北师大版高中数学教材调整-高中数学人教版与湘教版
重点高中数学会考知识点总结
(超级经典)
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2
数学学业水平复习知识点
第一章
集合与简易逻辑
1、 集合
(1)、定义:某些指定的对象集在一起叫集合;集合中的每个对象叫集合的元素。
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性;表示一个集合要用{ }。
(2)、集合的表示法:列举法()、描述法()、图示法();
(3)、集合的分类:有限
集、无限集和空集(记作
?
,
?
是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
);
(4)、元素a和集合A之间的关系:a
∈
A
,
或a
?
A;
(5)、常用数集:自然数集:N ;正整数集:N;整数集:Z
;整数:Z;有理数集:Q;实数集:R。
2、子集
(1)、定义:A中的任何元素都属于B,则A叫B的子集 ;记作:A
?
B,
注意:A
?
B时,A有两种情况:A=φ与A≠φ
(2)、性质:①、A?A,
?
?A
;②、若
A?B,B?C
,则
A?C<
br>;③、若
A?B,B?A
则A=B ;
3、真子集
(1)、定义:A是B的子集 ,且B中至少有一个元素不属于A;记作:
A?B
;
(2)、性质:①、
A?
?
,
?
?A
;②、若A?B,B?C
,则
A?C
;
4、补集
①、定义:记作:
C
U
A?{x|x?U,且x?A}
;
C
U
A
A
(C
U
A)?A
;
②、性质:
A?C
U
A?
?
,A?C
U
A?U,C
U
5、交集与并集
(1)、交集:
A?B?{x|x?A且x?B}
性质:①、
A?A?A,A?
?
?
?
②、若
A?B?B
,则
B?A
(2)、并集:
A?B?{x|x?A或x?B}
性质:①、
A?A?A,A?
?
?A
②、若
A?B?B
,则
A?B
A
B
A
B
3
6、一元二次不等式的解法:(二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系)
判别式:△=b
2
-4ac
二次函数
??0
??0
??0
y
y
y
x
O
没有实数根
R
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
的图象
一元二次方程
x
O
x
2
x
O
x
1
=
x
有两相异实数根 有两相等实数根
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的根
一元二次不等式
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)
{x|x?x
1
,x?x
2
}
“>”取两边
x
1
?x
2
??
b
2a
b
{x|x??}
2a
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集
一元二次不等式
{x|x
1
?x?x
2
}
“<”取中间
?
?
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集
不等式解集的边界值是相应方程的解
含参数的不等式ax+b
x+c>0恒成立问题
?
含参不等式ax+b x+c>0的解集是R;
其解答分a=0(验证bx+c>0是否恒成立)、a≠0(a<0且△<0)两种情况。
22
第二章 函数
1、映射:按照某种对应法则f
,集合A中的任何一个元素,在B中都有唯一确定的元素和它对应,
记作f:A→B,若
a?
A,b?B
,且元素a和元素b对应,那么b叫a的象,a叫b的原象。
2、函数:(1)、
定义:设A,B是非空数集,若按某种确定的对应关系f,对于集合A中的任意一个数x,
集合B中都有
唯一确定的数f(x)和它对应,就称f:A→B为集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),
(2)、函数的三要素:定义域,值域,对应法则;自变量x的取值范围叫函数的定义域,函数值f(x)的范围叫函数的值域,定义域和值域都要用集合或区间表示;
(3)、函数的表示法常用:解析法,列表法,图象法(画图象的三个步骤:列表、描点、连线);
4
(4)、区间:满足不等式
a?x?b
的实数x的集合叫闭区间,表示为:[a
,b]
满足不等式
a?x?b
的实数x的集合叫开区间,表示为:(a ,b) <
br>满足不等式
a?x?b
或
a?x?b
的实数x的集合叫半开半闭区间,
分别表示为:[a ,b)或(a ,b];
(5)、求定义域的一般方法:①、整式:全体实数,例一次函数、二次函数的定义域为R;
②、分式:分母
?0
,0次幂:底数
?0
,例:
y?
1
2?|3x|
③、偶次根式:被开方式
?0
,例:
y?25?
x
2
1
x
④、对数:真数
?0
,例:
y
?log
a
(1?)
(6)、求值域的一般方法:①、图象观察法:
y?0.2
②、单调函数:代入求值法:
y?log
2
(3x?1),x?[,3]
③、二次函数:配方法:
y?x?4x,x?[1,5)
,
y?
