高中数学-集合与简易逻辑

高中数学总复习- 集合与简易逻辑
第1课时 集合的概念及运算
【考点导读】
1. 了解：集合的含义，体会元素与集合的属于关系．全集与空集的含义
2. 理解：集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集
3. 应用：交集与并集的 含义，会求两个集合的交集与并集；会求给定子集的补
集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直 观图示对理解抽象概念的
作用．
【基础练习】
1.集合
{(x,y)0? x?2,0?y?2,x,y?Z}
用列举法表示
{(0,0),(0,1),(1,0),( 1,1),(2,0),(2,1)}
．
2.设集合
A?{xx?2k?1,k?Z }
，
B?{xx?2k,k?Z}
，则
A?B?
?
．
{0,2}

． 3.已知集合
M?{0,1,2}
，
N? {xx?2a,a?M}
，则集合
M?N?
_______
C
IA?
{5,7}
，
4.设全集
I?{1,3,5,7,9}
，集 合
A?{1,a?5,9}
，
则实数
a
的值为____8
或 2___．
【范例解析】
例.已知
R
为实数集，集合
A?{xx
2
?3x?2?0}
.若
B?C
R
A?R
，
B?C
R
A?{x0?x?1
或
2?x?3}
，求集合
B
.

分析：先化简集合
A
，由
B?C
RA?R
可以得出
A
与
B
的关系；最后，由数形结
合，利 用数轴直观地解决问题.
解：（1）
QA?{x1?x?2}
，
?CR
A?{xx?1
或
x?2}
.又
B?C
R
A ?R
，
A?C
R
A?R
，可得
A?B
.
而
B?C
R
A?
{
x
0
?x?
1
或
2?x?3}
，
?
{x0?x?1
或
2?x?3}
?B.

借助数 轴可得
B?A?
{x0?x?1
或
2?x?3}
?{x0?x?3}
.
【反馈演练】
1,2
?
，
B?
?
1 ,2,3
?
，
C?
?
2,3,4
?
，则
?
A?B
?
UC
=_________． 1．设集合
A?
?
2．设
P
，
Q
为两个非空实数集合，定义集合
P
+
Q
=
{a?b|a?P,b?Q},若P?{0,2,5},
Q?{1,2, 6}
，则
P
+
Q
中元素的个数是_______
个． 3．设集合
P?{xx
2
?x?6?0}
，
Q?{x2a?x? a?3}
.
（1）若
P?Q?P
，求实数
a
的取值范围；
（2）若
P?Q??
，求实数
a
的取值范围；
（3）若
P?Q?{x0?x?3}
，求实数
a
的值.
解 ：（1）由题意知：
P?{x?2?x?3}
，
Q
P?Q?P
，?Q?P
.
①当
Q??
时，得
2a?a?3
，解得
a?3
．
②当
Q??
时，得
?2?2a?a?3?3
，解得
?1?a ?0
．
综上，
a?(?1,0)?(3,??)
．
（2）①当< br>Q??
时，得
2a?a?3
，解得
a?3
；

?
2a?a?3,
3
②当
Q??
时，得
?
，解得
a??5或?a?3
．
2
?
a?3??2或2a?3
3
综上，
a?(??,?5]?[,??)
．
2
（3）由
P?Q?{x0?x?3}
，则
a?0
．

第2课 命题及逻辑联结词
【考点导读】
1. 了解：命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关
系．
2. 分辨：逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表
述数学内容．
3. 理解：全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数
学内容．理解 对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量
词的命题进行否定．
【基础练习】
1.下列语句中：①
x
2
?3?0
；②你是 高三的学生吗？③
3?1?5
；④
5x?3?6
．
其中，不是命题的有____①②④_____．
2.一般地若用
p
和< br>q
分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若
q
则
p ，否命题可表示为
若?p则?q
，逆否命题可表示为
若?q则?p< br>；原命
题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．
【范例解析】
例1. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.
（1） 平行四边形的对边相等；
（2） 菱形的对角线互相垂直平分；
（3） 设
a,b ,c,d?R
，若
a?b,c?d
，则
a?c?b?d
.
分析：先将原命题改为“若
p
则
q
”，在写出其它三种命题.

