全国高中数学竞赛专题-不等式

全国高中数学竞赛专题-不等式

证明不等式就是对不等式的左右 两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等
式的性质分类罗列如下：
















不等式的性质：
a?b?a ?b?0,a?b?a?b?0.
这是不等式的定义，也是比较法的依据.
对一个不等式进行变形的性质：
（1）
a?b?b?a
（对称性）
（2）
a?b?a?c?b?c
（加法保序性）
（3）
a?b,c?0?ac?bc;a?b,c?0?ac?bc.

（4 ）
a?b?0?a
n
?b
n
,
n
a?
n< br>b(n?N*).

对两个以上不等式进行运算的性质.
（1）
a?b,b?c?a?c
（传递性）.这是放缩法的依据.
（2）
a?b,c?d?a?c?b?d.

（3）
a?b,c?d?a?c?b?d.

（4）
a?b?0,d?c?0,?
含绝对值不等式的性质：
（1）
|x|?a(a?0)?x
2
?a
2
??a?x?a.

（2）
|x|?a(a?0)?x
2
?a
2
?x?a或x??a.< br>
（3）
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
（三角不等式）.
（4）
|a
1
?a
2
???a
n
|?|a
1
|?|a
2
|???|a
n
|.

ab
?,ad?bc.

cd
证明不等式的常用方法有：比较法、放 缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证
题过程中，常可“由因导果”或“ 执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一
切数学问题的常用策略 ，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特
有方法，只是 在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，
要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。
1．比较法（比较法可分为差值比较法和商值比较法。）
（1）差值比较法（原理：A－ B＞0
例1 设a, b, c∈R
+
，
A＞B．）

1

试证：对任意实数x, y, z, 有x
2
+y
2
+z
2
?2
证明：左边-右边= x
2
+y
2
+z
2
?2
?
a?babcb? cc?a
?
?
xy?yz?xz
?
.

??
(a?b)(b?c)(c?a)
?
cab
?
abbcca
xy? 2yz?2xz

(b?c)(c?a)(a?b)(c?a)(a?b)(b?c)
?
b
2
aba
2
cbcb
2
x?2xy?y?y< br>2
?2yz?z

b?c(b?c)(c?a)c?ac?a(a?b)(c? a)a?b
?
a
2
cac
2
z?2xz?x
a?b(a?b)(b?c)b?c
222
?
ba
??
cb??
ac
?
?
?
x?y?y?z?z?x
?
? 0.

????
?
b?c
?????
c?a
??< br>c?aa?b
??
a?bb?c
??
所以左边≥右边，不等式成立。
（2）商值比较法（原理：若>1，且B>0，则A>B。）
例2 若aa
(1-x)|与|log
a
(1+x)|.
解：因 为1-x
?
1，所以log
a
(1-x)
?
0,
|log
a
(1?x)|
1
=|log
(1-x)
(1+ x)|=-log
(1-x)
(1+x)=log
(1-x)
>log
(1-x)
(1-x)=1
1?x
|log
a
(1?x)|1
（因为0<1-x
2
<1，所以>1-x>0, 0<1-x<1）.
1?x
所以|log
a
(1+x)|>|log
a
(1-x)|.
2．分析法（
即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，
叙述方式为：要证??，只需证??。
）
例3 已知a, b, c∈R
+
，求证：a+b+c-3
3
abc
≥a+b
?2ab.

证明：要证a+b+c
?3
3
c?a?b
≥a+b
?2ab .

