高中数学必修一必修四知识点总结

于x的二次方程
yf ( x)



22
0 ，则在 时，由于 x, y 为实数，故必须有b ( y)
4a( y) c( y)a( y) x0 ，b( y) x c( y)
a( y) 0



从而确定函数的值域或最值．


④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最
值．


⑤换元 法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易
的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为
三 角函数的最值问题．

⑥反函数法：利用函数和
它的反函数的定义域与值域的互逆关 系确定函数
的值域或最值．

⑦数形结合法：利用函数图象或
几何方法确定函数的值域或最值．

⑧函数的单调
性法．


【1.2.2 】函数的表示法

（5）函数的表示方法

表
示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法
三种．

< br>解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对
应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量 之
间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量
之间的对应关系．

（6）映射的概念

①设 A 、 B 是两个集合，如果按照某种对应法则，
对于集合A中任何一个元素，在集合
B 中 f




都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括
集合A ， B 以及 A 到 B 的对应法则 ）叫做
f




集合 A 到 B 的映射，记作
f : A．
B




b
对应，那么我们把元和元素 ．如果元素a②给定
一个集合 A 到集合 B 的映射，且
B A, b a



素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原
象． 〖 1.3 〗函数的基本性质 【 1.3.1 】单
调性与最大（小）值

（1）函数的单调性①定

义及判定方法

函数的

图象
判定方法
定义


质 性





第 -5-页共27页

（1）利用定义如果对于属于定义域



（I 内某个区间上的任2）利用已知函



yy=f(X)
、意两个自变量的值 x数的单调性


1
（3时，都有x, 当 x< x ）利用函数图
)f(x


221
．．．



2
象（在某个区间，那么就)

21
)f(x
．．．．．．．．．



图


在这个区间上说 f(x)

o

1
12
x
象上升为增）是增函数．
xx


（4）利用复合函．．．



数函数的



（1单调性）利用定义



如果对于属于定义域


（2）利用已知函


内某
个区间上的任I


数的单调性
y=f(X)y

、意两个自

变量的值 x


1
（3）利用函数图

时，都有x，当 x
< x

)f(x

221

象（在某个区间
．．．



)f(x
，那么
1
2
就)>f(x f(x )


图
21

o

．．．．．．．．．


在这个区间上说 f(x) 象下降为减）
x
x x



（4）
21
利用复合函是减函数．



．．．


数



②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两
个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函 数为

增函数，减函数减去一个增函数为减函数．



为增，则，若为增，③对于复合函数，令
为增； y u
y
f [ g(x)] f (u) u g( x) g ( x) y
f [ g( x)]




若为减，则为减，为增；若为增，为减，则
g( x) y
g( x) f (u) y y
f (u) u u f [ g( x)]




为增，则为减；若为减，
为减．y
u
y
g (x) f [ g( x)] yf (u)
f [ g( x)]

a

(a 0)
y


）打“√”函数2（
xf ( x)
的图象与性质

x


、分别在
(f ( x) ,a ]


[
a ,
)

上为增函数，分别

上为减函数．、在

a] a,0) (0,
[

）最大（小）值定义（3


o
x
，如果存在的定义域为I①一般地，设函数
f ( x)
y





实数 M 满足：（1）对于任意的 ，都有 ；
f ( x)
Mx I



M．那么，我们称 f ( x ) M 2）存在 ，使
得（
Ix


00
( x)f是函数的最大值，记作．M
f ( x)


max
，如果存在实数 m ②一般地，设函数的定义
域为满足：（ ）对于任意的 ，都有
I y f (x) x


I1



；（2）存在，使得f ( x) m．那么，我们称的最小
值，记作 m 是函数
f (x) m I x f ( x)