解：（1）
原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；
逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题；
否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；
逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四
边形；真命题.
（2）
原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；
逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题；
否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；
逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真
命题.
（3）
原命题：设
a,b,c,d?R
，若
a?b,c?d
，则
a?c?b?d
；真命题；
逆命题：设
a,b,c,d?R
，若
a?c?b?d
，则
a?b,c?d
；假命题；
否命题：设< br>a,b,c,d?R
，若
a?b
或
c?d
，则
a?c ?b?d
；假命题；
逆否命题：设
a,b,c,d?R
，若
a?c ?b?d
，则
a?b
或
c?d
；真命题.
点评：已知原命 题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若
p
则
q
”的形式，
找出 其条件
p
和结论
q
，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的< br>命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题
p
的否定即
?p
时，要注 意对
p
中
的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是 ”的否
定为“不都是”等.

例2.写出由下列各组命题构成的“< br>p
或
q
”，“
p
且
q
”，“非
p< br>”形式的命题，并
判断真假.
（1）
p
：2是4的约数，
q
：2是6的约数；
（2）
p
：矩形的对角线相等，
q
：矩形的对角线互相平分； （3）
p
：方程
x
2
?x?1?0
的两实根的符号相同 ，
q
：方程
x
2
?x?1?0
的两实根
的绝对值相 等.
分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.
解：（1）
p
或
q
：2是4的约数或2是6的约数，真命题；
p
且
q
：2是4的约数且2是6的约数，真命题；
非
p
：2不是4的约数，假命题.
（2）
p
或
q
：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；
p
且
q
：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；
非
p
：矩形的对角线不相等，假命题.
（3）
p
或
q
：方程
x
2
?x?1?0
的两实根的符号相同或绝对值相等，假 命题；
p
且
q
：方程
x
2
?x?1?0
的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；
非
p
：方程
x
2< br>?x?1?0
的两实根的符号不同，真命题.
点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且 ”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清
楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题
p，
q
的真假然后根据真值表判断
构成新命题的真假.
例3.写出下列命题的否定，并判断真假.
（1）
p
：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；

（2）
p
：每一个非负数的平方都是正数；
（3）
p
：存在一个三角形，它的内角和大于180°；
（4）
p
：有的四边形没有外接圆；
（5）
p
：某些梯形的对角线互相平分.
分析：全称命题“
?x? M,p(x)
”的否定是“
?x?M,?p(x)
”，特称命题
“
? x?M,p(x)
”的否定是“
?x?M,?p(x)
” .
解：（1）
?p
：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题；
（2）
?p
：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；
（3）
?p
：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题；
（4）
?p
：所有四边形都有外接圆，假命题；
（5）
?p
：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.
点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：
正面词语
否定词语
等于
不等于
至多有一
正面词语
个
至少有两
否定词语
个

【反馈演练】
若
b?M
，则
a?M

大于
不大于
小于
不小于
是
不是
都是
不都是
至少有一个 任意的 所有的 …
一个也没有 某个 某些 …
1．命题“若a?M
，则
b?M
”的逆否命题是__________________. < br>2．已知命题
p
：
?x?R,sinx?1
，则
?p:
?x?R,sinx?1
.

3．若命题
m
的否命题n
，命题
n
的逆命题
p
，则
p
是
m< br>的____逆否命题____.
4．命题“若
a?b
，则
2
a
?2
b
?1
”的否命题为_____________________ ___
若
a?b
，则
2
a
?2
b
?1
．
5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．
（1）设
a,b?R
，若
ab?0
，则
a?0
或
b?0
；
（2）设
a,b?R
，若
a?0,b?0
，则< br>ab?0
．
解：（1）逆命题：设
a,b?R
，若
a?0< br>或
b?0
，则
ab?0
；真命题；
否命题：设< br>a,b?R
，若
ab?0
，则
a?0
且
b?0
；真命题；
逆否命题：设
a,b?R
，若
a?0
且< br>b?0
，则
ab?0
；真命题；
（2）逆命题：设
a,b? R
，若
ab?0
，则
a?0,b?0
；假命题；
否命题：设
a,b?R
，若
a?0
或
b?0
，则
a b?0
；假命题；
逆否命题：设
a,b?R
，若
ab? 0
，则
a?0
或
b?0
；真命题．

