人教版高中数学必修4第三章单元测试(一)- Word版含答案

2018-2019学年必修四第三章训练卷







三角恒等变换（一）


号
位
注意事项：
座

封

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并



将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。



2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目



密

的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。



3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。



号
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
不
场
考
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。



一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选



项中，只有一项是符合题目要求的)

订



1．
sin15?cos45??sin75?sin45?
的值为（ ）





A．
1
2
B．
?
1
3
D．
?
3

2
C．
2

2


装

号
2．若函 数
f
证
?
x
?
?sin
2
x?
1
2
?
x?R
?
，则
f
?
x
?是（ ）
考
准
A．最小正周期为
?

2
的奇函数
只



B．最小正周期为
?
的奇函数




C．最小正周期为
2?
的偶函数



D．最小正周期为
?
的偶函数
卷




名
3．已知
?
?
?
?
?
姓
?2
,?
?
?
?
，
sin
?
?
3
5
，则
tan
?
?
?
?
?
?< br>?
4
?
?
等于（ ）



A．
1
此

7
B．7 C．
?
1
7
D．
?7





4．函数
f
?
x
?
?sinx?3cosx?
x?
?
???0
?
?
的单调递增区间是（ ）





级
A．
?
5
?
?
????
6
?
?
?
?
B．
?
5?
?
?
?
?
6
???
6
?
?

班


C．
?
?
?
?
?
?
3
,0
?
?
D．
?
?
?
?
?
6
,0
?
?
?

5．化简：
sin
?
60??
?
?
?cos120?sin
?
cos
?
的结果为（ ）
A．1 B．
3
2
C．
3
D．
tan
?
6．若
f
?
sinx
?
?3?cos2x
，则
f
?
cosx
?
等于（ ）
A．
3?cos2x
B．
3?sin2x
C．
3?cos2x
D．
3?sin2x

7．若函数
f
?
x
?
＝sin
?
?
?
?
??
x?
??
?
3
?
?
?asin
?< br>?
x?
6
?
?
的一条对称轴方程为
x?
2< br>，则
a
等于
（ ）
A．1 B．
3
C．2 D．3
8．函数
y?
1
2
sin2x?sin
2
x
，
x?R
的值域是（ ）
A．
?
13
?
?
?
?
2
,
?
B．
?
?
2
?
1
,
2
?
1
?
2
?

?
?
2222
?

?
C．
?
31
?
2
?
?
?
2
,
?
2
?
?
D．
?
??
1
,
2
?
1
?
?
2222
?

?
9．若
3sin< br>?
?cos
?
，则
cos2
?
?sin2
?
的值等于（ ）
A．
?
7
5
B．
7
5
C．
?
3
D．
3
5
5

10．已知
3cos
?
2< br>?
?
?
?
?5cos
?
?0
，则
t an
?
?
?
?
?
tan
?
的值为（ ）
A．
?4
B．4 C．
?4
D．1
11．若cos
?
3
?
2
?
5
，
sin
2
??
4
5
，则角
?
的终边所在的直线方程为（ ）
A．
7x?24y?0
B．
7x?24y?0

C．
24x?7y?0
D．
24x?7y?0

12． 使奇函数
f
?
x
?
?sin
?
2x?
?< br>?
?3cos
?
2x?
?
?
在
?
?
?
?
?
?
4
,0
?
?
上为减函数 的
?
的值为
（ ）
A．
?
?
3
B．
?
???
6
C．
6
D．
??
3

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横
线上） ?
??
13．函数
f
?
x
?
?sin
2
?
2x?
?
的最小正周期是______．
4
??18．（12分）已知函数
f
?
x
?
?2cosxsinx?2 3cos
2
x?3
．
（1）求函数
f
?
x
?
的最小正周期；
（2）求 函数
f
?
x
?
的最大值和最小值及相应的
x
的值；
（3）求函数
f
?
x
?
的单调增区间．





























14．已知< br>sin
?
cos
?
?1
，则
sin
?
?
?
?
?
?
________．
?11
15． 若
0?
?
??
?
??
，且
cos
?
??
，
sin
?
?
?
?
?
?
， 则
cos
?
?
________．
233
16．函数y?sin
?
x?10?
?
?cos
?
x?40??
，
?
x?R
?
的最大值是________．

三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤) < br>?
?
5
?
17．（10分）已知
sin
?
?
?
?
??
，
?
?
?
0,?
?．
25
??
?
???
3?
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
2< br>???
2
?
的值； （1）求
sin
?
??
?
?
?cos
?
3??
?
?
3?
??（2）求
cos
?
2
?
?
?
的值．
4
??