只需证
c?2ab?3
3
abc
，
因为c?2ab?c?ab?ab?3
3
c?a?b?3
3
abc
，
所以原不等式成立。
例4 已知实数a, b, c满足0证明： 因为01
211
??.
，求证：
2
c(1 ?c)a(1?b)b(1?a)
1
，由二次函数性质可证a(1-a) ≤b(1-b) ≤c(1-c)，
2
111
??
所以，
a(1?a)b(1?b)c(1?c)
1122
???
所以，
a(1?a)b(1?b)b(1?b)c(1?c)

2

1111
，
???
a(1?a)b(1?b)a(1?b)b(1?a)< br>a?ba?b
也就是证，
?
a(1?a)(1?b)b(1?a)(1?b)
所以只需证明
只需证b(a-b) ≤a(a-b)，即(a-b)
2
≥0，显然成立。所以命题成立。
3．综合法
例5 若a,b,c>0，求证：abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。
证明:∵(a+b-c)+(b+c-a)=2b＞0, (b+c-a)+(c+a-b)=2c＞0 ,
∴a+b-c,b+c-a,c+a-b中至多有一个数非正.
(1) 当a+b-c,b+c-a,c+a-b中有且仅有一个数为非正时,原不等式显然成立.
(2) a+b-c,b+c-a,c+a-b均为正时,则
(c+a-b)+(a+b-c)=2a＞0, < br>?
a?b?c
??
b?c?a
?
?
?
a?b ?c
?
?
?
b?c?a
?
?b

2
同理
?
a?b?c
??
a?c?b
?
?a,
?< br>b?c?a
??
a?c?b
?
?c,

三式相乘得abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
例6 已知△ABC的外接圆半径R=1，S
△ABC
=，a,b,c是△ABC的三边长，
令S=，t=。求证：t>S。
1
解：由三角形面积公式:
bcsinA< br>.正弦定理：asinA=2R.可得abc=1.
2
所以2t=2bc+2ac+2ab.由因为a.b.c均大于0。
所以2t>=2a
bc
+2b
ac
+2c
ab
=2
a
所以t>s。

4．反证法
例7 设实数a
0
, a
1
,?,a
n
满足a< br>0
=a
n
=0，且a
0
-2a
1
+a
2
≥0, a
1
-2a
2
+a
3
≥0,?, a
n-2
-2a
n-1
+a
n
≥0，求证a
k
≤0(k=1, 2,?, n-1).
证明：假设a
k
(k=1, 2,?,n-1) 中至少有一个正数，不妨设a
r
是a
1
, a
2
,?, a
n-1
中第一个出现的正数，则a
1
≤0, a
2
≤0,?,
a
r-1
≤0, a
r
>0. 于是a
r
-a
r-1
>0，依题设a
k+1
-a
k
≥a
k
-a
k-1
(k=1, 2, ?, n-1)。

3
abc
+2
babc
+2
cabc
=2(a
+
b
+
c
)=2s.

所以 从k=r起有a
n
-a
k-1
≥a
n-1
-a
n- 2
≥?≥a
r
-a
r-1
>0.
因为a
n≥a
k-1
≥?≥a
r+1
≥a
r
>0与a
n
=0矛盾。故命题获证。
5．数学归纳法
例8 对任意正整数n(≥3)，求证：n
n+1
>(n+1)
n
.
证明 ：1）当n=3时，因为3
4
=81>64=4
3
，所以命题成立。
(k?1)
k?2
2）设n=k时有k>(k+1)，当n=k+1时，只需证(k+1)> (k+2)，即>1.
k?1
(k?2)
k+1kk+2k+1
k
k?1
(k?1)
k?2
k
k?1
因为，
?1
，所以只需证
?
(k?1)
k
(k?2)
k?1
(k?1)
k
即证(k+1)
2k+2
>[k(k+2)]
k+1
，只 需证(k+1)
2
>k(k+2)，即证k
2
+2k+1>k
2+2k. 显然成立。
所以由数学归纳法，命题成立。
6.分类讨论法
x< br>2
?y
2
y
2
?z
2
z
2
?x
2
例9 已知x, y, z∈R，求证：
???0.

y?zz?xx?y
+
证明：不妨设x≥y, x≥z.
ⅰ）x≥y≥z， 则
111
??
，x
2
≥y
2
≥z
2
，由排序原理可得
x?yx?zy?z
x
2
y
2
z2
y
2
z
2
x
2
，原不等式成立。
?????
y?zz?xx?yy?zz?xx?y
111
ⅱ）x≥z≥y，则，x< br>2
≥z
2
≥y
2
，由排序原理可得
??
x ?zx?yy?z
x
2
y
2
z
2
y
2z
2
x
2
，原不等式成立。
?????
y?zz?xx?yy?zz?xx?y

