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高中数学必修一集合经典题型总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 13:33
tags:高中数学集合

高中数学教师申报材料-高中数学考试技巧总结


慧诚教育2017年秋季高中数学讲义
必修一第一章复习


知识点一 集合的概念
1.集合
一般地,把一些能够_____________ ___对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象________构成的集
合(或集),通常用大 写拉丁字母
A

B

C
,…来表示.
2.元素
构成集合的____________叫做这个集合的元素,通常用小写拉丁字母
a

b

c
,…来表示.
3.空集
不含任何元素的集合叫做空集,记为?.
知识点二 集合与元素的关系
1.属于
如果
a
是集合
A
的元素,就说
a
________ 集合
A
,记作
a
________
A
.
2.不属于
如果
a
不是集合
A
中的元素,就说
a
________集合
A
,记作
a
________
A.
知识点三 集合的特性及分类
1.集合元素的特性
________、________、________.
2.集合的分类
(1)有限集:含有________元素的集合.
(2)无限集:含有________元素的集合.
3.常用数集及符号表示
名称
符号
知识点四 集合的表示方法
1.列举法
把集合的元素______ __________,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

2.描述法
非负整数集(自然数
集)
N
*

N或N


整数集
Z

Q
实数集
R


用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法.
知识点五 集合与集合的关系
1.子集与真子集


定义
如果集合
A
中的________元素
子集
都是集合
B< br>中的元素,我们就
说这两个集合有包含关系,称
集合
A
为集合
B
的子集
如果集合
A
?
B
,但存在元素
真子集 ________,且________,我们
称集合
A
是集合
B
的 真子集

2.子集的性质
(1)规定:空集是____________的子集, 也就是说,对任意集合
A
,都有________.
(2)任何一个集合
A
都是它本身的子集,即________.
(3)如 果
A
?
B

B
?
C
,则________ .
(4)如果
A
?
B

B
?
C
,则________.
3.集合相等


定义
如果集合A
是集合
B
的子集
(
A
?
B
),且< br>集合相等
________________,此时,
集合
A
与集合
B
中的元素是
一样的,因此,集合
A
与集

B相等
4.集合相等的性质
如果
A
?
B

B
?
A
,则
A

B
;反之,___________ _____________.


知识点六 集合的运算
符号语言
图形图言
(Venn图)
________(或
________)

________(或
________)

符号语言
图形语言
(Venn图)
A

B


1.交集
自然语言
由___________________
_____________________
组成的集合,称为
A

B
的交集
2.并集
自然语言
由_________________
______________ ___组
成的集合,称为
A

B
的并集

3.交集与并集的性质
交集的运算性质 并集的运算性质
符号语言 图形语言
符号语言 图形语言
A

B
=_________

A

B
=_______________

A

B
=________
A

A
=________
A
∩?=________
A
?
B
?
A

B
=________

4.全集
A

B
=________
A

A
=________
A
∪?=________
A
?
B
?
A

B
=________ < br>在研究集合与集合之间的关系时,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________,那么就称 这个集
合为全集,通常记作________.
5.补集
文字语言
符号语言
图形语言




对于一个集合A
,由全集
U
中__________的所有元素组成的集
合称为集合< br>A
相对于全集
U
的补集,记作________
?
U
A
=________________

典例精讲


题型一 判断能否构成集合
1.在“①高一数学中的难题;②所有的正三角 形;③方程
x
-2=0的实数解”中,能够构成集合的是 。

2
题型二 验证元素是否是集合的元素
1、已知集合
A?xx?m
2
?n
2
,m?Z,n?Z
.
求证:(1)3
?
A;
(2)偶数4k-2(k
?
Z)不属于A.








2、集合A是由形如
m?3n
?
m?Z,n?Z
?
的数构成的,判断





??
1
是不是集合A中的元素.
2?3
题型三 求集合
?
?
3
x

y
=2
1.方程组
?
?
2
x
-3
y
=27
?

的解集是( )
B.{
x

y
|
x
=3且
y
=-7}
C.{3,-7} D.{(
x

y
)|
x
=3且
y
=-7}
2.下列六种表示法:①{
x
=-1,
y
=2};②{(
x

y
)|
x
=-1,
y
=2};③{-1,2}; ④(-1,2);⑤{(-1,2)};
⑥{(
x

y
)|
x
=-1或
y
=2}.
?
?
2
x
+< br>y
=0,
能表示方程组
?
?
?
x

y
+3=0

的解集的是( )
B.②③④⑤
D.②⑤⑥
A.①②③④⑤⑥
C.②⑤
1+
a
1
3.数集
A
满足条件:若
a

A
,则∈
A
(
a≠1).若∈
A
,求集合中的其他元素.
1-
a
3






xyz
|
xyz
|
4.已知
x

y

z
为非零实数,代数式+++的值所组成的集合是
M
,用列举法表示集合M
|< br>x
||
y
||
z
|
xyz
为 。

题型四 利用集合中元素的性质求参数
1.已知集合
S
= {
a

b

c
}中的三个元素是△
ABC
的三边长,那么△
ABC
一定不是( )
A.锐角三角形
C.钝角三角形
?
?
B.直角三角形
D.等腰三角形
2.设
a

b
∈R,集合{1,
a

b

a
}=
?
0,,
b
?
,则
b
-< br>a
=________.
?
b
a
?
3.已知
P
={
x
|2<
x

k

x
∈ N,
k
∈R},若集合
P
中恰有3个元素,则实数
k
的取值 范围是________.
4.已知集合
A
={
x
|
ax
-3
x
+2=0}.
(1)若
A
是单元素集合,求集合
A

(2)若
A
中至少有一个元素,求
a
的取值范围.




