高中数学一对一讲义——集合

晨光高中数学一对一讲义——《集合》
熊老师
一、本章复习建议：
解不等式是高中数学的主要工具之一，建议将 “不等式”拆开，把不等式的解法安排集合里.
二、知识回顾：
基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用
集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
集合间的交、并、补运算.
元素与集合、集合与集合的关系；
集合的文氏图、数轴法表示的应用.
交：AB?{x|x?A,且x?B}
并：AB?{x|x?A或x?B}

补：C
U
A?{x?U,且x?A}
主要性质和运算律
包含关系：
A?A,??A,A?U,
C
U
A?U,
A?B,B?C?A?C; AB?A,AB?B;AB?A,AB?B.

等价关系：
A?B?AB?A?AB?B?
C
U
AB?U

集合的运算律：(注意结合“文氏图”)
交换律：
A?B?B?A;A?B?B?A.

结合律:
(A?B)?C?A?(B?C);(A?B)?C?A?(B?C)

分配律:.
A?(B?C)?(A?B)?(A?C);A?(B?C)?(A?B)?(A? C)

0-1律：
?A??,?A?A,UA?A,UA?U

等幂律：
A?A?A,A?A?A.

求补律：A∩?
U
A=φ A∪?
U
A=U ?
U
U=φ ?
U
φ=U ?
U
(?
U
A)=A
反演律：?
U
(A∩B)= (?
U
A)∪(?
U
B) ?
U
(A∪B)= (?
U
A)∩(?
U
B)
有限集的元素个数
定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.
基本公式：（1、2、3、5了解；4要记住）

(1)card(AB)?c ard(A)?card(B)?card(AB)
(2)card(ABC)?card(A)?ca rd(B)?card(C)
?card(AB)?card(BC)?card(C
?car d(ABC)
(3) card(?
U
A)= card(U)- card(A)
（4）设有限集合A, card(A)=n,则
(ⅰ)A的子集个数为
2
；
n

A)

(ⅱ)A的真子集个数为
2?1
；
n
n

(ⅲ)A 的非空子集个数为
2?1
；(ⅳ)A的非空真子集个数为
2?2
.
（ 5）设有限集合A、B、C， card(A)=n，card(B)=m,mn?m
(ⅰ) 若
B?C?A
,则C的个数为
2
；
n

n?m
?1
； (ⅱ) 若
B?C?A
,则C的个数为
2
n?m
?1
； (ⅲ) 若
B?C?A
,则C的个数为
2
n?m
?2
. (ⅳ) 若
B?C?A
,则C的个数为
2
不等式的性质：
1．同向不等式可 以相加；异向不等式可以相减：若
a?b,c?d
，则
a?c?b?d
（若< br>a?b,c?d
，则
a?c?b?d
），但异向不等式不可以相加；同向不等式 不可以相减；
2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不 能相
乘：若
a?b?0,c?d?0
，则
ac?bd
（若
a ?b?0,0?c?d
，则
ab
?
）；
cd
nn
3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若
a?b?0
，则
a?b
或
n
a?
n
b
；
1111
4．若
ab?0
，
a?b
，则
?
；若
ab?0
，
a?b< br>，则
?
。如
ab
ab
对于实数
a,b,c
中，给出下列命题：
①
若a?b,则ac?bc
； ②
若ac?bc,则a?b
；
22
③
若a?b?0,则a?ab?b
； ④
若a?b?0,则
2222
11
?
；
ab
ba
?
； ⑥
若a?b?0,则a?b
；
ab
11
ab
?
⑦
若c?a?b?0,则
； ⑧
若a?b,?
，则
a?0,b?0
。
ab
c?ac?b
⑤
若a?b?0,则
其中正确的命题是______
不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；
3．分析法；
4．平方法；