3x3x
?
xx
????
??
?
19．（12分）已知向量
a?
?
cos,sin
?
，b?
?
cos,?sin
?
，且
x?
?
?,< br>?
．
22
?
22
????
34
?
uuuvuuuv
20．（12分）已知
△ABC
的内角
B
满足2cos2B?8cosB?5?0
，若
BC?a
，
CA?b
且
a
，
b
满足：
a?b??9
，
a?3
，< br>b?5
，
?
为
a
，
b
的夹角．
（1）求角
B
；
（2）求
sin
?
B?
?
?
．






























（1）求
a?b
及
a?b
；
（2）若
f
?
x
?
?a?b?a?b
，求
f
?
x
?< br>的最大值和最小值．

21．（12分）已知向量m??1,cos
?
x?3sin
?
x
，
n?
?
f
?
x
?
,cos
?
x
?
，其 中
?
?0
，
且
m?n
，又函数
f
?
x
?
的图象任意两相邻对称轴的间距为
（1）求
?
的值；
?
??
sin
?
?
?
?
?
?
2 3
4
?
?
3
?
（2）设
?
是第一象限角， 且
f
?
?
?
?
?
，求的值．
2
?
26
cos
?
4??2
?
?
?
2
??
11
?
?
?
22．（12分）已知函数
f
?
x
?
?sin2xsin
?
?cos
2
xcos< br>?
?sin
?
?
?
?
?
0?
???
?
，
22
?
2
?
?
?1
?
其图象过点
?
,
?
．
?
62
?
3?
．
2
（1）求
?
的值；
（2）将函数
y?f
?x
?
的图象上各点的横坐标缩短到原来的
1
，纵坐标不变，得到
2



























?
?
?
函数
y?g
?
x
?
的图象，求函数
g
?< br>x
?
在
?
0,
?
上的最大值和最小值．
?
4
?

2018-2019学年必修四第三章训练卷

三角恒等变换（一）答 案
一、选择题
1．【答案】B
【解析】
sin15?cos45??sin 75?sin45?=sin15?cos45??cos15?sin45?

?sin?
15??45?
?
?sin
?
?30?
?
? ?
1
2
，故选B．
2．【答案】D
【解析】
f
?
x
?
?sin
2
x?
1
2
?
1< br>2
?
2sin
2
x?1
?
??
1
2
cos2x
，
∴
T?
2?
2
??
，f
?
x
?
为偶函数．故选D．
3．【答案】A
【解 析】∵
?
?
?
?
?
34
?
2
,?
?
?
?
，
sin
?
?
5
，∴cos
?
??
5
，
1?
3
tan
?
?
sin
?
3
?
?
?
1?tan
?
cos
?
??
4
．∴
tan
?
?
?
?
4
?
?
?
1?tan
?
?
4
?
1
．故选A．
1?
3
7
4
4．【答案】D
【解析】
f
?
x
?
?sinx?3cosx?2sin
?
?
?
?
?
x?
3
?
?
．
令
2k??
?
2
?x?
?
3
?2k??
?
2
?
k?Z
?
，
得
2k??
?
6
?x?2k??< br>??
6
?
k?Z
?
，
令
k?0
得
?
?
6
?x?
??
6
．
由此可得
?
?
?
?
?
6
,0
?
?
?符合题意．故选D．
5．【答案】B

sin60?cos
?
?cos60?sin
?
?
1
sin
?
【解析】原式?
2
cos
?
?
sin60?cos
?
3cos
?
?sin60??
2
．
故选B．
6．【答案】C
【解析】
f
?
sinx
?
?3? (1?2sin
2
x)?2?2sin
2
x
，
∴
f
?
x
?
?2x
2
?2
， < br>∴
f
?
cosx
?
?2cos
2
x?2?1 ?cos 2x?2?3?cos 2x
．故选C．
7．【答案】B
【解析】f
?
x
?
?sin
?
?
?
x?
?
??
?
??
?
??
?
?
3
?
?
?asin
?
?
6
?x
?
?
? sin
?
?
x?
3
?
?
?acos
??
3
?x
?
?

?1?a
2
sin< br>?
?
?
?
?
x?
3
?
?
?
?
，
∴
f
?
?
?
?
?
2
?
?
?sin
5?
6
?asin
?
3< br>?
3
2
a?
1
2
?1?a
2
．
解得
a?3
．故选B．
8．【答案】B
【解析】
y?< br>111?cos2x1cos2
2
sin2x?sin
2
x?
2
sin2x?
x1
2
?
2
sin2x?
2
?
2

?
2
2
sin
?
?
?< br>2x?
?
?
1
4
?
?
?
2
，
∵
x?R
，∴
?1?sin
?
?
?
?
?
2x?
4
?
?
?1
，
∴
y?
?
?
?
2
?
1
,
2
?
1
?
?
2222
?
．故选B．
?
9．【答案】B
【解析】∵
3sin
?
?cos
?
，∴
tan?
?
1
3
．
cos2
?
?sin2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2sin
?
cos
?
?
cos
2
?
?2sin
?< br>cos
?
?sin
2
?
cos
2
?
?sin
2
?