5.已知集合
A
是由0,
m
m
-3
m
+2三个元素组成的集合,且2∈
A
,则实数
m
的值为( )
A.2
C.0或3
B.3
D.0或2或3
2
2
2
6.(2016·浙江镇海检测)已知集合
A
是由0 ,
m

m
-3
m
+2三个元素构成的集合,且2∈
A
,则实数
m

________.

题型五 判断集合间的关系
1、设
M?
?
xx?
?
?
?? ?
k1k1
?,k?Z
?
,
N?
?
xx??,k? Z
?
,则M与N的关系正确的是( )
2442
???
?
A. M=N B.
M?N

C.
M?N
D.以上都不对
?


2.判断下列集合间的关系: (1)
A
={
x
|
x
-3>2},
B
={
x
|2
x
-5≥0};
(2)
A
={
x
∈Z|-1≤
x
<3},
B
={
x
|
x
=|
y
|,
y

A
}.



1
n
1
p
1
3.已知集合
M
= {
x
|
x

m
+,
m
∈Z},
N
={
x
|
x
=-,
n
∈Z},
P
={
x
|
x
=+,
p
∈Z},试确定
M

N

62326
P
之间的关系.





题型六 求子集个数
1.已知集合
A
={
x
|
ax
+2
x

a
=0,
a
∈ R},若集合
A
有且仅有2个子集,则
a
的取值构成的集合为_______ _.



2
题型七 利用两个集合之间的关系求参数
1.已知集合
A
={1,2,
m
},
B
={1,
m
},
B
?
A
,则
m
=________. 2.已知集合
A
={1,2},
B
={
x
|
a x
-2=0},若
B
?
A
,则
a
的值不可能是( )
A.0
C.2
B.1
D.3
3
3.设集合A
={
x
|-2≤
x
≤5},
B
={
x
|
m
+1≤
x
≤2
m
-1}.
(1)若
B
?
A
,求实数
m
的取值范围;
(2)当
x
∈Z时,求
A
的非空真子集个数;
(3)当< br>x
∈R时,不存在元素
x
使
x

A

x

B
同时成立,求实数
m
的取值范围.








题型八 集合间的基本运算
1.下面四个结论:①若
a
∈(
A

B
),则
a

A
;②若
a
∈(
A

B
),则
a
∈(
A

B
);③若
a

A
,且
a

B


a
∈(
A

B
);④若
A

B

A
,则
A

B

B
.其中正确的个数为( )
A.1
C.3
B.2
D.4
2.已知 集合
M
={
x
|-3<
x
≤5},
N
={
x
|
x
>3},则
M

N
=( )
A.{
x
|
x
>-3}
C.{
x
|3<
x
≤5}
B.{
x
|-3<
x
≤5}
D.{
x
|
x
≤5}
3.已知集合
A
= {2,-3},集合
B
满足
B

A

B
, 那么符合条件的集合
B
的个数是( )
A.1
C.3
B.2
D.4
4.(2016·全国卷Ⅲ理,1)设集合
S
={
x
|(
x
-2)(
x
-3)≥0},
T
={
x|
x
>0},则
S

T
=( )
A.[2,3]
C.[3,+∞)
5.下列关系式中,正确的个数为( ) < br>①(
M

N
)?
N
;②(
M
N
)?(
M

N
);
③(
M
N
)?
N
;④若
M
?
N
,则
M

N

M
.
A.4
C.2
2
B.(-∞,2]∪[3,+∞)
D.(0,2]∪[3,+∞)
B.3
D.1
6.设
U
={0,1,2,3},
A={
x

U
|
x

mx
=0},若?
U
A
={1,2},则实数
m
=________.
7. (2016·唐山一中月考试题)已知全集
U
={
x
|
x
≤ 4},集合
A
={
x
|-2<
x
<3},
B
={
x
|-3≤
x
≤2},求
A

B

(?
U
A
)∪
B

A
∩(?
U< br>B
).



8.设全集
U
={1,2, 3,4,5},集合
S

T
都是
U
的子集,满足
S

T
={2},(?
U
S
)∩
T
={4} ,(?
U
S
)∩(?
U
T
)=
{1,5}则有( )
A.3∈
S,
3∈
T

C.3∈?
U
S,
3∈
T



B.3∈
S,
3∈?
U
T

D.3∈?
U
S,
3∈?
U
T

题型九 根据集合运算的结果求参数
1.若集合
A
={2,4,
x
},B
={2,
x
},且
A

B
={2,4,x
},则
x
=________.

