高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)

一,向量重要结论
（1）、向量的数量积定义：
a?b?|a||b|cos
?
规定
0?a?0
，
a?a?a
2
?|a|
2
< br>（2）、向量夹角公式：
a
与
b
的夹角为
?
，则cos
?
?
a?b

|a||b|
（3）、向量共线的 充要条件：
b
与非零向量
a
共线
?
存在惟一的
?< br>?R
，使
b?
?
a
。
（4）、两向量平行的充要条 件：向量
a?(x
1
,y
1
)
,
b?(x
2
,y
2
)
平行
?
x
1
y
2?x
2
y
1
?0

（5）、两向量垂直的充要条件：向 量
a?b?a?b?0
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

（6）、向量不等式：
|a|?|b|?|a? b|
，
|a||b|?|a?b|

（7）、向量的坐标运算：向量
a?(x
1
,y
1
)
,
b?(x
2
,y< br>2
)
，则
a?b?
x
1
x
2
?y< br>1
y
2

（8）、向量的投影：︱
b
︱cos
?
=
a?b
∈R，称为向量
b
在
a
方向上的投影 投影的绝对值称为
|a|
射影
（9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等
向量：长度相等且方向相同的向量。
??
?
（10）、零向量：长度为0的向量，记为
0
，其方向是任意的，
0
与任意向量平行零向量
a
＝
?
?
且规定
0
平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）
0
?
｜
a
｜＝0 由 于
0
的方向是任意的，
的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0 的区别）
??
（11）、单位向量：模为1个单位长度的向量 向量
a
0
为单位向量
?
｜
a
0
｜＝1 < br>（12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同
?
?
一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作
a
∥
b
由于向量可以进行任意的平移(即
自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为 共线向量
注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
??
（1） 给出直线 的方向向量
u?
?
1,k
?
或
u?
?
m, n
?
，要会求出直线的斜率；
（2）给出
OA?OB
与
A B
相交,等于已知
OA?OB
过
AB
的中点;
?
（3）给出
PM?PN?0
,等于已知
P
是
MN
的中点;
（4）给出
AP?AQ?
?
BP?BQ
,等于已知
P,Q< br>与
AB
的中点三点共线;
（5）给出以下情形之一：①
??
ABAC
；②存在实数
?
,使AB?
?
AC
；③若存在实数
?
,
?
,且
?
?
?
?1,使OC?
?
OA?
?
OB
,等于已知
A,B,C
三点共线.
（6） 给出
OP?
OA?
?
OB
，等于已知
P< br>是
AB
的定比分点，
?
为定比，即
AP?
?
PB

1?
?
（7） 给出
MA?MB?0
,等于已知MA?MB
,即
?AMB
是直角,给出
MA?MB?m?0
,等 于
已知
?AMB
是钝角, 给出
MA?MB?m?0
,等于已知
?AMB
是锐角。
??
?
MAMB
?
（8）给出
?
?
?
?
?M P
,等于已知
MP
是
?AMB
的平分线
?
MAM B
?
??
（9）在平行四边形
ABCD
中，给出
(AB?A D)?(AB?AD)?0
，等于已知
ABCD
是菱形;
1

（10） 在平行四边形
ABCD
中，给出
|AB ?AD|?|AB?AD|
，等于已知
ABCD
是矩形;
（11）在
?ABC
中，给出
OA?OB?OC
，等于已知
O
是
?A BC
的外心（三角形外接圆的圆
心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12） 在
?ABC
中，给出
OA?OB?OC?0
，等于已知< br>O
是
?ABC
的重心（三角形的重心是
三角形三条中线的交点）； < br>（13）在
?ABC
中，给出
OA?OB?OB?OC?OC?OA
， 等于已知
O
是
?ABC
的垂心（三角
形的垂心是三角形三条高的交点 ）；
（14）在
?ABC
中，给出
OP?OA?
?
(222
ABAC