2
|x|
1
3
?x
2
?2x?2
x
2x?1
2?sinx
⑤、“对称”分式:分离常数法:
y?
2?sinx
④、“一次”分式:反函数法:
y?
⑥、换元法:
y?x?
1?2x
(7)、求f(x)的一般方法:
①、待定系数法:一次函数f(x),
且满足
3f(x?1)?2f(x?1)?2x?17
,求f(x)
②、配凑法:<
br>f(x?)?x?
1
x
2
1
,
求f(x)
2
x
③、换元法:
f(x?1)?x?2x
,求f(x)
④、解方程(方程组):定义在(-1,0)∪(0,1)的函数f(x)满足
2f(x)?f(x)?
3、函数的单调性:
(1)、定义:区间D上任意两个值
x
1
,x
2
,若
x
1
?x
2
时有
f(x
1
)?f(x
2
)
,称
f(x)
为D上增函数;
若
x
1
?x
2
时有
f(x
1
)?f(x2
)
,称
f(x)
为D上减函数。(一致为增,不同为减)
(2)、区间D叫函数
f(x)
的单调区间,单调区间
?
定义域;
(3)、判断单调性的一般步骤:①、设,②、作差,③、变形,④、下结论
(4)、复合函数
y?f[h(x)]
的单调性:内外一致为增,内外不同为减;
5
1
,求f(x)
x
4、
反函数:函数
y?f(x)
的反函数为
y?f
反函数的求法:①、由
y?f(x)
,解出
x?f
的定义域(即原函数的值域);
?1
(
x
)
;函数
y?f(x)
和
y?f
?1
(
x)
互为反函数;
(x)
,③、写出
y?f
?1?1
(y
)
,②、
x,y
互换,写成
y?f
?1
(x)
反函
数的性质:函数
y?f(x)
的定义域、值域分别是其反函数
y?f
函数y?f(x)
的图象和它的反函数
y?f
?1
?1
(x)
的值域、定义域;
(x)
的图象关于直线
y?x
对称;
点(a
,
b)关于直线
y?x
的对称点为(b
,
a);
5、指数及其运算性质:(1)、如果一个数的n次方根等于a(
n?1,n?N
),那么这个
数叫a的n次方根;
n
*
?
a(a?0)
a
叫根式,当n
为奇数时,
n
a
n
?a
;当n为偶数时,
n
an
?|a|?
?
?
?a(a?0)
m
n<
br>(2)、分数指数幂:正分数指数幂:
a?a
;负分数指数幂:
a
n<
br>m
?
m
n
?
1
a
m
n
0的正分数指数幂等于1,0的负分数指数幂没有意义(0的负数指数幂没有意义);
(3)
、运算性质:当
a?0,b?0,r,s?Q
时:
a?a?a
rsr?s,(a)?a,(ab)?ab
,
r
a?a
;
rsrsrrr
1
r
b
6、对数及其运算性质:(1)、定义:如果
a?N(a?0
,a?1)
,数b叫以a为底N的对数,记作
log
a
N?b
,其中a叫底数,N叫真数,以10为底叫常用对数:记为lgN,以e=2.7182828…为底叫自然对
数:记为lnN
(2)、性质:①:负数和零没有对数,②、1的对数等于0:
log
a
1?0
,③、底的对数等于1:
log
a
a?1
,④、积的对数:
log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
, 商的对数:
log
a
M
?log
a<
br>M?log
a
N
,
N
1
n
幂的对数:log
a
M?nlog
a
M
,
方根的对数:
log
a
n
M?log
a
M
,
n
7、指数函数和对数函数的图象性质
函数
定义
指数函数 对数函数
y?a
x
(
a?0且a?1
)
a>1 0y?log
a
x
(
a?0且a?1
)
a>1
0y
y=a
1
O
x
x
6
图象
(非奇非偶)
定义域
值域
(-∞,+∞)
(0,+∞)
在(-∞,+∞)
上是增函数
函数值
变化
y=y
y
y=lo
y
O
1
y=lo
(0,+∞)
(-∞,+∞)
在(0,+∞)
上是减函数
O
1
x
1
O
x
(-∞,+∞)
(0,+∞)
在(-∞,+∞)
上是减函数
(0,+∞)
(-∞,+∞)
在(0,+∞)
上是增函数
x
性
单调性
质
图 定 点
象
图象
特征
图象
关系
?