2


2.已知集合
A
={
x
|-1≤
x
<3},
B< br>={
x
|2
x
-4≥
x
-2}.
(1)求
A

B

(2)若集合
C
={
x
|2
x

a
>0},满足
B

C

C
,求实数
a
的取值范围.



3.设
A
={
x
|
x
+8
x
=0 },
B
={
x
|
x
+2(
a
+2)
x

a
-4=0},其中
a
∈R.如果
A
B

B
,求实数
a
的取值范
围.




4.已知集合
A
={
x
|
x

ax
+12
b
=0}和
B
={
x
|x

ax

b
=0},满足(?
U
A
)∩
B
={2},
A
∩(?
U
B
)={4},U
=R,
求实数
a

b
的值.




5.
U
={1,2},
A
={
x|
x

px

q
=0},?
U
A={1},则
p

q
=________.
4.设全集
U
=R,集合
A
={
x
|
x
≤1或
x< br>≥3},集合
B
={
x
|
k

x

k
+1,
k
<2},且
B
∩(?
U
A)≠?,则( )
A.
k
<0
C.0<
k
<2
22
2
22
222
B.
k
<2
D.-1<
k
<2
22
6.已知集合
A
={x
|
x

ax

a
-19=0},
B
={
x
|
x
-5
x
+6=0},
C
={
x
|
x
+2
x
-8=0},试探求
a
取何实数
时,(
A

B
)
?
?与
A
C
=?同时成立.






题型十 交集、并集、补集思想的应用
1.若三个方程
x
2
+4
ax
-4
a
+3=0,
x
2
+(
a
-1)
x

a
2
=0,
x
2
+2
ax
-2
a
=0至少有一个方程有
实数解,试求实数
a
的 取值范围.




题型十一 集合中的新定义问题
1.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为“可倒数集”.
(1)判断集合
A
={-1,1,2}是否为可倒数集;
(2)试写出一个含3个元素的可倒数集.



2.集合
P
={3,4,5},
Q
={6,7},定义
P
*
Q={(
a

b
)|
a

P

b

Q
},则
P
*
Q
的子集个数为( )
A.7
C.32
B.12
D.64
3.当
x

A
时,若
x
-1?
A
,且
x
+1?< br>A
,则称
x

A
的一个“孤立元素”,由
A
的所有孤立元素组成的
集合称为
A
的“孤星集”,若集合
M
={0, 1,3}的孤星集为
M
′,集合
N
={0,3,4}的孤星集为
N< br>′,则
M
′∪
N
′=( )
A.{0,1,3,4}
C.{1,3}
B.{1,4}
D.{0,3}
4.设
U为全集,对集合
X

Y
定义运算“*”,
X
*
Y
=?
U
(
X

Y
),对于任意集合
X< br>,
Y

Z
,则(
X
*
Y
)*
Z
=( )
A.(
X

Y
)∩?
U
Z

C.(?
U
X
∪?
U
Y
)∩
Z

B.(
X

Y
)∪?
U
Z

D.(?
U
X
∩?
U
Y
)∪
Z

31
5.设数集
M
={
x
|
m

x

m
+},
N
={
x
|
n
-≤
x

n
},且
M

N
都是集合{
x
|0≤
x
≤1}的子集,如果把
b

a
43叫做集合{
x
|
a

x

b
}的“长 度”,那么集合
M

N
的“长度”的最小值是________.
6.设
A

B
是两个非空集合,定义
A

B
的差集
A

B
={
x
|
x

A
,且
x
?
B
}.
(1)试举出两个数集,求它们的差集;
(2)差集
A

B

B

A
是否 一定相等?说明理由;
(3)已知
A
={
x
|
x
>4},
B
={
x
|-6<
x
<6},求
A
-(
A

B
)和
B
-(
B

A
).











知识点一 函数的有关概念



知识点二 两个函数相等的条件
1.定义域________.
2.________完全一致.
知识点三 区间的概念及表示
1.一般区间的表示

a

b
∈R,且
a
<
b
,规定如下:

定义
{
x
|
a

x

b
}
{
x
|
a
<
x
<
b
}
{
x
|
a

x
<
b
}
{
x
|
a
<
x

b
}

名称
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
符号




数轴表示




2.特殊区间的表示

定义
符号

知识点四 函数的表示方法
函数的三种表示法:解析法、图象法、列表法.
知识点五 分段函数
如果函数
y

f
(
x
),
x

A
,根据自变量
x

A
中不同 的取值范围,有着不同的________,那么称这样的函数
为分段函数.分段函数是一个函数,分段 函数的定义域是各段定义域的________,值域是各段值域的
________.
知识点六 映射的概念

A

B
是两个________ ________,如果按某一个确定的对应关系
f
,使对于集合
A
中的__ ______________,
在集合
B
中都有________确定的元素
y
与之对应,那么就称对应
f