?)
(
?
?R
?
)
等于已知
AP
通过
?ABC
的内心；
|AB||AC|（15）在
?ABC
中，给出
a?OA?b?OB?c?OC?0,
等于 已知
O
是
?ABC
的内心（三角形内切圆
的圆心，三角形的内心是三 角形三条角平分线的交点）；
1
（16） 在
?ABC
中，给出
A D?AB?AC
,等于已知
AD
是
?ABC
中
BC
边的中线。
2
??
?
（17）如果
e
1
,e2
是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量
a
，有且只有< br>??
?????
一对实数
?
1
,
?
2
使：
a?
?
1
e
1
?
?
2
e< br>2
，其中不共线的向量
e
1
,e
2
叫做表示这一平面 内所有向量的一
组基底
（18）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合） ，而向量平行则包括共线
（重合）的情况
（19）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点 、终点的具体位置无关，只与其相对位置有
关
（20）1.结合律不成立：
a?b?c?a?b?c
；
2.消去律不成立
a?b?a?c
不能得到
b?c?

?? ??
3.
a?b
=0不能得到
a
=
0
或
b
=
0


题型1.基本概念判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是
AB?CD
。
（5）若
AB?CD
，则A、B、C、D四点构成平行四边形。
（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。
（7）若
a
与
b
共线，
b
与
c
共线，则
a
与
c
共线。
（8）若
ma?mb
，则
a?b
。
2

（9）若
ma?na
，则
m?n
。 （10）若
a
与
b
不共线，则
a
与
b
都不是零向量。
（11）若
a?b?|a|?|b|
，则
ab
。
（12）若
|a?b|?|a?b|
，则
a?b
。
题型2.向量的加减运算
1.设
a
表示“向东走8km”,
b
表示“向北走6km”,则
|a?b|?
。
2.化简
(AB?MB)?(BO?BC)?OM?
。 3.已知
|OA|?5
,
|OB|?3
,则
|AB|
的 最大值和最小值分别为 、 。
4.已知
AC为AB与AD
的和向 量，且
AC?a,BD?b
，则
AB?
，
AD?
。
5.已知点C在线段AB上，且
AC?
3< br>5
AB
,则
AC?

BC
，
AB?

BC
。
题型3.向量的数乘运算
1.计算：（1）
3(a?b)?2(a?b)?
（2）
2(2a?5b?3c)?3(?2a?3b?2c)?

2.已知
a ?(1,?4),b?(?3,8)
，则
3a?
1
2
b?
。
题型4.作图法球向量的和
已知向量
a,b
，如下图，请做出向量3a?
1
2
b
和
2a?
3
2
b
。
a

b

题型5.根据图形由已知向量求未知向量
1.已知在
?ABC
中，
D
是
BC
的中点，请用向量
AB，AC
表示
AD
。
2.在平行四边形
ABCD
中，已知
AC?a,BD?b
，求
AB和AD
。

题型6.向量的坐标运算
1.已知
AB?(4 ,5)
，
A(2,3)
，则点
B
的坐标是 。
2.已知
PQ?(?3,?5)
，
P(3,7)
，则点
Q
的坐标是 。
3.若物体受三个力
F
1
?(1,2)
,
F
2
?(?2,3)
,
F
3
?(?1,?4)
,则合力的坐标为 。
3

4.已知
a?(?3,4)
，
b?(5,2)，求
a?b
，
a?b
，
3a?2b
。
5.已知
A(1,2),B(3,2)
,向量
a?(x?2,x?3y?2)与
AB
相等，求
x,y
的值。
6.已知
AB?(2, 3)
，
BC?(m,n)
，
CD?(?1,4)
，则
DA?
。
7.已知
O
是坐标原点，
A (2,?1),B(?4,8)
，且
AB?3BC?0
，求
OC
的坐 标。


题型7.判断两个向量能否作为一组基底
1.已知
e< br>1
,e
2
是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底： A.
e
1
?e
2
和e
1
?e
2
B.
3e
1
?2e
2
和4e
2
?6e1
C.
e
1
?3e
2
和e
2
? 3e
1
D.
e
2
和e
2
?e
1