5．分子（或分母）有理化；
6．利用函数的单调性；
7．寻找中间量或放缩法 ；
8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如
（1）设
a?0且a?1,t?0
，比较
（2）设
a?2
，
p?a?
1t?1
log
a
t和log
a
的大小
22
2
1
，
q?2
?a?4a?2
，试比较
p,q
的大小
a?2
（3）比较1+
log
x
3
与
2log
x
2(x?0且x?1)
的大小
利用重要不等式求函 数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这
17字方针。如
（1）若
x?2y?1
，则
2?4
的最小值是______
（2）正数
x,y
满足
x?2y?1
，则
xy
11
?
的最小值为______
xy
22
a?b< br>?
a?b
?ab?
2
(根据目标不等式左右的运算结构(3)常用不等 式有：（1）
221
?
1
ab
222
选用) ；（2）a
、
b
、
c
?
R，
a?b?c?ab?bc? ca
（当且仅当
a?b?c
时，取等号）；（3）若
bb?m
（糖水 的浓度问题）。如
a?b?0,m?0
，则
?
aa?m
如果正数< br>a
、
b
满足
ab?a?b?3
，则
ab
的取 值范围是_________
证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是 ：作差（商）后通过分解
因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).
常用的放缩技巧有：
1111111
???
2
???
nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n
111
k?1?k????k?k?1
k?1?k2kk?1?k
简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分 解成若干个一次因式的积，并使每一
个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数 轴上，从最大根的右上方依次
通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现
f (x)
的符号变化规律，写出不等式
的解集。如
2
（1）解不等式
(x?1)(x?2)?0
。 （2）不等式
(x?2)x
2
?2x?3?0
的解集是____
（3）设函数
f(x)
、
g(x)
的定义域都是R，且
f( x)?0
的解集为
{x|1?x?2}
，
g(x)?0
的解集
为
?
，则不等式
f(x)g(x)?0
的解集为______
（4）要使满足关于
x
的不等式
2x?9x?a?0
（解集非空）的 每一个
x
的值至少满足不等式
2
x
2
?4x?3?0和x< br>2
?6x?8?0
中的一个，则实数
a
的取值范围是______.
分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因
式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去
分母， 但分母恒为正或恒为负时可去分母。如
（1）解不等式
5?x
??1

2
x?2x?3
ax?b
?0
的解集为
x?2
（ 2）关于
x
的不等式
ax?b?0
的解集为
(1,??)
， 则关于
x
的不等式

绝对值不等式的解法：
1．分段讨论法（ 最后结果应取各段的并集）：如解不等式
|2?
31
x|?2?|x?|

42
（2）利用绝对值的定义；
（3）数形结合；如解不等式
|x|?|x?1|?3

（4）两边平方：如
若不等式
|3x?2|?|2x?a|
对
x? R
恒成立，则实数
a
的取值范围为______。
含参不等式的解法：求解 的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意
解完之后要写上：“综上，原不 等式的解集是?”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说
明其解集；但若按未知数讨论，最后应 求并集. 如
2
ax
2
?x(a?R)
（1）若
log
a
?1
，则
a
的取值范围是__________（2）解不等式< br>3
ax?1
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2 ）不等式解集的端点
值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于
x的不等式
ax?b?0
的解
集为
(??,1)
，则不等式x?2
?0
的解集为__________
ax?b
不等式的恒成立, 能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思
想和“分离变量法”转 化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）
1).恒成立问题
若不 等式
f
?
x
?
?A
在区间
D
上恒成立,则 等价于在区间
D
上
f
?
x
?
min
?A< br>
22
若不等式
f
?
x
?
?B
在区 间
D
上恒成立,则等价于在区间
D
上
f
?
x
?
max
?B

如（1）设实数
x,y
满足
x? (y?1)?1
，当
x?y?c?0
时，
c
的取值范围是_____ _
（2）不等式
x?4?x?3?a
对一切实数
x
恒成立，求实数
a
的取值范围_____
（3）若不等式
2x?1?m(x
2?1)
对满足
m?2
的所有
m
都成立，则
x
的 取值范围_____
(?1)
n?1
（4）若不等式
(?1)a?2?对于任意正整数
n
恒成立，则实数
a
的取值范围是_____
n
2
（5）若不等式
x?2mx?2m?1?0
对
0?x?1
的所有实数
x
都成立，求
m
的取值范围.
n
2). 能成立问题
若在区间
D
上存在实数
x
使不等式
f
?
x
?
?A
成立,则等价于在区间
D
上
f
?
x
?
max
?A
；
已知不等式
x?4?x?3 ?a
在实数集
R
上的解集不是空集，求实数
a
的取值范围____
3). 恰成立问题
若不等式
f
?
x
?
?A在区间
D
上恰成立, 则等价于不等式
f
?
x
?
?A
的解集为
D
；
若不等式
f
?
x
?
?B
在区间
D
上恰成立, 则等价于不等式
f
?
x
?
?B
的解集为
D
.
若在区间
D
上存在 实数
x
使不等式
f
?
x
?
?B
成立,则等 价于在区间
D
上的
f
?
x
?
min
?B< br>.如
三、考点典型分析
【1】集合是元素的总体，所以认识集合的关键是先认清元素 ，特别是用描述法表示的集合，这一
点尤为重要. 遇到集合问题，首先要弄清：集合里的元素是什么及集合中元素满足的条件。

集合的辨别:注意数集与点集的区别

例1： 已知
A?x|y?



