高中数学教材教学顺序的改变对学生认知的影响-江苏常熟中学

从高中数学教材的调整分析学生的解题行为
邹雪芳
苏教版《普通高中课程标准实验教科书--数学》（以下简称《标准》）已推行多年，笔者在一线教学< br>中体会到，《标准》的改动不仅对教师的课堂行为产生了深远的影响，对学生知识结构的影响也逐步显现。笔者在本文中试图从教材中的几处改动来分析学生的解题行为，从而对导致学生解题中出现问题的
深层次原因进行阐述。
在苏教版《标准》必修1关于函数的第二章中，发生变化最大的就是函数与映 射的处理方式，从“先
讲映射再讲函数”转变为“先讲函数再讲映射”，课标对于这部分内容，规定“从 具体实例，体会函数
概念的本质”，学生直接进入函数学习，不必花大量时间和精力去学习映射、掌握映 射与函数间的关系
后才去理解函数概念，遵循学生从具体到抽象的认知规律，映射概念作为函数概念的推 广淡化了。《标
准》必修2的立体几何的结构体系与以往相比，发生了重大改变，以往的立体几何，是从 研究构成空间
几何体的基本要素：点、直线和平面开始，讲述平面及其基本性质，点、直线、平面之间位 置关系和有
关公理、定理，再研究由它们组成的几何体，包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、台、球的结构特 征、体积、
表面积等等，基本上按照从局部到整体，从抽象到具体的原则。现在，先从对空间几何体的整 体感受入
手，把直观感知、观察发现柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征编排在前，归纳出空间中 线面平
行、垂直的判定和性质编排在后。这样安排降低了立体几何学习入门的门槛，适当降低了几何论证 的难
度。下面就这两部分教学内容的调整来谈谈对学生解题的影响。
一、关于函数与映射 < br>函数是中学数学乃至整个数学的一个核心概念，从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系
统学习开始的。函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义。函数概念是中学生感到最难学的
数 学概念之一。
1.1映射概念顺序及要求的调整
原来的教材是先讲映射的概念，要求较高， 映射，单射，满射等都要教，教师讲得也比较透，之后
再讲特殊的函数，从一般到特殊，学生对函数的理 解比较透彻。现行的《标准》必修1第二章前三节介
绍函数的概念和图像，表示方法，性质，第四章介绍 映射，教材的这种安排顺序是本着“从具体到抽象，
从简单到复杂，从特殊到一般”的原则，符合学生认 知规律。“函数的概念及图像”中三个例题是分别
通过表格，解析式，图像三种不同的形式让学生从具体 实例中抽象出概念的本质特征，让学生充分感受
“函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型”，实现 课标的要求。而且，三个实例都是比较直观的，
符合初中函数定义的，这样高中阶段的教学就可以与学生 初中已有知识经验很好地衔接，这样做学生容
易接受，符合刚升入高中的学生的思维特点，接着再学习2 .1.2函数的表示方法，2.1.3函数的性质，
掌握函数之后，再推广到映射，所以教材在函数学习 结束后安排了2.1.4“映射的概念”，教材对于本
节的要求是：1.了解映射的概念。在讲解映射的 概念时应指出，映射是函数概念的一般扩展（将数集扩
展到任意元素的集合），函数是一类特殊的映射。 2.关于映射中象与原象的概念，以及映射的分类，一
般不要涉及。
基于以上两点要求，中学 教师在进行本节映射的概念教学时，以笔者所在中学（江苏省四星级高中）
为例，所用课时基本在1-1 .5，专题训练量就是一天的作业（14题左右），然后就结束本节教学，从思
想上和教学行为上均淡化 了对映射教学的要求，当然，这样的淡化一方面是由于课时不允许，另一方面
是教师认为关于映射的很多 题目不会考查了，学生可以不需要掌握，所以浅尝辄止。
1.2对学生解题行为的统计
映射 概念教学的淡化对学生理解函数是否有影响？笔者设计了一份调查问卷，对本校随机抽取的
100名高三 学生进行了一些调查，下面列举几题：
1.（1）是否存在一个函数，使得不为0的每一个数对应自身 的平方，而0对应1？若存在，试写出
解析式；若不存在，说明理由。（2）是否存在一个函数，使有理 数对应1，无理数对应0？若存在，试
写出解析式；若不存在，说明理由。

