《高中数学基础知识点归纳总结》教师版

教师版高中数学必修+选修知识点归纳
引言

1.课程内容：
必修课程由5个模块组成：
必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、
对、幂函数）
必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3：算法初步、统计、概率。
必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、
三角恒等变换。
必修5：解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必须学习的。
上述内 容覆盖了高中阶段传统的数学基础
知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、
函数、数列、不 等式、解三角形、立体几何初
步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打
好基础的同时，进一 步强调了这些知识的发生、
发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做
过高的要求。
此外，基础内容还增加了向量、算法、概
率、统计等内容。

选修课程有4个系列：
系列1：由2个模块组成。
选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
导数及其应用。
选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩
充与复数、框图
系列2：由3个模块组成。
选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
空间向量与立体几何。
选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系
的扩充与复数

- 1 -
选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，
统计案例。
系列3：由6个专题组成。
选修3—1：数学史选讲。
选修3—2：信息安全与密码。
选修3—3：球面上的几何。
选修3—4：对称与群。
选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。
选修3—6：三等分角与数域扩充。
系列4：由10个专题组成。
选修4—1：几何证明选讲。
选修4—2：矩阵与变换。
选修4—3：数列与差分。
选修4—4：坐标系与参数方程。
选修4—5：不等式选讲。
选修4—6：初等数论初步。
选修4—7：优选法与试验设计初步。
选修4—8：统筹法与图论初步。
选修4—9：风险与决策。
选修4—10：开关电路与布尔代数。

2．重难点及考点：
重点：函数，数列，三角函数，平面向量，
圆锥曲线，立体几何，导数
难点：函数、圆锥曲线
高考相关考点：
⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻
辑、充要条件
⑵函数：映射与函数、 函数解析式与定义域、
值域与最值、反函数、三大性质、函
数图象、指数与指数函数、对数与对
数函数、函数的应用

⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数
列、数列求和、数列的应用
⑷三角函数 ：有关概念、同角关系与诱导公式、
和、差、倍、半公式、求值、化
简、证明、三角函数的图象 与性
质、三角函数的应用
⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、
数量积及其应用
⑹不等式：概念与性 质、均值不等式、不等式
的证明、不等式的解法、绝对值不
等式、不等式的应用
⑺直 线和圆的方程：直线的方程、两直线的位
置关系、线性规划、圆、
直线与圆的位置关系
⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直
线与圆锥曲线的位置关系、
轨迹问题、圆锥曲线 的应用
⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线
与平面、平面与平面、棱柱、
棱 锥、球、空间向量
⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二
项式定理及其应用
⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、
抽样、正态分布
⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用
⒀复数：复数的概念与运算
集合相等。
3、 常见集合：正整数集合：
N
*
或
N
?
，整数 集合：
Z
，有理数集合：
Q
，实数集合：
R
.
4、集合的表示方法：列举法、描述法.
§1.1.2、集合间的基本关系
1、 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任
意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是
集合B的子集。记作
A?B
.
2、 如果集合
A?B
，但存在元素
x?B
，且
x?A
，
则称集合A是集合B的真子集.记作：AB.
3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：
?
.并规定：
空集合是任何集合的子集.
4、 如果集合A中含有n个元素，则集合A有
2
个子
集，
2?1< br>个真子集.
§1.1.3、集合间的基本运算
1、 一般地，由所有属于集合A或集 合B的元素组成
的集合，称为集合A与B的并集.记作：
A?B
.
2、 一 般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素
组成的集合，称为A与B的交集.记作：
A?B< br>.
3、全集、补集？
C
U
A?{x|x?U,且x?U}

§1.2.1、函数的概念
1、 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应
关系
f
，使对于集合A中的任意一个数
x
，在集
合B中都有惟一确定 的数
f
?
x
?
和它对应，那么就
称
f:A?B为集合A到集合B的一个函数，记
作：
y?f
?
x
?
, x?A
.
2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值
域.如果两个函数的 定义域相同，并且对应关系完
全一致，则称这两个函数相等.
§1.2.2、函数的表示法
1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.
n
n
必修1数学
知识点

第一章：集合与函数概念
§1.1.1、集合
1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总
体叫做集 合。集合三要素：确定性、互异性、无
序性。
2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个

- 2 -

§1.3.1、单调性与最大（小）值
1、注意函数单调性的证明方法：
(1)定 义法：设
x
1
、x
2
?[a,b],x
1
?x2
那么
4、复合函数求导法则
复合函数
y?f(g(x))
的导数和函数
y?f(u),u?g(x)
的导数间的关系为
y
x
?
?y
u
?
?u
x
?
，
即
y
对
x
的导数等于
y
对
u
的导数与
u
对< br>x
的导数的
乘积.
解题步骤:分层—层层求导—作积还原.
5、函数的极值
(1)极值定义：
极值是在
x
0
附 近所有的点，都有
f(x)
＜
f(x
0
)
，
则f(x
0
)
是函数
f(x)
的极大值；
极值 是在
x
0
附近所有的点，都有
f(x)
＞
f(x
0
)
，
则
f(x
0
)
是函数
f(x)
的极小值.
(2)判别方法：
①如果在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)
＞0，右侧
f
'
(x)
＜0，


f(x
1
)?f(x
2
)?0?f(x)在[a,b ]
上是增函数；
f(x
1
)?f(x
2
)?0?f(x) 在[a,b]
上是减函数.
步骤：取值—作差—变形—定号—判断
格式：解：设< br>x
1
,x
2
?
?
a,b
?
且
x
1
?x
2
，则：
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
=…
(2)导数法：设函数y?f(x)
在某个区间内可导，
若
f
?
(x)?0
， 则
f(x)
为增函数；
若
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为减函数.
§1.3.2、奇偶性
1、 一般地，如果对于函数
f
?
x
?
的定义域内任意一个
x
，都有
f
?
?x
??f
?
x
?
，那么就称函数
f
?
x
?
为
偶函数.偶函数图象关于
y
轴对称.
2、 一般地，如果对于函 数
f
?
x
?
的定义域内任意一个
a?1

0?a?1

图
象
1
-4-2
1
0
-1

-4-2
0
-1

x
，都有
f
?
?x
?
??f
?
x
?
，那么就称函数
f
?
x
?
为
奇函数.奇函数图象关于原点对称.
知识链接：函数与导数
1、函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义： < br>函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f( x)
在
(1)定义域：R
性
（2）值域：（0，+∞）
质
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
(5)
x?0,a?1
;
x?0,0?a?1

x
x
(5)
x?0,0?a?1
;
x?0,a?1

x
x
那么
f(x
0
)
是极大值；
②如果 在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)
＜0，右侧
f
'
(x)
＞0，
那么
f(x
0
)
是极小 值.
6、求函数的最值
(1)求
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值（极大或者极小值）
(2)将
y?f(x)
的各极值点与
f(a),f(b)
比较，其中
最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。
注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。

第二章：基本初等函数（Ⅰ）
§2.1.1、指数与指数幂的运算
1、 一般地，如果
x?a
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根。
其中
n?1,n?N
?
.
- 3 -
n
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率< br>f
?
(x
0
)
，相应的切线方
程是
y?y< br>0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
2、几种常见函数的导数
①
C
?0
；②
(x)?nx'
'
n'n?1
；
'
③
(sinx)?cosx
； ④
(cosx)??sinx
；
x'x
⑤
(a)?alna
； ⑥
(e)?e
； x'x
⑦
(log
a
x)?
'
'
11
'
；⑧
(lnx)?

xlnax
''
3、导数的运算法则
（1）
(u?v)?u?v
.
（2）
(uv)?uv?uv
.
'''
u
'
u
'
v?uv
'
(v?0)
. （3）
()?
vv
2

2、 当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
；
当
n
为偶数时，
a?a
.
3、 我们规定：
⑴
a
n
m
4、运算性质：当
a?0,a?1,M?0,N?0
时：
⑴
log
a
?
MN
?
?log
a
M?log
a
N
；
⑵
log
a
?
n
n
?
m
a
n

*
?
M
?
?
?log
a
M?log
a
N
；
N
??
?
a?0,m,n?N
⑵
a
?n
,m?1
；
?
n
⑶
loga
M?nlog
a
M
.
?
1
?
n?0
?
；
n
a
r?s
5、换底公式：
log
a
b?
4、 运算性质：
⑴
aa?a
rs
log
c
b

log
c
a
?
a?0,r,s?Q
?
；
0?a?1

2.5
1.5
?
a?0,a?1,c?0,c ?1,b?0
?
.
6、重要公式：
log
a
n
b ?
m
m
log
a
b

n


图
-1
2.5
1.5
a?1

1
07、倒数关系：
log
a
b?
1
?
a?0,a?1,b ?0,b?1
?
.
log
b
a
1
0.5
0.5
象
-0.5
1
-1
0
-0.5
1
§2..2.2、对数函数及其性质

1、记住图象：
y?log
a
x
?
a?0,a? 1
?


y=log
a
x

0
o
1

a>1

2、性质：
§2.3、幂函数
1、几种幂函数的图象：
y
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2.5

-2
-2.5

(1)定义域：（0，+∞）
性
（2）值域：R
，即x=1时，y=0
质
（3）过定点（1，0）
（4）在 （0，+∞）上是增函数 （4）在（0，+∞）上是减函数
(5)
x?1,log
a
x?0
； (5)
x?1,log
a
x?0
；
0?x?1,log
a
x?0

0?x?1,log
a
x?0

⑵
a
r
x
??
s
?a
rs
?
a?0,r,s?Q
?
；
rr
⑶
?
ab
?
?ab
?
a?0,b ?0,r?Q
?
.
r
§2.1.2、指数函数及其性质
1、记住图象：
y?a
?
a?0,a?1
?

x

y=a
x

a>1
0
1

o


2、性质：
§2.2.1、对数与对数运算
y

x

第三章：函数的应用
§3.1.1、方程的根与函数的零点
1、方程
f
?
x
?
?0
有实根
x
1、指数与对数互化式：
a?N?x?log
a
N
；
2、对数恒等式：
a
log
a
N
?N
.