00


第 -6-页共27页

f (x) m ．


max
【1.3.2 】奇偶性



（4）函数的奇偶性



①定义及判定方法



函数的

图象判定方法
定义


性 质


如果对于函数 f(x) 定（ 1）利用定义

，都义域内任意一个 x（要先判断定义


f(x) , 那有 f( －x)= －
域是否关于原
点

．．．．．．．．．．．

叫做奇函 f(x) 么函数
对
称）

．．

（ 2）利用图象
数．


．（图象关于原点



函数的对称）


定f(x) 奇偶性如果对于函数（ 1）利用定义


，都义域内任意一个 x（要先判断定义


x)= f(x) , 那么有 f( －
域是否关于原
点

．．．．．．．．．．
f(x)
对称）
函数


叫做

（ 2）利用图象
函
偶


．．

（图象关于 y 轴
数．


．对称）



②若函数为奇函数，且在处有定义，则
f (0) x
f (x) 0
．
0



③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同，
偶函数在
y 轴两侧相对称的区间增减性相反．



④在公共定义域内，两个偶函数 （或奇函数）的和

（或差）仍是偶函数（或奇函数） ，两个偶函数
（或奇函数 ）的积（或商）是偶函数，一个偶函数
与一个奇函数的积（或商）是奇函数．

〖补充知
识〗函数的图象


（1）作图

利用描点法作图：

①确定函数的定义
域；②化解函数解析式；

③讨论函数的性质（奇
偶性、单调性） ；
④画出函数的图象．

利用基本
函数图象的变换作图：


要准确记忆一次函数、二次函 数、反比例函数、指
数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本
初等函数的图象．



①平移变换


左移
hh 0,
个单
上移
位个单位
kk 0,
ky f ( x h) y f ( x)y f ( x)



y f (x)
0,h|k 0,k|
个单位个单位 | 右移 | 下移

h


②伸缩变换

伸

1,0

y f ( x)

f ( x)y

缩


1,


缩
0
A 1,

y Af ( x)
yf ( x)

伸


A 1,



③对称变换

第 -7-页共27页




轴轴

xy



直线原点


f ( x)y

yf (x)yf ( x)yf (x)


f ( x)
y
1
( x)f f ( x)f ( x)yyy
y x



y
轴左边图 去掉
y f ( x)

象


y f (| x |)

轴对称图
f ( x)y
y
轴右边图象，并
作其关保留

y

象
于

）识图（2




轴上方图象保留

x
| f ( x) |y



x
轴下方图象翻折上去将





对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分
别范围、 变化趋势、对称性等方面研究函数的定义
域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析
式中 参数的关系．


（3）用图


函数图象形象地显示 了函数的性质，为研究数量关
系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，
获得问题结果 的重要工具．要重视数形结合解题的
思想方法．

第二章基本初等函数 ( Ⅰ)

〖 2.1 〗指数函数
【 2.1.1 】指数与指数幂的运算


（1）根式的概念



1，且，那么叫做的次方根．当①如果,,,是奇数时，
的

n
xaxnanna a R x R n
n N



nn
次方根用符号
次方根用n次方根用符 号表示，
负的n是偶数时，正数a的正的n表示；当

a a


n
表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．符
n叫做 根指数，a叫做被开
号
a



n
②式子叫做根式，这里
方数．当n为奇数时，a为任意实数；
a


当 n 为偶数时， ．
0 a



nnnn
a 时 ，数当 n 为 奇 ③根 式 的 性
质 ：； a ； 当 n 为 偶 数 时 ，
a)
( a



a(a0)


a
| a |
．
nn




a0)(a



（2）分数指数幂的概念




且, 的正分数指数幂等．①正数的正分数指

数幂的意义是：,0,
m
(
m n

n

0aaam nN
1)n



于 0．




mm
mnn
(a))
a
N , 且 ．0的负分数②正数的负分数指数幂的意义
是：0, m, n(11
n1)
(


n

aa



指数幂没有意义．注意口诀： 底数取倒数，指数
取相反数．


（3）分数指数幂的运算性质



rrsrsr ss
)
rRbabaab



②① a (a (a 0, r , s R)( aaaa0,r , s R)



r
(
) (③0,)0,
r

r
【2.1.2 】指数函数及其性质



第 -8-页共27页





（4）指数函数



函数名称指数函数

x
(a 0 a且 定义函数 y

叫做指数函数a
1)



a 10 a
1





xx
y
a
yya
y




图象


y 1y 1
(0,1)


(0,1)
O
x
O

x



定义域R



值域
(0, )



