定义域的交集为
1442443
n个f
D
，若对
1
?x?D
，满足
f
n
(x)?x
所有
n
的取值构成集合P称为函数的“本源集”则 函数
f(x)?
x
的“本
源集”
P
= ．
26．设
A
、
B
、
I
均为非空集合，且满足< br>A?B?I
，有以下几个式子：

①（C
I
A）?B?I

②（C
I
A）?（C
I
B）?I

③A?（C
I
B）?
?

④（C
I
A）?（C
I
B）?C
I
B

则上述各式中正确的有 ．
27．对任意两个集合
M
、
N
，定义：
M
－
N
＝{
x< br>|
x
∈
M
且
x
?
N
}，
M
*
N
＝(
M
－
N
)∪(
N
－M
)，设
M
＝{
y
|
y
2
＝
x
，
x
∈R}，
N
＝{
y
|
y
＝3sin
x
，
x
∈R}，则
M
*
N
＝ ．
28．（理）下列说法中，正确的有 (把所有正确的序号都填上)．
①“
?x?R
，使
2
x
＞ 3
”的否定是“
?x?R
，使
2
x
?3
”； ②函数
y?sin
?
2x?
?
?
?
??
?
?
?
sin
?
?2x
?
的最小正周期是
?
3
??
6
?
；
③命题“函数
f(x)
在
x?x
0
处有极值，则
f'
?
x
0
?
=0”的否命题是真命题；
④已知函数
f'
?
x
?
是函数
f(x)
在R上的导函数,若
f(x)
是偶函数,则
f'< br>?
x
?
是奇函数；
⑤
?
1
?1
1 ?x
2
dx
等于
π
．
2
（文）已知
a< br>1
,a
2
,a
3
是三个相互平行的平面,平面
a1
,a
2
之间的距离为
d
1
,平面
a
2
,a
3
之间的距离
为
d
2
．直线
l与
a
1
,a
2
,a
3
分别交于
P1
,P
2
,P
3
.那么
P
1
P
2
?P
2
P
3
是
d
1
=
d2
的
条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”中选一个填上）
29．（理）下列四个命题：
（Ⅰ）
?n?
，
n
2
?n
； （Ⅱ）
?n?
，
n
2
＜n
；
（Ⅲ）
?n?
，
?m?
，
m
2
?n
； （Ⅳ）
?n?
，
?m?
，
m?n?m
．
请在①自然数集N；②整数集Z；③有理数集Q；④实数集R；⑤区 间
?
0,1
?
，中任选一个填在
上面四个空中，使其中至少有三个命 题为真命题的是 (把所有符合题
意的序号都填上)． （文）已知关
x
的一元二次函数
f(x)?ax
2
?bx?1< br>，设集合
P?
?
1,2,3
?
,
Q?
??1,1,2,3,4
?
，分别从集
合
P
和
Q
中随机取一个数
a
和
b
得到数对
?
a,b
?
，则能使函数
y?f(x)
有零点的
?
a,b
?
构成的集 合
M为 ．
30．命题
P
：任意
n?
R，使方程
n
2
?1y
2
?mx
2< br>?1
表示的曲线为椭圆或圆，命题
q
：存在
n?
R，
函数
f
?
x
?
?mx
3
?3x
2
?x?1
不是减函数，若命题“p且q”为假，“
p
或
q
”为真，“
?q
”为真，
则
m
的取值范围是 ．

2020届同心圆梦专题卷数学专题一答案与解析
1．【命题立意】本题主要考查集合的表示法.
【思路点拨】求出两直线的交点，注意集合中的元素是点的坐标.
【答案】B【解析】方程组
??
?
x?y?5
x?2
2x?y?1
的根为
y? 3
?
故将集合列举法表示为
??
2,3
??
.
2．【命题立意】本题考查集合的交并补运算，属简单题.
【思路点拨】先观察出集合
M,N
关系，再找答案.
【答案】C【解析】< br>C
U
M?
?
xx?2011
?
，所以
N?< br>.
（C
U
M）
3．【命题立意】本题考查集合的运算、集合的韦恩图 表示、绝对值不等式和函数值域.
【思路点拨】先求出集合
M,N
，看出韦恩图中所表示的是什么集合，再求解.

【答案】B【解析】
M?
?
x?2＜x＜16
?
，
N?
?
xy?9?x
2
?
?
?
x?3? x?3
?