?
函数
y?f
?
x
?
的图象与
x
轴有交点
- 4 -
3、基本性质：
log
a
1?0
，
log
a
a?1
.

?
函数
y?f
?
x
?
有零点.
2、 零点存在性定理：
如果函数
y?f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断
的一条曲线，并且有
f
?
a
?
?f
?
b
?
?0
，那么函数




⑶圆台侧面积：
S
侧面
?
?
?r?l?
?
?R?l

⑷体积公式：
y?f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
内有零点，即存在
c?< br>?
a,b
?
，
使得
f
?
c
?
?0
，这个
c
也就是方程
f
?
x
?
?0
的根.
§3.1.2、用二分法求方程的近似解
1、掌握二分法.
§3.2.1、几类不同增长的函数模型
§3.2.2、函数模型的应用举例
1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函
数拟合，最后检验.

V
柱体
?S?h
；
V
锥体
?
1
S?h< br>；
3
V
台体
?
1
S
上
?S
上
?S
下
?S
下
h

3
??
⑸球的表面积和体积：
4
S
球
?4
?
R
2
，V
球
?
?
R
3
.
3
第二章：点、直线、平面之间的位置关系
1、公理1：
如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条
直线在此平面内。
必修2数学
知识点
第一章：空间几何体
1、空间几何体的结构
⑴
常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：
圆柱、圆锥、圆台、球。

⑵棱柱：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且
每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围
成的多面体叫做棱柱。

2、公理2：
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
3、公理3：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它
们有且只有一条过该点的公共直线。
4、公理4：
平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这
两个角相等或互补。
6、线线位置关系：
平行、相交、异面。
7、线面位置关系：
直线在平面内、直线和平面平行、直
线和平面相交。
⑶ 棱台：
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与
截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台 。

2、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影， 中心投影
的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫
平行投影，平行投影的投影线是 平行的。
8、面面位置关系：
平行、相交。
9、线面平行：
⑴判定：< br>平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则
该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行 ）。

⑵性质：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一
平面与此平面 的交线与该直线平行（简称线面平行，则
线线平行）。
3、空间几何体的表面积与体积 10、面面平行：
⑴判定：
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，
则这两个 平面平行（简称线面平行，则面面平行）。
⑵性质：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么

⑴圆柱侧面积；
S
侧面
?2
?
?r?l

它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。
11、线面垂直：
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，
那么就说这条直线和这个平面垂直。
< br>⑵判定：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直（简称线 线垂直，则线面垂直）。

⑵圆锥侧面积：
S
侧面
?
?
?r?l


- 5 -
⑶性质：
垂直于同一个平面的两条直线平行。
12、面面垂直：
⑴定义：
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面

角，就说这两个平面互相垂直。
⑵判定：
一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这 两个
平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。
⑶
l
1
和
l
2
重合
?
?
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
；
?
B
1
C
2< br>?B
2
C
1
⑶性质：
两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于 交线的
直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。
⑷
l
1< br>?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
.

第三章：直线与方程
1、倾斜角与斜率：
k?tan
?
?
y
2
?y
1
x

2
?x
1
2、直线方程：
⑴点斜式：
y?y
0< br>?k
?
x?x
0
?

⑵斜截式：
y?kx?b

⑶两点式：
y?y
1
y
2
?y
1
x?x
?

1
x
2?x
1
⑷截距式：
xy
a
?
b
?1

⑸一般式：
Ax?By?C?0


3、对于直线：
l< br>1
:y?k
1
x?b
1
,l
2
:y?k2
x?b
2
有：
⑴
l
1
l
2
?
?
?
k
1
?k
2
?
b?b
；
12
⑵
l
1
和
l
2
相交
?k1
?k
2
；
⑶
l
重合
?
?
?
k
1
?k
2
1
和
l
2
?
b
1
?b
；
2
⑷
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.

4、对于直线：
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
? 0,
l
有：
2
:A
2
x?B
2
y?C< br>2
?0
⑴
l
2
B
1
1
l
2
?
?
?
A
1
B
2
?A
?
BC
；
12
?B
2
C
1
⑵
l
1
和
l
2
相交
?A
1
B
2
?A2
B
1
；


5、两点间距离公式：
P< br>1
P
2
?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2

6、点到直线距离公式：
d?
Ax
0
?By
0
? C
A
2
?B
2

7、两平行线间的距离公式：
l
1
：
Ax?By?C
1
?0
与
l
2
：
Ax?By?C
2
?0
平行，
则
d?
C
1
?C
2
A
2
?B
2

第四章：圆与方程
1、圆的方程：
⑴标准方程：
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2

其中圆心为
(a,b)
，半径为
r
.
⑵一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
.
其中圆心为
(?
D
2
,?
E
2
)
，半径为
r?
1
2
D
2
?E
2
?4F.
2、直线与圆的位置关系
直线
Ax?By?C?0
与圆
( x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
弦长公式：
l?2r
2
?d
2

?1?k
2
(x
2
1
?x
2
)?4x
1
x
2

3、两圆位置关系：
d?O
1
O
2

⑴外离：
d?R?r
；
⑵外切：
d?R?r
；
⑶相交：
R?r?d?R?r
；
- 6 -

⑷内切：
d?R?r
；
⑸内含：
d?R?r
.
3、空间中两点间距离公式：
P
1
P
2
?
?x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2< br>?y
1
?
2
?
?
z
2
?z
1
?
2


必修3数学
知识点






（图3）
⑶循环结构示意图：
①当型（WHILE型）循环结构示意图：



循环体



满足条件？
是

否


（图4）
②直到型（UNTIL型）循环结构示意图：




循环体

否



满足条件？

是
第一章：算法
1、算法三种语言：
自然语言、流程图、程序语言；
2、流程图中的图框：
起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等
规范表示方法；
3、算法的三种基本结构：
顺序结构、条件结构、循环结构
?
⑴顺序结构示意图：




?
当型循环结构

直到型循环结构
?
语句n
语句n+1
（图1）

⑵条件结构示意图：
①IF- THEN-ELSE格式：




满足条件？

是


语句1

（图5）

4、基本算法语句：
①输入语句的一般格式：INPUT“提示内容”；变量
②输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式
③赋值语句的一般格式：变量＝表达式
（“=”有时也用“←”）.
④条件语句的一般格式有两种：
IF—THEN—ELSE语句的一般格式为：

IF 条件 THEN


语句1

ELSE

语句2

（图2）

END IF


- 7 -
否
语句2



（图2）
②IF-THEN格式：



满足条件？

否
是
语句

IF—THEN语句的一般格式为：


IF 条件 THEN

语句

END IF
（图3）


⑤循环语句的一般格式是两种：
当型循环（WHILE）语句的一般格式：

WHILE 条件

循环体

（图
4）

WEND


直到型循环（UNTIL）语句的一般格式：


DO

循环体

LOOP UNTIL 条件



（图
5）


⑹算法案例：
①辗转相除法—结果是以相除余数为0而得到
利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： < br>ⅰ）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商
S
0
和
一个余数
R
0
；
ⅱ）：若
R
0
＝0，则n为m，n的最大公约数 ；若
R
0
≠0，则用除数n除以余数
R
0
得到一个商
S
1
和一个余
数
R
1
；
ⅲ）：若
R< br>1
＝0，则
R
1
为m，n的最大公约数；若
R
1≠
0，则用除数
R
0
除以余数
R
1
得到一个商
S
2
和一个余数
R
2
；……
依次计算直至
R
n
＝0，此时所得到的
R
n?1
即为所求
的最大公约数 。
②更相减损术—结果是以减数与差相等而得到
利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：
ⅰ）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。
若是，用2约简；若不是，执行第二步。
ⅱ）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与
所得的差比较，并以大数减小数。继续这个 操作，直
到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的
最大公约数。
③进位制
十进制数化为k进制数—除k取余法
k进制数化为十进制数
第二章：统计