图象过定点，即当时，．过定点
y 1 (0,1) 0
奇偶性非奇非偶



在 R 上是增函数在 R 上是减函数单调性

xx
a a1(x 0)1 ( x 0)



xx
函数值的
a a1(x 0)1 ( x 0)


变化情况

xx
a
a11 ( x 0)(x 0)



x

a 变化对图象的

在第一象限内， a 越大图象越高；
在第二象限内， a 越大图象越低．

影响






〖 2.2 〗对数函数 【 2.2.1 】对数与对数运算


（1）对数的定义


x
N
N x a 为底 的对数，记作0, N ( a 且a 1)，
则 x ①若 a叫做以
a 叫做底数，log N ，其中

a


叫做真数．


②负数和零没有对数．


x
1, NN ( a log ③对数式与指数式的互化：x
Na0,a
．0)

a


）几个重要的对数恒等式（2


b
1， ，log 1 0 log a
alog
．
b

aaa


）常用对数与自然对数（3



）．,；自然对数：，即常用对数：logN，即（其中
lg
N e
2.71828 ln N log N

e10



，那么如果 4（）对数的运算性质
0a0, a 0, N 1,M

页 第-9-页共27





①加法： log M log N②减法： ( MN )log
log
Mlog N log M

aaaaaa


N



logNn



a
④ M③数乘： n log (nlog M R)
N
aa



b


a
n
n
log log N)log 0,(
⑥换底公式：⑤
N log
且 b 1)nMb

b

a

(b 0,RaMa

log ab


b


【 2.2.2 】对数函数及其性质


（5）对数函数

函数


对数函数


名称



log x(a 0 且 叫做对数函数 y函数定义
a1)

a


0 a11a



11xx



y log xy log xyy


aa



图象

(1,0)

O
(1, 0)
x

O
x

定义域
(0,)



值域R



图象过定点，即当时，．过定点
0 (1,0) y x 1



非奇非偶奇偶性



在上是增函数在上是减函数单调性
) (0,) (0,



log xlog x0(x(x1)1)0


aa


函数值的


log log x1)0(xx0(x1)

aa


变化情况



log log x1)(0xx0x 1)0(0


aa


a 变化对在第一象限内， a 越大图象越靠低；在
第四象限内，a 越大图象越的图象


靠高．影响



反函数的概念(6)



C
，从式子，值域为的定义域为A中解出设函数x，
得式子．如果
y f ( x) ( y) yf ( x) x



C
中的任何一个值，通过式子对于 y 在，x在A
中都有唯一确定的值和它对应，那么式
( y) x



1
，习惯( y) f x叫做函数的函数，函数是子表示
xy的反函数，记作
y xf (x) ( y) ( y) x





第-10-页共27页

1
． y f ( x) 上改写成



( y) f x中反解出①确定反函数的定义域，即原
( y) 改写成 y f，并注明反函数的定义
）反函数的求法（ 7



1
；
函数的值域；②从原函数式
y f ( x)


11
( x) f
域． x③将



（8）反函数的性质

1
y的图象关于直线与反函数y f( x)①原函数x
y f(x)的值域、
对称．
y f ( x)



1
的定义域、值域分别是其反函数
定义域．②函数
f ( x) y



1'
的图象上，则P(b, a)在反函数y f(x)的图象
上．在原函数③若
f ( x) yP( a, b)




④一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．
f
(x) y





〖 2.3 〗幂函数

（1）幂函数的定义


为自变量，叫做幂函数，其中x 一般地，函数
是常
数．x y




（2）幂函数的图象




（3）幂函数的性质

①图象分布：幂函数图象分布
在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是
偶函数时，图象分

布在第一、二象限 ( 图象关于 y 轴对称 ) ；是
奇函数时，图象分布在第一、三象限
图象关于原点
对(



称) ；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．



第 -11-页共27页






②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都
通过点．
(1,1) (0,)



，则幂函数的图象过原点，并且在，则幂函数上为
增函数．如果③单调性：如果
0 [0,0 )