?1,x?0
?
a
x
?
?1,x?0
?
?1,x?0
?
?
?1,x?0
?
a
x
?
?1,x?0
?
?1,x?0
?
?
?
0,x?1
?
log
a
x
?
?0,x?1
log
a
?
?0,0?x?1
?
?
?0,x?1
?
x
?
?0,x?1
?
?0,0?x?1
??a
0
?1,?
过定点(0,1)
?a
x
?0,?
图象在x轴上方
?log
a
1?0,?
过定点(1,0)
?x?0,?
图象在y轴右边
y?a
x
的图象与
y?lo
g
a
x
的图象关于直线
y?x
对称
第三章 数列
(一)、数列:(1)、定义:按一定次序排列的一列数叫数列;每个数都叫数列的项;
数列
是特殊的函数:定义域:正整数集
N
(或它的有限子集{1,2,3,…,n}),
值域:数列本身,对应法则:数列的通项公式;
(2)、通项公式:数列{
a
n
}的第n项
a
n
与n之间的函数关系式;例:数列1,2,…,n的通项
公式
a
n
= n
1,-1,1,-1,…,的通项公式
a
n
=
(?1)
n?1
?
1?(?1)
n
;
0,1,0,1,0,…,的通项公式
a
n
?
2
(3)、
递推公式:已知数列{
a
n
}的第一项,且任一项
a
n
与它
的前一项
a
n?1
(或前几项)间的关系用一个
公式表示,这个公式叫递推公
式;例:数列{
a
n
}:
a
1
?1
,
a
n
?1?
1
a
n?1
,求数列{
a
n
}的各项。
7
(4)、数列的前n项和:
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
???a
n
; 数列前n
项和与通项的关系:
a
n
?
?
?
a
1
?S
1
(n?1)
?
S
n
?S
n?1
(n?2)
(二)、等差数列
:(1)、定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,
那么这个数列就
叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。
(2)、通项公式:
a
n
?a
1
?(n?1)d
(其中首项是
a
1
,公差是
d
;整理后是关于n的一次函数), <
br>(3)、前n项和:1.
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
d
(整理后是关于n的没有常数项的二次函数) 2.
S
n
?na
1
?
2
2
(4)、
等差中项:如果
a
,
A
,
b
成等差数列,那么
A<
br>叫做
a
与
b
的等差中项。即:
A?
a?b
或
2A?a?b
2
[说明]:在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷
等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项
的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前
后两项的等差中项。
(5)、等差数列的判定方法:
①、定义法:对于数列
?<
br>a
n
?
,若
a
n?1
?a
n
?d<
br>(常数),则数列
?
a
n
?
是等差数列。
②、等
差中项:对于数列
?
a
n
?
,若
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
,则数列
?
a
n
?<
br>是等差数列。
(6)、等差数列的性质:
①、等差数列任意两项间的关系:如果<
br>a
n
是等差数列的第
n
项,
a
m
是等差数列
的第
m
项,且
m?n
,公
差为
d
,则有
a
n
?a
m
?(n?m)d
②、等差数列
?
a
n
?
,若
n?m?p?q
,则
a
n
?
a
m
?a
p
?a
q
。
?a
n
?
????
a
1
??????
a,a,a,?,a
n?2
,a
n?1
,a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
???
,如图所示:
1
?2
?
3
???????
a
2
?a
n?1
*
③、若数列
?
a
n
?
是等差数列,
S
n
是其前n项的和,
k?N
,那么
S
k
,
S
2k
?S
k
,
S
3k
?S
2k
成等差数
列。
也就是:
a
1
?a
n
????????????S
?
3k
????????????
a?a?a???a?a
1
???a
2k
?a
2k?1
???a
3k
如下图
所示:
?
1
??
2
??
3
????
k?
k?
?????????????
S
k
S
2k
?S
k
S
3k
?S
2k
④、设数列
?
a
n
?
是等差数列,
S
奇
是奇数项的和,
S
偶
是偶数项项的和,
S
n
是前n项的和,
S
n
?
S
奇
?S
偶
S
奇
?S
偶
?a
中<
br>则有:前n项的和
当n为奇数时,则
, 当n为偶数时,
S
奇
?