- 8 -
1、抽样方法：
①简单随机抽样（总体个数较少）
②系统抽样（总体个数较多）
③分层抽样（总体中差异明显）
注意：在N个个体的 总体中抽取出n个个体组成样本，
n
每个个体被抽到的机会（概率）均为。
N
2、总体分布的估计：
⑴一表二图：
①频率分布表——数据详实
②频率分布直方图——分布直观
③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势
注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图：
①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据
的分布，以及中位数、众位数等。
②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大
书写，相同的数据重复写。
3、总体特征数的估计：
x?x?x
3
???x
n
⑴平均 数：
x?
12
；
n
取值为
x
1
,x2
,?,x
n
的频率分别为
p
1
,p
2
,?,p
n
，则其
平均数为
x
1
p
1
? x
2
p
2
???x
n
p
n
；
注意：频率分布表计算平均数要取组中值。
⑵方差与标准差：一组样本数据
x
1
,x
2
,?,x
n

1
方差：
s2
?
n
?
(x
i?1
n
2
i
?x)
；
标准差：
s?
1
n
?
(x
i? 1
n
2
i
?x)

注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的
稳定水平。
⑶线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；
②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：
y?bx?a
（最小二乘法）
n
?
x< br>i
y
i
?nxy
?
?
i?1
?
?< br>b?
n
2

2
?
x?nx
?
i?
i?1
?
?
?
a?y?bx
?
注意：线性回 归直线经过定点
(x,y)
。

第三章：概率
1、随机事件及其概率：
⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母
表示；
⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点；
m
⑶随机事件A的概率：
P(A)?,0?P(A)?1
.
n
2、 与角
?
终边相同的角的集合：

?
??
?
?
?2k
?
,k?Z
?
.
§1.1.2、弧度制
1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度
的角.
2、
?
?
2、古典概型：
⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；
⑵古典概型的特点：
①所有的基本事件只有有限个；
②每个基本事件都是等可能发生。
⑶古典概型概率 计算公式：一次试验的等可能基本事
件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则
事件A 发生的概率
P(A)?
m
.
n
l
.
r
n
?
R
?
?
R
.
1803、弧长公式：
l?
n
?
R
2
1
?lR
. 4、扇形面积公式：
S?
3602
§1.2.1、任意角的三角函数
1、 设
?
是一个任意角，它的终边与单位圆交于点3、几何概型：
⑴几何概型的特点：
①所有的基本事件是无限个；
②每个基本事件都是等可能发生。
⑵几何概型概率计算公式：
P(A)?
d的测度
；
D的测度
P
?
x,y
?
，那么：
sin
?
?y,cos< br>?
?x,tan
?
?
2、 设点
A
?
x,y
y

x
那么：（设
?为角
?
终边上任意一点，
其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。
4、互斥事件：
⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；
⑵如 果事件
A
1
,A
2
,?,A
n
任意两个都是互斥事 件，则称
事件
A
1
,A
2
,?,A
n
彼此 互斥。
⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，
等于事件A，B发生的概率的和，
即：
P(A?B)?P(A)?P(B)

⑷如果事件
A
1
,A
2
,?,A
n
彼此互斥，则有：
P(A
1< br>?A
2
???A
n
)?P(A
1
)?P(A
2
)???P(A
n
)

⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称
这两个事件为对立事件。
①事件
A
的对立事件记作
A

P(A)?P(A)?1,P(A)?1?P(A)

r?x
2
?y
2
）

sin
?
?
x
yxy
cot
?
?
，
cos
?
?
，
tan
?
?
，
y
rrx
3、
sin
?
，
cos
?
，< br>tan
?
在四个象限的符号和三角
函数线的画法.
y
T

P
正弦线：MP;
余弦线：OM;
O
M
A
x
正切线：AT


5、 特殊角0°，30°，45°，60°，
90°，180°，270等的三角函数值.
0
?

?
6
②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事
件。
?

4
?
3

?
2

2
?
3

3
?
4

?

3
?
2

2
?

必修4数学
知识点

第一章：三角函数
§1.1.1、任意角
1、 正角、负角、零角、象限角的概念.

- 9 -

sin
?































cos
?

tan
?

§1.2.2、同角三角函数的基本关系式

1、 平方关系：
sin
?
?cos
?
?1
.
2、 商数关系：
tan
?
?
22
sin
?
.
cos
?

?
?
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
,
?
2
?
?
?
?
cos
?
?
?
?
?sin
?
.
?
2
?

3、 倒数关系：
tan
?
cot
?
?1

§1.3、三角函数的诱导公式
（概括为
“奇变偶不变，符号看象限”
k?Z
）
6、诱导公式六：
1、 诱导公式一：
sin
?
?
?2k
?
??sin
?
,
cos
?
?
?2k
?
?
?cos
?
,
（其中：
k?Z
）
tan
?
?
?2k
?
?
?tan
?
.
2、 诱导公式二：
sin
?
?
?
?
?
??sin?
,

cos
?
?
?
?
???cos
?
,

tan
?
?
?
?< br>?
?tan
?
.
3、诱导公式三：
sin
?
?
?
?
??sin
?
,

cos
?
?
?
?
?cos
?
,

tan
?
?
?
?
??tan
?
.
4、诱导公式四：
sin
?
?
?
?
?
?sin< br>?
,

cos
?
?
?
?
?< br>??cos
?
,

tan
?
?
?
?
?
??tan
?
.
5、诱导公式五：

§1.4.3、正切函数的图象与性质

1、记住正切函数的图象：
sin
?
?
?
?
2
?
?
?
?
?
?cos
?
,

cos
?
?< br>?
?
2
?
?
?
?
?
??sin?
.
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质
1、记住正弦、余弦函数图象：


y=sinx
y
?
37

-5
?
?
2
-
?
2
1
22

-4
?
-7
?
-3
?
-2
?
-3
?
-
?o
?
?
2
?
5
?3
?
4
?< br>x

2
2
-1
2
2

y=cosx
y

-5
?
?
3
?
7
?

-3
?
2
-
?
-
2
1
?
2
3
?
2
-7
?
-2
?
o
?
4
?< br>x

-4
?
-3
?
2
2
-1
2
?5
?
2
2
2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质： 定
义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、
奇偶性、单调性、周期性.
3、会用五点法作图.
y?sinx
在
x?[0,2
?
]
上的五个关键点为： < br>（0，0）（，
?
3
?
2
，1）（，
?
，0 ）（，
2
，-1）（，2
?
，0）.

y
y=ta nx
-
3
?
x
2
-
?
-
?
2
o
?
?
3
?
2
2




- 10 -

2、记住余切函数的图象：
y
y=cotx
-
?
-
?
2
o
?
2
?
3
?
2
2
?
x
3、能够对照 图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

周期 函数定义：对于函数
f
?
x
?
，如果存在一个非零常数T，使得当< br>x
取定义域内的每一个值时，都有
f
?
x?T
?
?f
?
x
?
，那么函数
f
?
x
?
就叫 做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

y?sinx

y?cosx

y?tanx


图象

定义域
值域
x?2k
?
?

R

[-1,1]
?
2
R

[-1,1]

{x|x?
?
2
?k
?
,k?Z}

R



无
,k?Z时，y
max
?1
最值
x?2k
?
?
?
2

,k?Z时，y
mi n
??1
x?2k
?
,k?Z时，y
max
?1
x ?2k
?
?
?
,k?Z时，y
min
??1

周期性
奇偶性
2
T?2
?

奇
在< br>[2k
?
?
?
,2k
?
?
?
]上单调递增
2
T?2
?

偶
在
[2k?
?
?
,2k
?
]
上单调递增
T?
?

奇
单调性
在
(k
?
?
?
,k
?
?
?
)
上单调递增
22
k?Z

在
[2k
?
?
?
, 2k
?
?
3
?
]
上单调递减
在
[2k< br>?
,2k
?
?
?
]
上单调递减
22
?
对称性
对称轴方程：
x?k
?
?

2
k?Z

对称中心
(k
?
,0)

对称轴方程：
x?k
?

对称中心
(k
?
?
无对称轴
对称中心
(
?
2
,0)

k
?
2
,0)

§1.5、函数
y?Asin?
?
x?
?
?
的图象

1、对于函数：
- 11 -

y?Asin
?
?
x?< br>?
?
?B
?
A?0,
?
?0
?
有： 振幅A，周
期
T?
说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.
求函 数
y?Asin(
?
x?
?
)
图像的对称轴与对称中心，< br>2
?
?
，初相
?
，相位
?
x?
?< br>，频率
f?
1
T
?
?
2
?
.
2、能够讲出函数
y?sinx
的图象与
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B
的图象之间的平移伸缩变
换关系.
① 先平移后伸缩：
(k?Z)
与
?
x?
?
?k
?
(k?Z)

2
解出
x
即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.
4、由图像确定三角函数的解析式
只需令
?
x?
?
?k< br>?
?
利用图像特征：
A?
?
?
要根据周期来求,?
要用图像的关键点来求.
y
max
?y
min
y? y
min
，
B?
max
.
22
y?sinx

平移
|
?
|
个单位

y?sin
?
x?
?
?

y?Asin
?
x?
?
?

y?Asin
?
?
x?
?
?