上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与
y 的图象在轴．
) (0,



q
（其中 p,q当 ④奇偶性：当当为偶数时，幂函
数为偶函数．为奇数时，幂函数为奇函数，


p




q q
pp
为偶数时，则q是奇函数，若p为奇
数为奇数时，则为奇数q和 ），若p互质， p
y x
x
yqZ

q
p
q 为奇数时，则是偶函数，若 p 为
偶数
y
是非奇非偶函数．
x




) ，当时，若，其图象在直线yx 下方，若⑤图象
特征： 幂函数 y ，x , x (0,
1 0 x11 x


x 上方，当x ，其图象在直线 y上方，若时，若
其图象在直线 y ，其图象在直
1 0xx 11


下方．线 y x



〖补充知识〗二次函数



（1）二次函数解析式的三种形式



22
h)ax0) f ( x) a(x③两根式：0) ②顶点式： f
(x)①一般式：k(abx c(a



xf ( x) a( x x)( x )( a0)


21



（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标
时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与
对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点
式．



③若已知抛物线与 x 轴有两个交点，且横线坐标
已知时，选用两根式求更方便．
f ( x)



）二次函数图象的性质3（



2
ax0) 的图象是一条抛物线，对称轴方程为①二次

函数 f (x)顶点坐标是bx c(a
, bx


2a



2
4ac bb
,
．
) (




4a2a


b
b
时，上递减，在
b [ ]
,
上递增，当②当时，抛物
线开口向上，函数在
x0 ) a( ,


2a2a2a



b
2
上递增，在
[ ] b
,
上递减，；当时，抛物线开口
向下，函数在
b ( x)f) a0 ( ,4ac

min


2a4a2a



b
2
时，
( x) f
当．
4ac b x
max



4a2a



22
ax时，图象与x当轴有两个交点③二次函数 f
(x)0) bx c(a
b 4ac 0





第-12-页共27页

0(abx c ）一元二次方程 ax （4
根的分布0)

x |．
| | x,0),M (x,0),|MMM (x

1221112
2
|a|


2


一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，
这部分知识在初中代数中虽有所涉及， 但尚不够
系统和完整， 且解决的方法偏重于二次方程根的

判别式和根与系数关系定理 （韦达定理）的运用，< br>下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元
二次方程实根的分布．



22
f ( x) ax ．令 设一元二次方程 ax，且c 0(a
0) 的两实根为bx c ，从以下bx
x, xx x

2211


b

a ②对称轴位置：④端点函数值四 个方面来分
析此类问题：①开口方向：
x
③判别式：


2a



符号．



x＜ x≤① k


21
yy


b


x

k
OO


x
x
xk
xxx
2



112



2a0f (k) 0a



0f (k )b


a 0x


2a






2a

＜x ② x≤k
21


yy


b


xf (k ) 0

0a






x
k
OO


k
x
2

xx


2
xx

11
f (k) 0a 0b


x
2a





xk＜ x③＜
0＜af ( k)

21

yy



0a


0f (k )



k
O

O
x
k
x
xxx
1 1
x
2
0f ( k)

0a

2



＜ k ④k＜xx≤
2121



页第页共-13-27




y
a0

b



y
x

2a
0


f (k ) )f (k0

2


1


kkx

x

1



2

xO
x

2
x
kkO
x


21


1
f (k )0


1

b

) 0

f (k
2

x

a
2
1
0


2a

fkfk，并同时考虑
k x）＜ x（或 x）满足 k
＜x（或⑤有且仅有一个根

21112212
()()0



f ( k)=0 或 f ( k)=0 这两种情况是否也符合

21

yy

0a



f (k) 0f (k )0

1


1


kkx


221
xO
Okx
x
2 1
1
k
x
x

1

2


f (k )0


2

a 0f (k ) 0

2

⑥ k ＜x＜k≤ p＜x ＜p
212112
此结论可直接由⑤
推出．



2
ax（5）二次函数 f ( x)c(a 0) 在闭区间 上的
最值bx
[ p, q]



1
．
( p q)
，令m设在区间上的最大值为M，最
小值为
x f ( x) [ p, q]



0
2



时（开口向上）（Ⅰ）当
0 a


b
③若
)
，则，
则，则②若①若
m f ( q)q q p m f ( p mbf
( p)bb


2a2a2a2a






fff


f

(p)(q)(p)


(q)



(p)
x
O


xx
OO

f


bbb


f

f ()f ()