1
1?2tan
?
?tan
2
1?2??
1
?
?
39
1?tan
2
?
??
7
．故选B．
1?
1
5

9

10．【答案】C
【解析】
3co s
?
2
?
?
?
?
?5cos
?

?3cos
?
?
?
?
?
cos
?
?3sin
?
?
?
?
?
sin
?
?5co s
?
?
?
?
?
cos
?
?5sin
?
?
?
?
?
sin
?
?0
，
∴
2sin
?
?
?
?
?
sin
?
??8cos
?
?
?
?
?
cos
?
， < br>∴
tan
?
?
?
?
?
tan
???4
．故选C．
11．【答案】D
2tan
?
?
8
【解析】
cos
?
2
?
3
5
，
sin
?
2
??
4
5
，
tan
?
2
??
4
3
，∴
tan
?
?
2
?
3
?
24
．
1?tan
2
?
16
7
2
1?
9
∴角
?
的终边在直线
24x?7y? 0
上．故选D．
12．【答案】D
【解析】∵
f
?
x< br>?
为奇函数，∴
f
?
0
?
?sin
?
?3cos
?
?0
．
∴
tan
?
??3
．∴
?
?k??
?
3
，
?
k?Z
?．
∴
f
?
x
?
?2sin
?
??
2x?
?
?
?
?
3
?
?
? ?2sin2x
．
∵
f
?
x
?
在
??
?
?
?
4
,0
?
?
?
上为 减函数，
∴
f
?
x
?
??2sin2x
，∴?
?
??
3
．故选D．

二、填空题
13．【答案】
?
2

【解析】∵
f
?
x
?
?
1?
2
?
?
1?cos
?
?
?
4x?
?
?
?
2
?
?
?
?
?
11
2??
2
?
2
sin4x
，∴
T?
4
?
2
．
14．【答案】1
【解析】∵
sin
?
cos
?
?1
，
∴
sin
?
?cos
?
?1
，或
sin
?< br>?cos
?
??1
，
∴
cos
?
?sin
?
?0
．
∴
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos< br>?
?cos
?
sin
?
?sin
?
cos< br>?
?1
．

15．【答案】
42
9
【解析】
cos
?
??
1
22
3
，
s in
?
?
3
，
sin
?
?
?
?
?
?
1
2
3
，
cos
?
?
?
?
?
??
2
3
，
故
cos
?
?cos
?
?
?
?
?
?
?
?< br>?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
cos
?
?sin
?
?
?
?
?
sin< br>?

?
?
?
22
?
?
?
? ?
1
?
22142
?
3
?
?
?
?
?
?
3
?
?
?
3
?
3
?
9
．
16．【答案】1
【解析】令
x?10??
?，则
x?40??
?
?30?
，
∴
y?sin
?
?cos
?
?
?30?
?

?sin
?
?cos
?
cos?30??sin
?
sin30?
< br>?
1
2
sin
?
?
3
2
cos?

=sin
?
?
?60?
?
．
∴
y
max
?1
．

三、解答题
17 ．【答案】（1）
?
1
3
；（2）
?
2
10
．
【解析】（1）
sin
?
?
?
?
?
?
?
2
?
?
??
5
5
，
?
?
?
0,?
?
?cos
?
??
5
5，
?
?
?
0,?
?
?sin
?
?25
5
．
sin
?
?
?
??
3?< br>?
?
?
?
2
?
?
?cos
?
?
2
?
?
?
?
sin
?
??
?
?
?cos
?
3??
?
?
?
?cos?
?sin
?
sin
?
?cos
?
??
1
3
．
（2）∵
cos
?
??
5
5< br>，
sin
?
?
254
3
5
?sin2
?
??
5
，
cos2
?
??
5
．
cos
?
?
3?
?
222
?
2
?
?
4
?
?
??
2
cos2
?
?
2
sin2
?
??
10
．