所以.
N?
?
C
U
M
?
?
?
x?3?x??2
?

??
??
4．【命题立意】本题考查集合新定义，分类讨论的数学思想.
【 思路点拨】求出集合
M
元素之和，再把和分类分解为若干个正整数的和，看一下总共有
多少种情况.
【答案】B【解析】两个集合中所有元素之和相等（元素个数没有限制）被称为等和集. 根
据等和集合的定义，按照集合中的元素个数多少可知集合
N?
?
6
?
，
N?
?
1,5
?
，
N?
?
2 ,4
?
，
N?
?
1,2,3
?
共有4个，所以选B .
5．【命题立意】本题主要考查含有一个量词的命题的否定形式.
【思路点拨】否定原题结论的同时要把量词做对应改变.
【答案】D【解析】含有一个量词的 命题写出其否定形式不仅要否定其结论，还要把量词作
对应改变.
6．【命题立意】本题主要 考查指对数不等式、绝对值不等式的求解、集合运算以及充分必要
条件，是一个综合题，中档难度． < br>【思路点拨】先求出集合
A
，
B
，
C
，
A? B
，再判断
A?B
与
C
的包含关系即可.
【答案】C【解 析】
A?
?
?
x
?
?
??
?
5< br>?
?
＜3
?
?x2x?5＜0?
?
xx＜
?

2x?52
?
?
?
?
2x?5
??B?{x|log
0.5
(x
2
?4x?4)?0}?{x|0?x2
?4x?4?1}?{x|1?x?2或2?x?3}
，
所以
A?< br>22
?
?
5
?
1
?
??
B?
?
x1＜x＜2或2＜x＜
?
C?
?
x2
x?3x?1< br>＜
?
?
?
x2
x?3x?1
＜2
-1
?
?x1＜x＜2
2
?
2
?
??
?
?< br>??
，故
?
A?B
?
?C
，
所以“
x?A?B
”是“
x?C
”的必要不充分条件.
7．（理）【命题立意】本题考查代数式的变形，集合的表示，分类讨论思想及推理运算能力.
【思路点拨】利用
a
,
b
是非负整数讨论求出
a
,
b
的值，找到集合M中的元素个数.
【答案】C【解析】法一：由非负整数
a,b
满足
a?b?ab?1
，得
?
?
ab?1
或
?1
，
?
b
a
?0
a?b?0
a?b?0?
，或
?
即
?
ab?0
，
a?b?1
?
1
a?0
?
a
b
?
?1
，
?< br>b?1
，
即
M?
??
1,1
?
,
?
1,0
?
,
?
0,1
??
．
a＞b,?< br>?
a?1
??
1?b
?
?0?a?1,此时b?0
;
a?b,?
?
b?1
??
1?a
?
?0?b?1, 此时a?0,1
．
法二：由非负整数
a,b
满足
a?b?ab?1
，得
?
?
ab?1
?
，或
?
?
a b?0
，即
a?b?1
?
1
a?0a?1
?
ab
?
?1
，
?
b?1
，或
?
b?0< br>，即
M?
??
1,1
?
,
?
1,0
?
,
?
0,1
??
．
（文）【命题立意】本题考查含有量词的命题真值判定，属于基础题.
【思路点拨】注意存在量词和全称量词的内涵，选择采用特值判定和一般求解．
【答案】C【 解析】对于A：当
x
＝
?1
时，
x
2
?2x?3? 0
，故A为真命题；对于B：当
x
＝6
2
时，符合题目要求，为真命 题；对于C假命题；对于D：
x
＝3时，
x
＝3，故D为真命题.
综 上可知：应选C.
8．（理）【命题立意】本题考查简单命题真值判定即数的性质、元素与集合、集合与集合关系．
【思路点拨】实数性质的正确运用是解题关键.
（文）【命题立意】本题主要考查简单三角方程求解和集合之间的关系.
【思路点拨】画出函 数
y
=sin
x
和函数
y
=sin2
x
的 图像观察他们和x轴的交点可知两个集合
的关系或者直接解三角方程．
k
??
?
【答案】A【解析】
cosx?0
得，
x?k
?
??
?2
?
?
?
?
k?Z
?
，
cos2x?0
得，
x?
?
2
?
24
?
【 答案】B【解析】
2
2
属于无理数指数幂，结果是个实数；
3
和e
都是无理数；
?
xx是小数
?
?R
．
k< br>??
?
?
k?Z
?
所
24
以选A.
9．【命题立意】本题把向量的运算同充分必要条件结合，是一个中档题.
【思路点拨】分清 条件和结论，计算出
?
a?mb
?
?a
时m的取值范围，再判定充分 和必要.
【答案】C【解析】
?
a?mb
?
?a?1?m?0，
m?1
，选C．