)f (
2a2a


(q)
2a
bb


，则①若②，则
Mx f (q)f ( p) M
x


0

0
2a2a





f



f(p)



x
(q)
x


0

0
x
O


x
O

b

f f
f ()

b2a

(q)
(p)
)f (

2a



第-14-页共27页




( Ⅱ ) 当
时(开口向下)a
0

bbb
b
)
，则，则②若 ③若，则①若
(q) Mf ( p) Mpf (q q


2a2a2a2a




b


f
(fb b
))

f (2af ()



2a2a


(q)f

(p)(p)



x
O


xx
OO



fff





f




Mp f

(p)(q)(q)



bb


．，则，则①若
m f ( p) x m f (q)
②
x


0

0
2a2a



f ()

bb




f
(f
)2a2a



f


(q)

(p)


xx

00


xx
OO


f

f

(q)


(p)




页-15-第页共27

高中数学必修 4 知识点


第一章
三角函数





正角 : 按逆时针方向旋转形成的角

1、任意角
负角 : 按顺时针方向旋转形成的角



零角 : 不作任何旋转形成的角




2、角x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，
则称为第几的顶点与原点重合，角的始边与



象限角．



第一象限角的集合为
k 360k36090 , k



第二象限角的集合为
180 , k90k 360k 360



第三象限角的集合为
270 , k360k 360180k



第四象限角的集合为
360 ,kk 360270k360



轴上的角的集合为终边在 x
180 , kk



轴上的角的集合为 y 终边在
90 , k180k



终边在坐标轴上的角的集合为
k 90 , k



、与角3终边相同的角的集合为
, k360k



弧度．4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1



，则角所对弧的长为5、半径为 r 的圆的圆心角．的
弧度数的绝对值是
l l



r



180


，、弧度制与角度制的换算公式：6．57.3

13602
1，


180

，r 7、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为 r ，
弧长为，则 l，，面积为，周长为


2r lSlCC



2
．
r 1rS1l
y



22


T
P
是一个任意大小的角， 8、设，它与的终边上
任意一点的坐标是x, y


xy
x
O M
A
22
，，
tan cos
r rx原点的距离是y．0 ，
则
0 nisxy


xrr




、三角函数在各象限的符号： 第一象限全为正，第
二象限正弦为正，9第三象限正切为正，第四象限
余弦为正．


．， 10、三角函数线：，
tansincos


2222
1 sin：1 cos 11 、角三角函数的基

本关系
cossin 1


22
；
sin
,cos
1





页-16-第页共27

．. （3） 倒数关系：
tancotsin1sintansintan
cos ,cos2



tancos



12、函数的诱导公式：



， cos 2k， tan 2k．kcos1 sin2ksintan



tan cos，，．tansin2 sincos



sin ， cos， tantan ．cos3 sin



， cos， tan．cos4 sinsintan



口诀：函数名称不变，符号看象限．



，．，．
sin 6cos cos cossinsin5 sincos



2222



口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．



、①的图象上所有点向左（右）平移13个单位长
度，得到函数的图象；再将函数sin xy



1

倍（纵坐标不变） ，得到函数的图象上所有点的
横坐标伸长（缩短）到原来的xysin




y的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长
（缩短）到原来的xsinysinx



倍（横坐标不变），得到函数 y的图象．xsin

②数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来
的倍（纵坐标不变），得到函 数
sin x y1