A

B
为从集合
A
到集合
B
的一个映射.
知识点七 函数的单调性
1. 增函数、减函数:设函数
f
(
x
)的定义域为
I
,如果对于 定义域
I
内某个区间
D
上的任意两个自变量的值
R
(-∞,+∞)
{
x
|
x

a
} {
x
|
x
>
a
}
(
a
,+∞)
{
x
|
x

a
}
(-∞,
a
]
{
x
|
x
<
a
}
(-∞,
a
)
a
,+∞)
x
1
x
2
,当
x
1
<
x
2
时,都有
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
),那 么就说函数
f
(
x
)在区间
D
上是增函数;当
x< br>1
<
x
2
时,都有
f
(
x
1
)>
f
(
x
2
),
那么就说函数
f
(< br>x
)在区间
D
上是减函数.
2.函数的单调性:若函数
f< br>(
x
)在区间
D
上是增(减)函数,则称函数
f
(< br>x
)在这一区间上具有(严格的)单调
性,区间
D
叫做
f(
x
)的单调区间.
3.单调性的常见结论:若函数
f
(x
),
g
(
x
)均为增(减)函数,则
f
(< br>x
)+
g
(
x
)仍为增(减)函数;若函数
f
(
x
)
为增(减)函数,则-
f
(
x
)为减(增 )函数;若函数
f
(
x
)为增(减)函数,且
f
(
x
)>0,则
知识点八 函数的最大值、最小值
最值
类别
最大值 最小值
1
为减(增)函数.
f
(
x
)
设函数
y

f
(
x
)的定义域为
I
,如果存在实数
M
满足
条件
(1)对于任意的
x

I
,都有__________ (1)对于任意的
x

I
,都有________
(2)存在
x
0

I
,使得______________
结论

性质:定义在闭区间上的单调函数,必有最大(小)值.
知识点九 函数的奇偶性
1.函数奇偶性的概念
(2)存在
x
0

I
,使得________
M
是函数
y

f
(
x
)的最大值
M
是函数
y

f
(
x
)的最小值




偶函数 奇函数
条件
对于函数
f
(
x
)的定义域内任意一个
x
,都有
f
(-
x
)=
f
(
x
)
结论

2.性质
(1)偶函数的图象关于
y
轴对称,奇函数的图象关于原点对称.
函数
f
(
x
)是偶函数
f
(-
x
)=-
f
(
x
)
函数
f
(
x
)是奇函数
(2)奇函数在对称的区间上单调性相同,偶函数在对称的区间上单调性相反.
(3)在定义 域的公共部分内,两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数;两个奇函数之和为奇函数;两个偶
函数的 和、积与商为偶函数;一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数.

例1 (2016 年10月学考)函数
f
(
x
)=ln(
x
-3)的定义域为 ( )
A.{
x
|
x
>-3}
C.{
x
|
x
>3}
B.{
x
|
x
>0}
D.{
x
|
x
≥3}
例2 (2016年4月学考)下列 图象中,不可能成为函数
y

f
(
x
)图象的是( )


1
?
?
log
x

x
>1,
例3 已知函数
f
(
x
)=
?
3
?
?

x
2
-2
x
+4,
x
≤1,
例4 (2015年10月学考)已知函数
f
(
x
)=


f
(
f
(3))=________,
f
(
x
) 的单调递减区间是________.
x

a
+|
x
-< br>a
|
2

g
(
x
)=
ax
+1,其中
a
>0,若
f
(
x
)与
g
(< br>x
)的图象
有两个不同的交点,则
a
的取值范围是________.
?
a
(
x
<0),
?
例5 已知函数
f< br>(
x
)=
?
?
?
(
a
-3)
x
+4
a
(
x
≥0)
x

满足对任意的
x
1
<
x
2
都有
f
(
x
1
)>
f
(
x
2
),求
a
的取值范围.






例6 (2016年4月学考改编)已知函数
f
(
x
)=
11
-.
x
-1
x
-3
(1)设
g
(
x
) =
f
(
x
+2),判断函数
g
(
x
)的奇 偶性,并说明理由;


(2)求证:函数
f
(
x
)在2,3)上是增函数.










例7 (2015年10月学考)已知函数
f
(
x
)=
ax

(1)判断函数
f
(
x
)的奇偶性,并说明 理由;
(2)当
a
<2时,证明:函数
f
(
x
) 在(0,1)上单调递减.










1
例8 (2016年10月学考)设函数
f(
x
)=
2
的定义域为
D
,其中
a
< 1.
(|
x
-1|-
a
)
(1)当
a
= -3时,写出函数
f
(
x
)的单调区间(不要求证明);
(2)若 对于任意的
x
∈0,2]∩
D
,均有
f
(
x
)≥
kx
成立,求实数
k
的取值范围.









