单元格公式锁定高中数学复数运算公式

高中数学复数运算公式
复数
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考试内容：复数的概念；复数的加法和减法；复数的乘法和除法；数系的
扩充。
复数知识要点：复数是高中代数的重要内容，在高考试题中约占 8%-
10%，一般的出一道基础题和一道中档题，经常与三角、解析几何、方程、
不等式等知识综合.本章主要内容是复数的概念，复数的代数、几何、三角表
示方法以及复数的运算.方程、方程组，数形结合，分域讨论，等价转化的数
学思想与方法在本章中有突出的体现.而复数是代数，三角，解析几何知识，
相互转化的枢纽，这对拓宽学生思路，提高学生解综合习题能力是有益的.数、
式的运算和解方程，方程组，不等式是学好本章必须具有的基本技能.简化运
算的意识也应进一步加强.
1.知识网络图
2.复数中的难点(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生
掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真
体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.(2)复数三角形式的乘方
和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别
是开方运算，应对此认真地加以训练.(3)复数的辐角主值的求法.(4)利用复数
的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具
有几何意义，对 他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.3.复数中的
重点(1)理解好复数的概念，弄清实数 、虚数、纯虚数的不同点.(2)熟练掌握复
数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有
代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复
数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容.(3)复数的三种表
示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复
数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更
是重点内容.(4)复数集中一元二次方程和二项方程的解法.
4.⑴复数的单位为 i，它的平方等于－1，即.
⑵复数及其相关概念：
① 复数—形如 a+bi 的数（其中）；
② 实数—当 b=0 时的复数 a+bi，即 a；
③ 虚数—当时的复数 a+bi；
④ 纯虚数—当 a=0 且时的复数 a+bi，即 bi.
⑤ 复数 a+bi 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意 a，b
都是实数）
⑥ 复数集 C—全体复数的集合，一般用字母 C 表示.
⑶两个复数相等的定义：
.
⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.
注：①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]
若，则.（√）
②若，则是的必要不充分条件.（当，
时，上式成立）
5.⑴复平面内的两点间距离公式：.
其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.
由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.
⑵曲线方程的复数形式：
①为圆心，r 为半径的圆的方程.
②表示线段的垂直平分线的方程.
③为焦点，长半轴长为 a 的椭圆的方程（若，此方程表示线段）.
④表示以为焦点，实半轴长为 a 的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）
.
⑶绝对值不等式：
设是不等于零的复数，则
①.
左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.
②.
左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.
注：.
6.共轭复数的性质：

，（a+bi）

（）
注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相
等的]
7⑴①复数的乘方：
②对任何，及有
③
注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，
如若由就会得到的错误结论.
②在实数集成立的.当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方
法.
⑵常用的结论：



若是 1 的立方虚数根，即，则
8. ⑴复数是实数及纯虚数的充要条件：
①.
②若，是纯虚数.
⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而
相等的向量表示同一复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为零.
注：.
9.⑴复数的三角形式：.
辐角主值：适合于 0≤＜的值，记作.
注：①为零时，可取内任意值.
②辐角是多值的，都相差 2 的整数倍.
③设则.
⑵复数的代数形式与三角形式的互化：
，，.
⑶几类三角式的标准形式：



.

10.复数集中解一元二次方程：
在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：
①当时，若＞0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若＜0，
则有二相等复数根（为共轭复数）.
②当不全为实数时，不能用方程根的情况.
③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.
11.复数的三角形式运算：


棣莫弗定理：

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