S
偶
?S
奇
?
n
d
2
,其中d
为公差;
,
n?1n?1
a
中
S
偶
?a
中
a
22
,(其中
中
是等差数列的中间一项)。
'
⑤、等差数列
?
a
n
?
的前
2n?1
项的和为<
br>S
2n?1
,等差数列
?
b
n
?
的前
2n?1
项的和为
S
2n?1
,则
a
n
S
2n?1
?
'
。
b
n
S
2n?1
(三
)、等比数列:(1)、定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,
那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(
q?0
)。
8
n?1
(2)、通项公式:
a
n
?a
1
q
(其中:首项是
a
1
,公比
是
q
)
na
1
,(q?1)
?
?
n
(3)、前n项和]
S
n
?
?
a
1
?a
n
q
a
1
(1?q)
(推导方法:乘公比,错位相减)
?,(q?1)
?
1?q
?
1?q
a?a
n
q
a
1
(1?q
n
)
(q?1)
○
说明:①
S<
br>n
?
2
S
n
?
1
(q?1)
1?q
1?q
3当
q?1
时为常数列,
S
n
?na
1
,非0的常数列既是等差数列,也是等比数列
○
(4)、等比中项:
如果在
a
与
b
之间插入一
个数
G
,使
a
,
G
,
b
成等比数列,那么
G
叫做
a
与
b
的等比中项。
也就是,如果是的等比中项,那么
(5)、等比数列的判定方法:
①、定义法:对于
数列
?
a
n
?
,若
a
n?1
?q(q?0
)
,则数列
?
a
n
?
是等比数列。
a
n
Gb
2
?
,即
G
aG
?ab
(或
G??ab
,等比中项有两个)
2
②、等比中项:对于数列
?
a
n
?
,若
a
n
a
n?2
?a
n?
1
,则数列
?
a
n
?
是等比数列。
(6)、等比数列的性质:
①、等比数列任意两项间的关系:如果
a
n是等比数列的第
n
项,
a
m
是等比数列的第
m
项,且
m?n
,
公比为
q
,则有
a
n
?
a
m
q
n?m
②、对于等比数列
?
a
n
?
,若
n?m?u?v
,则
a
n
?a
m<
br>?a
u
?a
v
1
?a
n
????
?
a
??????
a,a,a,?,a
n?2
,a
n?1<
br>,a
n
。如图所示:
1
?
2
?
3
???????
也就是:
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
???
a
2
?a
n?1
③、若数列
?
a
n
?
是等比
数列,
S
n
是其前n项的和,
k?N
*
,那么
S<
br>k
,
S
2k
?S
k
,
S
3k
?S
2k
成等比数列。
????????????
S
?
3k
????????????
a?a?a???a?a
1
???a
2k
?a
2k?1
???a
3k
如下图所示:
?
1
??
2
??
3
????
k
?
k?
?????????????
S
k
S
2k
?S
k
S
3k
?S
2k
(7)、求数列的前n项和的常用方法:分析通项,寻求解法
1?2?3???n?
n(n?1)1
1?3?5???(2n?1)?n
2
,
1
2
?2
2
?3
2
???n
2
?n(n?1)(2n?1)
,
26
?1?2?n
①公式法:“
差比之和”的数列:
(2?3?5)?(2?3?5)???(2?3?5)?
②、并项法:
1?2?3?4???(?1)
③、裂项相消法:
1?
n?1
n?
111
?????
26(n?1)n
9
1
1?2
?
1
2?3
?
1
3?4
???
1
n?n
?1
?
④、到序相加法:
⑤、错位相减法:“差比之积”的数列:
1?2x?3x???nx
2n?1
?
第四章 三角函数
1、角:(1)、正角、负角、零角:逆时针方向旋转正角,顺时针方向旋转负角,不做任何旋转零角;
(2)、与
?
终边相同的角,连同角
?
在内,都可以表示为集合{<
br>?
|
?
?
?
?k?360,k?Z
}
(3
)、象限的角:在直角坐标系内,顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象
限
,就是第几象限的角;角的终边落在坐标轴上,这个角不属于任何象限。
2、弧度制:(1)、定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用弧度做单位叫弧度制。 <
br>(2)、度数与弧度数的换算:
180?
?
弧度,1弧度
?(
(3)、弧长公式:
l?|
?
|r
(
?
是角的弧度数)
扇形面积:
S?
