南昌市高中数学竞赛试题及答案

2016年南昌市高中数学竞赛试题及答案
（注意：题号后凡标有“高一”的，为高一 学生解答题；凡标有“高二”的，为高二学生解
答题；凡未作以上标志的，则为高一、高二学生共同解答 题）
一、填空题（每题10分，共80分）
1.（高一）化简
答案：
.

解：
13?48?23
3?5?13?48
6?2
的结果是 ．
1
2
??
2
?1?43?1?23,5?1?23?4?23?
??
2
???
3?1,

?
2
3?
?
3?1?2?
?
?
3?
2
3?1
2
?
2
?
6?2
?
1
，故原式
?.

?
??
??
2
2
??
22
2
（高二） 设
ab?0
，若函数
f
1
?
x
?
?x?2a x?4b
与
f
2
?
x
?
?x?4ax?2b
具有相同的最
小值
u
，函数
f
3
?
x
?
??x?2bx?4a
与
f
4
?
x
?
?? x?4bx?2a
具有相同的最大值
v
，
2
则
u?v?
．
答案：
0.

解：
f
1
?
x
?
?
?
x?a?
?4b?a?4b?a,f
2
?
x
?
?
?< br>x?2a
?
?2b?4a?2b?4a,

2222
22故由
4b?a?u?2b?4a
，得
?2b?3a
…………①
故由
4a?b?v?2a?4b
，得
2a?3b
…………②
由①②得，
2
?
b?a
?
?3b
2
?a
2
,
所以
b?a?0
…………③，或者
b?a?
若
b?a?
222
222
??
2
…………④
3
2< br>?
2
2
?
2
，由②④，
2
?
b?< br>?
?3b
，即
?
3b?1
?
?3?0
，矛盾 ！
3
?
3
?
故只有
b?a?0
，此时，
2
?
u?v
?
?6b?5a
2
?6a?5b
2?
?
a?b
??
5b?5a?6
?
?0.
< br>2.（高一）若
k
个连续正整数之和为
2016
，则
k
的最大值是 ．
答案：
63.

解：设
2016?
?
n?1
?
?
?
n?2
?
?L?
?
n?k
?
?kn?
????
k
?
k?1
?
，则
2
62
注意
4032?2?3?7
，且
k ?2n?k?1
，为使
k
值最大，当选取
k,n
k
?
2n?k?1
?
?4032
，
使得
4032
的较小因子尽 可能去取得最大，由于
4032?63?64
，可令

．
k ?63,2n?k?1?64
（此时对应于
n?0
）
x
2
y
2
??1
上位于第一象限的一点，若
p
与两焦点的连线互相垂直，（ 高二）
p
是椭圆
259
则点
p
的坐标为 ．
?
579
?
答案：
?
?
4
,
4
?
?
.

??
解：椭圆两焦点为
F
1< br>?
?4,0
?
,F
2
?
4,0
?
， 若点
P
坐标为
P
?
x,y
?
,x?0,y?0，则
579
x
2
y
2
yy
,y?.

??1
，以及
???1
，解得
x?
44
259x?4x?4
3.（高一） 三角形的边长为正整数，周长为24，这种三角形共有 个．
答案：12个．
解：设三角形的三条边长为
a,b,c
，且
a?b?c
，
a?b?c?24
，则
a?8
，再由
b?c? a
，
得
2a?a?b?c?24
，所以
a?12,
即
a?11
，于是
8?a?11,

在
a?11
时，
b?c?13
，于是
?
b,c
?
?
?
11,2< br>?
,
?
10,3
?
,
?
9,4
?< br>,
?
8,5
?
,
?
7,6
?
； < br>在
a?10
时，
b?c?14
，有
?
b,c
?
?
?
10,4
?
,
?
9,5
?
,
?
8,6
?
,
?
7,7
?
；
在
a?9
时，
b?c?15
，有
?
b,c
?
?
?
9,6
?
,
?
8,7
?
；
在
a?8
时，
b?c?16
，有
?
b,c
??
?
8,8
?
；共计12种情形．
（高二）锐角三角形
ABC
中，
tanA?tanB?tanC
的最小值是 ．
答案：
2433.

解：记
tanA?x,tanB?y,tanC ?z
，则
x?y?z?xyz,xyz?x?y?z?3
3
xyz,

两边立方，得
xyz?33
，当且仅当
x?y?z?3
，
4.（高一）若
?
为锐角，使得
sin
?
?
答案：24.
999
4a?45a?15
,cos
?
?
，则
a?
．
6a?16a?1
22
?
4a?4
? ?
5a?15
?
解：据
1?sin
?
?cos
?< br>?
??
?
??
，得
5a
?
26?a
?
?240
，解得
?
6a?1
??
6a?1
?< br>22
a?2
及
24
，若
a?2
，则
cos< br>?
?0
，不合题意，故只有
a?24.

（高二）单位正方体 （各棱长皆为1的正方体）中，将每一对相邻的中心连接，得到一个具

有六个顶点的多面 体
T
，其体积是 ．
答案：
.

1
6
解：如图，
E,F
分别是
C
1
A
1
及< br>C
1
B
的中点，则
EF?
12
A
1
B?,
自
E
作平行于
BCC
1
B
1
22
的平面，将多面体分成两个全等的四棱锥，其底面面积为
11
，高为
.

22
5.如果一个单调递增数列
?
a
n
?的每一项皆是由
1,2,3,4,5
排成的没有重复数字的五位数，则
a
100
?
．
答案：
51342.