2
11
+,
a
∈R.
x
+1
x
-1


一、选择题
1.函数
f
(
x
)=1-2+
A.(-3,0]
C.(-∞,-3)∪(-3,0]
x
1
x
+3
的定义域为( )
B.(-3,1]
D.(-∞,-3)∪(-3,1]
2.下列四组函数中,表示同一个函数的是( ) < br>A.
y
=-2
x

y

x
-2x

B.
y
=(
x
)与
y
=|
x
|
C.
y

x
+1·
x
-1与
y
= (
x
+1)(
x
-1)
D.
f
(
x)=
x
-2
x
-1与
g
(
t
)=t
-2
t
-1
3.若函数
y

f
(
x
)的定义域为
M
={
x
|-2≤
x
≤2 },值域为
N
={
y
|0≤
y
≤2},则函数
y< br>=
f
(
x
)的图象可能是
( )

< br>4.已知
f
(
x
)是一次函数,且
ff
(
x
)]=
x
+2,则
f
(
x
)等于( )
A.
x
+1
C.-
x
+1
B.2
x
-1
D.
x
+1或-
x
-1
22
2
3
5.设集合
A
={
x
|0≤x
≤6},
B
={
y
|0≤
y
≤2},从A

B
的对应法则
f
不是映射的是( )
1
A.
f

x

y

x

2
1
C.
f

x

y

x

4
1
B.
f

x

y

x

3
1
D.
f

x
y

x

6
6.已知
f
(
x
)是奇函数,
g
(
x
)是偶函数,且
f
(-1)+
g
(1)=2,
f
(1)+
g
(-1)=4,则
g
(1)等于( )
A.4B.3C.2D.1
7.若函数
y

ax
+1在1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数
a
的值为( )
A.2B.-2C.2或-2D.0
8.偶函数
f
(
x
) (
x
∈R)满足:
f
(4)=
f
(1)=0,且在区间0, 3]与3,+∞)上分别递减和递增,则不等式
x
·
f
(
x
)<0的解集为( )
A.(-∞,-4)∪(4,+∞)
B.(-∞,-4)∪(-1,0)
C.(-4,-1)∪(1,4)
D.(-∞,-4)∪(-1,0)∪(1,4)
二、填空题


1< br>1-
x

x
≥0,
?
?
2
9.已知 函数
f
(
x
)=
?
1
?
?
x
x
<0,
2


f
(
a
) =
a
,则实数
a
=________.
10.设
f
(
x
)=
ax

bx
+2是定义在1+
a,1]上的偶函数,则
f
(
x
)>0的解集为________.
11.若关于
x
的不等式
x
-4
x

a
≥0在1,3]上恒成立,则实数
a
的取值范围为________.
三、解答题
1+
ax
12.已知函数
f
(
x
)=的图象经过点 (1,3),并且
g
(
x
)=
xf
(
x
) 是偶函数.
x

b
(1)求函数中
a

b
的值; < br>(2)判断函数
g
(
x
)在区间(1,+∞)上的单调性,并用单调性 定义证明.









13.已知二次函数
f
(
x
)=
ax
- 2
ax
+2+
b
在区间2,3]上有最大值5,最小值2.
(1)求
f
(
x
)的解析式;
(2)若
b
>1,
g
(
x
)=
f
(
x
)+
mx
在2,4]上为单调函数,求实数
m
的取值范围.




2
2
2
答案精析
知识条目排查
知识点一
1.确定的不同的 全体
2.每个对象
知识点二
1.属于 ∈


2.不属于 ?
知识点三
1.确定性 互异性 无序性
2.(1)有限个 (2)无限个
3.正整数集 有理数集
知识点四
1.一一列举出来
2.共同特征
知识点五
1.任意一个
A
?
B

B
?
A

x

B

x
?
A

AB

BA

2.(1)任何集合 ??
A
(2)
A
?
A

(3)
A
?
C
(4)
AC

3.集合
B
是集合
A
的子集(
B
?
A
)
4.如果
A

B,

A
?
B
,且
B
?
A

知识点六
1.属于集合
A
且属于集合
B
的所有元素 {< br>x
|
x

A
,且
x

B
}
2.所有属于集合
A
或属于集合
B
的元素 {
x
|
x

A
,或
x

B
}
3.
B

A

B

A

A

A
?
A

A

B

4.所有元素
U

5.不属于集合
A
?
U
A
{
x
|x

U
,且
x
?
A
}
题型分类示例
例1 D
例2 A ∵
A

B
,∴2∈
B
,则
a
=2.]
例3 {4}
解析 ∵全集
U
={2,3,4},集合
A
={2,3},∴?
U
A
={4}.
例4 A ∵
A
∩< br>B

A
,∴
A
?
B
.

A
={1,2},
B
={1,
m,
3},

m
=2,故选A.]
例5 B 由
B
中不等式变形得
(
x
-2)(
x
+4)>0,
解得
x
<-4或
x
>2,

B
=(-∞,-4)∪(2,+∞).

