高中数学函数单调性知识点-高中数学职高资料
一
集合与函数
?
?
?
确定性
?
集合中元素的特征
?
?
互异性
?
?
?
无序性
1
集合的含义及表示
?
?
?
集合与元素的关系 : ? ?
?
?
列举法
?
集合的表示
?
?
?
?
描述法
?
?
常见的数集 N N
*
Z Q R
?
?
子集： A?B
,
?
?A,A?A
2
集合间的基本关系
?
?
集合相等:
1
?
定义:A=B
若A?B且B?A则A?B
?
2
?
?
?
真子集：
若A?B且 A?B,则A?
?
B
空集
?
的特殊性: 空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集
*结论
含有
n
个元素的集合，其子集的个数为
2
n
，真子集的个数为
2
n
?1
?
并集：A?B?
?
x|x?A或x?
3集合的基本运算
?
B
?
?
交集：A?B?
?
x|x?A且x?B
?
?
?
补集：C
U
A?
?
x|x?U且x?A
?
在集合运算中常借助于数轴和文氏图（*注意端点值的取舍）
*结论 （1）
A?A?A
A?A?A
,
A?
?
?A
A?
?
?
?
（2）
若A?B?B则A?B
若A?B?A则A?B
（3）
A?(C
U
A)?
?
A?(C
U
A)?U
（4）若
A?B?
?
则
A?
?
或
A?
?
1
?
函数的定义
?
?
定义域?
?
函数的三要素
?
?
对应法则
?
?
值域
?
?
4函数及其表示
?
?
区间的表示
?
?
解析式法
?
?
?
函数的表示法
?列表法
?
?
图像法
?
?
5 函数的单调性及应用
（1） 定义： 设
x
1
?x
2
?
?
a,
b
?
,x
1
?x
2
那么:
x
1
?x
2
,f(x
1
)?f(x
2
)
?
(
x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x2
)
?
?0
?
x
1
?x
2
,
f(x
1
)?f(x
2
)
?
(x
1
?x<
br>2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0
?
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?0
?f(x)在
?
a,b
?
上是增函数；
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
?0<
br>
?f(x)在
?
a,b
?
上是减函数.
x
1
?x
2
（2）
判定方法：
1
定义法(证明题)
2
图像法
3
?
复合法
（3） 定义法：证明函数单调性用
利用定义来证明函数单调性的一般性步骤：
?
1
设值
：任取
x
1
,x
2
为该区间内的任意两个值，且
x
1
?x
2
?
?
2
做差,变形，比较大小：做差
f(x
1
)?f(x
2
)
，并
利用通分，因式分解，配方，有理化等方
法变形比较
f(x
1
),f(x2
)
大小
3
?
下结论（说函数单调性必须在其单调区间上）
（4）常见函数利用图像
直接判断单调性：一次函数，二次函数，反比例函数，指对数函数，幂函数，
对勾函数
（5）复合法：针对复合函数采用同增异减原则
（6）单调性中结论：在同一个单调区间内：增+增=增： 增—减=增：减+减=减：减—增=增
若函数
f(x)
在区间
?
a,b
?
为增
函数，则
—
f(x)
，
1
)
在
?
a,b<
br>?
为减函数
f(x
（7）单调性的应用：
1
：利用函数单调性比较大小
2
利用函数单调性求函数最值（值域）
重点题型：求二次函数在闭区间上的最值问题
2
?
?
6 函数的奇偶性及应用
（1）定义：若
f(x)
定义域关于原点对称
1
?
若对于任取x的，均有
f(?x)?f(x)
则
f(x)
为偶函数
2
?
若对于任取x的，均有
f(?x
)??f(x)
则
f(x)
为奇函数
（2）奇偶函数的图像和性质
偶函数
函数图像关于
y
轴对称
整式函数解析式中只含有
x
的偶次方
奇函数
函数图像关于原点对称
整式函数解析式中只含有
x
的奇次方
f(?x)?f(x)
在关于原点对称的区间上其单调性相反
f(?x)??f(x)
在关于原点对称的区间上其单调性相同
若奇函数在
x?0
处有定义，则
f(0)?0
（3）判定方法：
1
?