7.放缩法（即要证A>B，可证A>C
1
, C
1
≥C
2
,?,C
n-1
≥C
n
, C
n
>B(n∈N
+
).）
abc
??.

a?mb?mc?m
ababa?bmmc
?????1??1??
证明：
a?mb?ma?b?ma?b?ma?b?ma?b?mc?mc?m
例10 已知a, b, c是△ABC的三条边长，m>0，求证：
（因为a+b>c），得证。

8.引入参变量法
b
3
例11 已知x, y∈R, l, a, b为待定正数，求f(x, y)=
2
?
2
的最小值。
xy
+
a
3
ylkl
(1?k)
2
,y?
解： 设
?k
，则
x?
，f(x,y)=
1?k1?k
x
l
2
?
3
b
3
?
?
?
a?
k
2
?
?
?

??
??
??
1< br>(a?b)
3
1
3
1
33333
1
3
1
32
3322
?
a?b?ak?ak?b?
2
?b?? b??ak
?
?
2
(a+b+3ab+3ab)=，
22
k
??
k
??
l
?
kl
l
???
?
?????????
??
??
??
(a?b)
3
ab
.
等号当且仅当
?
时成立。所以f(x, y)
min
=
2
xy
l
4

例12 设x
1
≥x
2
≥x
3
≥x
4
≥2, x< br>2
+x
3
+x
4
≥x
1
，求证：(x
1
+x
2
+x
3
+x
4
)
2
≤ 4x
1
x
2
x
3
x
4
.
证明： 设x
1
=k(x
2
+x
3
+x
4
)，依题 设有
2
1
≤k≤1, x
3
x
4
≥4，
3
2
(1?k)
2
原不等式等价于(1+k)(x
2
+x< br>3
+x
4
)
≤4kx
2
x
3
x4
(x
2
+x
3
+x
4
)，即(x
2
+x
3
+x
4
) ≤x
2
x
3
x
4
，
4k
1
?< br>1
?
因为f(k)=k+在
?
,1
?
上递减， k
?
3
?
1
3??2
2
11
(1?k )
3
所以(x
2
+x
3
+x
4
)=
(k??2)
(x
2
+x
3
+x
4
)≤·3x< br>2
=4x
2
≤x
2
x
3
x
4
.
4k
4k
4
所以原不等式成立。

9.局部不等式
例13 已知x, y, z∈R
+
，且x
2
+y
2+z
2
=1，求证：
证明：先证
xyz
33
??
?.

2
1?x
2
1?y
2
1?z
2< br>x33
2
?x.

2
2
1?x
2
1
?2x
2
(1?x
2
)
2
?
因为x(1- x)=
2
1
?
2
?
2
?
??
?< br>,
2
?
3
?
33
3
xx
2
x
2
33
2
所以
???x.

22
2< br>2
1?xx(1?x)
33
同理
z33
2
y332
，
?z
，
?y
2
1?z
2
21?y
2
xyz33
2
33
22
???(x?y?z) ?.

22
1?x
2
1?y
2
1?z
2< br>abc
??
例14 已知0≤a, b, c≤1，求证：
≤2。
bc?1ca?1ab?1
a2a
?.
① 证明：先证
bc?1a?b?c
所以
即a+b+c≤2bc+2.
即证(b-1)(c-1)+1+bc≥a.
因为0≤a, b, c≤1，所以①式成立。
同理
b2bc2c
?,?.

ca?1a?b?cab?1a?b?c
三个不等式相加即得原不等式成立。

10.利用函数的思想
111
??
的最小值。
a?bb?cc?a
55
解：当a, b, c中有一个为0，另两个为1时，f(a, b, c)=，以下证明f(a, b, c) ≥.
22
例15 已知非负实数a, b, c满足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=

5

2ca?b1
3
?
2
?.
, f(a, b, c)=< br>2
c?1c?1
a?b
3
(a?b)
2
因为1=(a +b)c+ab≤+(a+b)c，
4
不妨设a≥b≥c，则0≤c≤
解关于a+b 的不等式得a+b≥2(
c
2
?1
-c).
t1
2
?
, g(t)在[
c?1,??
）上单调递增。
2
c?1
t
3
又因为0≤c≤，所以3c
2
≤1. 所以c
2
+a≥4c
2
. 所以2
(c
2
?1?c)
≥
c
2
?1.