2.请你说说映射与函数的关系。
其中第1题的（1）有36%的学生认为题 中所给的对应不是函数，错误回答主要有：①不存在，一个
函数是有独特性的，具有同一性质；②不存在 ，写不出表达式；③不存在，0的平方是0；④存在，有
一定规律。（2）有42%的同学给出错误回答 如：①不存在，只能表示点，不能表示线，不是函数；②不
存在，图像是不连续的点；③不存在，不是曲 线；④不存在，y只有一个
x
对应。
第2题仅有9%的同学正确说出了映射与函数的 关系，学生的错误理解有：认为映射是特殊的函数；
认为映射可以不是单值对应；认为函数是解析式，映 射是图像；认为函数应该连续的，而映射可以不连
续；认为映射是函数值；认为映射就是箭头图，认为映 射是函数的一种表达形式，还有8%的同学不知道
两者是什么关系。
3.已知函数
y
=
f
(
x
)的定义域为[1,2]，则函数
y
=< br>f
(
x
+1)的定义域是 。
此题错误率约42%，这个问 题学生从高一学习函数开始就一直混淆，到高三也没有搞清楚的学生大
有人在，学生产生疑惑的地方是问 题中定义域指的是
x
的取值范围还是
x
+1的取值范围，与学生不理解
函数的本质有很大关系。
4.已知集合
M
={1，2，3}，
N
={1，2，3，4，5}，定义函数
f
:
M
→
N
；若 点
A
（1，
f
(1)），
B
（2，
f
(2 )），
C
(3，
f
(3))，为三角形的三个顶点且满足
AB
=
BC
，则满足条件的函数有 个。
此题正确率仅17%，事实上，解 决此题只需要把条件“三角形三个顶点
A
,
B
,
C
满足AB
=
BC
”转化为
“
f
(1)=
f
(3),
f
(1)≠
f
(2)”，然后结合函数的概念，即元素1和3对应的 像相同，1与2对应的像不同，
一种对应就是一个函数，从而得出满足条件的函数应该有5×4=20个 ，学生普遍反映题目的意思难以理
解，对这种有限数集的对应关系表示函数模糊不清导致不理解，因此不 知道怎样的函数才是一个符合条
件的函数，导致不能顺利解决问题。
1.3对学生解题行为的分析
建构主义认为：“学习是学习者主动地建构内部心理表征的过程 。学习不是知识由教师向学生的传
递，而是学生建构自己的理解的过程。人脑并不是被动地接受和记录输 入的信息，而是主动地建构对信
息的理解，学习者以已有认知结构为基础，对信息进行主动选择、推理、 判断，从而建构起关于事物及
其过程的表征”。由于学生平时所接触的大部分函数是基本初等函数，是连 续函数，是可以写出解析式
和作出图像的，所以多数学生脑中自己构建的函数并不是教师教的正确的函数 概念，而是具体的，形象
的。从以上的数据和事实可以看到，学生一旦遇到抽象的，离散型的函数，他们 在处理上就显得非常陌
生，非常不习惯，没有解析式，不知道怎么画图像，不理解对应法则，无从下手， 解题出现困难。华师
大汪晓勤老师，任明俊老师曾经通过研究发现，函数概念历史发展过程中认识论障碍 也会成为今天课堂
上学生的认知障碍，比如函数的单值性、对应的任意性等，所以，如果映射的概念淡化 了，那么这些难
点对于学生来说会变得更难，多数学生对于函数的理解往往会停留于比较肤浅的表面，难 以达到对函数
对应法则的深刻理解，加上学生平时训练的重点是基本初等函数或者简单的复合函数，很少 碰到抽象函
数，定义域是有限数集的函数等等，映射在学生学习新课时是蜻蜓点水般地提提，课后也没有 一定量的
练习来巩固，因此，随着学习内容的增多，学生对于映射的本质概念就慢慢模糊，而对于函数的 理解也
慢慢地剩下了解析式、图像、定义域、值域、单调性、奇偶性等这些对具体函数的性质研究，平时 题目
中一直会做到的东西，对应法则这个本质却渐渐淡了。
所以，教师在思想上和教学行为上 淡化映射的概念，从学生应试角度看问题不大，但若从学生解题
难点去深究其因的话，就是对映射的不理 解。学生在这方面可以说是经不起一丝考验，因为对映射的极
度不理解，学生对函数本质的理解就像空中 楼阁，基础不够坚固，稍微摇一摇，就倒塌了。
二、关于立体几何
立体几何是高中数学的重 要内容，主要研究几何体的形状，大小和位置关系，包括柱、锥、台、球
及其简单几何体的结构特征，根 据公式，计算球、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台的表面积和体
积，在对空间几何体有整体认识的 基础上，研究构成空间几何体的点、直线、平面等要素以及线线关系，
线面关系，面面关系。
2.1立体几何教学顺序及要求的调整
《标准》必修2的“空间几何体”这部分内容主要是要 求学生能通过直观感知、操作确认的方式认

