直线交点公式2.梯度、散度和旋度

梯度、散度和旋度的定义及公式表达

梯度、散度和旋度的定义及公式表达
一、梯度是个向量

或表示为

二、散度是个标量
设有一个向量场

通量可写为

则散度

并有运算关系式

三、旋度是个向量
rotA或curlA

或可以写成

例如求F沿路径r做的功



矢量的环流：矢量沿闭合回路的线积分称为环流
说明：哈密顿算符? ，只是个符号，直接作 用函数表示梯度,?dotA
点乘函数（矢量）表示散度，?XA叉乘函数（矢量）表旋度。

散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中
的区域为辐合，运动中发散 的区域为辐散。 其计算也就是我们常说
的“点乘”。 散度是标量，物理意义为通量源密度。
散度物理意义：对流体来说，就是流体的形状虽然改变，但是由
于散度为0，则其面积或体积不变。如 下式


梯度物理意义：最大方向导数（速度）
散度物理意义：对流体来 说，散度指流体运动时单位体积的改变
率。就是流体的形状虽然改变，但是由于散度为0，则其面积或体 积
不变。
旋度物理意义：旋度是曲线，向量场旋转的程度。矢量的旋度是
环流面密度 的最大值，与面元的取向有关。


附：
散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有
正源或负源）
若你的场是一个流速场,则该场的散度是该流体在某一点单位时
间流出单位体积的净流量. 如 果在某点,某场的散度不为零,表示该
场在该点有源,例如若电场在某点散度不为零,表示该点有电荷, 若流
速场不为零,表是在该点有流体源源不绝地产生或消失(若散度为
负).
一个场 在某处,沿着一无穷小的平面边界做环积分,平面法向量即
由旋度向量给定,旋度向量的长度则是单位面 积的环积分值.基本上
旋度要衡量的是一向量场在某点是否有转弯.
欧 拉 定 理
在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元
1707-1783年)发现的，它们都叫做

欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。

（1）分式里的欧拉公式：

a＾r(a-b)(a-c)+b＾r(b-c)(b-a)+c＾r(c-a)(c-b)

当r=0,1时式子的值为0

当r=2时值为1


当r=3时值为a+b+c


（2）复变函数论里的欧拉公式：

e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数 的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数
函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

将公式里的x换成-x，得到：

e^-ix=cosx- isinx，然后采用两式相加减的方法得到：

sinx=(e^ix-e^-ix)(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)2.

这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏
就得到：

e^i∏+1=0.

这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里 最令人着迷的一个
公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：