（左加右减）

横坐标不变

纵坐标变为原来的A倍
§1.6、三角函数模型的简单应用
1、 要求熟悉课本例题.

第三章、三角恒等变换
§3.1.1、两角差的余弦公式
记住15°的三角函数值：
?

cos
?

tan
?

sin
?

?
12

纵坐标不变
横坐标变为原来的
|
平移
|B|
个单位

（上加下减）

1
6?2
4

6?2
4

2?3

?
|
倍
§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos< br>?
sin
?

2、
sin
?
?
?< br>?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

3、
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

4、
cos
?
?
?
?
?
? cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

5、
tan
?
?
?
?
?
?
6、< br>tan
?
?
?
?
?
?
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B


② 先伸缩后平移：
y?sinx

横坐标不变
y?Asinx

纵坐标变为原来的A倍

纵坐标不变
横坐标变为原来的
|
平移
?
?
y?Asin
?x

tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
.
tan
?
?tan
?
1?tan< br>?
tan
?
.
1
?
|
倍
个单位

y?Asin
?
?
x?
?
?

§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、
sin2
?
?2sin
?
cos
?
，
变形：
sin
?
cos
?
?
1
.
2
sin2
?
2、
cos2
?
?cos
2
（左加右减）
平移
|B|
个单位

（上加下减）
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B

?
?sin
2
?

3、三角函数的周期，对称轴和对称中心
函数
y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数y?cos(
?
x?
?
)
，
x∈R(A,
?< br>,
?
为常数，且A≠0)的周期
T?
数
y?tan(
?
x?
?
)
，
x?k
?
?
常数，且A≠0 )的周期
T?
?2cos
2
?
?1

?1?2sin
2
?
.
变形如下：
2
?
?
1?cos2
?
?2cos
?
升幂公式：
?

2
?
?
1?cos2
?
? 2sin
?
2
?
；函
|
?
|
?
2
,k?Z
(A,ω,
?
为
?
.
|
?|
对于
y?Asin(
?
x?
?
)
和
y?Acos(
?
x?
?
)
来

- 12 -

?
cos
2
?
?
1
(1 ?cos2
?
)
?
2
降幂公式：
?

2< br>?
sin
?
?
1
(1?cos2
?
)
?2
3、
tan2
?




2、
a?b
≤
a?b
.
§2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、 与
a
长度相等方向相反的向量叫做
a
的相反向量.
2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.






§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
1、 规定：实数
?
与向量a
的积是一个向量，这种运
算叫做向量的数乘.记作：
?
a
，它 的长度和方向
规定如下：
?
2tan
?
.
1?tan< br>2
?
sin2
?
1?cos2
?

?
1?cos2
?
sin2
?
4、
tan
?
?§3.2、简单的三角恒等变换
1、 注意正切化弦、平方降次.
2、辅助角公式 < br>y?asinx?bcosx?a
2
?b
2
sin(x?
?< br>)

（其中辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象 限决
定,
tan
?
?
b
).
a
第二章：平面向量
§2.1.1、向量的物理背景与概念
1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.
2、 既有大小又有方向的量叫做向量.
§2.1.2、向量的几何表示
1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三
个要素：起点、方向、长度.
2、 向量
AB
的大小，也就是向量
AB
的长度（或称
⑴
?
a?
?
a
,
⑵当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向 相同；当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反.
2、 平面向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当
且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
.
§2.3.1、平面向量基本定理
1、 平面向量基本定理：如果
e
1,e
2
是同一平面内的两
个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量
a
，
有且只有一对实数
?
1
,
?
2
，使a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2< br>.
§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示
1、
a?xi?yj?
?
x,y
?
.
§2.3.3、平面向量的坐标运算
1、 设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2< br>?
，则：
- 13 -
uuur
模），记作
AB
；长度为零的向量叫做零向量；长
度等于1个单位的向量叫做单位向量.
3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共
线向量）.规定：零向量与任意向量平行.
§2.1.3、相等向量与共线向量
1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
§2.2.1、向量加法运算及其几何意义
1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.



??

⑴
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?，
⑵
a?b?
?
x
1
?x
2
,y< br>1
?y
2
?
，
⑶
?
a?
?
?
x
1
,
?
y
1
?
，
⑷ab?x
1
y
2
?x
2
y
1
.
2、 设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，则：

AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
.
§2.3.4、平面向量共线的坐标表示
1、设
A?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,C
?
x
3
,y
3?
，则
⑴线段AB中点坐标为
?
x
1
?x
2
y
1
?y
2
2
,
2
?
，
⑵△ABC的重心坐标为
?
x
1
?x
2
?x
3< br>y
1
?y
2
?y
3
3
,
3
?
.
§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义
1、
a?b?abcos
?
.
2、
a
在
b
方向上的投影为：
acos
?
.
3、
a
2
?a
2
.
4、
a?a
2
.
5、
a?b?a?b?0
.
§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、 设
a?
?x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则：
⑴
a?b?x
1
x
2< br>?y
1
y
2

⑵
a?x
2
1
?y
2
1

⑶r
a?
r
b?
r
a?
r
b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
⑷
r
a
r
b?
r
a?
?
b
r
?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

2、 设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，则：
AB?
?
x2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2
.
3、 两向量的夹角公式


r

cos
?
?
a
r
?
r< br>b
x
1
x
2
?y
1
y
2
a
r
b
?
x
2
?y
2
?x
22
112
?y
2
4、点的平移公式
平移前的点为
P(x,y)
（原坐标），平移后的对应点
为
P
?
(x
?
,y
?
)
（新坐标），平移向量为
u
PP
uur< br>?
?(h,k)
，
则
?
?
x
?
?x?h

?
y
?
?y?k.
函数
y?f(x)
的图像 按向量
r
a?(h,k)
平移后的
图像的解析式为
y?k?f(x? h).

§2.5.1、平面几何中的向量方法
§2.5.2、向量在物理中的应用举例

知识链接：空间向量
空间向量 的许多知识可由平面向量的知识类比而得.
下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行
总结归纳.
1、
直线的方向向量和平面的法向量

⑴．直线的方向向量：
若A、B是直线
l
上的任意两点，则
u
AB
uur为直线
l
的
一个方向向量；与
u
AB
uur
平 行的任意非零向量也是直线
l
的方向向量.
⑵．平面的法向量：
若向 量
r
n
所在直线垂直于平面
?
，则称这个向量
垂直于平面< br>?
，记作
r
n?
?
，如果
r
n?
?
，那么向量
r
n
叫做平面
?
的法向量.
⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：
①建立适当的坐标系．
②设平面
?
的法向量为
r
n?(x,y,z)
．
③求出平面内两个不共线向量的坐标
r
a?(a
ur
1
,a
2
,a
3
),b?(b
1
,b
2
,b
3< br>)
．
rr
④根据法向量定义建立方程组
?
?
?n?a?0
?
rr
?0
.
?
n?b
⑤解方程组，取其中一组解，即得平面
?
的法向量.
- 14 -

（如图）





rur
uruur
?
?
a?m?0
n
，若
?
rr
,则l?
?
.< br> 个相交向量分别为
m、
?
?
a?n?0
即：直线与平面垂直 直线的方向向量与平面的
法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线
直线的方向向量都垂直 。
⑶面面垂直

2、 用向量方法判定空间中的平行关系
⑴线线平行
rr
若平面
?
的法向量为
u
，平面
?
的法向量为
v
，要
rrrr
证
?
?
?
，只 需证
u?v
，即证
u?v?0
.
即：两平面垂直两平面的法向量垂直。
4、利用向量求空间角
⑴求异面直线所成的角 已知
a,b
为两异面直线，A，C与B，D分别是
a,b
上的任意两点，
a,b
所成的角为
?
，
rr
b
，则要证明
l
1
∥ 设直线
l
1
,l
2
的方向向量分别是
a、
rr
rr
l
2
，只需证明
a
∥
b
，即
a?kb(k?R)
.
即：两直线平行或重合
⑵线面平行
两直线的方向向量共线。
r
①（法一）设直线
l
的方向向量是
a
，平面
?
的法向
rrrrr
量是
u
，则要证明
l
∥
?
，只需证明
a?u
，即
a?u?0
.
即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面
的法向量垂直且直线在平面外
②（法二 ）要证明一条直线和一个平面平行，也可
以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线
向 量即可.
⑶面面平行
uuuruuur
AC?BD
则
cos
?
?
uuuruuur
.