识人类生存的现实空间，通过空间图形，培养 和发展学生的空间想象能力。然后在“点、直线、平面之
间的位置关系”中，通过直观感知、操作确认先 认识它们之间的位置关系，再归纳关于平面、平行的一
些公理，并且运用已获得的结论证明一些空间位置 关系的简单命题，培养学生的推理论证能力、运用图
形语言进行交流的能力以及几何直观能力。在立体几 何第一章中的教学中，教材把直观感知、观察发现
柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征编排在前， 归纳出空间中线线，线面，面面平行、垂直的判
定和性质编排在后，这是与旧立体几何教材的重要区别。 传统立体几何的内容安排是严格按照公理化体
系进行的，知识间的逻辑关系非常明确，这种顺序教师教起 来简单，学生学起来困难。现在教材是按照
学生的认知规律来编排内容的，解决了原来“高门槛”的问题 ，把对事物的感性认知作为理论研究的基
础，让学生接受起来很容易，使学生经历更为科学地获取知识的 过程，符合“高立意，低起点”的课程
理念。与此同时，教材在几何推理证明方面的教学要求大大降低了 ，削弱了以演绎推理为主要形式的定
理证明，很多线面关系，面面关系只要求通过直观感知、操作确认的 方式归纳得出，不进行推理证明，
减少了定理的数量，删去了大量的几何证明题，淡化了几何证明的技巧 。
这样的改动也导致了课时的变化，立体几何内容教材上安排了18课时，笔者在实际教学中感到课< br>时很紧张，对教学内容和教学顺序也感到很困惑，原因主要是，这部分内容从教学课时，教学理念到对学生的具体要求上都发生了根本性的改变，老师们必须要舍弃很多原有的东西不讲，有些内容要降低要
求，而这些内容不讲是否会影响到学生对点线面关系的空间感觉，是导致老师在处理立体几何这部分内
容的时候非常纠结的原因，但是紧张的课时是绝对不允许像原来那样细细讲解的，那怎样才能在最短的
时 间达到最好的教学效果？在应试体制下，教学行为往往都有浓厚的功利色彩，高考就是最好的指挥棒，
因 此教师们往往把重心都放在对空间位置关系的论证上，即利用几何体作为载体进行线面平行，线面垂
直， 面面平行，面面垂直的判定和证明上，其它内容如证明三点共线，四点共面问题，作截面，作交线
问题等 都是浅尝辄止，纯粹的抽象的几何论证基本没有了，简单几何体的结构特征也不多做研究。

2.2对学生解题行为的统计及分析
对立体几何的教学，从空间几何体到点线面的位置关系，是一个直 观感知到推理思辨论证的渐进过
程，教师们这样被迫急功近利的应试教学对学生自然也产生了影响。例如 下面两题：
1、如图，
ABEDFC
为多面体，平面
ABED
⊥平 面
ACFD
，点
O
在线段
AD
上，
OA
= 1,
OD
=2，△
OAB
、△
OAC
、
F
△
ODE
、△
ODF
都是正三角形，证明：
BC
∥
EF

