山东高中数学奥赛真题-2009年福建高中数学版本
北师大高中数学必修四知识点
第一章 三角函数
2、象限的角:在直角坐标
系内,顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,角的终边
落在第几象限,就是第几象限的角;角的
终边落在坐标轴上,这个角不属于
任何象限,叫做轴线角。
第一象限角的集合为?
k?360
o
?
?
?k?360
o
?90<
br>o
,k??
??
第二象限角的集合为
?
k?360
o
?90
o
?k?360
o
?180
o
,
k??
??
第三象限角的集合为
?
k?360
o
?180
o
?
?
?k?360
o
?270
o
,k??
??
第四象限角的集合为
?
k?360
o?270
o
?
?
?k?360
o
?360
o<
br>,k??
??
终边在
x
轴上的角的集合为
???k?180
o
,k??
??
终边在
y
轴上
的角的集合为
??
?k?180
o
?90
o
,k??
??
终边在坐标轴上的角的集合为
??
?k?90
o
,
k??
??
3、与角
?
终边相同的角,连同角
?
在内,都可以表示为集合{
?
|
?
?
?
?k?360
?
,k?Z
}
4、弧度制:
(1)定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用弧度做单位叫弧度制。
半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
,则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
l
.
r
180
?
(2)度数与弧度数的换算:
180
?
?
?
rad,1
rad
?()?57.30
?
?57
?
18
'
<
br>?
(3)若扇形的圆心角为
?
(
?
是角的弧度数),半径为<
br>r
,则:
11
lr??|
?
|r
2
22
弧长公式:
l?|
?
|r
;扇形面积:
S?
5、三角函数:
(1)定义:①设
α
是一个任意角,它的终边与单位圆交于点
P
(
u
,
v
),
那么
v
叫做
α
的正弦,记作sin
α,即sin
α
=
v
;
u
叫做
α
的余
v
叫
u
弦,记作cos
α
,即cos
α
=
u
;
当
α
的终边不在y轴上时,
做
α
的正切,记作tan
α, 即tan
α
=
v
.
u
②设
?<
br>是一个任意大小的角,
?
的终边上任意一点
?
的坐标
是
?
x,y
?
,它与原点的距离是
rOP?r?x
2?y
2
?0
,
yxy
,
cos
?<
br>?
,
tan
?
?
?
x?0
?
rrx
?
?
则
sin
?
?
(2)三角函数值在
各象限的符号:
+
_
+
_
_
_
+
+
_
+
口诀:第一象限全为正;
+
_
二正三切四余弦.
(3)特殊角的三角函数值
?
的角
度
?
的弧
度
不存
在
?
的角
度
?
的弧
度
不存
在
6、三角函数的诱导公式:
?
1
?
sin
?2k
?
?
?
?
?sin
?
,
cos<
br>?
2k
?
?
?
?
?cos
?
,tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?<
br>?
k??
?
.
口诀:终边相同的角的同一三角函数值相等.
?
2
?
si
n
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
?
?
?
?
?cos
?
,
tan
?
?
?
?
??tan
?
.
?
3
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,
tan
?
?
?
?
?
??tan
?.
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
,cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,tan
?
?
?
?
?<
br>?tan
?
.
?
5
?
sin
?<
br>2
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
?
2
?
?
?
?
?cos
?
,tan
?
2
?
?
?
?
??tan
?<
br>.
口诀:函数名称不变,正负看象限.
?
6
?<
br>sin
?
?
??
?
??
?
?
??
?
?cos
?
,
cos
?
?
??
?sin
?
,
tan
?
?
?
??cot
?
.
?
2
??
2
?
?
2
?
??
?
??
?
?
?
?<
br>?
?cos
?
,
cos
?
?
?
?<
br>??sin
?
,
tan
?
?
?
?
?
?cot
?
.
?
2
?
?
2
??
2
?
?
?
7
?
sin
?
?
?
口诀:正弦与余弦互换,正负看象限.
7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
图
象
定
义
域
值域:
?
?1,1
?
值
当
x?2k
?
?
?
k??
时
,
??
2
域
y
max
?1
;当
x?2k
?
?
值域:
?
?1,1
?
值域:
R
当x?2k
?
?
k??
?
时,
既无最大值也无最小
y
max
?1
;当
x?2k
??
?
?
2
值
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
?
k
??
?
时,
y
min
??1
.
y?cosx
是周期函数;周
周
期
性
周期
y?sinx
是周期函数;
期为
T?2k
?
,k?Z
且<
br>为
T?2k
?
,k?Z
且
k?0
;
y?tanx
是周期函数;
周期为
T?k
?
,k?Z
且<
br>k?0
;
最小正周期为
2
?
