高中数学：集合之间的关系与运算练习

高中数学：集合之间的关系与运算练习

1．设A＝{正方形}，B＝{矩形 }，C＝{平行四边形}，D＝{梯形}，则下列包含关系中不
正确的是
( )
A．A?B B．B?C
C．C?D D．A?C
2．下列命题中正确的是( )
A．空集没有子集
B．空集是任一集合的真子集
C．空集中的元素个数为零
D．任何一个集合必有两个或两个以上的子集
3．集合A＝{x|0≤x<3，且x∈N}的真子集个数为( )
A．16 B．8 C．7 D．4
4．用恰当的符号填空(＝，?，?)．
(1)已知集合M＝{1,3,5}，集合P＝{5,1,3}，则M__________P； x－3
(2)设集合A＝{x|(x－3)(x＋2)＝0}，B＝{x|＝0}，则A_____ _____B.
x＋3
5．用适当的符号填空．
(1)a____{a，b，c}；
2
(2)0____{x|x＝0}；
2
(3)?____{x|x＋1＝0}；
(4){0,1}____N；
2
(5){0}____{x|x＝x}；
2
(6){2,1}____{x|x－3x＋2＝0}．

1．若集合A ＝{正方形，}B＝{菱形}，C＝{矩形}，D＝{平行四边形}，则下列关系中错
误的是……
( )
A．ABC
B．ABD
C．ACD
D．ACB < br>2．若集合M＝{(x，y)|xy>0且x＋y>0}，N＝{(x，y)|x>0，y>0}，则有( )
A．N∈M B．NM
C．NM D．M＝N
2
3．设集合M＝{x|x>1}，P＝{x|x>1}，则下列关系中正确的是( )
A．M＝P
B．PM
C．MP
D．M∪P＝R
22
4．已知集合A＝{x|x＝a，a>0}，B＝{x|nx＝a}，若BA，则n的取值集合为_______ ___．
1
5．已知A＝{a,0，－1}，B＝{c＋b，，1}，且A＝B，则a＝__ ________，b＝__________，
a＋b
c＝__________.
222
6．已知a∈R，x∈R，A＝{2,4，x－5x＋9}，B＝{3，x＋ax＋a}，C＝ {x＋(a＋1)x－
3,1}．
求：(1)使A＝{2,3,4}的x值；
1

(2)使2∈B，BA的a，x的值；
(3)使B＝C的a，x的值．







7．若A＝{x|－3≤ x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，B?A，求实数m的取值范围．









1．下列各式中，正确的是( )
A．23?{x|x≤4}
B．23∈{x|x≤4}
C．{23}{x|x≤3}
D．{23}∈{x|x≤4}
2．与集合{x∈N|x>1，且x≤3}相等的集合是( )
A．{2} B．{1,2,3}
C．{x|x＝3，或x＝2} D．{x|x＝3，且x＝2}
3．设集合A＝{x|1A．a≥2
B．a>2
C．a≤1
D．a>1
4．设A＝{0,1}，B＝{x|x?A}，则A与B的关系是( )
A．AB
B．A∈B
C．B?A
D．A＝B

2
5.A＝{1 ,3，a}，B＝{a－a＋1,1}，且B?A，则a＝__________.
1
26.已知集合A＝{(a，b)|a＋2b－1＝2a－1，a∈R，b∈R}，B＝{(1，)}，则A_ ___B.
2
7．满足{1,2,3}A{1,2,3,4,5}的集合A的个数有____ ______个．
8．已知集合M满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}，写出所有可能的集合M.






2

9．同时满足① M?{1,2,3,4,5}；②a∈M则6－a∈M的非空集合M有多少个？写出这些
集合．















10．已知集合A＝{2,4,6,8,9}， B＝{1,2,3,5,8}．写出满足下列条件的一个集合C.C
中各元素加2后，就变为A的一个子 集，若各元素都减去2后，则变为B的一个子集．


答案与解析
课前预习
1．C 四个集合之间的关系借助维恩图表示为：

显然，A?B?C，而C?D.
2．C 空集是任意集合的子集，是任一非空集合的真子集．
3．C A＝{0,1,2}，则A的单元素子集有{0}，{1}，{2}；双元素子集有{0,1} ，{0,2}，
{1,2}；
还有空集，故共有7个真子集．
nn
点评：含有n个元素的集合有2个子集，有2－1个真子集．
4．(1)＝ (2)? (2)∵A＝{－2,3}，B＝{3}，
∴A?B.
5．(1)∈ (2)∈ (3)＝ (4) (5) (6)＝
(1)是元素和集合的关系；
2
(2)是元素和集合的关系，且{x|x＝0}＝{0}；
2
(3)是集合与集合的关系，且{x|x＋1＝0}＝?；
(4)是集合与集合的关系；
2
(5)是集合与集合的关系，且{x|x＝x}＝{0,1}；
2
(6)是集合与集合之间的关系，且{x|x－3x＋2＝0}＝{1,2}．
3