ACBD
⑵求直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成
的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
r
②求法：设直线
l
的方向向量为
a
，平面
?
的法向 量
rrr
为
u
，直线与平面所成的角为
?
，
a与
u
的夹角为
?
，
则
?
为
?
的余角或
?
的补角
的余角.即有：
rr
若平面
?
的法向量为
u
，平 面
?
的法向量为
v
，要
rrrr
?
证∥
?
，只需证
u
∥
v
，即证
u?
?
v
.
即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。
3、用向量方法判定空间的垂直关系
⑴线线垂直
rr
a?u
sin
?
?cos
??
r
.

au
rr
b
，则要证明设直线
l
1
,l
2
的方向向量分别是
a、
rrrr
l< br>1
?l
2
，只需证明
a?b
，即
a?b?0
.
即：两直线垂直
⑵线面垂直
两直线的方向向量垂直。
⑶求二面角 < br>①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，
其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的 两个
半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面
角的棱，每个半平面叫做二面角的面
r
①（法一）设直线
l
的方向向量是
a
，平面
?< br>的法向
rrrrr
量是
u
，则要证明
l?
?
，只需证明
a
∥
u
，即
a?
?
u
. r
②（法二）设直线
l
的方向向量是
a
，平面
?
内的两
二面角的平面角是指在二面角
?
?l?
?
的棱上
任 取一点O，分别在两个半平面内作射线
AO?l,BO?l
，则
?AOB
为二 面角
?
?l?
?
的平
面角.
如图：

A
B
O
l
B

- 15 -
O
A

②求法：设二面角
?
?l?
?
的两个半平面的法向量
⑶直线
a
与平面
?
之间的距离
当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平
面的距离相等。 由此可知，直线到平面的距离可转化
为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。

urrurr
n
，再设
m、n
的夹角为
?
，二面角 分别为
m、
urr
n
的夹角
?
?l?
?
的 平面角为
?
，则二面角
?
为
m、
?
或其补角
?
?
?
.

根据具体图形确定
?
是锐角或是钝角：

ruuur
n?MP
即
d?
r
.

n< br>urr
m?n
◆如果
?
是锐角，则
cos
?
?cos
?
?
urr
，
mn
urr
m?n
即
?
?arccos
urr
；
mn
urr
m?n
◆ 如果
?
是钝角，则
cos< br>?
??cos
?
??
urr
，
mn
urr
?
m?n
即
?
?a rccos
?
?
urr
?
mn
?
5、利用法向量求 空间距离
⑴点Q到直线
l
距离
⑷两平行平面
?
,
?
之间的距离
利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平
面间的距离转化为求点面距离。
ruuur
n?MP
即
d?
r
.

n
⑸异面直线间的距离
r
设向量
n
与两异面直线a,b
都垂直，
M?a,P?b,
r
uuur
则两异面直线a,b
间的距离
d
就是
MP
在向量
n
方向上投影的绝对值。
?
?
.
?
?
ruuur
n?MP
即
d?
r
.

n
若Q为直线
l
外的一 点,
P
在直线
l
上，
a
为直线
l
的
r
r
r
uuu
⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个
方向向量，
b
=
PQ
，则点Q到直线
l
距离为
平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂
1
r
r
r
r
h?
r
(|a||b|)
2
?(a?b)
2

直
|a|
6、三垂线定理及其逆定理
⑵点A到平面
?
的距离
若点P为平面
?
外一点，点M为平面
?
内任一点，
推理模 式：
P
r
平面
?
的法向量为
n
，则P到平面
?
的距离就等于
r
uuur
MP
在法向量
n
方向 上的投影的绝对值.
uuurruuuur
即
d?MPcosn,MP

ruuur
uuur
n?MP

?MP?
ruuur

nMP
ruuur
n?MP

?
r
n

PO?
?
,O?
?
?< br>?
PAI
?
?A
?
?a?PA
a?
?
,a?OA
?
?
O
A
a

概括为：垂直于射影就垂直于斜线.
⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的
射影垂直
?
PO?
?
,O?
?
?
?
推理模式：
PAI
?
?A
?
?a?AO

a?
?
,a?AP
?
?
概括为：垂直于斜线就垂直于射影.

7、三余弦定理
- 16 -

设AC是平面
?
内的任一条直线，AD是
?
的一条
斜线AB在
?
内的射影， 且BD⊥AD，垂足为D.设AB与
?
(AD)所成的角为
?
1
， AD与AC所成的角为
?
2
， AB
与AC所成的角为
?
． 则
cos
?
?cos
?
1
cos
?
2.


B


?
A
?
1< br>?
2
?
?
b
2
?c
2
?a
2
,
?
cosA?
2bc
?
a
2
?c2
?b
2
?
,

?
cosB?
2ac
?
?
a
2
?b
2
?c
2
.
?
cosC?
2ab
?
用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；
⑵已知三角形三边，求其它元素。
做题中两个定理经常结合使用
.
3、三角形面积公式：
D
C

8、 面积射影定理
已知 平面
?
内一个多边形的面积为
SS
原
，它在
平面
?
内的射影图形的面积为
S
?
S
射
，平面
?
与平
面
?
所成的二面角的大小为锐二面角
?
，则
????
S
?ABC
?
111
absinC?bcsinA?acs inB

222
S
'
S
射

cos
?
?=.

SS
原
4、三角形内角和定理：
在△ABC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)< br>
?
C
?
A?B
??
?2C?2
?
?2(A?B)
.
222
9、一个结论 5、一个常用结论：
长度为
l
的线段在三条两两互相垂直的直线上的射 在
?ABC
中，
a?b?sinA?sinB?A?B;

影长分别 为
l
1
、l
2
、l
3
，夹角分别为
?1
、
?
2
、
?
3
,则有 < br>?
若
sin2A?sin2B,则A?B或A?B?.
特别注意，
22 22222
2
l?l
1
?l
2
?l
3
?c os
?
1
?cos
?
2
?cos
?
3?1

在三角函数中，
sinA?sinB?A?B
不成立。 ?sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?s in
2
?
3
?2
.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
第二章：数列

必修5数学
知识点
第一章：解三角形
1、正弦定理：
1、数列中
a
n
与
S
n
之间的关系：
, (n?1)
?
S
1
a
n
?
?
注意通项能否 合并。
?
S
n
?S
n?1
,(n?2).
2、等差数列：
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前
一项的差等于同一个常数，即
a< br>n
－
a
n?1
=d ，（n≥
2，n∈N），
那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数
a、A、b
成等差数列
?
abc
???2R
.
sinAsinBsinC
（其中
R
为
?ABC
外接圆的半径）
?a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC;

?sinA?
abc
,sinB?,sinC?;

2R2R2R
?a:b:c?sinA:sinB:sinC.

用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；
⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它
元素。

2、余弦定理：
?A?
a?b

2
⑶通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d?a
m
?(n?m)d

或
a
n
?pn?q(p、q是常数）.

⑷前
n
项和公式：
?
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA,
?
222
?
b?a?c?2a ccosB,

?
c
2
?a
2
?b
2?2abcosC.
?

- 17 -

n< br>?
n?1
?
n
?
a
1
?a
n
?
S
n
?na
1
?d?

22
⑸常用性质：
①若
m?n?p?q??
?
m,n,p ,q?N
?
?
，则
③数列
?
?
a
n
?
（
?
为不等于零的常数）仍是公比为
q
的
等比数列；正 项等比数列
?
a
n
?
；则
?
lga
n?
是公差为
lgq
的等差数列；
④若
?
a
n
?
是等比数列，则
?
ca
n
?
，

?
a
n
2
，
a
m
?a
n
?a< br>p
?a
q
；
②下标为等差数列的项
?
a
k
,a
k?m
,a
k?2m
,?
?
，仍组成
等差数列；
③数列
?
?
a
n
?b
?
（< br>?
,b
为常数）仍为等差数列；
④若
{a
n
}、
{b
n
}
是等差数列，则
{ka
n
}
、
{ka
n
?pb
n
}

(
k
、
p
是非零常数)、
{a
p?nq
}(p,q?N)
、，… 也成等
差数列。
⑤单调性：
?
a
n
?
的公差为
d
，则：
ⅰ）
d?0?
?
a
n
?
为递增数列；
ⅱ）
d?0?
?
a
n
?
为递减数列；
ⅲ）
d?0?
?
a
n
?
为常数列；
⑥数 列{
a
n
}为等差数列
?a
n
?pn?q
（p,q 是常数）
⑦若等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
，则
S
k
、
S
2k
?S
k
、
*
??
?
1
?

?
，
?
a
n
?
2r
1
，q.

