高中数学竞赛知识点整理

不等式块


1．排序不等式（又称排序原理）





设有两个有序数组
a
1
?a
2
???a
n
及
b
1
?b
2
???b
n
.

则
a
1
b
1
? a
2
b
2
???a
n
b
n
（同序和） < br>?a
1
b
j1
?a
2
b
j2
??? a
n
b
jn
（乱序和）
?a
1
b
n?a
2
b
n?1
???a
n
b
1
（逆 序和）
其中
j
1
,j
2
,?,j
n
是1 ，2，…，n的任一排列.当且仅当
a
1
?a
2
???a
n
或
b
1
?b
2
???b
n
时等号（对任一 排列
j
1
,j
2
,?,j
n
）成立.
2．应用排序不等式可证明“平均不等式”：
设有n个正数
a
1
,a
2
,?,a
n
的算术平均数和几何平均数分别是

A
n
?


a
1
?a
2
???a
n
和G
n
?
n
a
1
a
2
?a
n

n
此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到 < br>H
n
?
n
111
????
a
1
a< br>2
a
n
，


和平方平均（在统计学及误差分析中用到）
Q
n
?
22
a
1
2
?a
2
???a
n
*
这四个平 均值有以下关系
H
n
?G
n
?A
n
?Q
n
. ○
n
3．应用算术平均数——几何平均数不等式，可用来证明下述重要不等式.


柯西（Cavchy）不等式：设
a
1
、
a< br>2
、
a
3
，…，
a
n
是任意实数，则 2222
(a
1
b
1
?a
2
b
2???a
n
b
n
)
2
?(a
1
2?a
2
???a
n
)(b
1
2
?b
2
???b
n
).

等号当且仅当
b
i
?k a
i
(k
为常数，
i?1,2,?,n)
时成立.
4．利用排序不等式还可证明下述重要不等式.
切比雪夫不等式：若
a
1
?a
2
???a
n
，
b
1
?b
2
???b
n
，
高中数学

则< br>a
1
b
1
?a
2
b
2
???an
b
n
a
1
?a
2
???a
n
b
1
?b
2
???b
n
??.

nnn

例题讲解
1．
a,b,c?0,
求证：
ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc.








a?b?c
3
2．
a,b,c? 0
，求证：
abc?(abc)








abc
.

a
2
?b
2
b
2
?c
2
c
2
?a
2
a
3
b
3
c
3
?????.

3．：
a,b,c?R,求证a?b?c?
2c2a2bbccaab
?







*
4．设
a
1
,a
2
,?,a
n
?N
，且各不相同 ，
高中数学

求证：
1?????



1
2
1
3
1aa
3
a
n
?a
1
?
2
????.
.
222
n 23n
5．利用基本不等式证明
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca.






< br>6．已知
a?b?1,a,b?0,
求证：
a?b?
44
1< br>.

8






7．利用排序不等式证明
G
n
?A
n








8．证明：对于任意正整数R，有
(1?


高中数学
1
n
1
n?1
)?(1?).

nn?1

111< br>9．n为正整数，证明：
n[(1?n)?1]?1??????n?(n?1)n
n? 1
.

23n



1
n
?1
例题答案：
1. 证明：
?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc

?a(b< br>2
?c
2
?2bc)?b(a
2
?c
2
?2 ac)?c(a
2
?b
2
?2ab)

?a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)
222

?0

?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc.

评述：（1）本 题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解
或配方时，往往采用轮换技巧. 再如证明
a?b?c?ab?bc?ca
时，可将
a?b

2222 2
1
?(ab?bc?ca)
配方为
[(a?b)
2
?(b ?c)
2
?(c?a)
2
]
，亦可利用
a
2
?b
2
?2ab,

2
b
2
?c
2?2bc,c
2
?a
2
?2ca
，3式相加证明.（2）本题亦 可连用两次基本不等式
获证.