课堂巩固
1．A 正方形是特殊的菱形和矩形；菱形和矩形是特殊的平行四边形．
2．D 关键要弄清集合M、N中元素 的特征性质，其中M中元素满足：xy>0且x＋y>0，
即为x>0，y>0，所以与N中元素的特殊 性质相同，
故M＝N.
3．C 由x
2
>1可得x>1或x<－1，∴MP.
4．{0，－1,1} ∵A＝{－a，a}，当n＝0时，nx＝a无解，即B＝?；
当n＝－1时，B＝{－a}；当n＝1时，B＝{a}，
∴n的取值集合为{0，－1,1}．
5．1 －2 2 由A＝B可得a＝1，c＋b＝0，
1
a＋b
＝－1，
∴a＝1，b＝－2，c＝2.
6．解：(1)由题意知{2,3,4}＝{2,4，x
2
－5x＋9}，
∴x
2
－5x＋9＝3.解得，x＝2或x＝3.
(2)∵2∈B，BA，
∴
?
?
?
x
2
－5x＋9＝3，
?
?
x
2
＋ax＋a＝2.


??
∴
?
2
?
a＝－
3
，
或
?
?
?
a＝－
4
，

?
x＝2

7
?
?
x＝3.

(3)∵B＝C，
∴
?
?
?
x
2
＋(a＋1)x－3＝3，
?
?
x
2
＋ax＋a＝1.


解得
?
?
?
a＝－2，

?
?
a ＝－6，
?
?
x＝3，
或
?
?
?
x＝－1 .


7．解：∵B?A，∴B＝?或B≠?.
当B＝?时，得2m－1>m＋1，
∴m>2；
?
2m－1≤m＋1，< br>当B≠?时，得
?
?
2m－1≥－3，
?
?
m＋1≤ 4.


解之，得－1≤m≤2.
综上所述，m的取值范围为m≥－1.
点评：本题容易忽略B＝?的情况，出现B?A或BA时，一定要讨论全面．
课后检测
1．B 弄清楚元素与集合之间，集合与集合之间的关系如何正确表达．
2．C {x∈N|x>1，且x≤3}＝{2,3}＝{x|x＝2，或x＝3}．
3．A 借助数轴：

点评：当研究数集之间的关系时，数轴是很有效的工具．
4．B 集合B中元素的特征性质是x?A，
∴x是A的子集，即集合B是由集合A的全体子集所构成的．∴A∈B.
4

点评：B＝{?，{0}，{1}，{0,1}}，集合A只是集合B中的一个元素．
5．－2或2 ∵B?A，
22
∴a－a＋1＝3或a－a＋1＝a，
2
由a－a＋1＝3解得a＝－1或2，
2
由a－a＋1＝a解得a＝1，不合题意，
∴a＝－1或2.
22
6．＝ A＝{(a，b)|a＋2b－1＝2a－1，a∈R，b∈R}＝{(a，b) |－(a－1)＝2b－1，
1
a∈R，b∈R}＝{(1，)}＝B.
2
7．2 因为{1,2,3}A，所以A中至少含有元素1,2,3.同时A{1,2,3,4,5}，
所以A 不可能为{1,2,3,4,5}．所以符合题意的集合A只可能为{1,2,3,4}或{1,2,3,5}．
8．解：①当M中含有两个元素时，M为{1,2}；
②当M中含有三个元素时，M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
③当M中含有四个元素时，M为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
④当M中含有五个元素时，M为{1,2,3,4,5}．
所以满足条件的集合M为：{1, 2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，
{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
9．解：由题意知，a∈M,6－a∈M，且M?{1,2,3,4,5}，
故以M中元素的个数进行分类．
①M中含1个元素时，若3∈M，则6－3∈M，
∴M＝{3}；
②M中含2个元素时，M为{1,5}，{2,4}；
③M中含3个元素时，M为{1,3,5}，{2,3,4}；
④M中含4个元素时，M为{1,2,4,5}
⑤M中含5个元素时，M为{1,2,3,4,5}．
因此满足条件的集合共有7个，即{3 }，{1,5}，{2,4}，{1,3,5，}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，
{1,2, 3,4,5}．
10.解：若A中元素减去2，得0,2,4,6,7，则C中元素必在其中，
B中元素加2得3,4,5,7,10，则C中元素必在其中，
所以C中元素只能是4或7.故C＝{4}，或C＝{7}，或C＝{4,7}．
点评：本题采用了逆向思维的方式，要体会“正难则反”的思维方法．
5