?< br>a
?
(r?Z)
是等比数列，公比依次是
q，q，
q
r
n
⑤单调性：
a
1
?0,q?1或a
1
?0, 0?q?1
?
?
a
n
?
为递增数列；
a
1
?0,0?q?1或a
1
?0,q?1?
?
a
n
?
为递减数列；
q?1?
?
a
n
?
为常数列；
q?0?
?
a
n
?
为摆动数列；
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
⑦若等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
，则
S
k< br>、
S
2k
?S
k
、
S
3k
?S2k
… 是等差数列。
3、等比数列
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每 一项与它的前
一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
比数列。
⑵等比中项 ：若三数
a、G、b
成等比数列
?G?ab,
（
ab
同号） 。反之不一定成立。
n?1n?m
⑶通项公式：
a
n
?a
1
q?a
m
q

S
3k
?S
2k
… 是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式的求法
类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列< br>的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从
而根据规律写出此数列的一个通项。
的关系，求数列
?
a
n
?
的通项
a
n
可 用公式
类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前
n
项和
S
n
与
a
n
2
,(n?1)
?
S
1
构造两式作差求解。
a
n
?
?
S?S,(n? 2)
n?1
?
n
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一
⑷前
n
项和公式：
S
n
?
⑸常用性质
a
1< br>?
1?q
n
?
1?q
?
a
1
?a< br>n
q

1?q
分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即
a
1
和
a
n
合为一个表达，（要先分
n?1
和< br>n?2
两种情况分别进
行运算，然后验证能否统一）。
类型Ⅲ 累加法：
形如
a
n?1
?a
n
?f(n)
型的递推数列（其 中
f(n)
是关
①若
m?n?p?q??
?
m,n,p,q ?N
?
?
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
②
a
k
,a
k?m
, a
k?2m
,?
为等比数列，公比为
q
(下标成
等差数列, 则对应的项成等比数列)
k

- 18 -

?
a
n
?a
n?1
?f(n?1)
?
a?a?f(n ?2)
?
n?1n?2
于
n
的函数）可
构造：
?

?
...
?
?
a
2
?a1
?f(1)
将上述
n?1
个式子两边分别相加，可得：
an
?f(n?1)?f(n?2)?...f(2)?f(1)?a
1
,(n?2 )

①若
f(n)
是关于
n
的一次函数，累加后可转化为等 差
数列求和;
② 若
f(n)
是关于
n
的指数函数，累加后可转化为等
比数列求和;
③若
f(n)
是关于
n
的二次函数，累加后可分组求和;
④若
f(n)
是关于
n
的分式函数，累加后可裂项求和.
类型Ⅳ 累乘法：
形如
a
n?1
?a
n
?f (n)
?
如下两种：

法一：
设
a
n?1< br>?
?
?p(a
n
?
?
)
,展开移项整理得< br>a
n?1
?pa
n
?(p?1)
?
,与题设
a
n?1
?pa
n
?q
比较系
数（待定系数法）得
?
?
qqq
,(p?0)?a
n?1
??p(a
n
?)
p?1p?1p?1
?a
n
?
?
qq
q
?
?p(a
n?1
?)
,即
?
a
n
?< br>?
构成
p?1p?1
p?1
??
以
a
1?
q
为首项，以
p
为公比的等比数列.再利用
p?1
等 比数列的通项公式求出
?
a
n
?
?
?
q
?
?
的通项整理可
p?1
?
?
a
n?1
?< br>（其
?f(n)
?
型的递推数列
?
a
n
?< br>得
a
n
.

法二：
由
a
n?1?pa
n
?q
得
a
n
?pa
n?1
? q(n?2)
两式
相减并整理得
?
a
n
?
a
?f(n?1)
?
n?1
?a
n?1
?f(n?2)
?< br>中
f(n)
是关于
n
的函数）
可构造：
?
a
n?2

?
...
?
?
a
2
?
a
?f(1)
?
1
将上述
n?1
个式子两边分别相 乘，可得：
a
n
?f(n?1)?f(n?2)?...?f(2)f(1)a
1
,(n?2)

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这
种方法求解。
类型Ⅴ 构造数列法：
㈠形如
a
n?1
?pa
n
?q
（其 中
p,q
均为常数且
p?0
）
型的递推式：
（1）若
p?1
时，数列{
a
n
}为等差数列;
（2）若
q?0
时，数列{
a
n
}为等比数列;
（3）若
p?1
且
q?0
时，数列{
a
n
}为线性 递推数列，
其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有

a
n?1< br>?a
n
?p,
即
?
a
n?1
?a
n
?
构成以
a
n
?a
n?1
a
2
? a
1
为首项，以
p
为公比的等比数列.求出
?
a
n ?1
?a
n
?
的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求
出
a
n
.

㈡形如
a
n?1
?pa
n
?f(n)
(p?1)
型的递推式：
⑴当
f(n)
为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：
设
a
n
?An?B?p
?
a
n?1
?A(n?1)?B?
，
通过待定系数法确定
A、
转化成以
a
1
? A?B
B
的值，
为首项，以
p
为公比的等比数列
?
a
n
?An?B
?
，再利
用等比数列的通项公式求出
?a
n
?An?B
?
的通项整
理可得
a
n
.

法二：
当
f(n)
的公差为
d
时，由递推式 得：
a
n?1
?pa
n
?f(n)
，
a
n
?pa
n?1
?f(n?1)
两式相减
得：
a
n? 1
?a
n
?p(a
n
?a
n?1
)?d
， 令
b
n
?a
n?1
?a
n
得：
- 19 -

b
n
?pb
n?1
?d
转化为类型Ⅴ㈠求出
b< br>n
，再用类型Ⅲ
（累加法）便可求出
a
n
.

⑵当
f(n)
为指数函数类型（即等比数列）时：

类型Ⅵ 对数变换法：
q
形如
a
n?1
?pa(p?0,a
n?0)
型的递推式：
q
在原递推式
a
n?1
?pa< br>两边取对数得
法一：
设
a
n
?
?
f(n)? p
?
a
n?1
?
?
f(n?1)
?
，通过
待定系数法确定
?
的值，转化成以
a
1
?
?
f(1)
为首项，
以
p
为公比的等比数列
?
a
n
?
?
f(n)
?
，再利用等比数
列的通项公式求出
?
a
n
?
?
f(n)
?
的通项整理可得
a
n
.

lga
n?1
?qlga
n
?lg p
，令
b
n
?lga
n
得：
b
n?1?qb
n
?lgp
，化归为
a
n?1
?pa
n
?q
型，求出
b
n
之后得
a
n
?10n
.
（注意：底数不一定要取10，可根据
题意选择）。
类型Ⅶ 倒数变换法：
形如
a
n?1
?a
n
?pa
n?1
a
n
（
p
为常数且
p?0
）的递推
式：两 边同除于
a
n?1
a
n
，转化为
b
法二：
当
f(n)
的公比为
q
时，由递推式得：
a
n?1
?pa
n
?f(n)
——①，
a
n
?pa
n?1< br>?f(n?1)
，两
边同时乘以
q
得
a
n
q ?pqa
n?1
?qf(n?1)
——②，由
①②两式相减得
an?1
?a
n
q?p(a
n
?qa
n?1
)< br>，即
11
??p
形式，
a
n
a
n?1
化归为
a
n?1
?pa
n
?q
型求出
1
的表达式，再求
a
n
；
a
n
a
n?1
? qa
n
?p
，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
a
n
.

a
n
?qa
n?1
法三：
递推公式为
a
n ?1
?pa
n
?q
n
（其中p，q均
n
为常数）或
a
n?1
?pa
n
?rq
（其中p，q, r均为常数）
还有形如
a
n?1
?
ma
n
的递推式，也可采用取 倒数方
pa
n
?q
法转化成
1
?
m1
?< br>m
形式，化归为
a
n?1
?pa
n
?q
a< br>n?1
qa
n
p
型求出
1
的表达式，再求
a
n
.
a
n

类型Ⅷ 形如
a
n?2
?pa
n?1
?qa
n
型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列
{a
n
?a
n?1
}
的形式
时，要先在原递推公式两边同时除以
q
n?1
，得：
a
n?1
p
a
n
1
??
n
?
，引入辅助数 列
?
b
n
?
（其中
n?1
q
q
q
q
b
n
?
a
n
p1
b?b?
）， 得：再应用类型Ⅴ㈠的方
n?1n
q
n
qq
求解。方法为：设
a
n?2
?ka
n?1
?h(a
n?1
?ka
n
)
，比较
k
，于是系数得
h?k?p,?hk?q
，可解得
h、
{a
n?1
?ka
n
}
是公比为
h< br>的等比数列，这样就化归为
a
n?1
?pa
n
?q
型 。
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上
不同方法求解，对不能转化为以上方法求解 的数列，
可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
a
n
.


5、非等差、等比数列前
n
项和公式的求法
法解决。
⑶当
f(n)
为任意数列时，可用通法：
n?1
在
a
n?1
?pa
n
?f(n)
两边同时除以
p
可得 到
a
n?1
a
n
f(n)
a
n
f(n)< br>???b
b?b?
，令，则，
n
n?1n
p
n?1< br>p
n
p
n?1
p
n
p
n?1
n在转化为类型Ⅲ（累加法），求出
b
n
之后得
a
n
?p b
n
.

- 20 -

⑴错位相减法
①若数列
?
a
n
?
为等差数列，数列
?
b
n
?
为等比数列，
则数列
?
a
n
?bn
?
的求和就要采用此法.
②将数列
?
a
n
?b
n
?
的每一项分别乘以
?
b
n
?
的公 比，
然后在错位相减，进而可得到数列
?
a
n
?b
n
?
的前
n
项
和.
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列 ，
若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常
见的数列，然后分别求和，再将其合并即 可.一般分两
步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.

⑷倒序相加法 < br>如果一个数列
?
a
n
?
，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式
相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法 称为
倒序相加法。特征：
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?...