3
考虑函数g(t)=
2ca?b1
2c2(c
2
?1?c )1
?
2
?
??
所以f(a, b, c)=
2
≥
2

2
2
c?1c?1
a?b
c?1c?1
2(c?1?c)
2cc
2
?1?c
=
2

?
2
c?1c?1
?
1
?
c3c< br>2
?1
2
?c?1
?
=
2
?
?
2
?
?
2
?
2
?
c?1
?
c3
≥
4??
2
53(1?
??
2
c2
?1

2
c
2
?1)c
?.

22
3
?
3
?
?c
?
≥0
?c?
.

4
?
4
?
下证
3( 1?c
2
?1)?c?
0 ①
?3?c?3c
2
?1?< br>c
2
+6c+9≥9c
2
+9
?c
?
因为< br>c?

55
33
?
，所以①式成立。所以f(a, b, c) ≥，所以f(a, b, c)
min
=
.

22
34
11.构造法

例16 证明：≤。
提示：构造 出（x，0）到两定点的距离之差，并利用数形结合的方法得知两边差小于第三边且三点
共线时取最大值 ，从而结论得证。




12.运用著名不等式
（1）平均值不等式：

6

设a
1
, a
2
,?,a
n
∈R
+
，记H
n
=
n
111
????
a
1
a< br>2
a
n
, G
n
=
n
a
1
a
2
?a
n
, A
n
=
a
1
?a
2
?
n
?a
n
,

2
a
1
2
?a
2
?
Q
n
?
n
2
?a
n
则H
n
≤G
n
≤A
n
≤Q
n
. 即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均。
其中等号成立的条件均为a
1
=a
2
=?=a
n
.
当n=2时，平均值不等式就是已学过的基本不等式及其变式,所以基本不等式实际上是均值不等式的特 例
证明：由柯西不等式得A
n
≤Q
n
，再由G
n
≤A
n
可得H
n
≤G
n
，以下仅证G
n
≤ A
n
.
1）当n=2时，显然成立；
2）设n=k时有G
k< br>≤A
k
，当n=k+1时，记
1?k
a
1
a
2
?
a
k
a
k?1
=G
k+1
.
因为a
1
+a
2
+?+a
k
+a
k+1
+(k-1)G
k+1
≥
k
k
a
1
a
2< br>?a
k
?k
k
a
k?1
?G
k?1

≥
2k
2k
a
1
a
2
?a
k?1
G
k?1
?
2k
2k
G
k?1
?
2kG
k+1
,
所以a
1
+a
2
+?+ak+1
≥(k+1)G
k+1
，即A
k+1
≥G
k+1
.
所以由数学归纳法，结论成立。
例17 利用基本不等式证明
a?b?c?ab?bc?ca.





【思路分析】左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换的方法.
．．
【略解】
a
2
?b
2
?2ab,同理b
2< br>?c
3
?2bc,c
2
?a
2
?2ca
；三 式相加再除以2即得证.
【评述】（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.
2
2
x
n
x
1
2
x
2
如
? ????x
1
?x
2
???x
n
，可在不等式两边同时加上
x
2
?x
3
???x
n
?x
1
.

x
2
x
3
x
1
k?1
k?12 k
222
再如证
(a?1)(b?1)(a?c)
3
(b?c)< br>3
?256a
2
b
2
c
3
(a,b,c?0 )
时，可连续使用基本不等式.

a?b
2
a
2
?b
2
)?
（2）基本不等式有各种变式 如
(
等.但其本质特征不等式两边的次数及系数是相等
22
的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1.
例18 已知
a?b?1, a,b?0,
求证：
a?b?
44
1
.