?
x?1
，
B?
?
y|y?x
2
?1
?
，则
A?B?
.
?
评注：虽然集合
A
、
B
元素的一般符号不同 ，但它们的本质是相同的，即都是数集，所以它们
之间可进行运算，集合
A?B
元素的 一般符号用
x
或
y
都可以.
22
例2：已知
A? (x,y)|y?x?1
，
B?y|y?x?1
，则
A?B?
.
????

解析：集合A中的元素为点（x,y）,而集合B中的元素为
y
，表示一个数. 它们之间可进行不
能运算，所以
A?B?
φ
例3：（1）已知A={(x， y)|x+y=1，x∈R}，B={(x，y)|2x-y=2，x∈R}， 则A∩B=______；
22
（2）已知A={y|y=x-1，x∈R}，B={y|y=7-x，x∈R}， 则A∩B=________．



【2】判断元素与集合、集合与集合关系题
注意符号“?”、“?”与“?”、“
?
”各自的用法．
“?”与“?” 只能用于元素与集合之间；符号“∈”用在元素和集合间表示从属关系；而“?”
与“
?
”是用在两个集合之间．符号“
?
”用在两集合间表示包含关系如
1?{1，2}；3?{1，2}；{1}?{1，2}；{a}
?
{a，b}等等．

判断策略：
1、具体化：对于离散的数集或点集等具有明显特征的集合，可以将集 合中的元素一一列举出来，
使之具体化，然后从中寻长解题方法．
k1k1
????
例4设集合
M?
?
x|x??，k? Z
?
，
N?
?
x|x??，k?Z
?
，则（ ）
2442
????
Ａ．
M?N
Ｂ．
M?N
Ｃ．
M?N
Ｄ．
MN??

2、图示法：数形结合思想可帮助我 们理解集合的本质含义，如在进行有些集合的运算时，借助数
轴示意图表示集合与集合的关系，既易于理 解，又能提高解题效率；又如对于集合的交、并、补等
运算，用Venn图描述，比单纯用数学语言要形 象直观．
例5已知M={x|x?1}，N={x|x?a}且M?N，则（ ）
（A）a≤1 （B）a?1 （C）a≥1 （D）a?1
【3】有关集合运算题:设全集为U，已知集合A、B则
A?B?{x|x?A,
且
x?B}
,即求公共元素构成的集合
A ?B?{x|x?A,
或
x?B}
，即两集合中的元素并在一起，相同元素只写一次
C
U
A?{x|x?U,
且
x?A}
.即全集中的元素去掉 A中的元素。
注意：有的集合问题比较抽象，解题时若借助韦恩图进行数形分析或利用数轴、图象，采 用数
形结合思想方法，往往可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.
例6 ：集
U?R,A?{x|x
≤
2}
，
B?{x|x??1}
.

(1)求
A



B
及
AB
；(2)求
(AB)
及
(AB)
.
2
例7 ：
U=2,3,a?2a?3,A?
?
|2a?1|,2
?
,
??
C
U
A?
?
5
?
,求实数
a
的值.



例8已知全集U = {x | x取不大于20的质数} ，A、B是U的两个子集，且A
?
(C
U
B)={3，5}，(C
U
A)
?
B
={7，19}，(C
U
A)
?
(C
U
B) ={2，17}，求集合A、B．



元素与集合的隶属关系以及集合之 间的包含关系，一般都能通过Venn图形象表达，再加上由于题
设条件比较抽象，也应借助于Venn 图寻找解题思路，这样做有助于直观地分析问题、解决问题．
【4】已知集合关系，求字母参数的范围
例
3，a
2
?4a?2
9、知集合
M?2，
??< br>7，a
2
?4a?2，2?a
，
N?0，
M


N?
?
3，7
?
，求实数
a
的值． < br>??
，且
例10：
??
?
x|a?2?x?a?2
?
,B?
?
x|?2?x?3
?
,若
A



此时满足
A?B
.若把条件
A
B?A
,求实数< br>a
的取值范围.
评注：1. 注意端点值的舍取,一个难点和易错点，我们看到取等号 时，集合
A与集合B
是相等的，
B?A
改为
A B
呢？显然就取不到等号了.
2.将
AB?A
转化为
A?B
，以数轴直观地表达出了两集合的包含关系．
例11：已知集合A＝{
x
∣
x
≥４，或
x
＜－５ }，Ｂ＝｛
x
∣
a
＋１≤
x
≤
a
＋３｝，
若Ａ∪Ｂ＝Ａ，求
a
得取值范围．


评注：在求集合中 字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号，否则会
导致解题结果错误． 例12、设集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若B
?
A，求实数m的取值范围．