3、三角函数 (1)、定义:(如图)
(2)、各象限的符号:
?
?
180
?
)
?
?5
7
?
18
'
11
lr??|
?
|r
2
22
r?x
2
?y
2
y
P(x,
y)
?
?0
0
x
yyr
+
sin
?
? tan
?
? sec
?
?
rxx
_
xxr
cos
?
? cot
?
? csc
?
?
ryy
sin
?
(3)、
特殊角的三角函数值
y
+
_
y
+
_
y
+
O
_
x
_
O
+
x
+
O
_
x
tan
?
cos
?
120?
135?
150?
180?
270?
360?
5
?
6
?
的角度
0?
?
的弧度
0
sin
?
cos
?
30?
45?
60?
90?
?
6
1
2
3
2
?
4
2
2
2
2
?
3
3
2
?
2
1
0
—
2
?
3
3
2
3
?
4
2
2
?
2
2
?
0
3
?
2
2
?
0
0
1
2
?
3
2
?1
0
—
1
0
1
2
3
?
1
2
?3
?1
0
1
0
10
tan
?
3
3
1
?1
?
3
3
4、同角三角函数基本关系式
sin
?
(1)平方关系: (2)商数关系: (3)倒数关系:
1
cos
?
cot
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
tan
?
?<
br>1?tan
2
?
?sec
2
?
cot
?
?
22
sin
?
tan
?
cot
?
?1
cos
?
tan
?
sec
?
cos
?
sin
?
csc
?
?1
sin
?
1?cot
?
?csc
?
cos
?
sec
?
?1
(4)同角三角函数的常见变形:(活用“1”)
csc
?
2222
①、
sin
?
?1?cos
?
,
sin
?
??1?cos
2
?
;
cos
?
?1?sin
?
,
cos
?
??1?sin
2
?
;
cos
2
?
?sin
2
?
2
cos
2
?
?sin
2
?
2cos2
?
?
②
tan
?
?cot
?
?
,
cot
?
?tan
????2cot2
?
sin
?
cos
?
si
n2
?
sin
?
cos
?
sin2
?
③<
br>(sin
?
?cos
?
)
2
?1?2sin
?
cos
?
?1?sin2
?
,
1?sin2?
?|sin
?
?cos
?
|
5、诱导公式:(奇变偶不变,符号看象限)
公式一:
sin(
?
?k?360?)?sin
?
cos(
?
?k?360?)?cos<
br>?
tan(
?
?k?360?)?tan
?
公式二: 公式三:
公式四: 公式五:
sin(180??
?
)?sin<
br>?
sin(?
?
)??sin
?
sin(360??
?
)??sin
?
cos(180??
?
)??cos
?
cos(180??
?
)??cos
?
cos(?
?
)?cos
?
cos(360??
?
)?cos
?
tan(??
)??tan
?
tan(180??
?
)??tan
?
tan(180??
?
)?tan
?
tan(360??
?
)??tan
?
sin(180??
?
)??sin
?<
br>sin(
3
?
3
?
sin(?
?
)??co
s
?
sin(?
?
)??cos
?
sin(?
?<
br>)?cos
?
2
2
2
2
补充:
cos(?
?
?
)?sin
?
cos(
?
?
?
)??sin
?
cos(
3
?
?
?
)??sin
?
cos(
3
?
?
?
)?sin
?
2
2
2
2
3
?
?
3
?
?
tan(?
?
)??cot
?
tan(?
?
)?cot<
br>?
tan(?
?
)??cot
?
tan(?
?
)?cot
?
2
2
2
2
?
?
?
)?cos
?
?
6、两角和与差的正弦、余弦、正切
S
(
?
?
?
)
:
sin(
?
?
?
)?
sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
S
(
?
?
?
)
:
sin(
??
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
C
(
?
?
?
)
:<
br>cos(a?
?
)?cos
?
cos
?
?sin?
sin
?
C
(
?
?
?
)
:
cos(a?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
11
T
(
?
?
?
)
:
tan(
??
?
)?
tan
?
?tan
?
tan
?
?tan
?
T
(
?
?
?
)
:
tan(
?
?
?
)?
1?tan
?
tan
?
1?tan
?
tan
?T
(
?
?
?
)
的整式形式为:
tan
?
?tan
?
?tan(
?
?
?
)?(1?tan
?
tan
?