学生的常见错误解法是：延长线段
EB
，
FC
相交 于点
G
，
C
然后根据条件证得
OC
∥
FD
，
OC
=
A D
同理可得
B
是
EG
的中点，所以
BC
∥
EF
。
O
问题出在学生想当然地认为
BE
与
FC是相交的，没有去证明四点共面且相交。
B

E
2.在四棱锥P
-
ABCD
中,底面
ABCD
为平行四边形，设平面
PAB
与平面
PCD
的交线为
l
，试判断直线
CD
与直线
l
是否平行，若是，请加以证明，若不是，请说明理由。
这是高三学生平时的 一道测试题，此题对学生来讲有一定的困难，一个班级中有36%的学生判断错
误或者判断正确但给不出 证明，证明出来的学生基本上都添上了交线
l
，有部分同学甚至把平面
PAB
与
平面
PCD
补成了平行四边形的形状，那样有利于他看出线面关系从而找到证明方法 。这种结果表示学生
对于“平面是无限延展的”，“两个平面只要有一个公共点，它们就有一条经过这个 点的公共直线”这
P

些公理的空间形式是不够熟悉的，否则的话，可以很容易得到证明：
∵底面
ABCD
为平行四边形，∴
AB
∥
CD

A

∵
AB
在平面
PAB
内，
CD
在平面
PAB
外，∴
CD
∥平面
PAB

D

又∵
CD
在平面
PCD
内，平面
PA B
与平面
PCD
的交线为
l
B

∴
CD
∥直线
l

C

而在另一次限时训 练中把题目中条件“底面
ABCD
为平行四边形”改为“底面
ABCD
为梯形 ，满足
AB
∥
CD
”后，错误率高达67%。
这两题都不是难题， 何以学生错误率如此之高？学习一开始，学生就通过努力观察构建自己的表象。
表象是人思想中事物的形 象，如人从金字塔、帐篷的形象概括出一般锥体的感觉就是表象。学生表象思
维的形成是一个逐步产生、 发展的自我构建过程，随着学习的深入，学生需要对表象进行加工、补充、
1
FD
，从 而得到
C
是
FG
的中点，
2

修改、调整、 积累、提炼，才能真正建构起正确完整的表象，达到认知结构的平衡，形成良好的图式。
这是一个漫长的 过程，不是18课时就可以完成的，所以笔者认为这与教学进度和教学内容有很大关系，
学生容易接受直 观的几何体，却难以理解抽象的逻辑证明，教学的功利性为学生的“凭感觉，不严谨”
埋下了隐患，学生 立体几何的逻辑思维受到影响，对于点线面的位置关系感觉很差，只停留在简单几何
体的点线面关系，基 本上只会证明，判断线面平行，线面垂直，面面平行等问题，对教师平时一直训练
的证明线线平行，面面 垂直实际已经出现困难，（如以上第2题），体现在条件写不完整，没有空间感觉，
找不到对应直线等等 ，而对于第1题没有证明四点共面更是反映出学生逻辑思维的不严密，解题时想当
然，凭感觉，这与他们 一开始没有经历，没有感受严格的公理体系的证明，没有花时间去研究立体几何
的作图问题有关系。所以 教师的教学行为的改变是使学生知识结构不完整而导致解题发生错误的深层次
原因，怎样的教学就会有怎 样的教学效果。
教材上还有一些内容如轨迹问题，空间直角坐标系等等都有一些调整改动，都会对学生 的解题思维
产生影响。作为一线数学教师，都希望把每一部分内容都讲透讲扎实，让学生慢慢消化吸收， 而教学课
时和进度是绝对不允许的，鱼和熊掌不可兼得。于是，教师应试教学，学生只会做题；教师不应 试教学，
成绩上不去。教材内容及要求的调整引起的教师教学理念、教学侧重点、教学方式等的改变确确 实实影
响着学生，影响着学生的解题行为，影响着学生的知识结构和对数学的理解。
（本文发表于2013年12期《数学之友》）