2.已知
a?(3,4)
，能与
a
构成基底的是（ ）
A.
(
3443344
5
,
5
)
B.
(
5
,
5
)
C.
(?
5
,?
5
)
D.
(?1,?
3
)

题型8.结合三角函数求向量坐标
1.已知
O
是坐标原点，点
A
在第二象限，
|OA|?2
，
?xOA?150
，求
OA
的坐标。
2.已知
O
是 原点，点
A
在第一象限，
|OA|?43
，
?xOA?60
，求
OA
的坐标。


题型9.求数量积
1.已知|a|?3,|b|?4
，且
a
与
b
的夹角为
60，求（1）
a?b
，（2）
a?(a?b)
，
（3）
(a?
1
2
b)?b
，（4）
(2a?b)?(a?3b)
。


2.已知
a?(2,?6),b?(?8,10)
，求（1 ）
|a|,|b|
，（2）
a?b
，（3）
a?(2a?b)
，
（4）
(2a?b)?(a?3b)
。


题型10.求向量的夹角
1.已知
|a|?8,|b|?3
，
a? b?12
，求
a
与
b
的夹角。
2.已知
a?(3 ,1),b?(?23,2)
，求
a
与
b
的夹角。
4

3.已知
A(1,0)
，
B(0,1)
，
C(2,5)
，求
cos?BAC
。
题型11.求向量的模
1.已知
|a|?3,|b|?4
，且
a< br>与
b
的夹角为
60
，求（1）
|a?b|
，（2）< br>|2a?3b|
。


2.已知
a?(2,?6),b?( ?8,10)
，求（1）
|a|,|b|
，（5）
|a?b|
，（6 ）
|a?
1
2
b|
。


3.已知|a|?1，|b|?2
，
|3a?2b|?3
，求
|3a?b|
。


题型12.求单位向量 【与
a
平行的单位向量：
e??
a
|a|
】
1.与
a?(12,5)
平行的单位向量是 。
2.与
m?(?1,
1
2
)
平行的单位向量是 。
题型13.向量的平行与垂直
1.已知
a?(6,2)
，
b? (?3,m)
，当
m
为何值时，（1）
ab
？（2）
a?b
？


2.已知
a?(1,2)
，
b?(?3, 2)
，（1）
k
为何值时，向量
ka?b
与
a?3b
垂直？
（2）
k
为何值时，向量
ka?b
与
a?3b< br>平行？


3.已知
a
是非零向量，
a?b?a? c
，且
b?c
，求证：
a?(b?c)
。


题型14.三点共线问题
1.已知
A(0,?2)
，
B(2,2)
，
C(3,4)
，求证：
A,B,C
三点共线。



5

2.设
AB?


2
(a?5b),BC??2a?8b,CD?3(a?b)
，求证：A、B、D
三点共线。
2
3.已知
AB?a?2b,BC??5a?6 b,CD?7a?2b
，则一定共线的三点是 。
4.已知
A(1,? 3)
，
B(8,?1)
，若点
C(2a?1,a?2)
在直线
AB
上，求
a
的值。


A?tOBO?C
5 .已知四个点的坐标
O(0,0)
，
A(3,4)
，
B(?1,2)
，
C(1,1)
，是否存在常数
t
，使
O
成
立？


题型15.判断多边形的形状
1.若
AB?3e，
CD??5e
，且
|AD|?|BC|
,则四边形的形状是 。
2.已知
A(1,0)
，
B(4,3)
，
C(2,4)
，
D(0,2)
，证明四边形
ABCD
是梯形。