)
例:若
A?B?45?
,
则
(1?tanA)(1?tanB)?2
.(反之不一定成立)
8、二倍角公式:(1)、
S
2
?
:
sin2
?
?2sin
?
cos
?
(2)、降次公式:(多用于研究性质)
C
2
?
:
cos2
?
?cos
?
?sin
?
sin
?
cos
?
?
1
sin2
?
2
1?cos2
?
11
22
2
?1?2sin
?
?2cos
?
?1
sin
?
???cos2
?
?
222
2
tan
?
1?cos2
?
11
2
T
2
?<
br>:
tan2
?
?
co
s
?
??cos2
?
?
222
1?tan
2
?
22
(3)、二倍角公式的常用变形:①、
1?cos2
?
?2
|sin
?
|
,
1?cos2
?
?2|cos
?
|
;
②、
1
?
1
cos2
?
?|sin
?
|
,
1
?
1
cos2
?
?|cos
?
|
22
22
422
sin
2
2
?
44
③、
sin
?
?cos
?
?1?2sin
?
cos
?
?1?
;
cos
?
?sin
?
?cos2
?
;
2
4
④半角:
sin
?
2
??
sin
?1?cos
?
?
1?cos
?
?
1?cos
?
1?cos
?
,
cos??
,
tan??
??
sin
?
1?cos
?
22221?cos
?
9、三角函数的图象性质
(1)、函数的周期性:①、定义:对于函数f(x),若存在一个非零常
数T,当x取定义域内的每一个值时,
都有:f(x+T)=
f(x),那么函数f(x)叫周期函数,非零常数T叫这个函数的周期;
②、如果函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,这个最小的正数叫f(x)的最小正周期。
(2)、函数的奇偶性:①、定义:对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,
都有:f(-x)= - f(x),则称f(x)是奇函数,f(-x)=
f(x),则称f(x)是偶函数
②、奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;
③、奇函数,偶函数的定义域关于原点对称;
(3)、正弦、余弦、正切函数的性质(
k?Z
)
函数 定义域 值域
[-1,1]
[-1,1]
周期性 奇偶性
?
2
递增区间
2
?
递减区间
3
??
?
?
?2k
?
,?2k
?
?
?
22
??
y?sinx
x?R
x?R
T?2
?
奇函数
?
?
?
?2k
?
,
?
?2k
?
?
??
T?2
?
偶函数
y?cosx
?
(2k?1)
?
,2k
?
?
?
2k
?
,(2k?1)
?
?
12
y?tanx
{x|x?
?
?k
?
}
(-∞,+∞)
2
(0,0),(
y?sinx
图象的五个关键点:
T?
?
奇函数
?
?
?
?
?
??k
?
,?k
?
?
2
?
2
?
3<
br>?
?
,1),(
?
,0),(,-1),(
2
?,0);
2
2
3
?
?
(0,1),(,0),(?
,-1),(,0),(
2
?
,1);
y?cosx
图象的五个关键点:
2
2
?
?
?
?
2
y
1
0
y?sinx
?
2
?
3
?
2
-
?
?
2
2
?
x
?
?
?
3
?
2
y
?
?
?
y
y?cosx
1
0
?
2
?
?
2
?
o
?
2
3
?
2
x
3
?
2
2
?
y?tanx
-
?
2
x
; <
br>y?Asin(
?
x?
?
)
的周期
T?
?<
br>?
2
?
?
x?
?
)
的周期
T?;对称轴是直线
x?k
?
;
y?Acos(
;
y
?cosx
的对称中心为(
k
?
?,0
)
2
??
?
;
y?Atan(
?
x?
?
)
的周期
T?
;
y?tanx
的对称中心为点(
k
?
,0
)和点(
k
?
?,0
)
2
?
(4)、函数
y?Asin(<
br>?
x?
?
)(A?0,
?
?0)
的相关概念:
函数 定义域 值域
[-A,A]
振幅
A
周期 频率
相位 初相 图象
五点法
;对称轴是直线
x?k
?<
br>?
y?sinx
的对称中心为(
k
?
,0
)
2
?
;
y?Asin(
?
x?
?
)
x?R
T?
2
?
?
f?
1
?
?
T2
?
?
x?
?
?
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象与
y?sinx
的关系:
①振幅变换:
y?sinx
当
0?
