高中数学x大于-高中数学参数方程备课
第一章 集合与简易逻辑
一、基础知识
定义1 一般地,一组
确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写
字母来表示;集合中的各个对象称为元素
,用小写字母来表示,元素
x
在集合A中,称
x
属
于A,记为
x?A
,否则称
x
不属于A,记作
x?A
。例如,通常用N,Z,
Q,B,Q
+
分别表示
自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集,不含任何
元素的集合称为空集,用
?
来
表示。集合分有限集和无限集两种。
集合的表
示方法有列举法:将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表
示集合的方法,如{1,2
,3};描述法:将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。
例如{有理数},
{x
x?0}
分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集:对于两个集合A与B,如果集合A
中的任何一个元素都是集合B中的元
素,则A叫做B的子集,记为
A?B
,例如
N?Z
。规定空集是任何集合的子集,如果A是
B的子集,B也是A的子集,则称A与B相等
。如果A是B的子集,而且B中存在元素不属
于A,则A叫B的真子集。
定义3
交集,
A?B?{xx?A且x?B}.
定义4
并集,
A?B?{xx?A或x?B}.
定义5
补集,若
A?I,则C
1
A?{xx?I,且x?A}
称为A在I中的补集。
定义6 差集,
AB?{xx?A,且x?B}
。
定义7
集合
{xa?x?b,x?R,a?b}
记作开区间
(a,b)
,集合 {xa?x?b,x?R,a?b}
记作闭区间
[a,b]
,R记作
(?
?,??).
定理1 集合的性质:对任意集合A,B,C,有:
(1)
A?(B?C)?(A?B)?(A?C);
(2)
A?(B?C)?(A?B)?(A?C)
;
(3)
C
1<
br>A?C
1
B?C
1
(A?B);
(4)
C
1
A?C
1
B?C
1
(A?B).
【证明】这里仅证(1)、(3),其余由读者自己完成。
(1)若
x?A?(B?
C)
,则
x?A
,且
x?B
或
x?C
,所以
x?(A?B)
或
x?(A?C)
,即
x?(A?B)?(A?C)
;反之,
x?(A?B)?(A?C)
,则
x?(A?B)
或
x?
(A?C)
,即
x?A
且
x?B
或
x?C
,即
x?A
且
x?(B?C)
,即
x?A?(B?
C).
(3)若
x?C
1
A?C
1
B
,
则
x?C
1
A
或
x?C
1
B
,所以
x?A
或
x?B
,所以
x?(A?B)
,
又
x?
I
,所以
x?C
1
(A?B)
,即
C
1
A
?C
1
B?C
1
(A?B)
,反之也有
C
1
(A?B)?C
1
A?C
1
B.
定理2 加法原理:
做一件事有
n
类办法,第一类办法中有
m
1
种不同的方法,第二类办
法中有
m
2
种不同的方法,…,第
n
类办法中有
m
n
种不同的方法,那么完成这件事一共有
N?m
1
?m
2<
br>???m
n
种不同的方法。
定理3 乘法原理:做一件事分
n个步骤,第一步有
m
1
种不同的方法,第二步有
m
2
种
不
同的方法,…,第
n
步有
m
n
种不同的方法,那么完成这
件事一共有
N?m
1
?m
2
???m
n
种不同的方法。
二、方法与例题
1.利用集合中元素的属性,检验元素是否属于集合。
例1
设
M?{aa?x
2
?y
2
,x,y?Z}
,求证:
(1)
2k?1?M,(k?Z)
;
(2)
4k?2?M,(k?Z)
;
(3)若
p?M,q?M
,则
pq?M.
[证明](1)
因为
k,k?1?Z
,且
2k?1?k
2
?(k?1)
2<
br>,所以
2k?1?M.
(2)假设
4k?2?M(k?Z)
,则存在
x,y?Z
,使
4k?2?x
2
?y
2
,
由于
x?y
和
x?y
有
相同的奇偶性,所以
x
2<
br>?y
2
?(x?y)(x?y)
是奇数或4的倍数,不可能等于
4k?
2
,假设不
成立,所以
4k?2?M.
(3)设
p?x<
br>2
?y
2
,q?a
2
?b
2
,x,y,a,
b?Z
,则
pq?(x
2
?y
2
)(a
2
?b
2
)
?a
2
a
2
?y
2<
br>b
2
?x
2
b
2
?y
2
a
2
?(xa?yb)
2
?(xb?ya)
2
?M
(因为
xa?ya?Z,xb?ya?Z
)。
2.利用子集的定义证明集合
相等,先证
A?B
,再证
B?A
,则A=B。
例2
设A,B是两个集合,又设集合M满足
。
A?M?B?M?A?
B,A?B?M?A?B
,求集合M(用A,B表示)
【解】先证
(A?B)?M,若
x?(A?B)
,因为
A?M?A?B
,所以
x?A?M,
x?M
,
所以
(A?B)?M
;
再证
M?(A?B)<
br>,若
x?M
,则
x?A?B?M?A?B.
