莫言诺贝尔获奖作品-等比数列所有公式
一、知识点
<一>常用结论
1.证明直线与直线的平行的思考途径(1) 转化为判定共面二直线无交点;(2)转化为二直线同
与第三条直线平行;(3)转化为线面平行;(4 )转化为线面垂直;(5)转化为面面平行.
2.证明直线与平面的平行的思考途径:(1)转化为直 线与平面无公共点;(2)转化为线线平行;
(3)转化为面面平行.
3.证明平面与平面平 行的思考途径:(1)转化为判定二平面无公共点;(2)转化为线面平行;
(3)转化为线面垂直.
4.证明直线与直线的垂直的思考途径:(1)转化为相交垂直;(2)转化为线面垂直;(3)转化为线与另一线的射影垂直;(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.
5.证明直线与平面垂直的 思考途径:(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;(2)转化为
该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;(4)转化为
该直线垂直于另一个平行平面;(5)转化为 该直线与两个垂直平面的交线垂直.
6.证明平面与平面的垂直的思考途径:(1)转化为判断二面角 是直二面角;(2)转化为
线面垂直.
1
7.夹角公式 :设
a
=
=
,则cos〈
a
,b〉
.
2
b=,
8.异面直线所成角:
=
3
(其中
)为异面直线
所成角,
4
(
分别表示异面直线
的方向向量)
5
9.直线
与平面所成角:
(
6
10.二面角
为平面
的法向量).
的平面角
7
或
,
8
(
为平面
,
的法向量).
9
11.空间两点间的距离公式 若A
B
,则
=
10
,
.
11
12.异面直线间的距离:
(
是两异面直线,其公垂向量为
,
12
分别是
上任一点,
13
为
间的距离).
14
13.点
到平面
的距离:
15
为平面
的法向量,
是经过面
16
(
14.三个向量和的平方公式:
的一条斜线,
).
17
15. 长度为
直线上的射影长分别为
的线段在三条两两互相垂直的
,夹角分别为
18
,则有
19
.
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).
20
116. 面积射影定理
面积分别是
、
21
.(平面多边形及其射影的
,它们所在平面所成锐二面角的
).
117. 球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)
球与正 方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是
正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长
〈二〉温馨提示:
1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时,你 是否注意到它们各自的
取值范围及义?
22
① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次
.
23
② 直线的倾斜角、
的角、
与
24
到
的夹角的取值范围依次是
.
25
③ 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是
.
〈三〉解题思路:
1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:
26
线面平
线面平行的性质:
的判定:
27
行
三垂线定理(及逆定理):
28
线面垂直:
面面垂直:
29
30
2、三类角的定义及求法
(1)异面直线所成的角θ,0°<θ≤90°
31
(2)直线与平面所成的角θ,0°≤θ≤90°
32
(三垂线定理法:A∈α作或证A B⊥β于B,作BO⊥棱于O,连AO,则AO⊥棱
l
,
∴∠AOB为所求。)
33
三类角的求法:
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义,并指出所求作的角。
③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。
二、题型与方法
【考点透视】
不论是求空间距离还是空间角,都要按照“一作,二证,三算”的步骤来完成。
求解空间距离和角的方法有两种:一是利用传统的几何方法,二是利用空间向量。
【例题解析】
考点1 点到平面的距离
求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度,其关键在于确 定点在平面内的垂
足,当然别忘了转化法与等体积法的应用.
34
例1如图,正三棱柱
35
所有棱长都为
,
的
中点.
36
为
Ⅰ)求证:
;
37
平
面(
(Ⅱ)求二面角
的大小;
(Ⅲ)求点
的距离.
考查目的 :本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的
大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、 逻辑思维
能力和运算能力.
38
到平面
解答过程:
解法一:Ⅰ)取
,
.
39
中点
连结
(
为
.
40
正三角形,
正
中
41
三棱
,平
柱
面
,
42
平面
.
43
平面
连结
分别为
44
在
中
正方形
,
,
的
.
45
点中,
,
在正
方形
46
,
,
中
.
47
平面
Ⅱ设
,
48
交
在
与
于点
平面
()
中
,
49
,作
于
连结
,
.
50
(
平
)得
面
由Ⅰ
为
的平面角.
51
二面
,
角
在
中,
,
52
等面积法可求得由
又
.
53
,
所以二
面角
.
54
大小为的
Ⅲ
.
55
,
,
()中
在正三
棱柱中
的
.
56
到
距离
平面
为
,
设点
的
.
57
到平
距离
面
为
,
.
58
得由,
到
59
点
平面
的
.
60
距离为
解法二
(Ⅰ取
.
61
连
点
结
:)中
,
为
.
62
正三角形,
在
中
63
正三
,
棱柱
平面
,
64
平面
.
65
平面
取
为
66
中
,
原点
点
以
,
的
67
方向
,
,
为
轴的正方向建立空间直角坐标系,则
,
,
68
,
69
,
,
.
70
,
,
,
71
,
.
72
,
.
73
平面
Ⅱ)设平面
.
74
法向量为(的
75
,
.
,
76
,
77
令
为
的一个法向量.
78
得
平面
()知
,
79
平面由Ⅰ
的法向量.
80
为平面
.
81
,
二
的
.
82
面
大小
角
为
Ⅲ)(Ⅱ,
法向量,
.
83
为平面(由)
到
84
点
平面
的
.
85
距离
小 结:本例中(Ⅲ)采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法,
把不易直接求 的B点到平面的距离转化为容
易求的点K到平面的距离的计算方法,这是
数学解题中常用的方法 ;解法一采用了等体积法,这种方法可以避免复杂的几何作图,显得
更简单些,因此可优先考虑使用这一 种方法.
考点2 异面直线所成的角
此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角,然后 通过解三角形来求角.异面直线所
成的角是高考考查的重点.
86
例2、
如图,在
87
斜
,
边
.
中
,
可以通过
以直线
为轴旋转得到,且二面角
88
角.
的
的中点.
89
直二面
是
I)求
II)
证:平面
求异面直
;
线
90
平面(
(
思路启迪:(
所成角的大小.
II)的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内.
91
与
解答过程:解法1:
I)由题意,
,
92
(,
是
是直二面角,
93
二面角
,
94
又,
,
95
平面
又
.
96
平面
.
97
平
平
面
面
II)作
,
98
垂
连
足为
结
(,
(
99
如图,则),
是
所成的角.
100
异面直线
与
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