A
=-2,3],



A

B
=(-∞,-4)∪-2,+∞).
故选B.]
例6 C 图中的阴影部分是
M

P
的子集,
不属于集合
S
,属于集合
S
的补集,即是?
I
S< br>的子集,则阴影部分所表示的集合是(
M

P
)∩?
I
S
,故选C.]
例7 A
A
={
x
|1≤3≤81}
={
x
|0≤
x
≤4},
x
B
={x
|log
2
(
x
2

x
)>1}= {
x
|
x
2

x
>2}
={
x
|
x
<-1或
x
>2},
A

B
={
x
|2<
x
≤4}=(2,4]. ]
考点专项训练
1.B ∵集合
A
={
x
|1≤
x
≤5},Z为整数集,
则集合
A
∩Z={1,2,3,4,5}.
∴集合
A
∩Z中元素的个数是5,
故选B.]
2.C 由
x
-5
x
+6≥0,解得
x
≥3或
x
≤2. < br>又集合
A
={
x
|-1≤
x
≤1},∴
A< br>?
B

故选C.]
3.D
5.A ?
UB
={2,4,5,7},
A
∩(?
U
B
)={3,4 ,5}∩{2,4,5,7}={4,5},故选A.]
6.A 因为全集
U
={-1,1,3},
集合
A
={
a
+2,
a
+2},且?
U
A
={-1},
所以1,3是集合
A
中的元素,
所以
?
?
a+2=1,
?
?
?
a
+2=3
2
2
2

?
?
a
+2=1,
?
2
?
?< br>a
+2=3,
?
?
a
+2=3,

?
2
?
?
a
+2=1,



2

?
?
a
+2=3,
?
2
?
?
a
+2=1,



a
=-1.

a
无解,
所以
a
=-1,故选A.]
7.D
A
={
x
|
x
-8
x
+15=0}={3 ,5},

B
?
A
,∴
B
=?或{3}或{5},

B
=?时,
a
=0;
1

B
={3},则
a
=;
3


1

B
={5},则
a
=.
5
11

a
=或或0,故选D.]
35
8.D ∵集合
A
={
x
|
x
≥16}={
x
|< br>x
≤-4或
x
≥4},
2
B
={
m
},且
A

B

A
,∴
B
?
A


m
≤-4或
m
≥4,
∴实数
m
的取值范围是
(-∞,-4]∪4,+∞),故选D.]
9.{1,2}
10.0 1
解析
A
={1,
a},∵
x
(
x

a
)(
x

b
)=0,
解得
x
=0或
a

b


A

B
,则
a
=0,
b
=1.
11.4
解析 全集
U
={
x
∈Z|-2≤
x< br>≤4}={-2,-1,0,1,2,3,4},
A
={-1,0,1,2,3},?< br>U
A
={-2,4},

B
??
U
A,则集合
B
=?,{-2},{4},{-2,4},
因此满足条件的集合
B
的个数是4.
12.1,+∞)
解析 由
x

x
<0,解得0<
x
<1,

A
=(0,1).

B
=(0,
a
) (
a
>0),
A
?
B


a
≥1.
13.3,+∞)
解析 由|
x
- 2|<
a
,可得2-
a
<
x
<2+
a
(< br>a
>0),

A
=(2-
a,
2+
a)(
a
>0).

x
-2
x
-3<0,解得-1<
x
<3.
2
2
B
=(-1,3).
?
?
2-
a< br>≤-1,

B
?
A
,则
?
?
2+< br>a
≥3
?

解得
a
≥3.



答案精析
知识条目排查
知识点一
非空数集 唯一确定 从集合
A
到集合
B
{
f
(
x
)|
x

A
}
知识点二
1.相同
2.对应关系
知识点三
1.
a

b
] (
a

b
)
a

b
) (
a

b
]
知识点五
对应关系 并集 并集
知识点六
非空的集合 任意一个元素
x
唯一
知识点八
f
(
x
)≤
M

f
(
x
0
)=
M

f
(
x
)≥
M

f
(
x
0
)=
M

题型分类示例
例1 C
例2 A 当
x
=0时,有两个
y
值对应,故A 不可能是函数
y

f
(
x
)的图象.]
例3 5 -1,+∞)
1
解析
f
(3)=log3=-1,
3

f
(
f
(3))=
f
(-1)=-1+2+4=5, < br>当
x
≤1时,
f
(
x
)=-
x
-2
x
+4
=-(
x
+1)+5,
对称轴
x
=-1,
2
2
f
(
x
)在-1,1]上递减,当
x
>1时,
f
(
x
)递减,

f
(
x
)在-1,+∞)上递减.
例4 (0,1)
?
?
x

x
>
a

解析 由题意 得
f
(
x
)=
?
?
a

x

a

?

在平面直角坐标系内分别画出0<
a
<1,
a
=1,
a
>1时,函数
f
(
x
) ,
g
(
x
)
的图象,
由图易得当
f
(< br>x
),
g
(
x
)的图象有两个交点时,

?
?
0<
a
<1,

?
?
g
(
a
)>
a

?

解得0<
a
<1,
a
的取值范围为0<
a
<1.