定义法 （证明题）
2
?
图像法
3
?
口诀法
（4）定义法: 证明函数奇偶性
步骤：
1
?
求出函数的定义域观察其是否关于原点对称（前提性必备条件）
2
由出发
f(?x)
，寻找其与
f(x)
之间的关系
3
?
下结论（若
f(
?x)?f(x)
则
f(x)
为偶函数，若
f(?x)??f(x)
则
f(x)
为奇
函数函数）
（4） 口诀法：
奇函数+奇函数=奇函数：偶函数+偶函数=偶函数
奇函数
?
奇函数＝偶函数：
奇函数
?
偶函数＝奇函数：偶函数
?
偶函数＝偶函数
3
?
二
指数函数与对数函数
1 指数运算公式
1
?
a
m
?a
n
?a
m?n
2
?
a
m
?a
n
?a
m?n
3
?
(ab)
m
?a
m
b
m
4
?
(a
m
)
n
?a
mn
5
?
(
a
b
)?a
m
m
m
?
n
m
b
m
6
a
n
?a
7
?
a
?
m
n
?
1
n
a
m
8
?
n
a
n
?
?
?
a,当n为偶
数时
?
a,当n为奇数时
2 对数运算公式
（1）对数恒等式
当a?0,a?1
时
，
a
x
?N?x?log
a
N
log1
a
log
a
N
a
1?0
log
a
a?
?N
（2）对数的运算法则
(a?0且a?1,M?0,N?0)
1
?
log
a
(M?N)?log
a
M?log
a
N<
br>
2
?
log
a
(
M
N
)?log
a
M?log
a
N
3
?
log
a
(M
n
)?nlog
a
M
（3）换底公式及推论
log
log
c
b
a
b?
log
(a?0且a?1,c?0且c?1,b?0)
c
a
推论
1
?
log
n
n
a
mb?
m
log
a
b
2
?
log
a
N?
1
log
N
a
3
?
log
a
blog
b
c?log
a
c
4
3 指数函数与对数函数
图
像
定义
域
值域
定点
单调
性
4
指数与对数中的比较大小问题
（1）指数式比较大小
1
?
a
m
，
a
n
2
?
a
m
，
b
n
（2）对数式比较大小
1
?
log
a
m
，
log
a
n
2
?
log
a
m
，
log
b
n
5 指数与对数图像
６ 幂函数：一般地，函数
y?x
?
叫做幂函数，其
x
中为自变量，
?
是常数
几种幂函数的图象：
5
函数零点及二分法
一 函数零点的判定
(一) 函数有实数根
?
函数的图像与轴有交点
?
函数有零点
(二)
函数的零点的判定定理
如果函数
y?f(x)
在区间
?
a,b?
上的图像时连续不断的一条曲线，并且有
f(a)gf(b)?0
，那么，函数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
内有零点，即存在
c?
?
a,b
?
，使得
f(c)?0
，这个
c
也就是方程的根
二 函数二分法的应用
（一）函数二分法：对于
在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，
使区间的两个端点逐步逼近
零点，进而得到零点近似值的方法。
给定精确度
?
，用二分法求函数
f(x)
零点近似值的步骤如下：
1确定区间
?
a,b
?
，验证
f(a)gf(b)?0，给定精确度
?
2求区间的中点
c
3计算
f(c)
（1）
若
f(c)?0
，则
c
就是函数的零点
（2） 若
f(a
)gf(c)?0
，则令
b?c
（此时零点
x
?
?(a,c
)
）
（3） 若
f(c)gf(b)?0
，则令
a?c
（
此时零点
x
?
?(c,b)
）
4判定是否达到精确度
?<
br>：即若
a?b?
?
，则得到零点近似值
a
（或
b）：否则重复
2:4
（二）函数二分法及精度计算
L?()?
?
(L?a?b)
1
2
n
6