第3 课时 充分条件和必要条件
【考点导读】
1. 理解：充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件
和充要条件．
2. 应用：证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力．
【基础练习】
1.若
p?q
，则
p
是
q
的充分条件．若
q?p
，则< br>p
是
q
的必要条件．若
p?q
，
则
p
是
q
的充要条件．
2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”
填空. （1）已知
p:x?2
，
q:x?2
，那么
p
是
q
的_____充分不必要___条件．
（2）已知
p:
两直线平行，< br>q:
内错角相等，那么
p
是
q
的____充要_____条件 ．
（3）已知
p:
四边形的四条边相等，
q:
四边形是正方形， 那么
p
是
q
的___必要
不充分__条件．
3.若
x?R
，则
x?1
的一个必要不充分条件是
x?0
．
【范例解析】
例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”
填空. ?
x?2,
?
x?y?4,
（1）
?
是
?的________条件；
y?2.
xy?4.
?
?
（2）< br>(x?4)(x?1)?0
是
x?4
?0
的________条件；
x?1
（3）
?
?
?
是
tan
?
?tan
?
的_________条件；

（4）
x?y?3
是
x?1
或
y?2
的_________条件.
分析：从集合观点“小范围
?
大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.
?
x?2,
?
x?y?4,
1
解：（1）因为
?
结 合不等式性质易得
?
，反之不成立，若
x?
，
2
?
y?2.
?
xy?4.
?
x?2,
?
x?2,
?< br>x?y?4,
?
x?y?4,
y?10
，有
?
，但< br>?
不成立，所以
?
是
?
的充分不必要
?
y? 2.
?
y?2.
?
xy?4.
?
xy?4.
条件.
（2）因为
(x?4)(x?1)?0
的解集为
[?1,4]
，(x?4)(x?1)?0
是
x?4
?0
的解集为
(?1,4]
，故
x?1
x?4
?0
的必要不充分条件.
x?1
（3）当
?
?
?
?
?
2
tan
?
,tan
?
均不存在；时，当
tan
?
?tan
?
时，取
?
?
?
5
?
?
?
，，
4
4
但
?
?
?
，所以
?
?
?
是
tan
?
?tan
?
的既不充分也不必要条件.
（4 ）原问题等价其逆否形式，即判断“
x?1
且
y?2
是
x?y?3< br>的____条件”，
故
x?y?3
是
x?1
或
y?2
的充分不必要条件.
点评：①判断
p
是
q
的什么条件，实 际上是判断“若
p
则
q
”和它的逆命题“若
q
则
p
”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则
p
为
q
的充分不必要条件 ；若
原命题为假，逆命题为真，则
p
为
q
的必要不充分条件；若原命 题为真，逆命
题为真，则
p
为
q
的充要条件；若原命题，逆命题均为 假，则
p
为
q
的既不充
分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应 用.③在判断“若
p
则
q
”的真假困
难时，则可以判断它的逆否命题 “若
?
q
则
?
p
”的真假.

【反馈演练】
1．设集合
M?{x|0?x?3}
，
N?{x|0 ?x?2}
，则“
a?M
”是“
a?N
”的
_必要不充分

条件．
充分不必要
2．已知
p
：1＜
x
＜2，
q
：
x
(
x
－3)＜0，则
p是
q
的 条件．
3．已知条件
p:A ?{x?Rx
2
?ax?1?0}
，条件
q:B?{x?Rx
2?3x?2?0}
．若
?q
是
?p
的充分不必要条件，求实数< br>a
的取值范围．
解：
q:B?{x?R1?x?2}
，若
? q
是
?p
的充分不必要条件，则
A?B
．
若
A? ?
，则
a
2
?4?0
，即
?2?a?2
；
?
a
2
?4?0,
5
?
2
??a??2
．
若
A??
，则
?
?a?a
2
?4
解得
?a?a?4
2
?x?,
?
?22
综上所述，
?< br>
5
?a?2
．
2