2.分析：显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法.
不等式关于
a, b,c
对称，不妨
a?b?c,则a?b,b?c,a?c?R
，且
?
ab
,
，
bc
a
都大于等于1.
c
a
a
b
b
c
c

a?b?c< br>3
?a
2a?b?c
3
b
2b?a?c
3
c
2c?a?b
3
?a
a?b
3
?a
a?c
3
?b
b?a
3
?b
b?c
3
?c
c?a
3
?c
c?b
3
(abc)

a?b
3< br>a
?()
b
b
?()
c
b?c
3
a
?()
c
a?c
3
?1.
评述：（1）证明对称不等式时，不妨假定
n
个字母的大小顺序，可方便解题.
（2）本题可作如下推广：若
a
i
?0(i?1,2,?,n),则a
11
a
2
2
?a
n
aaa
n
?

高中数学

a
1
?a
2
?? ?a
n
n
(a
1
a
2
?a
n
).

abba
（3）本题还可用其他方法得证。因
ab?ab
，同 理
b
b
c
c
?b
c
c
b
,cc
a
a
?c
a
a
c
，
另
abc?abc
，4式相乘即得证.
（4）设
a?b?c?0 ,则lga?lgb?lgc.
例3等价于
alga?blgb?algb?blga,
类似例4
可证
alga?blgb?clgc?algb?blgc?clga?algc? blgb?clga.
事实上，一般地
有排序不等式（排序原理）：
设有两个有序 数组
a
1
?a
2
???a
n
,b
1
?b
2
???b
n
，则
a
1
b
1
?a
2
b
2
???a
n
b
n
（顺
abcabc
序和）
?a
1
b
j
1
?a
2
b
j
2
???a
n
b
j
n
（ 乱序和）
?a
1
b
n
?a
1
b
n?1< br>???a
n
b
1
（逆序和）
其中
j
1,j
2
,?,j
n
是1,2,?,n
的任一排列.当且仅当a
1
?a
2
???a
n
或
b
1
?b
2
???b
n
时等号成立.
排序不等式应用较为广泛（其证 明略），它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序
数组的积的形式.如
a,b,c?R< br>?
时,a
3
?b
3
?c
3
?a
2< br>b?b
2
c?c
2
a?a
2
?a?b
2?b?c
2
?c

a
2
b
2
c
2
111111
?a?b?b?c?c?a;???a?b?c?a
2
?? b
2
??c
2
??a
2
??b
2
??c< br>2
?
bcabcaabc
.
3.思路分析：中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明.
22 2
111111
??
，则
a
2
??b
2
? ?c
2
?
（乱序和）
cbacab
111111
?a
2
??b
2
??c
2
?
（逆序和），同理
a2
??b
2
??c
2
?
（乱序和）
abcca b
111
?a
2
??b
2
??c
2
?（逆序和）两式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数
abc
111
333
??
组
a?b?c及
，仿上可证第二个不等式.
bcacab
不妨设
a?b?c,则a?b?c,
222
4.分析 ：不等式右边各项
a
i
1
?a?
；可理解为两数之积，尝试用排序不 等式.
i
22
ii
设
b
1
,b
2
,?,b
n
是a
1
,a
2
,?,a
n
的 重新排列，满足
b
1
?b
2
???b
n
，
又
1?
111
????.

222
23n
高中数学

a
n
b
n
a
2
a
3
b
2
b
3
.由于
b
1
,b
2
,?b
n
是互不相同的正整< br>?????b?????
1
22222
n
2323n
b
3
b
n
b
11
数，故
b
1
?1,b2
?2,?,b
n
?n.
从而
b
1
?
2
，原式得证.
?????1????
222
2n
23n
所以
a
1
?
评述：排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本不等式，< br>a?b?a?b?b?a,

22
a
3
?b
3
?c
3
?a
2
?b?b
2
?c?c
2
? a?a?ab?b?bc?c?ca?a?bc?b?ac?c?ab?3abc.

5.思路 分析：左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换的方
．．
法.
a
2
?b
2
?2ab,同理b
2
?c
3< br>?2bc,c
2
?a
2
?2ca
；三式相加再除以2即得证.
评述：（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.
< br>2
2
x
n
x
1
2
x
2
如< br>?????x
1
?x
2
???x
n
，可在不等式两边 同时加上
x
2
x
3
x
1
x
2
?x
3
???x
n
?x
1
.