解：
1,2,3,4,5
总共可排出120个数，其中5开头的有24个，它们中最小的数
51234
是倒
数第24个数，即全体这种五位数的自小到大第97个数，5开头的数后四位均 由
1,2,3,4
排
成，这四个数码排成的数自小到大顺次是
1234,12 43,1324
，所以
a
100
?51342.

6.从< br>?
1,3,L,13
?
中取出
k
个不同的数，使得取出的数中 ，任两个数的差，既不等于5，也不
等于8，则
k
的最大值是 ．
答案：6．
解：将
1,2,L,13
排列于一个圆上，使得每相邻两数之差 ，或者为5，或者为8，然后选取
一组互不相邻的数，至多能取到六个数，例如取
1,4,7, 10,13,3
．（若取7个数，则必有两数
在圆周上相邻），因此
k
max
?6.
7.满足

111
??
的正整数解
?
x,y
?
的组数为 ．
xy2016
答案：165.
21042
解：由条件得
?x?2016
??
y?2016
?
?2016?10?3?7
， 由于
2?3?7
有
1042
对于每个正因子
d
，由
x?2016?d
可以得到一个
x
?
10?1
??
4?1
??
2?1
?
?165
个正因子，
的值，而当
x< br>的值确定后，
y
的值便随之确定，于是共有165组解．
8.集合
M
是集合
A?
?
1,2,L,100
?
的子集，且
M
中至少含有一个平方数或者立方数，则这
种子集
M
的个数是 ．
答案：
2
88
2
12
?1.

解：集 合
A?
?
1,2,L,100
?
中的平方数或立方数构成集合 ??

B?
?
1,4,8,9,16,25,27,36,49,6 4,81,100
?
，其中有12个元素，从
A
中挖去集合
B
后剩下
的元素构成集合
C
，则
C
中含有
88
个元 素，由于
C
的子集有
2
88
个，
B
的非空子集有< br>2
12
?1
C
0
是
C
的任一子集，个，集< br>M
可表示为
M?B
0
UC
0
形式，其中
B< br>0
是
B
的任一非空子集，
因此
M
的个数为
2
88
2
12
?1.

二、解答题
9.（20分） 集合
A
与
B
分别由满足如下条件的所有五位数组成：对于集合
A的每个元素
x
，
其各位数码之和加1或减1之后是5的倍数；对于集合
B
的每个元素
y
，其各位数码之和
或者是5的倍数，或者减2之后是5的倍数． 证明：
A?B.
（即这两个集合的元素个数
相等．）
证：对于任一五位数< br>a?a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
，其中
1?a
1
?9,0?a
j
?9,j?2,3,4, 5
，
a
的各位数
码之和记为
S
?
a
?；
对于集合
A
中的任意一数
x?x
1
x
2< br>x
3
x
4
x
5
，令
x
与五为数y?y
1
y
2
y
2
y
4
y
5
相对应，其中每个
??
y
j
满足等式：
则
1?y
1
?9,0?y
j
?9,j?2,3,4,5
，且
S
?
x
?
?S
?
y
?
?46,

据此可知，若
5|S
?
x
?
?1
，则
5|S
?
y
?
，若
5|S
?
x
?
?1
，则
5|S
?
y
?
?2
，
于是当
x?A
时，必有
y?B
，并且不同的
x
对应于不同的
y
． 反过来也是如此，即这种对
应是一一对应，从而这两个集合的元素个数相等．
10.（25分 ）四边形
ABCD
内接于以
AC
为直径的圆，
M,N
分别是 边
AB,CD
上的点，且
??????
DM?AC,BN?AC
． 证明：
AC,BD,MN
三线共点．
证：设
DM,BN
分别交AC
于
E,F
，对角线
AC,BD
交于
P
，只 要证
M,N,P
三点共线．
DEPE
?
…………①
BFPF
MEAEAEDE
?,?,
相乘得 又由△
AME
∽△
BCF
，△
DAE
∽
CNF
，得
CFBFNF CF
MEDE
?
…………②
NFBF
MEPE
将①②相乘 得，，因此直角三角形△
PEM
∽△
PFN
，
?
NFPF
连
MP,NP
，由△
PDE
∽△
PBF
，得

所以，
?MPE??NPF
，故
M,N,P
三点共线，从而
AC,BD,MN
三线共点．
11.如果实数集合
A
的全体元素可 以排成一个等比数列，就称
A
是一个几何集，例如无穷集
合
A?3,15,5 ,L
??
就是一个几何集．试确定，是否存在7个几何集
A,A,L,A
，使 得
127
它们的并集元素中，包含有前50个正整数，即
M?A
1
U A
2
ULUA
7
，其中
M?
?
1,2,L,50< br>?
．证明你的结论．
解：不存在．
首先证明，任一个几何集之中至多含有两个质数．
反证法，假若某个几何集
G
的元素中含有三个质数
x,y,z
，其中
x?y?z
，若其首项为
a
，
公比为
q
，记
x?aq,y?aq,z?aq,
其中正 整数
m?n?k
．
mnk
则
yz
?
y
?
?q
n?m
,?q
k?n
,
由此
q?
??
xy
?
x
?
k?m
1
n?m
?
z
?
?
??
?
y
?
1
k?n
?y
?
,
即有
??
?
x
?
k?n
?
?
?
?
z
?
?
y
?
n?m< br>.

所以，
y?x
k?n
?z
n?m
，这与
y
是质数矛盾．
于是，7个几何集的并集
A
1
,A
2
,L,A
7
中，至多含有14个质数，而
M?
?
1,2 ,L,50
?
中含有
15个质数
2,3,5,7,L,47
，因此满 足条件的7个几何集不存在．