例5 解 由题意知,
f
(
x
)为减函数,
∴0<
a
<1且
a
-3<0且
a
≥(
a
-3)×0+4
a

1
∴0<
a
≤.
4
例6 (1)解 ∵
f< br>(
x
)=

g
(
x
)=
f
(
x
+2)=
11
-,
x
-1
x
-3
0
11
-,
x
+ 1
x
-1
11

g
(-
x
)=-

x
+1-
x
-1

11
-=
g
(
x
),
x
+1
x
-1
又∵
g
(
x
)的定义域为{
x
|
x
≠-1且
x
≠1},

y

g
(
x
)是偶函数.
(2)证明 设
x
1

x
2
∈2,3)且
x
1
<
x
2

f
(
x
1
)-
f
(
x
2
)=(

1111
-)- (-)
x
1
-1
x
1
-3
x
2
-1
x
2
-3
2(
x
1

x
2< br>)(
x
1

x
2
-4)

(x
1
-1)(
x
1
-3)(
x
2
-1 )(
x
2
-3)

x
1

x
2< br>∈2,3)且
x
1
<
x
2


x
1

x
2
<0,
x
1

x
2
-4>0,
(
x
1
-1)(
x
1
- 3)(
x
2
-1)(
x
2
-3)>0,
综上得< br>f
(
x
1
)-
f
(
x
2
) <0,

f
(
x
1
)<
f
(
x
2
),
∴函数
f
(
x
)在2,3)上是增函数.
11
例7 (1)解 因为
f
(-
x
)=-
ax
++

x+1-
x
-1
=-(
ax

11
+)
x
-1
x
+1
=-
f
(
x
),
又因为
f
(
x
)的定义域为{
x
∈R|
x
≠-1且
x
≠1},


所以函数
f
(
x
)为奇函数.
(2)证明 任取
x
1

x
2
∈(0,1),设
x
1< br><
x
2

x
2

x
1
x
2

x
1

f
(
x
1
) -
f
(
x
2
)=
a
(
x
1

x
2
)++
(
x
1
-1)(
x2
-1)(
x
1
+1)(
x
2
+1)
11
=(
x
1

x
2
)
a
--]
(
x
1
-1)(
x
2
-1)(
x
1
+1)(
x
2
+1)
2(
x
1
x
2
+1)
=(
x
1

x
2
)
a

2
].
2
(
x
1
-1)(
x
2
-1)
因为0<
x
1
<
x
2
< 1,
所以2(
x
1
x
2
+1)>2,0<(
x< br>1
-1)(
x
2
-1)<1,
2(
x
1< br>x
2
+1)
所以
2
>2>
a

2
(
x
1
-1)(
x
2
-1)
2(
x
1
x
2
+1)
所以
a

2
<0 .
2
(
x
1
-1)(
x
2
-1)
又因为
x
1

x
2
<0,所以
f
(x
1
)>
f
(
x
2
),
所以函数
f
(
x
)在(0,1)上单调递减.
例8 解 (1)单调递增区间是(-∞,1],单调递减区间是1,+∞).
(2)当
x
=0 时,不等式
f
(
x
)≥
kx
成立;

x
≠0时,
f
(
x
)≥
kx
等价于
2
2
22
k

1
2
.
[
x
(|
x
-1|-
a
)]

h
(
x
)=
x
(|
x
-1|-
a
)
?
x
[
x
-(1-
a
)],0<
x
≤ 1,
?

?
?
?
x
[
x
-(1+
a
)],1<
x
≤2.


①当
a
≤-1时,
h
(
x
)在(0,2]上单调递增,
所以0<
h
(
x
)≤
h
(2),
即0<
h
(
x
)≤2(1-
a
).

k

1
2
.
4(1-
a
)< br>1-
a
1-
a
②当-1<
a
<0时,
h(
x
)在(0,]上单调递增,在,1]上单调递减,在1,2]上单调递增,
22
(1-
a
)1-
a
因为
h
(2)=2-2a
≥=
h
().
42
即0<
h
(
x
)≤2(1-
a
).

k

1
2
.
4(1-
a
)< br>2


1-
a
③当0≤
a
<1时,
h(
x
)在(0,]上单调递增,
2

1-
a
,1-
a
)上单调递减,在(1-
a,
1]上单调递减,
2
在1,1+
a
)上单调递增,在(1+
a,
2]上单调递增,
1 -
a
所以
h
(1)≤
h
(
x
)≤max{
h
(2),
h
()}且
h
(
x
)≠0.
2
(1-
a
)1-
a
因为
h
(2)=2- 2
a
>=
h
(),
42
所以-
a
h
(
x
)≤2-2
a

h
(
x
)≠0.
2
当0≤
a
<时,因为|2-2
a
|>|-< br>a
|,
3
1
所以
k

2
4(1-
a
)
2
当≤
a
<1时,因为|2-2
a
|≤|-
a
|,
3
1
所以
k

2

2
a
21
综上所述,当
a
<时,
k

2

34(1-
a
)
21
当≤
a
<1时,
k

2
.
3
a
考点专项训练
1.A 要使函数有意义, < br>?
?
1-2≥0,

?
?
x
+3>0,?
x

?
?
x
≤0,

?
?
x
>-3.
?