3.已知
A(?2,1)
，
B(6,?3)
，
C (0,5)
，求证：
?ABC
是直角三角形。


4.在 平面直角坐标系内，
OA?(?1,8),OB?(?4,1),OC?(1,3)
,求证：< br>?ABC
是等腰直角三角形。


题型16.平面向量的综合应用
1.已知
a?(1,0)
，
b?(2,1)
，当
k
为何值时，向量
ka?b
与
a?3b
平行？
2.已知
a? (3,5)
，且
a?b
，
|b|?2
，求
b
的坐标 。
3.已知
a与b
同向，
b?(1,2)
，则
a?b?1 0
，求
a
的坐标。
3.已知
a?(1,2)
，
b ?(3,1)
，
c?(5,4)
，则
c?

a?

b
。
4.已知
a?(5,10)
，
b?(?3,?4)
，
c?(5,0)
，请将用向量
a,b
表示向量
c
。



6

< br>5.已知
a?(m,3)
，
b?(2,?1)
，（1）若
a< br>与
b
的夹角为钝角，求
m
的范围；
（2）若
a
与
b
的夹角为锐角，求
m
的范围。 < br>6.已知
a?(6,2)
，
b?(?3,m)
，当
m
为何值时，（1）
a
与
b
的夹角为钝角？（2）
a
与
b
的夹角
为锐角？


7.已知梯形
ABCD
的顶点坐标分别为
A(?1,2)
，
B(3,4)
，
D(2,1)< br>，且
ABDC
，
AB?2CD
，
求点
C
的坐 标。


8.已知平行四边形
ABCD
的三个顶点的坐标分别为< br>A(2,1)
，
B(?1,3)
，
C(3,4)
，求第四个顶 点
D
的坐标。


9.一航船以5kmh的速度向垂直于对岸方向 行驶，航船实际航行方向与水流方向成
30
角，求
水流速度与船的实际速度。
10.已知
?ABC
三个顶点的坐标分别为
A(3,4)
，
B(0 ,0)
，
C(c,0)
，
（1）若
AB?AC?0
，求< br>c
的值；（2）若
c?5
，求
sinA
的值。


【备用】
1.已知
|a|?3,|b|?4,|a?b|?5
， 求
|a?b|
和向量
a,b
的夹角。
2.已知
x?a?b
，
y?2a?b
，且
|a|?|b|?1
，
a?b
，求
x,y
的夹角的余弦。
1.已知
a?(1,3),b?(?2,?1)
，则
(3a?2b)?(2a?5b)?
65 。
4.已知 两向量
a?(3,4),b?(2,?1)
，求当
a?xb与a?b
垂直时的 x的值。
5.已知两向量
a?(1,3),b?(2,
?
)
，a与b
的夹角
?
为锐角，求
?
的范围。
变式：若a?(
?
,2),b?(?3,5)
，
a与b
的夹角
?
为钝角，求
?
的取值范围。
选择、填空题的特殊方法：
1.特例法
例：《全品》P27：4。因为M,N在AB,AC上的任意位置都成立，所以取 特殊情况，即M,N与B,C
重合时，可以得到
m?n?1
，
?m?n?2< br>。
7

2.代入验证法
例：已知向量
a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,?2)
，则
c?
（ D ）
A.
?
13
2
a?
2
b
B.
?
1
2
a?
33131
2
b
C.
2
a?
2
b
D.
?
2
a?
2
b

变式：已知
a?(1 ,2),b?(?1,3),c?(?1,2)
，请用
a,b
表示
c
。
解：设
c?xa?yb
，则
(?1,2)?x(1,2)?y(?1,3 )

即：
(?1,2)?(x,2x)?(?y,3y)?(x?y,2x?3y)

??1?x?y且2?2x?3y
，即：
?x?y??1且2x?3y?2

解得：
?x?
4
5
，y?
949
5
，
?c?
5
a?
5
b

3.排除法
例：已知M是
?ABC
的重心，则下列向量与
AB
共线的是（ D ）
A.
AM?MB?BC
B.
3AM?AC
C.
AB?BC?AC
D.
AM?BM?CM
解：观察前三个选项都不与
AB
共线，所以选D。
8