高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结

坐标系与参数方程 知识点


1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
?
x
?
?
?
x
设点P(x,y)是平面直角坐标系 中的任意一点,在变换
?
:
?
?
y
?
?
?
y
(
?
?0)
的作用
(
?
?0)
下,点P(x,y)对应到点
P
?
(x
?
,y
?
)
,称
?
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变
换.
2.极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示,在平面内取一个定点
O< br>,叫做极点,自极点
O
引一条射
线
Ox
,叫做极轴;再选定一 个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆
时针方向),这样就建立了一个极坐标 系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴
为 几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极
坐标系和平面 直角坐标系都是平面坐标系.
(2)极坐标
设M是平面内一点,极点
O
与 点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为
?
;以极轴
Ox
为始
边, 射线
OM
为终边的角
?xOM
叫做点M的极角,记为
?
.有 序数对
(
?
,
?
)
叫做点M的极坐
标,记作
M(
?
,
?
)
.
一般地,不作特殊说明时,我们认为
?
?0,
?
可取任意实数.
特别地,当点
M
在极点时,它的极坐标为(0,
?
)(
?
∈R).和直角坐标不同,平面内一个
点的极坐标有无数种表示.
如果规定
?
?0,0?
?
?2
?
,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐 标
(
?
,
?
)
表示;
同时,极坐标
(?
,
?
)
表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点 ,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系
中取相同的长度单位,如图所示:

(2 )互化公式:设
M
是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是
(x,y)
,极坐 标是
(
?
,
?
)
(
?
?0
),于 是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
极坐标
(
?
,
?
)

点
M

直角坐标
(x,y)

互化公式
?
x?
?
cos
?

?
y?
?< br>sin
?
?
?
2
?x
2
?y
2
y
tan
?
?(x?0)
x
在一般情况下,由
tan
?
确定角时,可根据点
M
所在的象限最小正角.
4.常见曲线的极坐标方程
曲线 图形 极坐标方程
圆心在极点,半径
为
r
的圆

圆心为
(r,0)
,半径
为
r
的圆
圆心为
(r,

?
?r(0?
?
?2
?
)

?
? 2rcos
?
(?
?
2
?
?
?
?
2
)

?
2
)
,半

?
2rsin
?
(0?
?
?
?
)

径为
r
的圆

过极点,倾斜角为
(1)
?< br>?
?
(
?
?R)或
?
?
?
?
?
(
?
?R)

(2)
?
?
?
(
?
?0)和
?
?
?
?
?
(
?< br>?0)


?
的直线
过点
(a,0)
,与极轴
垂直的直线

?
cos
?
?a(?
?
2
?
?
?
?
2)

过点
(a,
?
2
)
,与极
?sin
?
?a(0?
?
?
?
)

轴平行的直线


注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即
(
?
,
?
),(
?
,2
?
?
?
),(?
?
,
?
?
?
),(?
?
,?
?
?
?
),
都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的
唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足
极坐标方程即 可.例如对于极坐标方程
?
?
?
,
点
M(
??,)
可以表示为
44
?????
5
?
??
(, ?2
?
)或(,?2
?
)或(-,)
等多种形式,其中,只有
(,)
的极坐标满足方
44444444
程
?
?
?
.
二、参数方程
1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线 上任意一点的坐标
x,y
都是某个变数
t
的函数
?
x?f( t)
①,并且对于
t
的每一个允许值,由方程组①所确定的点
M(x,y)< br>都在这条曲线上,
?
y?g(t)
?
那么方程①就叫做这条曲线的参数 方程,联系变数
x,y
的变数
t
叫做参变数,简称参数,相对
于参数 方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从

参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数
x,y
中的一个与参数
t的关系,例如
x?f(t)
,把它代入普通方程,求
出另一个变数与参数的关系< br>y?g(t)
,那么
?
?
x?f(t)
就是曲线的参数方程, 在参数方程与
y?g(t)
?
普通方程的互化中,必须使
x,y
的取 值范围保持一致.
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题 ，
关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数
如图所示，设圆
O
的半径为
r
，点
M
从初始位置
M
0
出发，按逆时针方向在圆
O
上作
匀速圆周运动，设
M(x,y)
，则
?
?
x?rcos
?< br>(
?
为参数)
。
?
y?rsin
?
这就是 圆心在原点
O
，半径为
r
的圆的参数方程，其中
?
的几何意 义是
OM
0
转过的角
度。
圆心为
(a,b)
，半 径为
r
的圆的普通方程是
(x?a)
2
?(y?b)
2?r
2
，
它的参数方程为：
?
?
x?a?rcos< br>?
(
?
为参数)
。
?
y?b?rsin
?
4．椭圆的参数方程
x
2
y
2
以坐标原点
O
为中心，焦点在
x
轴上的椭圆的标准方程 为
2
?
2
?1(a?b?0),
其参
ab
数方程为
?
?
x?acos
?
(
?
为参数)
，其中 参数
?
称为离心角；焦点在
y
轴上的椭圆的标准方
y?bsin?
?
?
x?bcos
?
y
2
x
2程是
2
?
2
?1(a?b?0),
其参数方程为
?(
?
为参数),
其中参数
?
仍为离心
ab
?< br>y?asin
?
角，通常规定参数
?
的范围为
?
∈[ 0，2
?
）。
注：椭圆的参数方程中，参数
?
的几何意义为椭圆上 任一点的离心角，要把它和这一
点的旋转角
?
区分开来，除了在四个顶点处，离心角和 旋转角数值可相等外（即在
0
到
2
?
的范围内），在其他任何一点， 两个角的数值都不相等。但当
0?
?
?
?
2
时，相应地也有

0?
?
?
?
2
，在其他象限内类似。
5．双曲线的参数方程
x
2
y
2
以坐标原点
O< br>为中心，焦点在
x
轴上的双曲线的标准议程为
2
?
2
?1(a?0,b?0),
ab
其参数方程为
?
?
x?asec?
?
3
?
.

(
?
为参数)
，其中
?
?[0,2
?
)且
?
?,
?
?< br>22
?
y?btan
?
y
2
x
2
焦 点在
y
轴上的双曲线的标准方程是
2
?
2
?1(a?0,b ?0),
其参数方程为
ab
?
x?bcot
?
(
?
为参数，其中
?
?(0,2
?
)e且
?
?
?
.

?
y?acsc
?
?
以上参数
?< br>都是双曲线上任意一点的离心角。
6．抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向 右的抛物线
y
2
?2px(p?0)
的参数方程为
?
x?2 pt
2
(t为参数).

?
?
y?2pt
7．直线的参数方程
经过点
M
0
(x
0
,y
0
)
，倾斜角为
?
(
?
?
?
2
)
的直线
l
的普通方程是
y?y
0
?tan
?
(x?x
0
),
而过
M0
(x
0
,y
0
)
，倾斜角为
?
的直 线
l
的参数方程为
?
?
x?x
0
?tcos
?
(t为参数)
。
?
y?y
0
?tsin
?< br>注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点
M
0
(x
0
,y
0
)
，倾斜角为
?
的直线
l
的参数
?x?x
0
?tcos
?
方程为
?
(t为参数)
，其中
t
表示直线
l
上以定点
M
0
为起点，任一点
y?y?tsin
?
0
?
M(x,y)
为终点的有向线段< br>M
0
M
的数量，当点
M
在
M
0
上方 时，
t
＞0；当点
M
在
M
0
下
方时，t
＜0；当点
M
与
M
0
重合时，
t
= 0。我们也可以把参数
t
理解为以
M
0
为原点，直
线
l
向上的方向为正方向的数轴上的点
M
的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位 长
度相同。