1)若
x?A,则
x?A?M?A?B
;
2)若
x?B
,则
x?B?
M?A?B
。所以
M?(A?B).
综上,
M?A?B.
3.分类讨论思想的应用。
例3
A?{xx
2
?3x?2?0
},B?{xx
2
?ax?a?1?0},C?{xx
2
?mx?2?0}<
br>,若
A?B?A,A?C?C
,求
a,m.
【解】依题设,
A?{1,2}
,再由
x
2
?ax?a?1?0
解得
x?a?1
或
x?1
,
因为
A?B?A
,所以
B?A
,所以
a?1?A
,所以
a?1?1
或2,所以
a?
2
或3。
因为
A?C?C
,所以
C?A
,若
C?
?
,则
??m
2
?8?0
,即
?22?m?22
,
若
C??
,
则
1?C
或
2?C
,解得
m?
3.
综上所述,
a?2
或
a?3
;
m?3
或
?22?m?22
。
4.计数原理的应用。
例4 集合A,B,C
是I={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的子集,(1)若
A?B?I
,
求有序集合对(A,B)的个数;(2)求I的非空真子集的个数。
【解】(1)集合I可划分为三个
不相交的子集;AB,BA,
A?B,I
中的每个元素恰属于
其中一个子集,10个元
素共有3
10
种可能,每一种可能确定一个满足条件的集合对,所以集
合对有3
10
个。
(2)I的子集分三类:空集,非空真子集,集合I本身,确定一个子集分十步,
第一步,
1或者属于该子集或者不属于,有两种;第二步,2也有两种,…,第10步,0也有两种,<
br>由乘法原理,子集共有
2
10
?1024
个,非空真子集有1022个
。
5.配对方法。
例5 给定集合
I?{1,2,3,?,n}
的
k
个子集:
A
1
,A
2
,?,A
k
,满
足任何两个子集的交集非空,
并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质,求
k
的值。
【解】
将I的子集作如下配对:每个子集和它的补集为一对,共得
2
n?1
对,每一对不能同
在这
k
个子集中,因此,
k?2
n?1
;其次,每一对中必
有一个在这
k
个子集中出现,否则,若
有一对子集未出现,设为C
1
A与A,并设
A?A
1
??
,则
A
1
?C
1
A
,从而可以在
k
个子集中
再添加
C
1
A
,与已知矛盾,所以
k?2
n?1
。综上,
k?2
n?1
。
6.竞赛常用方法与例问题。
定理4
容斥原理;用
A
表示集合A的元素个数,则
A?B?A?B?A?B,
A?B?C?A?B?C?A?B?A?C?B?C?A?B?C
,
需要
xy此结
论可以推广
到
n
个集合的情况,即
?
?
A
i?1<
br>n
i
?
?
A
i
?
?
A
i<
br>?A
j
?
i?1i?j
n
1?i?j?k?n
?A
i
?A
j
?A
k
???(?1)
n?1?
n
A
i
.
i?1
定义8 集合的划分:
若
A
1
?A
2
???A
n
?I
,且
A
i
?A
j
??(1?i,j?n,i?j)
,则这些
子
集的全集叫I的一个
n
-划分。
定理5
最小数原理:自然数集的任何非空子集必有最小数。
定理6 抽屉原理:将
mn?1
个元素放入
n(n?1)
个抽屉,必有一个抽屉放有不少于
m?1
个元素,
也必有一个抽屉放有不多于
m
个元素;将无穷多个元素放入
n
个抽屉必有一个
抽屉
放有无穷多个元素。
例6
求1,2,3,…,100中不能被2,3,5整除的数的个数。
【解】 记
I?{1,2,
3,?,100},A?{x1?x?100,且x能被2整除(记为2x)}
,
B?{x1?
x?100,3x},C?{x1?x?100,5x}
,由容斥原理,
?
100??
100
?
A?B?C?A?B?C?A?B?B?C?C?A?A?B?C?
?
?
?
?
??
?
2
??
3
?
?
100
??
100
??
100
??
100
??
100
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?74
,所以不能被2,3,5整除的数有
I?A?B?C?
26
??????
56101530
??????????
个。
例7 S是集合{1,2,…,2004}的子集,S中的任意两个数的差不等于4或7,问S中最多含有多少个元素?
【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图
所示。由题目条件可知每相邻两个数至多
有一个属于S,将这11个数按连续两个为一组,分成6组,其
中一组只有一个数,若S含有
这11个数中至少6个,则必有两个数在同一组,与已知矛盾,所以S至多
含有其中5个数。
又因为2004=182×11+2,所以S一共至多含有182×5+2=912个
元素,另一方面,当
S?{rr?11k?t,t?1,2,4,7,10,r?2004,k?N}<
br>时,恰有
S?912
,且S满足题目条件,所以最
少含有912个元素。
例8 求所有自然数
n(n?2)
,使得存在实数
a
1
,a
2
,?,a
n
满足:
n(n?1)
}.