< br>18．【答案】（1）
?
；（2）见解析；（3）
?
???
?
?
k??
12
,k??
?
12
?
?
?
k?Z
?
．
【解析】（1）原式
?sin2x?3cos2x ?2
?
?
1
?
sin2x?
3
cos2x
?
?2sin
?
2x?
?
?
?
22
??
?
?
?
3
?
?
．
∴函数
f
?
x
?
的最小正周期为
?
． < br>（2）当
2x?
???
3
=2k??
2
，即
x?k??
12
?
k?Z
?
时，
f
?
x< br>?
有最大值为2．
当
2x?
?
3
=2k??
?
2
，即
x?k??
5?
12
?
k?Z
?
时，
f
?
x
?
有最小值为
?2
． （3）要使
f
?
x
?
递增，必须使
2k??
?
2
?2x?
?
3
?2k??
?
2
?
k?Z
?
，
解得
k??
??
12
?x?k??
?
12
?
k?Z
?
．
∴函数f(x)的递增区间 为
?
???
?
?
k??
?
12
,k??< br>12
?
?
?
k?Z
?
．
19．【答案】（ 1）
cos2x
，
2cosx
；（2）
?1
，
?< br>3
2
．
【解析】（1）
a?b=cos
3x
2cos
x
2
?sin
3xx
2
sin
2
?cos2x
，
a?b=
?
?
?
cos
3x< br>2
?cos
x
?
2
2
?
?
?
?
?
?
sin
3x
2
?sin
x
?2
2
?
?
=2?2cos2x?2cosx
，
∵x?
?
??
?
?
?
3
,
?
4
?
?
，∴
cosx?0
，
∴
a?b=2cosx
．
2
（2）
f
?
x
?
?cos2x?2cosx?2cos
2
x?2cosx?1?2
?
?
1
?
3
?
cosx?
2
?
?
?
2
．
∵
x?
?
??
?
?< br>?
3
,
?
4
?
?
．∴
1
2
?cosx?1
，
∴当
cosx?
1
2
时，f
?
x
?
取得最小值
?
3
2
；当cosx?1
时，
f
?
x
?
取得最大值
?1< br>．
20．【答案】（1）
60?
；（2）
4?33
10
． < br>【解析】（1）
2
?
2cos
2
B?1
?
? 8cosB?5?0
，即
4cos
2
B?8cosB?3?0
，得< br>cosB?
1
2
．

又
B
为
△ABC
的内角，∴
B?60?
．
（2）∵
cos
?
?
a?b
a?b
??
3
5
，∴
sin
?
?
4
5
．
∴
sin
?
B?
?
?
?sinBcos
?
?cosB sin
?
?
4?33
10
．
21．【答案】（1）
1
13
3
；（2）
?
2
14
．
【解析】（1）由题意，得
m?n?0
，
∴
f
?
x
?
?cos
?
?
?
cos
?
x?3si n
?
x
?
?
1?cos2
?
x3sin2
?
x
?
?
?
1
2
?
2
?sin< br>?
?
2
?
x?
6
?
?
?
2
．
根据题意知，函数
f
?
x
?
的最小正周期为3?
．
又
?
?0
，所以
?
?
1
3
． < br>（2）由（1）知
f
?
x
?
?sin
?
?< br>?
?
1
?
2
?
x?
6
?
?
?
2
，
所以
f
?
?
3
?
2
?
?
?
?
?
2
?
?
?sin
?
?
?
?
?
?
2
?
?
?
1
2
?cos
?
?
1
2
?
23< br>26
．
解得
cos
?
?
5
13
．
因为
?
是第一象限角，故
sin
?
?
12
13
．
sin
?
?
?
?
?
?
所 以
?
4
?
?
sin
?
?
?
??
?
?
2
sin
?
?
2
cos
?
2132
cos
?
4??2
?
?
?
?
4
?
cos2
?
?
22
cos
2
?
?sin
2
?
?
2
?
cos
?
?sin
?
?
??
14
．
22．【答案】（1）
?
3
；（2）
1
2
，
?
1
4
． < br>【解析】（1）因为
f
?
x
?
?
1
2
sin2xsin
?
?cos
2
xcos
?
?
1
?
?
?
2
sin
?
?
2
?
?
?
?
?
0?
?
??
?
，
所 以
f
?
x
?
?
11?cos2x
2
sin 2xsin
?
?
1
2
cos
?
?
2
cos
?

?
1
2
sin2xsin
?
?
1
2
cos2xcos
?

?
1
2?
sin2xsin
?
?cos2xcos
?
?

1
?cos
?
2x?
?
?
．
2
?
?1
?
又函数图象过点
?
,
?
，
?< br>62
?
所以
11?
??
?cos
?
2??< br>?
?
，
226
??
?
?
?
即cos
?
?
?
?
?1
，
?
3
?
又
0?
?
??
，所以
?
?
?
．
3
1?
??
（2）由（1）知
f
?
x
?
?cos
?
2x?
?
，
23
??
将函 数
y?f
?
x
?
的图象上各点的横坐标缩短到原来的
1，纵坐标不变，
2
1?
??
得到函数
y?g
?
x
?
的图象，可知
g
?
x
?
?f
?2x
?
?cos
?
4x?
?
，
23
??
?
?
?
因为
x?
?
0,
?
， 所以
4x?
?
0,?
?
，
?
4
?
因此
4x?
?
?
???
?
??,
?
，
3
?
?
33
?
1?
??
故
??c os
?
4x?
?
?1
．
23
??
11< br>?
?
?
所以
y?g
?
x
?
在
?
0,
?
上的最大值和最小值分别为和
?
．
24
?
4
?