再如证
(a?1)(b?1)(a?c)(b?c)?256abc(a,b,c?0)
时，可连续使用基本 不
33223
等式.
a?b
2
a
2
?b
2
)?
（2）基本不等式有各种变式 如
(
等.但其本质特征不等式两边的 次数及
22
系数是相等的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1.
6. 思路分析：不等式左边是
a
、
b
的4次式，右边为常数
式呢.


要证
a?b?
44
1
，如何也转化为
a
、
b
的4次
8
11
,
即证
a
4
?b
4
?(a?b)
4
.

88
33评述：（1）本题方法具有一定的普遍性.如已知
x
1
?x
2
? x
3
?1,x
i
?0,
求证：
x
1
?x< br>2

1
1
1
3
3
x
1
x< br>2
?x
2
x
3
求证：
?x
3
?.
右侧的可理解为
(x
1
?x
2
?x
3
).
再如已知
x
1
?x
2
?x
3
?0
，
3
3
3
2
+
x
3
x
1
?0
，此处可以把0理解为
(x
1
?x
2
?x
3< br>)
，当然本题另有简使证法.
3
8
（2）基本不等式实际上是均值 不等式的特例.（一般地，对于
n
个正数
a
1
,a
2
,?a
n
)

调和平均
H
n
?
n
111
????
a
1
a
2
a
n

高中数学

几何平均
G
n
?
n
a
1
?a
2
?a
n

算术平均
A
n
?
a
1
?a
2
???a
n

n
22
a
1
2
?a
2
???a
n

2
平方平均
Q
n
?
这四个平均值有以下关系：< br>H
n
?G
n
?A
n
?Q
n
，其中等 号当且仅当
a
1
?a
2
???a
n
时成立.
7. 证明: 令
b
i
?
a
i
,(i?1,2, ?,n)
则
b
1
b
2
?b
n
?1
，故可取
x
1
,x
2
,?x
n
?0
，使得
G
n
b
1
?

xx
x
1
x
,b
2
?
2
,?,b
n?1
?
n?1< br>,b
n
?
n
由排序不等式有：
x
2
x3
x
n
x
1
b
1
?b
2
?? ?b
n

=
x
x
1
x
2
????
n
（乱序和）
x
2
x
3
x
1

?x
1
?
111
?x
2
????x
n
?
（逆序和）
x
1
x
2
x
n
=n，

?
aa?a
2
???a
n
a
1
a
2
????
n
?n,即
1
?G
n
.

G
n
G
n
G
n
n
评述:对
11 1
,,?,
各数利用算术平均大于等于几何平均即可得，
G
n
?A< br>n
.
a
1
a
2
a
n
1
n
1
)?1?
，故可设法使其左边转化为n个数的几何
nn?1
8. 分析:原不等式等价于
n?1
(1?
平均，而右边为其算术平均.

n?1
11111n?21

(1?)
n
?(1?)?(1 ?)?1?(1?)?(1?)?1??1?.
n?1
nnnnnn?1n?1
??? ???????????
n个
n?1
评述:（1）利用均值不等式证明不等式的关键 是通过分拆和转化，使其两边与均值不等
式形式相近.类似可证
(1?
1
n? 1
1
n?2
)?(1?).

nn?1
（2）本题亦可通过逐项展开并比较对应项的大小而获证，但较繁.
高中数学

9.证明:先证左边不等式



111
?????(1?n)?1?
23n
111
1?? ????n
1
23n

?

(1?n)
n
?

n
111
(1?1)?(?1) ?(?1)???(?1)
1
23n

?(1?n)
n
?< br>n
34n?1
2?????
23n
?
n
1?n?(* )

n
n[(1?n)?1]?1?
2?
1
n
1< br>n
1?
111
????
23n

n

34n?1
????
23n
?
n
2?
3
?
4
???
n?1
?
n
n?1.

n23n



?
（*）式成立，故原左边不等式成立.
其次证右边不等式
?
111
1??????n?(n?1)?n
n?1

23n
1

?n
1
?
n?1
n?(1?< br>?
111111
????)(1?)?(1?)???(1?)
23n
?
n?1
1
?
23n

n?1nn?1
12n?1
????
1
n
（**）
?

n?1
?
23
nn?1





（**）式恰符合均值不等式，故原不等式右边不等号成立.
高中数学