2
{a
i
?a
j
}1?i?j?n}?{1,2,?,
【
解】 当
n?2
时,
a
1
?0,a
2
?1
;当
n?3
时,
a
1
?0,a
2
?1,a
3
?3
;当
n?4
时,
a
1
?0,a
2
?2,a
3
?5,a
4
?1
。下证当
n?5时,不存在
a
1
,a
2
,?,a
n
满足条件。
令
0?a
1
?a
2
???a
n
,则
a
n
?
n(n?1)
.
2
所以必存在某两个下
标
i?j
,使得
a
i
?a
j
?a
n
?1
,所以
a
n
?1?a
n?1
?a
1
?a
n?1
或
a
n
?1?a
n
?a
2,即
a
2
?1
,所以
a
n
?
n(n?
1)n(n?1)
,
a
2
?1
。
,a
n?1?a
n
?1
或
a
n
?
22
(ⅰ)若<
br>a
n
?
n(n?1)
,a
n?1
?a
n?1
,考虑
a
n
?2
,有
a
n
?2?
a
n?2
或
a
n
?2?a
n
?a
2
,即
2
a
2
?2
,设
a
n?2
?an
?2
,则
a
n?1
?a
n?2
?a
n
?a
n?1
,导致矛盾,故只有
a
2
?2.
<
br>考虑
a
n
?3
,有
a
n
?3?a
n
?2
或
a
n
?3?a
n
?a
3
,即
a
3
?3
,设
a
n
?3?a
n?2
,则
a
n?1
?a
n?2
?2?a
2
?a
0<
br>,推出矛盾,设
a
3
?3
,则
a
n
?an?1
?1?a
3
?a
2
,又推出矛盾, 所以
an?2
?a
2
,n?4
故当
n?5
时,不存在满足条件
的实数。
(ⅱ)若
a
n
?
n(n?1)
,a
2<
br>?1
,考虑
a
n
?2
,有
a
n
?2
?a
n?1
或
a
n
?2?a
n
?a
3,即
a
3
?2
,
2
这时
a
3
?a
2
?a
2
?a
1
,推出矛盾,故
a
n
?1
?a
n
?2
。考虑
a
n
?3
,有a
n
?3?a
n?2
或
a
n
?3?a
n
?a
3
,即
a
3
=3,于是
a
3
?a
2
?a
n
?a
n?1
,矛盾。因此
a
n?2
?a
n
?3
,所以
a
n?1
?a
n?2
?1?a
2
?a
1
,这又矛盾,所以只有
a
n?2
?a
2
,所以
n?4
。故当
n?5
时,不存
在满
足条件的实数。
例9 设A={1,2,3,4,5,6},B={7,8,9,……
,n},在A中取三个数,B中取两
个数组成五个元素的集合
A
i
,
i?1,2,?,20,A
i
?A
j
?2,1?i?j?20.
求<
br>n
的最小值。
【解】
n
min
?16.
设B中每个数在所有
A
i中最多重复出现
k
次,则必有
k?4
。若不然,数
m
出
现
k
次
(
k?4
),则
3k?12.
在
m
出现的所有
A
i
中,至少有一个A中的数出现3次,不妨设它是1,
就有集合{1,
a
1
,a
2
,m,b
1
}
{1,a
3
,a
4
,m,b
2
},{1,a
5,a
6
,m,b
3
}
,其中
a
i
?A
,1?i?6
,为满足题意
的集合。
a
i
必各不相同,但只能是2,
3,4,5,6这5个数,这不可能,所以
k?4.
20个
A
i<
br>中,B中的数有40个,因此至少是10个不同的,所以
n?16
。当
n?16
时,如
下20个集合满足要求:
{1,2,3,7,8},
{1,2,4,12,14}, {1,2,5,15,16}, {1,2,6,9,10},
{1,3,4,10,11}, {1,3,5,13,14}, {1,3,6,12,15},
{1,4,5,7,9},
{1,4,6,13,16}, {1,5,6,8,11},
{2,3,4,13,15}, {2,3,5,9,11},
{2,3,6,14,16},
{2,4,5,8,10}, {2,4,6,7,11},
{2,5,6,12,13},
{3,4,5,12,16}, {3,4,6,8,9},
{3,5,6,7,10}, {4,5,6,14,15}。
例10 集合{1,2,…,3n
}可以划分成
n
个互不相交的三元集合
{x,y,z}
,其中
x?y
?3z
,
求满足条件的最小正整数
n.
【解】 设其中第
i
个三元集为
{x
i
,y,z
i
},i?1,2,?,n,
则1+2+…+
3n?
?
4z
i
,
i?
1
n
3n(3n?1)
?4
?
z
i
。当
n
为偶数时,有
83n
,所以
n?8
,当
n
为奇数时
,有
83n?1
,所以
2
i?1
n
所以
n?5,当
n?5
时,集合{1,11,4},{2,13,5},{3,15,6},{9,1
2,7},{10,14,
8}满足条件,所以
n
的最小值为5。