高中数学竞赛试题及答案-高中数学竞赛模拟试题

竞赛试卷
高中数学竞赛试题
总分200分
一、选择题（50分）
1、已知
i
是虚数单位，则复数
1?2i
=（ ）
i?2
A
4343
i
B
?i
C
??i
D
??i

5555
2、下列函 数中，既是奇函数，又是在区间
(??,??)
上单调递增的函数是（ ）
A
y?x
2
?x
B
y?x?2sinx
C
y?x
3
?x
D
y?tanx

?
5
?
?
3、已知
a,b
均为单位向量，其夹角为，则命题
p:a?b?1
是命题
q:
??[,)
的
26
（ ）
A 充分非必要条件 B 必要非充分条件
C 充要条件 D 非充分非必要条件
4 、已知集合
P?
?
x|1?x?2
?
,M?
?
x| 2?a?x?1?a
?
，若
PM?P
，则实
数
a
的 取值范围是（ ）
A
(??,1]
B
[1,??)
C
[?1,1]
D
[?1,??)

?
3
??
sin(x?)?cos(?x)
的最大值是（ ）
226
5、函数
y
1313
13
B C D
13

42
4
6、如图，四棱锥
S? ABCD
的底面是正方形，
SD?
底面
ABCD
，则下列结论中不正 确的是（ ）
A
A
C
D
AB?SA
B
BC
平面
SAD

BC
与
SA所成的角等于
AD
与
SC
所成的角
SA
与平 面
SBD
所成的角等于
SC
与平面
SBD
所成的角
7、程序框图如图所示，若
f(x)?x
2
,g(x)?log
2
x
，输入
x
的
值为0.25，则输出的结果是（ ）
A
0.24
B
?2
C
2
D
?0.25

i,j
分别表示平面直角坐标系
x,y
轴上的 单位向量，且8、设

竞赛试卷
a?i?a?2j?5
，则
a?2i
A
的取值范围是（ ）
[22,3]
B
[
6565
,22]
C
[5,4]
D
[,3]

55
9135
x
2
y
2
()
，9、已知
F
??1
的左右焦 点，点
A
的坐标为
,
1
,F
2
分别为双曲线
C:
22
927
M
的坐标为（ ） 则
?F
1
AF
2
的平分线与轴的交点
A
(2,0)
B
(?2,0)
C
(4,0)
D
(?4,0)

10、设
f(x )?x
2
?bx?c
，若方程
f(x)?x
无实根，则方程
f(f(x))?x
（ ）
A 有四个相异实根 B 有两个相异实根
C 有一个实根 D 无实数根

二、填空题（共49分） < br>11、设直线
y?ax?4
与直线
y?8x?b
关于直线
y< br>12、已知
?x
对称，则
a?___,b?____.

1?cosx
?sinx
，则
x?_______.

1? cosx
x(x?1)?arcsin(x
2
?x?1)
的值为______ _.
2
13、已知
x?R
，则
14、已知实数
a,b,c ,d
满足
ab?c
_______.
15、设数列
_______.
?d
2
?1
，则
(a?c)
2
?(b?d)
2
的最小值为
2011
?
a
n
?
为等比数列，且每项都大于1，则
lga
1
lga
2012
1
?
i?1
lga
i
lga
i? 1
的值为
1
4
1
4
(x?)?(x?
4
)
xx
的最小值为_______. 16、设
x?0
，则
f(x)?
11
(x?)
3
?(x
3
?
3
)
xx
17、如图是一个残缺的
3?3
幻方，此幻方每一行每一列及每一

条对角线上得三个数之和有相等的值，则
x
的值为_______.



三、解答题（每题17分，共51分）
4015
2018
4017

9
2018
11

竞赛试卷
18、已知实数
x
1
,x
2
,
均值.



















,x
10
满足
?
|x
i
?1|?4,
?
|x
i
?2|?6
，求
x
1
,x
2
,,x
10< br>i?1i?1
1010
的平
x
2
y
2
??1
长轴上一个动点，过点
P
斜率为
k
直线交椭圆于两点。若19、设< br>P
为椭圆
2516
PA?PB
















22
的值仅仅依赖于
k
而与
P
无关， 求
k
的值.

竞赛试卷









20、设
p,q?
?
Z
，且
p?q
2
。试证对
n?Z
?
，存在
N?Z
?
，
(p?p
2
?q)
n
?N?N
2
?q
n
且
(p?p
2
?q)
n
?N?N
2
?q
n
.































使

竞赛试卷
四、附加题（每题25分，共50分）。
21、设圆
O
4
与
O
1
，圆
O
1
与
O
2
，圆
O< br>2
与
O
3
，圆
O
3
与
O
4
分别外切于
P
1
,P
2
,P
3
,P
4
，试
证：
（1）
P
1
,P
2
,P< br>3
,P
4
四点共圆；
（2）四边形
OO
12
O
3
O
4
是某个圆的外切四边形；并且该圆的半径不超过四边形
P
1
,P
2
,P
3
,P
4
的外接圆的半径.

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22、设
i< br>1
,i
2
,,i
10
为
1,2,,10
的一 个排列，记
S?i
1
?i
2
?i
3
?i
4
??i
9
?i
10
，
求
S
可以取到的所有 值.

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