A
?1
时,图象上各点的纵坐标缩短到原来的A倍
y?Asinx
当
?
当A
?1
时,图象上各点的纵坐标伸长到原来的A倍
?1
时,图象上各点的纵坐标缩短到原来的
1
?
倍
1
②周期变换:
y?sinx
当
0?
?
?1
时,图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍
y?sin
?
x
?
当
?
?0
时,图象上的各点向左平移
?
个单位倍
当
?
?0
时,图象上的各点向右平移
|
?
|
个单位
倍
y?sin(x?
?
)
③相位变换:
y?sinx
?
个单位倍
?
?
|
个单位倍 当<
br>?
?0
时,图象上的各点向右平移
|
?
当
?
?0
时,图象上的各点向左平移
13
④平移变换:
y?Asin
?
x
y?Asin(
?
x?
?
)
常叙述成: ①把
y?sinx
上的所有点向左(
?
?0
时
)或向右(
?
?0
时
)平移|
?
|个单位得到y?sin(x?
?
)
;
②再把
y?sin(x?
?
)
的所有点的横坐标缩短(
?
?1
)或伸长(
0?
?
?1
)到原来的
得到
y?sin(
?
x?
?)
;
③再把
y?sin(
?
x?
?
)
的所有点的纵坐标伸长(
A?1
)或缩短(
0?
A?1
)到原来的
A
倍(横坐标不
变)得到
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象。
先平移后伸缩的叙述方向:
y?Asin(
?
x?
?
)
先平移后伸缩的叙述方向:
y?A
sin(<
br>?
x?
?
)
?A
sin[
?
(
x?
1
倍(纵坐标不变)
?
?
)]
?
第五章、平面向量
1、空间向量:(1)定义:既有大小又有方向的量叫做向量,向量都可用同一平面内的有向线段表示。
(2)零向量:长度为0的向量叫零向量,记作
0
;零向量的方向是任意的。
(3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量叫单位向量;与向量
a
平行的单位向量:e??
a
|a|
;
(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫平行
向量也叫共线向量,记作
ab
;规定
0
与任何向量平
行;
(5)相等向量:长度相同且方向相同的向量叫相等向量,零向量与零向量相等;
任意两个相等的非零向量,都可以用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关。
2、向量的运算:(1)、向量的加减法:
三角
b
a
向量
平行四
b
a
b
向量
a
b
b
14
a?b
a?b
a
(2)、实数与向量的积:①、定义:实数
?
与向量
a
的积是一个向量,记
作:
?
a
;
②:它的长度:
|
?
a|?|
?
|?|a|
;
③:它的方向:当
?
?0
,
?
a
与向量
a
的方向相同;当
?
?0
,
?
a
与向量
a<
br>的方向相反;当
?
?0
时,
?
a
=
0
;
3、平面向量基本定理:如果
e
1
,e
2
是同一平面
内的两个不共线的向量,那么对平面内的任一向量
a
,有且
只有一对实数
?<
br>1
,
?
2
,使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
;
不共线的向量
e
1
,e
2
叫这个平面内所有向量的一组基向量,{
e
1
,
e
2
}叫基底。
4、平面向量的坐标运算:(1)运算性质:
a?b?b
?a,a?b?c?a?b?c,a?0?0?a?a
(2)坐标运算:设
a??
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
设A、B两点的
坐标分别为(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2?y
1
?
.
(3)实数与向量的积的运算律: 设
a?
?
x,y
?
,则λ
a?
?
?
x,y
?<
br>?
?
?
x,
?
y
?
,
??
?
????
00
?
(4)平面向量的数量积:①、 定
义:
a?b?a?bcos
?
?
a?0,b?0,0?
?
?
180
?
,
0?a?0
.
??
????
??
?
??
????
?
?
①、平面向量的数量积的几何意义:向
量
a
的长度|
a
|与
b
在
a
的方向上的投
影|
b
|
cos
?
的乘积;
③、坐标运算:设
a
?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x<
br>2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
;
向量
a
的模|
a
|:
|a|
2
?a?a
?x?y
;模|
a
|
?
??
22
????
x
2
?y
2
x
1
x
2
?y
1
y
2
x<
br>1
?y
1
??
22
④、设
?
是向量
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
的夹角,则
cos
?
?
??
x
2
?y
2
22
,
a
?
b
?a?b?0
5、重要结论:(1)、两个向量平行的充要条件:
ab?a?