8
1
，如何也转化为
a
、
b
的4次式呢.
8


【思路分析】不等式左边是
a
、
b
的4次式，右边为常数
【略解】要证
a?b?
44
11
,
即 证
a
4
?b
4
?(a?b)
4
.

88
（2）柯西（Cavchy）不等式：设
a
1
、
a
2
、
a
3
，?，
a
n
是任意实数，则
< br>2222
(a
1
b
1
?a
2
b
2< br>???a
n
b
n
)
2
?(a
1
2< br>?a
2
???a
n
)(b
1
2
?b
2
???b
n
).

等号当且仅当
b
i
? ka
i
(k
为常数，
i?1,2,?,n)
时成立.


证明：不妨设
a
i
(i
?
1,2,
?< br>,n)
不全为0，
b
i
也不全为0（因为
a
i
或
b
i
全为0时，不等式显然成立）.
7

记A=
a
1
?a
2
???a
n
，B=b
1
?b
2
???b
n
. 且令
x
i
?


222222
a
i
b
,y
i
?
i
(i
?
1,2,
?
,n),

AB
22222
则
x
1
?x
2
???x
n
?1,y
1
2
?y
2
??? y
n
?1.
原不等式化为
x
1
y
1
?x< br>2
y
2
???x
n
y
n
?1.
< br>22222
即
2(x
1
y
1
?x
2
y
2
???x
n
y
n
)?
x
1
.
?x
2
???x
n
?y
1
2
?y
2
???y
n
它等价于
(x
1
?y
1
)< br>2
?(x
2
?y
2
)
2
???(x
n
?y
n
)
2
?0.

其中等号成立的充要条件 是
x
i
?
y
i
(i
?
1,2,
?
,n).

从而原不等式成立，且等号成立的充要条件是
b
i
?ka
i
(k?
A
).

B
变式1：若a
i
∈R, b
i
∈R, i=1, 2, ?, n，则
(
a
)?
?
i?1
b
i
n< br>2
i
(
?
a
i
)
2
(
?< br>b
i
)
2
i?1
i?1
n
n
.等号成立条件为a
i
=λb
i
,(i=1, 2, ?, n)。
变式2：设a
i
, b
i
同号且不为0(i=1, 2, ?, n )，则
a
i
?
?
b
i?1
i
n
(
?
a
i
)
2
n
?
ab
i
i?1
i?1
n
.
等号成立当且仅当b
1
=b
2< br>=?=b
n
.
i

22
2
x
n< br>x
n
x
1
2
x
2
?1
例19 设
x
1
,x
2
,
?
,x
n
?R，求证：
??
?
???x
1
?x
2
?
?
?x
n
.

x
2
x
3
x
n
x
1
?



【思路分析】 注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.
【评述】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.
【详解】 ∵
x< br>1
,x
2
,?,x
n
?0
，故由柯西不等式，得 < br>22
2
x
n
x
x
1
2
x
2
(x
2
?x
3
?
?
?x
n
?x< br>1
)(??
?
?
?1
?
n
)

x
2
x
3
x
n
x
1


?(x
2
?
x
1
x
2
?x3
?
x
2
x
3
?
?
?x
n< br>?
x
n?1
x
n
?x
1
?
x
n
x
1
)
2
?(x
1
?x
2
?
?
?x
n?1
?x
n
)
2
，

22
2
x
n
x
n
x
1
2
x
2
?1
∴
??
?
???x
1
?x
2
?
?
?x
n
.

x
2
x3
x
n
x
1
【评述】这是高中数学联赛题，还可用均值不等式、 数学归纳法、比较法及分离系数法和构造函数法等来证之.




（3）排序不等式：（又称排序原理）设有两个有序数组
a
1
?a
2
???a
n
及
b
1
?b
2
???b
n< br>.