的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移
个单位长度，得到函数
x x ysinysin


的图象；再将函数 y的图象上所有点的纵坐标伸长
（缩短）到原来的xsinysinx



倍（横坐标不变），得到函数 y的图象．xsin



14、函数 y的性质：00,sinx



；③频率：；④相位：；⑤初相：①振幅：；②周
期：．
fx21


2



，当 x x 时，取得最小值为 x 时，取得最大
值为 y ，则 x；当函数 yxsin
y

max21min


yyyy
，，．
xx xx11
222



max minmax min


2121



15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

函

y=cotx
tan xy cos x y sin xy
数性


质



页页共第-17-27

y

y=cotx

图

象

ox

23
-



-
2

22

定

x x k,
kx x k,k


义

2R2R


域

值

1,11,1RR


域

当

当 x时，
k2k

2kx
k



2


当；1y
max


y 1 ； 当， 时


max

2kx
最既无最大值也无
既无最大值也无



值k
x 2k
y时，．1最小值k最小值

min

2


时，






y．1
min



周
22



期

性

奇奇函数偶函数奇函数
奇函数

偶

性

在



在
,2 k2k



在
22



,2 k k2k



单k上是增函数；
k, k


上是增函数；在
22


调

增函k

3





在


性,2 k2k

上是
2k
, 2k


k数．上是减函数．
22




k 上是减函数．


称对对中心

称中称心对称中心对称中心对


k ,0k


性




第-18-页共27页






对称轴


kk

kk,0
,0 k,0 k



x kk222



2



无对称轴无对称轴


x对称轴kk



第二章 平面向量


、向量：既有大小，又有方向的量．16
数量：只有
大小，没有方向的量．


零向量：长度为有向线段的三要素：起点、方向、
长度．的向量．
0


个单位的向量．单位向量：长度等于 1

平行向量< br>（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向
量与任一向量平行．

相等向量：长度相等且方向
相同的向量．


、向量加法运算：17

三角形法则的特点：首尾相
连．?


平行四边形法则的特点：共起点．?

：式 不 等 ?
三 角 形



a ba b a b ．

?运算性质：①交换律：a ；ba b



；③②结合律：aa ．0 a0
ac Cabcb



，则设 ?坐标运算：．，


2
1 22 2

x y , yx , ya b xxa, yb


111

a


18、向量减法运算：



三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被
减向量．?
b



设坐标运算： ?，，则．a b x x y , yxax , y, y



222 2 1 1 1 1

abCC



x , y ， x , y， 设、两点的坐标分别为则


2211


．



xyy
x,


112
2
、向量数乘运算：19



．实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数
乘，记作?
a a



a ；①a



的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；
当
时，
时，②当
0 a a a a 0 0



．
0 a



?运算律：①a ；②a ；③．aaa
b baa



?坐标运算：设，则 ax,y．x, yx, ya

20、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一
一个实数，使．
a b b0a a





页-19-第页共27






设 ax, y ， bx , y ，其中 ，则当且仅当xyx y
0 时，向量 、 共线．
0 b b b0 a

11221212



21、平面向量基本定理：如果
e 、 e 是同一平面
内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任

21


e
、 e
．（不共线的向量
e
、
e
作为这一平面

内所
a意向量，使，有且只有一对实数
a
1 2 11


2221
有向量的一组基底）



，当 , y、， x上的一点，的坐标分别是, yx
是线段22、分点坐标公式：设点

1

21 2 21211
2

xy
1时，就为中点公
,
．（当的坐标是时，点
yx式。）

1 2


21
11



23、平面向量的数量积：



．．零向量与任一向量的数量积为?
0 180a b cosa0,
b0,0a b



?性质： 设 和 都是非零向量， 则① a0 ．②当

与 同向时， ；当与ba b
b a aaba ba b b



22
a 或a a ．③ ．；反向时，
a a b a b a b aaaa b



．?运算律：①；②；③
b c a abb ca bba cababa



yy ．xxx , yx , y a b b?坐标运算：设两个非零向量，
则，a


21221211



2
2222
a设．x , yx , y b或，若 ax, y ，
则 ， ， 则
y yxx aa


2211


．
xx



y y 0ba
2
1



21


x, yx , y是与b的 夹 角 向 零 量 ， a， ， b
则都、设 是 非，
a a b

2112
xxy ya
b．cos


2211



2
2
2
2
ya b
x
y
x


2

1

1
2


知识链接：空间向量


空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而
得 . 下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应
用进行总结归纳 .


1、直线的方向向量和平面的法向量


?．直线的方向向量：



若 A、B 是直线 上的任意两点， 则 为直线 的

一个方向向量； 与 平行的任意非零向量也
ABlABl



是直线的方向向量.
l


?．平面的法向量：



若向量 n 所在直线垂直于平面，则称这个向量垂
直于平面，记作 n，如果 n
，那么





向量 n 叫做平面
的法向量 .