?
b
(
?
?R)
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
ab?
x<
br>1
y
2
?x
2
y
1
?0
15
??
??
(2)、两个非零向量垂直的充要条件:
a?b?a?b?0
设 <
br>a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
(3)、两点
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
的距离:
|AB|?
????????
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
??
(4)、P分线段P
1
P
2
的:设P(x,y)
,P
1
(x
1
,y
1
)
,P
2
(x
2
,y
2
) ,且
P
(即?
??
1
P?
?
PP
2
,
|P
1
P|
|PP
2
|
)
?
x?
?
?
则定比分点坐标公式
?
?
y?
?
?
x
1
?
?
x
2
x
1
?x
2
?
x?
?
1?
?
,
中点坐标公式
?
2
?
y
1
?
?
y
2
y?y
2
?
y?
1
?
1?<
br>?
2
?
?
'
?
?
x?x?h,
(5
)、平移公式:如果点 P(x,y)按向量
a?
?
h,k
?
平移至P′(x′,y′),则
?
'
?
?
y?y?k.
6、解三角形:(1)三角形的面积公式:<
br>S
?
?
(2)在△
ABC
中:
A?B?C?180?
,
111
ab
sin
C
?
ac
sin
B
?
bcsinA
222
因为
A?B?180?
?C
:
sin(A?B)?sinC
,
cos(A?B)??cosC
,
tan(A?B)??tanC
因为
A?B
?90??
C
:
sin(
A?B
)?
cos
C
,
cos(
A?B
)?sin
C
,
tan(
A?B
)?cot
C
222222
22
abc
???2R,边用角表示:a?2RsinA, b?2RsinB, c?2Rsin
sinAsinBsinC
(3)正弦定理,余弦定理
①正弦定理:a
2
?b
2
?c
2
?2bc?cosA
②余弦
定理:
b
2
?a
2
?c
2
?2ac?cosBa
2
?b
2
?c
2
??ab
若:
a<
br>2
?b
2
?c
2
??2ab
则:
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC?(a?b)
2
?2ab(1?cocC)
a
2
?b
2
?c
2
?
?3ab
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
cosB?
cosC?
求角:
cosA?
2bc2ac2ab
第六章:不等式
1、不等式的性质:(1)、对称性:
a?b?b?a
;
(2)、传递性:
a?b,b?c?a?c
;
(3)、
a?b?a
?c?b?c
;
a?b,c?d?a?c?b?d
(4)、
a?b
,
若
c?0?ac?bc
,若
c?0?ac?bc
;
a?b
?0,c?d?0?ac?bd
y
2a
16
(5)、
a?b?0?a
n
?b
n
,
n
a?
1、 均值不等式:
(1)、
(2)、
a?b?2ab
或
ab?(
n
b,(n?N,n?1)
(没有减法
、除法)
22
a?b
(
ab?
)
2
a?b
2
)
一正、二定、三相等
2
不满足相
等条件时,注意应用函数
f(x)?x?
1
图象性质(如图)
x
应用:证明(注意1的技巧),求最值,实际应用
(3)、对于n个正数:
a
1
,a
2
,a
3
?,a
n
(n?2)
,
那么:
a
1
?a
2
???a
n
叫做n个正数的算术平均数,
n
a
1
a
2
?a
n
叫做n个正数的几何平均数;
n
3、不等式的证明,常用方法:
(1)比
较法:①、作差:
a?b?0?a?b,a?b?0?a?b
,(作差、变形、确定符号) <
br>②、作商:
a
?1(b?0)?a?b(b?0),
a
?1(b?0)
?a?b(b?0)
bb
(2)综合法:由因到果,格式:
??
(
3)分析法:执果索因,格式:原式
, ??; ??, ??;
?, ??, ??, ??,
(4)反证法:从结论的反面出发,导出矛盾。
4、不等式的解法:(不等式解集的边界值是相应方程的解)
一元二次不等式(
x<
br>的系数为正数):
??0
时“>”取两边,“<”取中间
绝对值不等式:含一个绝对值符号的:“>”取两边,“<”取中间
含两个绝对值符号的:
零点分段讨论法(注意取“交”,还是取“并”)
高次不等式的解法:根轴法 (重根:奇穿偶不穿)
分式不等式的解法:移项、通分、根轴法
2
17
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