8

则
a
1
b
1
?a
2
b
2
???a
n
b
n
（同序和）
?a
1
b
j1
?a
2
b
j2
???a
n
b
jn
（乱序和 ）

?a
1
b
n
?a
2
b
n?1
?< br>?
?a
n
b
1
（逆序和）
其中
j
1
,j
2
,
?
,j
n
是1，2，?，n的任一排 列.
当且仅当
a
1
?a
2
???a
n
或
b
1
?b
2
???b
n
时等号（对任一排列
j
1
,j
2
,
?
,j
n
）成立.
证明：不妨设在乱序和S中
j
n
?n
时（若
j
n
?n
，则考虑
j
n?1
），且在和S中含有项
a
k
b
n
(k?n),

则
a
k
b
n
?a
n
b
j
n
?a
n
b< br>jn
?a
n
b
n
.
① 事实 上，左－右=
(a
n
?a
k
)(b
n
?b
j
n
)?0,

由此可知，当
j
n
?n
时，调换
S?a
1
b
j
1
???a
k
b< br>j
k
???a
n
b
j
n
（
j
n
?n
）中
b
n
与
j
n
位置
（ 其余不动），所得新和
S
1
?S.
调整好
a
n
及< br>b
n
后，接着再仿上调整
a
n?1
与
b
n? 1
，又得
S
2
?S
1
.
如此至多经
n?1
次调整得顺序和
a
1
b
1
?a
2
b2
???a
n
b
n
?a
1
b
j1?a
2
b
j2
???a
n
b
jn
②
这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然，当
a
1
?a
2???a
n
或
b
1
?b
2
???b
n
时②中等号
成立.反之，若它们不全相等，则必存在
j
n
及k，使< br>b
n
?b
j
n
,a
n
?a
k
.
这时①中不等号成立.因
而对这个排列②中不等号成立. 类似地可证“乱序和不小于逆序和”.

a
2
?b
2
b< br>2
?c
2
c
2
?a
2
a
3
b
3
c
3
?????.
例20
a,b,c?R,求证a?b?c?
2c2a2bbccaab
?


【思路分析】中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明.
【略解】不妨设
a?b?c,则a?b?c,
111
??
，
cba
2
1
2
1
2
1
2
1
2< br>1
2
1
则
a??b??c?
（乱序和）
?a??b? ?c?
（逆序和），
cababc
2
1
2
1
2< br>1
2
1
2
1
2
1
同理
a??b?? c?
（乱序和）
?a??b??c?
（逆序和）
cababc
11 1
333
??
两式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数组
a? b?c及
，
bcacab
222
仿上可证第二个不等式.
例21 设
a
1
,a
2
,?,a
n
?N
*
，且各不相同，求证：
1?
111aa
3
a
n
? ????a
1
?
2
????.

23n2
2
3
2
n
2
【思路分析】不等式右边各项
a
i
1< br>?a?
；可理解为两数之积，尝试用排序不等式.
i
i
2
i
2
111
????.

222
23n
【略解】设
b
1
,b
2
,
?
,b
n
是
a
1
,a
2
,
?
,a
n
的重新排列，满足
b
1
?b
2
???b< br>n
，又
1?

9

a
n< br>b
n
a
2
a
3
b
2
b
3< br>.由于
b
1
,b
2
,?b
n
是互不相同的正 整数，
?????b?????
1
22222
n
2323n
b
3
b
n
b
11
故
b
1
?1, b
2
?2,?,b
n
?n.
从而
b
1
?< br>2
，原式得证.
?????1????
222
2n
23n< br>所以
a
1
?
【评述】排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本 不等式，
a
2
?b
2
?a?b?b?a,

a3
?b
3
?c
3
?a
2
?b?b
2< br>?c?c
2
?a?a?ab?b?bc?c?ca?a?bc?b?ac?c?ab?3 abc.

例22 在△ABC中，试证：
?
3
?
aA? bB?cC
a?b?c
?
?
2
.