10．【命题立意】本题主要考查复合命题真值判定、充分必要条件的判断.
【思路点拨】复合命题之间的真值关系是解题的关键，同时本题是一个双选题，解题时对
每一个命题真值 都要审慎思考.
【答案】B【解析】①和③为真，②和④为假，故选B.
11．【命题立意 】本题考查解不等式，不等式的等价变形、简单命题真值与复合命题真值之间
的关系等知识，属难题.
【思路点拨】能两边平方转化不等式
|a?b|?1
，数形结合转化函数
y? kx
2
?kx?8
的值恒小
于0求
k
的范围时，不要忘记对 二次方向系数是否为0进行讨论.
rr
2
r
2
r
2
rr
1
【答案】C【解析】由
a?b?1
可得
a?b?2ab?1 ,?1?2cos
?
?0,?cos
?
??
，
2
?
?
?
?
?
?
?
0，
?
，所以命 题
?
3
?
p
为假命题；若函数
y?kx
2
?kx?8
的值恒小于0，可得
?32＜k?0
，
所以命题
q
也是假命题，故选C.
12．【命题立意】本题考查全称量词、分段函数、恒成立不等式的转化以及 数形结合、分类讨
论思想，是一个难题.
【思路点拨】画出函数
f
?
x
?
的图像，分析
f
?
x
?
图像与直线
y?ax
的位置关系；或者分两段转
化不等式
f
?
x
??ax
，利用最值法求解参数取值范围.
【答案】B【解析】方法一：当
x?< br>?
?1,0
?
时，原不等式可变为
f
?
x
?
x
?a即
f
?
x
?
2
??a
， 所以
?x???a
可得
a??1
；当
x?0
时不等式
?x
x
f
?
x
?
x
f
?
x?
?a
可得
a?0
，
x
恒
成立；当
x?
?
0,1
?
时原不等式可变为
?a即
综合以
上可知参数
a
的取值范围是
?
-1,0
?
，选B.
方法二：数形结合法：如图可知当直线
y?ax
过点
?
-1,1?
时
a??1
，所以参数
a
的取值范围是
?
- 1,0
?
，选B.
13．【命题立意】本题考查等比数列和充要条件等知识.
【思路点拨】充要条件的验证，其实，就是做2件事情，“由前推后，由后推前.”
【答案】 A【解析】显然，前面可以推出后面，后面推不出前面.其反例数列为1，0，0，0，……，
应选A.
14．【命题立意】本题主要考查了几何体求体积及四种命题的真值，转化化归的数学思想．
【思路点拨】先判定原命题的真值，在判定其逆命题或否命题的真值，然后利用互为逆否
关系的两个命题 真值相同，来判断剩下两个命题的真假.
【答案】B【解析】如图：当
B
1
，
D
1
分别为侧棱
VB
，
VD
的中点时，四面体
B
1
ABC
、
D
1
ACD
各
占四 棱锥
V—ABCD
的体积的，四面体
AVB
1
D
1
、CVB
1
D
1
各占四棱锥
V
1
4
—AB CD
的体积的，所以四面体
AB
1
CD
1
的体积与四棱锥V —ABCD的
体积之比为1:4，当四面体
AB
1
CD
1
的 体积与四棱锥
V—ABCD
的体积之
比为1：4，假设
AC
，
BD
交与
O
点，只要
?OB
1
D
1
的面 积是
?VBD
面积
的即可，这时
B
1
，
D
1
未必是为侧棱
VB
，
VD
的中点，所以原命题为
真，逆命 题为假，原命题的逆否命题为真，否命题为假，故答案为B.
15．（理）【命题立意】本题考查点集所对应平面区域的形状特点是一个创新题，难度较大．
【思路点拨】理解“点射域”的概念，画出各个点集对应的平面区域，然后判断．
?
【答案】A【解析】由题知不可能是曲边界的区域，如果边界为曲边区域，当向量
a?M
，?
对任意正实数
t
所得的向量
ta
不能再通过平移移到原区域内 ，所以排除①③④，给出图像，
易知②正确．
1
4
1
8