?．平面的法向量的求法（待定系数法）：



第-20-页共27页

①建立适当的坐标系．



②设平面的法向量为 n
( x, y, z) ．




③求出平面内两个不共线向量的坐标a (a, a , a ),
b
(b, b ,b ) ．

321
321

n a
0


④根据法向量定义建立方程组.


n b
0



⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量 .




（如图）




1、 用向量方法判定空间中的平行关系


?线线平行



∥ b ，即、 ，则要证明设直线.


a，只需证明 l l ∥, ll a的方向向量分别是a
kb(k R)b


2121


两直线的方向向量共线。即：两直线平行或重合

线
面平行?



①（法一）设直线的方向向量是a，平面的法向量
是 u ，则要证明 ∥ ，只需证明 a
ll
u ，

即 a u 0 .


即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法
向量垂直且直线在平面外



②（法二）要证明一条直线和一个平面平行， 也
可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量


是共线向量即可 .



?面面平行



的法向量为 u ，平面的法向量为，要证∥ ，只
需证 u ∥ ，即证 u v .若平面
v v


即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。



、用向量方法判定空间的垂直关系3



线线垂直?



，即 a b 0 .、 设直线，则要证明


l ,l 的方向向量分别是 al l ，只需证明 a
bb


2211


即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。



?线面垂直



①（法一）设直线的方向向量是a，平面的法向量
是 u ，则要证明 ，只需证明 a ∥ u ，
l l


a u .即

第-21-页共27页




a m
，若nm、②（法二）设直线的方向向量是，
平面 内的两个相交向量分别为
l a ,则 l.0


0a n



即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向

量共线直线的方向 向量与平面内两条


不共线直线的方向向量都垂直。



面面垂直?



，只需证 的法向量为 u v ，即证 u v ，要
证若平面 的法向量为 u ，平面0 .
v



即：两平面垂直两平面的法向量垂直。



4、利用向量求空间角



求异面直线所成的角?



已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任
意两点，所成的角为，
a, b a,b a, b


AC BD



cos则.



AC BD



?求直线和平面所成的角

① 定义：平面的一条斜
线和它在平面上的射影 所成的锐角叫做这条斜线
和这个平面所成的角



②求法：设直线的方向向量为a，平面的法向量为
u ，直线与平面所成的角为， a 与 u 的夹
l


的补角角为， 则 为的余角或

的余角 . 即有：



a u


cossin.



a u




?求二面角


① 定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，
其中的每一部分叫做半平面； 从一条直线出发的
两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫
做二面角的棱，每个半平面 叫做二面角的面



二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点
O，
分别在两个半平面内作射线l



，则为二面角
AOB 的平面角 .AO
l , BO ll



如图：


A

B

l


BO

O
A

的两个半平面的法向量分别为 m、n ，再设 m 、
n 的夹角为，二面角②求法：设二面角
l


或其补角的夹角 、
.



m n 为，则二面角的平面角为
l



根据具体图形确定是锐角或是钝角：





第-22-页共27页






m n


◆如果是锐角，则 coscos，


m n



m n
arccos即 ； m n



m n

cos是钝角，则◆ 如果cos，


m n



m n


即
arccos
.



m n

5、利用法向量求空间距离


?点 Q到直线 距离
l



若 Q为直线 外的一点 , P 在直线 上， 为直
线 的方向向量， = PQ ，则点 Q到直线 距离
为
lblall


22
(a b )(| a || b |)1h



| a |



?点 A 到平面的距离



若点 P 为平面外一点，点 M为平面内任一点，



的法向量为 n ，则 P 到平面的距离就等于在法向
量n方向上的投影的绝对值.平面
MP






即 d MP cos n, MP


n MP

MP


n MP



n MP
n


?直线 a 与平面
之间的距离

当一条直线和一个平面平行时， 直线上的各点到
平面的距离相等。 由此可知，直线到平面的 距离
可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为
点面距离。




n MP


即 d
.


n




?两平行平面
之间的距离,




利用两平行平面间的距离处处相等，
面间的距离转化为求点面距离。



n MP
d即
.
n



页-23-第页共27

可将两平行平

?异面直线间的距离



设向量 n 与两异面直线 都垂直， 则两异面直
线间的距离就是在向量n
a, b d a,b a, P Mb, MP

方向上投影的绝对值。



n MP


即 d
.


n


6、三垂线定理及其逆定理


?三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果它和这
个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和 这条斜
线垂直



P

O

A

,OPO
a




推理模式：
PAa
PAA


OAa, a



概括为：垂直于射影就垂直于斜线.