⑸记住常见数列的前
n
项和：
此法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的方
法
.
⑵裂项相消法
一般地，当数列的通项
a
n
?
c

(an?b
1
)(an?b
2
)
①
1?2?3?. ..?n?
n(n?1)
;

2
2
②
1?3?5?...?(2n?1)?n;

③1?2?3?...?n?
2222
(a,b
1
,b
2
,c为常数）
时，往往可将
a
n
变成两项的差，
采用裂项相消法求和 .
可用待定系数法进行裂项：
设
a
n
?
1
n(n?1)(2n?1).

6
?
an?b
1
?
?
an?b
2
，通分 整理后与原式相
第三章：不等式
§3.1、不等关系与不等式
1、不等式的基本性质
①（对称性）
a?b?b?a

②（传递性）
a?b,b?c?a?c

③（可加性）
a?b?a?c?b?c

（同向可加性）
a
?
b
,
c
?
d
?
a
?
c
?
b
?
d

（异向可减性）
a
?
b
,
c
?
d
?
a
?
c
?
b
?
d

④（可积性）
a
?
b
,
c
?0?
ac
?
bc

a
?
b
,
c
?0?
ac
?
bc

⑤
（同向正数可乘性）
a?b?0,c?d?0?ac?bd

（异向正数可除性）
a?b?0,0?c?d?
a
?
b

cd
c
比较，根据对应项系数相等得
?
?
，从而可得
b
2
?b
1
cc11
=(?).

(an ?b
1
)(an?b
2
)(b
2
?b
1
) an?b
1
an?b
2

常见的拆项公式有：
①
111
??；

n(n?1)nn?1
1111
?(?);

(2n?1)(2n?1)22n?12n?1
11
?(a?b);

a?b
a?b
m?1
n
⑥（平方法则）
a?b?0?a
n
?b
n
(n?N,且n?1)

⑦（开方法则）
a?b?0 ?
n
a?
n
b(n?N,且n?1)

②
a?b?0?
⑧
（倒数法则）
2、几个重要不等式
1111
?;a?b?0??

abab
③
①
a? b?2ab
?
a，b?R
?
,（当且仅当
a?b
时取
22
④
C?C
m
n?1
?C;

m
n
a
2
?b
2
.

?
号）. 变形公式：
ab?
2
②（基本不等式）
⑤
n?n!?(n?1)!?n!.


⑶分组法求和

a?b
?ab

?
a，b?R
?
?
,（当
2
且仅当
a?b
时取到等号）.
- 21 -

?
a?b
?
变形公式：
a?b?2ab

ab?
??
.

?
2
?
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最
大），要注意满足三个条件“一正 、二定、三相等”.

③（三个正数的算术—几何平均不等式）
2
②幂平均不等式：
a
1
2
?a
2
2
?...?a
n
2
?
1
(a
1
?a
2
?...?a
n
)
2.

n
③二维形式的三角不等式：
x
1
2
? y
1
2
?x
2
2
?y
2
2
?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2< br>)
2

(x
1
,y
1
,x
2
,y
2
?R).

④二维形式的柯西不等式：
a? b?c
3
?abc
(a、b、c?R
?
)
（当且仅当
3
a?b?c
时取到等号）.
④
a
2
?b
2< br>?c
2
?ab?bc?ca
?
a，b?R
?

（当且仅当
a?b?c
时取到等号）.
⑤
a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0)

（当且仅当
a?b?c
时取到等号）.
333
(a
2?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
(a,b,c,d?R).
当且
仅当
ad?bc
时，等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式：
(a
1
2
?a
2
2< br>?a
3
2
)(b
1
2
?b
2
2?b
3
2
)?(a
1
b
1
?a
2b
2
?a
3
b
3
)
2
.
⑥一 般形式的柯西不等式：
ba
??2
（当仅当a=b时取等号）
ab
ba
若ab?0,则???2
（当仅当a=b时取等号）
ab
bb?ma?na
⑦
??1??

aa?mb?nb< br>⑥
若ab?0,则
其中
(a?b?0，m?0，n?0)

规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.
⑧
当a?0时，x?a?x
2
?a
2
?x??a或x?a;

(a
1
2
?a
2
2
?...?a
n
2
)(b
1
2
?b
2
2
?...?b
n
2
)

?(a
1
b
1
?a
2
b
2
?...?a< br>n
b
n
)
2
.

⑦向量形式的柯西不等式：
urururur
urur
设
?
,
?
是两个向量， 则
?
?
?
?
??
,
当且仅当
ururur
?
是零向量，或存在实数
k
，使
?
?k
?
时，等号成
立.
⑧排序不等式（排序原理）：
设
a
1
? a
2
?...?a
n
,b
1
?b
2
?.. .?b
n
为两组实
数.
c
1
,c
2
,.. .,c
n
是
b
1
,b
2
,...,b
n< br>的任一排列，则
x?a?x
2
?a
2
??a?x?a.

⑨绝对值三角不等式
a?b?a?b?a?b.


3、几个著名不等式
a
1
b
n
?a
2
b
n?1
?...?a
n
b
1
?a
1
c1
?a
2
c
2
?...?a
n
c
n< br>
?a
1
b
1
?a
2
b
2
?...?a
n
b
n
.
（反序和
?
乱序和
?
顺序和）
当且仅当
a
1
?a
2
?...?a< br>n
或
b
1
?b
2
?...?b
n
时 ，反序
和等于顺序和.
⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）
若定义在某区间 上的函数
f(x)
,对于定义域中任
意两点
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
),
有
f(
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
)? 或
22
f(
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)

)?.
22
2a?ba
2
?b
2
①平均不等式：
?1

?ab??
?1
a ?b22
?
a，b?R
?
,（当且仅当
a?b
时取
?
号）.
?
（即调和平均
?
几何平均
?
算术平均
?
平方平均）.
变形公式：
22
?
a?b
?
a?b
ab?
?
;

?
?
22
??
2
(a?b)
2
a?b?.

2
22
则称f(x)为凸（或凹）函数.
- 22 -

4、不等式证明的几种常用方法
常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、
分析法；
其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，
函数单调性法，数学归纳法等.
常见不等式的放缩方法：
①舍去或加上一些项，如
(a?)?
②将分子或分母放大（缩小），如
⑵
?
f(x)?0

f(x)?a(a?0)?
?
2
?
f(x)?a
?
f(x)?0
?
f(x)?0
?

f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
或
?
g (x)?0
?
f(x)?[g(x)]
2
?
?
?
f (x)?0
?

f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?< br>f(x)?[g(x)]
2
?
?
f(x)?0
?
< br>f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
⑶
1
2
2
31
?(a?)
2
;

42
⑷
11
11
?,
?,

k2
k(k?1)
k
2
k(k?1)
(
2
2k< br>?
212
?)?,

k?kkk?k?1
⑸
12?(k?N
*
,k?1)
等.
kk?k?1
5、一元二次不等式的解法
求一元二次不等式
ax?bx?c?0(或?0)

2
规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在
于从“小”的一边分析求解.
9、指数不等式的解法：
⑴当
a?1
时,
a
f(x)?a
g(x)
?f(x)?g(x)

f(x)
⑵当
0?a?1
时,
a?a
g(x)
?f(x)?g(x)

(a?0,??b
2
?4ac?0)
解集的步骤：
一化：化二次项前的系数为正数.
二判：判断对应方程的根.
三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.
规律：
当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.
6、高次不等式的解法：穿根法.
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿
（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的
解集.
7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
规律：根据指数函数的性质转化.
10、对数不等式的解法
⑴当
a?1
时,
?
f(x)? 0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?< br>g(x)?0

?
f(x)?g(x)
?
⑵当
0?a?1
时,
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g( x)?
?
g(x)?0.

?
f(x)?g(x)
?
规律：根据对数函数的性质转化.
11、含绝对值不等式的解法：
f(x)
?0?f(x)?g(x)?0
g (x)
?
f(x)?g(x)?0
f(x)
?0?
?
g(x )
?
g(x)?0
（时同理）
“?或?”
⑴定义法：
a?
?
?
a(a?0)
.

?a(a?0)
?
22
规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解
⑴

⑵平方法：
f(x)?g(x)?f(x)?g(x).

⑶同解变形法，其同解定理有：
①
x?a??a?x?a(a?0);

②
x?a?x?a或x??a(a?0);

- 23 -
?
f(x)?0
f(x)?a(a?0)?
?