故-3<
x
≤0.
即函数的定义域为(-3,0],故选A.]
2.D 在A选项中,前者的
y
属于非负数,后者的
y
≤0,两个函数的值域不同;
在B选项中,前者的定义域
x
≥0,后者的
x
∈R,定义域不同;
在C选项中,前者定义域为
x
>1,后者为
x
>1或
x<-1,定义域不同;
在D选项中,两个函数是同一个函数,故选D.]
3.B
4.A
f
(
x
)是一次函数,设
f
(
x
)=
kx

b

ff
(
x
)] =
x
+2,可得
k
(
kx

b
)+
b

x
+2,

kx

kb

b

x
+2,
k
=1,
22
kb
+< br>b
=2,解得
k
=1,
b
=1.



f
(
x
)=
x
+1,故选A.]
5.A
8.D 求
x
·
f
(
x
)< 0即等价于求函数在第二、四象限图象
x
的取值范围.

∵偶函数
f
(
x
)(
x
∈R)满足
f
(4)=
f< br>(1)=0,

f
(4)=
f
(-1)

f
(-4)=
f
(1)=0,

f
(
x
)在区间0,3]与3,+∞)上分别递减与递增,
如图可知:即
x
∈(1,4)时,函数图象位于第四象限,
x
∈(-∞,-4)∪(-1,0)时,函数图象位于第二象限,
综上所述,
x
·
f
(
x
)<0的解集为(-∞,-4)∪(-1,0)∪(1 ,4),
故选D.]
2
9.-1或
3
1
解析 当a
≥0时,
f
(
a
)=1-
a

a< br>,
2
2

a
=;
3
1

a
<0时,=
a
,解得
a
=-1或1(舍去).
a
2

a
=-1或.
3
10.(-1,1)
解析 ∵
f
(
x
)为定义在1+
a,
1]上的偶函数,
∴1+
a
=-1,∴
a
=-2,

f
( -
x
)=
f
(
x
),即
ax

b x
+2=
ax

bx
+2,
∴2
bx
= 0,∴
b
=0,∴
f
(
x
)=-2
x
+2 .
∴由
f
(
x
)>0得,-2
x
+2>0, < br>解得-1<
x
<1,∴
f
(
x
)>0的解集为(-1 ,1).
11.(-∞,-4]
解析 若关于
x
的不等式
x-4
x

a
≥0在1,3]上恒成立,

a

x
-4
x
在1,3]上恒成立,

f
(
x
)=
x
-4
x
=(
x< br>-2)-4,
x
∈1,3],
对称轴
x
=2,开口向上,
22
2
2
2
2
22
f
(
x
)在1,2)递减,在(2,3]递增,

f
(
x
)
m in

f
(2)=-4,∴
a
≤-4.


x

ax
3
12.解 (1)∵函数
g(
x
)=
xf
(
x
)=是偶函数,
x

b

g
(-
x
)=
g
(
x< br>).

x

axx

ax
∴=恒成立,

x

bx

b

x

b

x

b
恒成立,∴
b
=0.
又函数
f
(
x
)的图象经过点(1,3),

f
(1)=3,即1+
a
=3,

a
=2.
(2)由(1)知
g
(
x
) =
xf
(
x
)=2
x
+1,
2
33
g
(
x
)在(1,+∞)上单调递增,

x
2
>
x
1
>1,

g(
x
2
)-
g
(
x
1
)=2
x
2
+1-2
x
1
-1
=2(
x
2
x
1
)(
x
2

x
1
).

x
2
>
x
1
>1,∴(
x
2< br>-
x
1
)(
x
2

x
1
) >0,

g
(
x
2
)>
g
(
x
1
),
∴函数
g
(
x
)在区间(1,+∞)上是增函数.
13.解 (1)
f
(
x
)=
a
(
x-1)+2+
b

a
.
①当
a
>0时,
f
(
x
)在2,3]上单调递增,
?
?
f
(2)=2,

?
?
f
( 3)=5,
?
?
?
a
=1,
所以
?
?b
=0.
?
2
22



?
?
2+
b
=2,

?
?
3
a
+2 +
b
=5,
?


2

②当
a
<0时,
f
(
x
)在2,3]上单调递减,
?
?
f
(2)=5,

?
?
?
f
(3)=2,
所以
?
?
a
=-1,
?
?< br>?
b
=3.


2
?
?
2+
b
=5,

?
?
?
3
a
+2+
b
=2,


所以
f
(
x
)=
x
-2
x
+2或
f
(
x
)=-
x
+ 2
x
+5.
(2)因为
b
>1,所以
f
(
x
)=-
x
+2
x
+5,
所以
g
(< br>x
)=-
x
+(
m
+2)
x
+5在2,4] 上为单调函数,

2
2
m
+2
2
≤2或
m
+2
2
≥4,
所以
m
≤2或
m
≥6.

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