?三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线，如果
和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这

条斜线
的射影垂直



PO,O

推理模式：
PAAOAa




AP, a
a



概括为：垂直于斜线就垂直于射影.




7、三余弦定理


设 AC是平面内的任一条直线， AD是 的一条斜
线 AB在
内的射影，且 BD⊥ AD，垂足为 D.


设 AB 与(AD) 所成的角为 ， AD 与 AC 所成
的角为 ， AB 与 AC 所成的角为 ．则 cos cos
cos .

2121



B
1
AD
2

C




8、 面积射影定理


已知平面内一个多边形的面积为 S S ，它在平

面内的射影图形的面积为
S S
，平面
射原

与平面 所成的二面角的大小为锐二面角
，则




第-24-页共27页




S

'
.
S=cos
射



SS


原
9、一个结论


,
、、
，
夹角分别为 l、l、l的线段在三条两两互相垂直的
直线上的射影长分别为长度为
l
312


312
2 22 2 2 2
2222
.则有

3132

2213
1


2l l llsin cos cos 1cos sinsin


.（立体几何中长方体对角线长的公式
是其特例）



第三章 三角恒等变换



、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：24



；? cos；sinsincoscossinsin?coscos cos



sin；?；sinsin coscos?sincossincossin



tantan


tan（）；tantan1tan?tantan

tantan1



tantan


tan（）．tantantantan?tan1

tan1tan



25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：



222
cos )
sin

cos．(sin?cos1sin 22sin
cos2sinsin 2



2222
1 2sin
2cossincos1?cos2



22
升幂公式
2 sin
2cos 1cos,1cos



22


1
22
，
sin

降幂公式．
cos1 cos2cos2




22



万能公式:
26、


αα
2
2 tan tan 1

22


; cos
αα
α
2
tan
tan
αsin 11
2



22



2tan



2
tan．tan21



27、


半角公式:


αcos αcos
sin
cos α11




2222


αt an
cos αsin αcos α11




αsin αcos 1cos α12




（后两个不用判断符号，更加好用）


把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一

;




α

个角，一次方”的28、合一变形



第-25-页共27页





，其中 形式。．
tancosy

22
A sin( x) B sin sin



29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，
提高三角变换能力，要学会创设条件， 灵活运用
三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的
数学思想方法技巧如下：


（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表
达式中往往出现较多的相异角，可 根据角与角之间
的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，
沟通条件与结论中角的差异 ，使问题获解，对角的
变形如：



①的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是
2
4 2


422



o
30

o o oo o
；② 问 ：；
sin 15
456045 30


122

；
cos



12



；；④③
) ()(



442


)

；等等
⑤
2(()) ()(




44



（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函
数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基

础，通常化切为弦，变异名为同名。


（3）常数代换：在三角函 数运算，求值，证明中，
有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数
“ 1”的代换变形有：



22oo
tan 45cos1 sin
cotsin 90
tan



（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对
次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方

法。常用降幂公式有：；。降幂并非绝对，



有 时 需 要 升 幂 ， 如 对 无 理 式 1 c o s
常 用 升 幂 化 为 有 理 式 ， 常 用 升 幂 公
式

有：；；



（5）公式变形：三 角公式是变换的依据，应熟练
掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。

11
；
如：
_______________
；
_____________tantan


tan11tan



；；
__________ _ 1____________ tantantantan


；；
__________ _ 1____________ tantantantan


2
；；
tan 12tan



oooo
tan 40tan203 tan20tan40
；



；=
cossin



；（其中=
b cosasin



；）
tan



；；
1coscos1




页-26-第页共27





（6）三角函数式的化简运算通常从： “角、名、
形、幂”四方面入手；

基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，
异名 化同名，高次化低次，无理化有理，



；3 tan10 如： sin 50 (1 )

特殊值与特殊角的三角函数互化。


oo


。
tancot




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