高一数学函数知识点总结

高一数学函数知识点总结


函数对于许多刚上高中的学生来说 还是难以接受的，为方便
学生学习，下面就是给大家带来的高一数学函数知识点总结，希
望大家 喜欢！
函数的有关概念
1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确 定
的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都
有唯一确定的数f(x)和它 对应，那么就称f：A→B为从集合A到
集合B的一个函数.记作： y=f(x)，x∈A.其中，x 叫做自变量，x
的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函
数值，函数值的 集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
注意：
1.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定
义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;

(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数 通过四则运算结合而成的.那
么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数
值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)
2.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x
为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数
y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系
y=f(x )，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标
的点(x，y)，均在C上 .

(2) 画法
A、 描点法：
B、 图象变换法
常用变换方法有三种
1) 平移变换
2) 伸缩变换
3) 对称变换
4.区间的概念
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
5.映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某 一个确定的
对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都
有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A
到集合B的一个映射。记作f：A→B
6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域
的并集.
补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为
f、g的复合函数。
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的 定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间
D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，
那么就说f(x)在这个区间 上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减
区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质;
(2) 图象的特点

如果 函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数
y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性，在单调区间上增函数的
图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
○1 任取x1，x2∈D，且x1
○2 作差f(x1)-f(x2);
○3 变形(通常是因式分解和配方);
○4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
○5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x) ]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单
调性密切相关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单
调性相同的区间和在一起写成其并集.
8.函数的奇偶性(整体性质)

(1)偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有
f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有
f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫 做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;
○2确定f(-x)与f(x)的关系;
○3作出相应结论：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶
函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是奇函数.
(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)f(-x)=±1来判定;
(3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式

(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之
间的函数关系时，一是要求出它们之间的 对应法则，二是要求出
函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有：
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4) 消参法
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
○2 利用图象求函数的最大(小)值
○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：
如果函数y=f(x)在区间[ a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单
调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单
调递增则函数 y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

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