可构造△ABC的边和角的序列，应用排序不等式来证明之.
不妨设
a?b?c
，于是
A?B?C.
由排序不等式，得
aA?bB?cC?aA?bB?cC,
aA?bB?cC?bA?cB?aC,

aA?bB?cC?cA?aB?bC.
相加，得
3(aA?bB ?cC)?(a?b?c)(A?B?C)?
?
(a?b?c)
，得
aA?b B?cC
?
a?b?c
?
3
又由
0?b?c?a,0?a? b?c,0?a?c?b,

有
0?A(b?c?a)?C(a?b?c)?B(a? c?b)?a(B?C?A)?b(A?C?B)?c(A?B?C)
?a(
?
?2A )?b(
?
?2B)?c(
?
?3C)?(a?b?c)
?
?2(aA?bB?cC).

得
aA?bB?cC
a?b?c
?
?
2
.
②
由①、②得原不等式成立.
例23 设
b
a
1
n< br>1
,b
2
,
?
,b
n
是正数
a1
,a
2
,
?
,a
n
的一个排列，求证
b
?
a
2
???
a
?n
.

1
b
2
b
n
应注意到
a
1
i< br>?
a
?
1(i
?
1,2,
?
,n)

i
【略证】 不妨设
a
1
?a
2
???a
n
，因为
a
1
,a
2
,
?
,a
n
都大于0. 所以有
1
a
?
1
???
1
，
1
a
2
a
n
又
11111
b
,,
?
,
b
是
,,
?
,
1
的任意一个 排列，于是得到
1
b
2n
a
1
a
2
a< br>n
n?a
1
1
?
a
?a
11111
2
?
a
???a
n
??a
1
??a
2???a
n
b
.

12
a
n
b
1
b
2n

例24 设正数
a,b,c
的乘积
abc?1
，试证：
(a?1?
1
)(b?1?
11
bc
)(c?1?
a
)?1.

10
①



【思路分析】
【详解】









【思路分析】

【略解】 设
a?
xyz
,b?,c?
，这里
x,y,z
都是正数，
yzx
则原需证明的不等式化为
(x?y?z)(y?z?x)(z?x?y)?xy z,显然x?y?z,y?z?x,z?x?y

中最多只有一个非负数.若
x?y? z,y?z?x,z?x?y
中恰有一个非正数，则此时结论显然成立.若
x?y?z,y?z ?x,z?x?y
均为正数，则
x,y,z
是某三角形的三边长.
容易验证
(x?y?z)(y?z?x)(z?x?y)?


1< br>2
[(x(y?z?x)?y
2
(z?x?y)?z
2
(x? y?z)].

3
故得
(x?y?z)(y?z?x)(z?x?y)?xyz.

【评述】 利用上述换元的方法可解决同类的问题.见下题：设正数
a
、
b< br>、
c
的乘积
abc?1,

证明
1113
???.

222
a(b?c)b(c?a)c(a?b)
2

111
x
2
y
2
z
2
3
证明：设
a?,b?,c ?,则xyz?1
，且所需证明的不等式可化为
???
，
xyz
y ?zz?xx?y2
现不妨设
x?y?z
，则
xyz
??
，
y?zz?xx?y
xyz
x
2
y
2
z
2
?z??x??y?
据排序不等式 得
??
y?zz?xx?y
y?zz?xx?y

xyz
x< br>2
y
2
z
2
?y??z??x?
及
??
y?zz?xx?y
y?zz?xx?y

x
2
y
2
z
2
两式相加并化简可得
2(??)
?x?y?z? 3
3
xyz?3.

y?zz?xx?y
（4）切比雪夫不等式：
若
a
1
?a
2
???a
n
，则
b
1
?b
2
???b
n
，
a
1
b
1
?a
2
b
2
???a
n
b
n< br>a
1
?a
2
???a
n
b
1
?b< br>2
???b
n
??.

nnn




证明：由题设和排序不等式，有
a
1
b
1
?a< br>2
b
2
???a
n
b
n
=
a
1
b
1
?a
2
b
2
???a
n
b
n
，
a
1
b
1
?a
2
b2
???a
n
b
n
?a
1
b
2
?a
2
b
3
???a
n
b
1
，?? < br>a
1
b
1
?a
2
b
2
???an
b
n
?a
1
b
n
?a
2
b
1
???a
n
b
n?1
.

将上述n个不等式叠加后，两边同除以n
2
，即得欲证的不等式.

11