2
?
f(x)?a

③
f(x)?g(x)??g(x)?f(x)?g(x)(g(x)?0)

④
f(x)?g(x)?f(x)?g(x)或f(x)??g(x)(g(x)?0)

规律：关键是去掉绝对值的符号.
12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：
规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中
取交集，最后取各段的并集.
13、含参数的不等式的解法
解形如
ax?bx?c?0
且含参数的不等式 时，要
对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：
⑴讨论
a
与0的大小；
⑵讨论
?
与0的大小；
⑶讨论两根的大小.
14、恒成立问题
⑴不等式
ax?bx?c?0
的解集是全体实数（或恒成
立）的条件是：
①当
a?0
时
?b?0,c?0;

2
2
以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特
殊点
(x
0
,y
0
)
（如原点），由
Ax
0
?By
0
?C
的正负即可
判断出
Ax?By?C?0(
或
?0)
表示直线哪一侧 的
平面区域.
即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选
原点.
法二 ：根据
Ax?By?C?0(
或
?0)
，观察
B
的
符号与不等式开口的符号，若同号，
Ax?By?C?0(
或
?0)
表示直线 上方的区域；若异号，则表示直线上
方的区域.即：同号上方，异号下方.
⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的
平面区域的公共部分.
⑶利用线性规划求目标函数
z?Ax?By(A,B
为常
数）的最值：
法一：角点法：
如果目标函数
z?Ax?By
（
x、y< br>即为公共区域
中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都
在该公共区域的边界角 点处取得，将这些角点的坐标
代入目标函数，得到一组对应
z
值，最大的那个数为目标函数
z
的最大值，最小的那个数为目标函数
z
的
最小值
法二：画——移——定——求：
第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，
作直线
l
0
:Ax?By?0
，平移直线
l
0
（ 据可行域，将
直线
l
0
平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解
②当
a?0
时
?
?
2
?
a?0

?
??0.
⑵不等式
ax?bx?c?0
的解集是全体实数（或恒成
立）的条件是：
①当
a?0
时
?b?0,c?0;

②当
a?0
时
?
?
?
a?0

? ?0.
?
⑶
f(x)?a
恒成立
?f(x)
max
?a;

f(x)?a
恒成立
?f(x)
max
?a;

( x,y)
；第四步，将最优解
(x,y)
代入目标函数
⑷
f(x)? a
恒成立
?f(x)
min
?a;

z?Ax?By
即可求出最大值或最小值 .
f(x)?a
恒成立
?f(x)
min
?a.

15、线性规划问题
⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：
法一：取点定域法：
由于直线
Ax?By?C?0
的同一侧的所有点的
坐标 代入
Ax?By?C
后所得的实数的符号相同.所

- 24 -
第二步中最优解的确定方法：
利用
z
的几何意义：
y??
纵截距.
Az
z
x?
,为直线的
BB
B

< br>①若
B?0,
则使目标函数
z?Ax?By
所表示直
线的纵截 距最大的角点处，
z
取得最大值，使直线的
纵截距最小的角点处，
z
取得最小值；
②若
B?0,
则使目标函数
z?Ax?By
所表示直
线的纵截距最大的角点处，
z
取得最小值，使直线的
纵截距最小的角点处，< br>z
取得最大值.

⑷常见的目标函数的类型：
①“截距”型：
z?Ax?By;


四种命题的真假性之间的关系：
⑴、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
⑵、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性
没有关系．
3、充分条件、必要条件与充要条件
⑴、一般地，如果已知
p?q
，那么就 说：
p
是
q
的
充分条件，
q
是
p
的必要条件；
若
p?q
，则
p
是
q
的充分必要条 件，简称充要条件．
⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命
题的条件
p
与结论
q
之间的关系：
Ⅰ、从逻辑推理关系上看：
①若
p?q
，则
p
是
q
充分条件，
q< br>是
p
的必要条件；
②若
p?q
，但
q

p
，则
p
是
q
充分而不必要条件;
③若
p

q
，但
q?p
，则
p
是
q
必要而不充分条件;
④若
p?q
且
q?p
， 则
p
是
q
的充要条件；
②“斜率”型：
z?
yy?b
或
z?;

xx?a
22
⑤若
p

q
且
q

p
，则
p
是
q
的既不充分也不必要
条件.
Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看：
已知
A?xx
满足条件
p?
，
B?xx
满足条件
q
?
：
①若
A?B
,则
p
是
q
充分条件；
②若
B?A
,则
p
是
q
必要条件；
③“ 距离”型：
z?x?y
或
z?x
2
?y
2
;

??
z?(x?a)
2
?(y?b)
2
或
z? (x?a)
2
?(y?b)
2
.

在求该“三型”的目标函 数的最值时，可结合线
性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.
③若A B，则
p
是
q
充分而不必要条件;
④若B A，则
p
是
q
必要而不充分条件;
⑤若
A?B
，
则
p
是
q
的充要条件； < br>⑥若
A?B
且
B?A
，则
p
是
q
的 既不充分也不必要
条件.
4、复合命题
⑴复合命题有三种形式：
p
或
q
（
p?q
）；
p
且
q
（
p ?q
）；非
p
（
?p
）.
⑵复合命题的真假判断
“
p
或
q
”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；
“
p
且
q
”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；
“非
p
”形式复合命题的真假判断方法：真假相对.
5、全称量词与存在量词
⑴全称量词与全称命题
短语“所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫做全称
量词，并用符号“
?
”表示.含有全称量词的命题，叫
做全称命题.
⑵存在量词与特称命题
选修数学
知识点
专题一：常用逻辑用语
1、命题：可以判断真假的语句叫命题；
逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑
联结词；
简单命题：不含逻辑联结词的命题;
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题. 常用小写的拉丁字母
p
，
q
，
r
，
s
，……表示命
题.
2、四种命题及其相互关系








- 25 -

短语“ 存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做
存在量词，并用符号“
?
”表示.含有存 在量词的命题，
叫做特称命题.
⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定
①全称命 题
p
：
?x??,p(x)
，它的否定
?p
：
?x
0
??,?p(x
0
).
全称命题的否定是特称命题．
② 特称命题
p
：
?x
0
??,p(x
0
),
，它的否定
?p
：
?x??,?p(x).
特称命题的否定是全称命题.
专题二：圆锥曲线与方程
1．椭圆
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形


标准方程
x
2
y
2
??1
?
a?b?0
?

a
2
b
2
y
2
x
2
??1
?
a?b?0
?

a
2
b
2
第一定义
第二定义
范围
F
2
的距离之和等于常数2
a
， 即
|MF
1
|?|MF
2
|?2a
（
2a?|F< br>1
F
2
|
） 到两定点
F
1
、
与一 定点的距离和到一定直线的距离之比为常数
e
，即
MF
?e(0?e?1)< br>
d
?a?x?a
且
?b?y?b

?b?x?b
且
?a?y?a

?
1
?
? a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

顶点
?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0
?

?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?

轴长
对称性
焦点
焦距
长轴的长
?2a
短轴的长
?2b

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c(c2
?a
2
?b
2
)

cc
2
a
2
?b
2
b
2
e????1?
222
a aaa
a
2
x??

c
左焦半径：
MF
1
?a?ex
0

右焦半径：
MF
2
?a?ex
0

离心率
(0?e?1)

a
2
y??

c
准线方程
焦半径
下焦半径：
MF
1
?a?ey
0

上焦半径：
MF
2
?a?ey
0

M(x
0,
y
0
)

焦点三角形面积

S
?MF
1
F
2
?b
2
tan
- 26 -
?
2
(
?
??F
1
MF
2)

通径
b
2
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
HH
?
?

a
A(x
1,
y
1
),B(x
2,
y2
)
，
AB?1?k
2
x
1
?x
2< br>?1?k
2
(x
1
?x
2
)
2
?4 x
1
x
2

焦点在
y
轴上
（焦点）弦长公式
焦点的位置 焦点在
x
轴上
图形

标准方程

x
2
y
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
第一定义
第二定义
范围
顶点
轴长
对称性
焦点
焦距
F
2
的距离之差的绝对值等于常数
2a
，即
|MF
1
|?|MF
2
|?2a
（
0?2a?|F
1
F
2
|
） 到两定点
F
1
、

与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数< br>e
，即
MF
?e(e?1)

d
x??a
或
x?a
，
y?R

y??a
或
y?a
，
x?R

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

实轴的长
?2a
虚轴的长
?2b

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c(c2
?a
2
?b
2
)

cc
2
a
2
?b
2
b
2
e????1?
222
a aaa
a
2
x??

c
离心率
(e?1)

a
2
y??

c
准线方程
渐近线方程
y??
b
x

a
y??
a
x

b
焦半径
?MF
1
?ex
0
?a
?
左焦：

M
在右支
?
MF
2
?ex
0
?a
??
右焦：
?MF
1
?ey
0
?a
?
左 焦：

M
在上支
?
MF
2
?ey
0
?a
?
?
右焦：
M(x
0,
y
0
)
M
在左支
?
?MF
1
??ex
0
? a
?
左焦：

MF
2
??ex
0
?a?
?
右焦：
M
在下支
?
?MF
1
?? ey
0
?a
?
左焦：

MF
2
??ey< br>0
?a
?
?
右焦：

- 27 -

焦点三角形面积
S
?MF
1
F
2
?b
2
cot
?
2
(
?
??F
1
MF
2
)

通径
图形


b
2
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
HH
?
?

a



y
2
?2px

标准方程
y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

?
p?0
?

定义
?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?

与一 定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点
F< br>不在定直线
l
上)
2．双曲线

3．抛物线

- 28 -