2
例13：已知A= {x|x-3x+2=0}，B={x|ax-2=0}，并且A∪B=A，求实数a组成的集合C．

注意“?”的特殊性．“?”是不含任何元素的集合．但它在集合大家庭中的地位却不可小视， ?
是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；
1、 ?只有唯一的一个子集（即它本身），而无真子集；
2、 任何一个集合与?作交集运算都等于?；任何一个集合A与?作并集运算都等于A
.遇到
AB ??
时，你是否注意到“极端”情况：
A??
或
B??
；同样当A?B
时，你
是否忘记
A??
的情形？
例14：知集合 A = { m，
n
2
，1}，集合 B = {m，m + n，0}，若A = B ，求实数m、n的值．
m



基础训练
1．集合
M?
?
1,2,3,4,5
?
的子集个数是 （
A．32 B．31 C．16 D．15
2．如果集合A={
x|
ax
2
＋2
x
＋1=0}中只有一个元素，则
a的值是 （
A．0 B
?
．
?
0 或1 C．1 D．不能确定
3．设集合
M?x|x?23
，
a?11?b
,其中
b?
?
0,1
?
，则下列关系中正确的是（
A．
a
?
?
M
B．
a?M
C．
?
a
?
?M
D．
?
a
?
?
?
M

4．设集合A={< br>x
|1＜
x
＜2}，B={
x
|
x
＜
a
}满足A
?
?
B，则实数
a
的取值范围是 （
A．
?
2,??
?
B．
?
??,1
?
C．
?
1,??
?
D．
?
??,2
?

5．满足{1，2，3}
?
?
M
?
?
{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是 （
A．8 B．7 C．6 D．5
6．设全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3 ，4}，则
C
I
A
∪
C
I
B
= （
A．{0} B．{0，1} C．{0，1，4} D．{0，1，2，3，4} 7．集合A={
a
2
，
a
＋1，-1}，B={2
a< br>－1，| a－2 |， 3
a
2
＋4}，A∩B={-1}，则
a
的值是（
A．－1 B．0 或1 C．2 D．0
8．已知集合M={(
x
，
y
)|4
x
＋
y
=6}，P={(
x
，
y
)|3
x
＋2
y
=7}，则M∩P等于 （
A．(1，2) B．{1}∪{2} C．{1，2} D．{(1，2)}
9．设集 合A={
x
|
x
∈Z且－10≤
x
≤－1}，B={
x
|
x
∈Z且|
x
|≤5 }，则A∪B中元素的个数为 （
A．11 B．10 C．16 D．15
10．已知全集I＝N，集合A＝{
x
|
x
＝2
n
，
n
∈N}，B＝{
x
|
x
＝4
n，
n
∈N}，则 （
A．I＝A∪B B．I＝
C
I
A
∪B C．I＝A∪
C
I
B
D．I＝
C
I
A
∪
C
I
B


）



）



）
）
）
）
）
）
）
）

11．设集合M=
{x|x?
A．
M
=
N

k1k1
?,k?Z},N?{x|x??,k?Z}
，则
2442
B．
M?N
C．
M?N

（ ）
D．
M
∩
N?
?

（ ） 12．集合A={
x
|
x
=2n＋1，n∈Z}， B={
y|
y
=4
k
±1，
k
∈Z}，则A与B的关系为
A．A
?
B B．A
?
?
B C．A=B
19、若A、B、C为三个集合，
A?B?B?C
，则一定有
（A）
A?C
（B）
C?A
（C）
A?C
（D）
A?
?

20.设集合
M?xx?x?0
，
N?xx?2
，则
A．
M
?
D．A≠B
?
2
?
??
N??
B．
MN?M
C．
MN?M
D．
MN?R

二、填空题：
23．设集合
U
={(x
，
y
)|
y
=3
x
－1}，
A={(
x
，
y
)|
24．集合M={
a
|
y?2
=3}，则
C
U
A
= .
x?1
6
∈N，且
a
∈Z}，用列举法表示集合M=_____ ___．
5?a
25．设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子 集数为T，则TS的值
为 .
26．设A={
x
|
x
＋
x
－6=0}，B= {
x
|
mx
＋1=0}，且A∪B=A，则
m
的取值范围是 .
三、解答题
31．已知集合A=
x?2?x?5
，
B?xm? 1?x?2m?1
，且
A?B?A
，求实数
m
的取值范
围。


33．已知集合A=
?
x?y,x?y,xy
?
，B=
x?y,x?y,0
，A=B，求x，y的值。
2222
2
????
??



222< br>34．已知集使A=
yy?(a?a?1)y?a(a?1)?0
，B=
?yy?
??
?
?
?
1
2
5
x?x?, 0?x?3
?
，
22
?
A∩B=φ，求实数a的取值范围.