最小正周期为
2
?
k?0
;最小正周期为
?
奇
奇函数
偶函数
奇函数
偶
性
单
调
性
??
??
在
?
2k?
?,2k
?
?
?
22
??
在?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上是增函数;在
??
??
在
?
k
?
?,k
?
?
?
22
??
?
k??
?
上是增函数;在
?
k??
?
上是减函数.
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
?
k??
?
上是增函数.
?
k??
?
上是减函数.
对称中心
对
对
称中心
?
k
?
,0
??
k??
?
称
性
对称轴
x?k
?
?
对称中心
?
k
?
?
,0
?
?
k??
?
?
?
2
?
?
2
?
??
k
?
?,0
?
?
k??
?
?
2
?
?
对称轴
x?k
?
?
k??
?
?
k??
?
无对称轴
8、函数
y?A
sin(
?
x?
?
)?b(A?0,
?
?0)
的相
关知识:
(1)
y??sin
?
?
x?
?
?
?b
的图象与
y?sinx
图像的关系:
①振幅变换:
y?sinx
y?Asinx
1
图象上每个点的横坐标变为原来的倍,纵
②周期
变换:
y?sinx
y?sin
?
x
?
图象整体向左(
?
?0
)或向右(
?
?0
)平移
?
③相位变换:y?sinx
y?sin(x?
?
)
图象整体向上(
b?0
)或向下
④平移变换:
y?Asin(
?
x?
?
)
y??sin
?
?
x?
?
?
?b
先平移后伸缩:函数
y?sinx
的图象整体向左(
?
?0
)或向
右(
?
?0
)平移
?
个单位,
得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?x?
?
?
的图象上每个点的横坐标变为原来
的
1
倍,纵
坐标不变,得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图
象;再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上<
br>?
每个点的纵坐标变为原来的
?
倍,横坐标不变,得到函数
y??si
n
?
?
x?
?
?
的图象;再将函
数
y?s
in
?
?
x?
?
?
的图象整体向上(
b?0
)或向下(
b?0
)平移
b
个单位,得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
?b
.
1
倍,
纵坐标不变,得到函
?
先伸缩后平移:函数
y?sinx
的图象上每个点的横
坐标变为原来的
?
数
y?sin
?
x
的图象;再将函数y?sin
?
x
的图象整体向左(
?
?0
)或向右(<
br>?
?0
)平移
?
个单位,得到函数
y?sin
??
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上每个点的纵坐标
变为原来的
?
倍
,横坐标不变,得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图
象整体向上(
b?0
)或向下(
b?0
)平移
b
个单位,得
到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
?b
.
(2)函数
y?Asin(
?
x?
?
)?b(A
?0,
?
?0)
的性质:
2
?
1
?;④相位:
?
x?
?
;⑤初相:
?
.
?
?2
?
①振幅:
?
;②周期:
??
?
;③频率:
f?
定义域:
R
值域:
?
?A?b,A?b
?
当
?
x?
?
?2k
?
?
?
2
?
k??
?<
br>时,
y
max
?A?b
;
?
k??
?
时,
y
min
??A?b
.
当
?<
br>x?
?
?2k
?
?
?
2
周期
性:函数
y?Asin(
?
x?
?
)?b(A?0,
??0)
是周期函数;周期为
T?
2
?
?
<
br>??
??
单调性:
?
x?
?
在
?
2
k
?
?,2k
?
?
?
?
k??
?
上时是增函数;
22
??
?
?
?
x?
?
在
?
2k
?
?
?
2
,2k
??
3
?
?
?
k??
?
上时是减函数.
2
?
?
?
?
k
?
?
?
?
,0
?
?
k??
?
;对称轴为
?
x??
?k
?
?
?
k??
?
对称性:对称中心为
?
2
?
?
?
第二章 平面向量
1、向量定义:既有大小又有方向的量叫做向量,向量都可用同一平面内的有向线段表示.
2、零向量:长度为0的向量叫零向量,记作
0
;零向量的方向是任意的.
3、单位向量:长度等于1个单位长度的向量叫单位向量;与向量
a
平行的单位向量:
e??
a
|a|
.
4、平行向量(共线向量):方向相同
或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量,记作
ab
;
规定
0
与任何向量平行.
5、相等向量:长度相同且方向相同的向量叫相等向量,零向量与零向量相等.
注意
:任意两个相等的非零向量,都可以用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无
关。
6、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:
首尾相接
⑵平行四边形法则的特点:
起点相同
⑶运算性质:
①交换律:
a
r
?b
r
?
b
r
?a
r
;②结合律:
?
a
r
?br
?
?c
r
?a
r
?
?
b
r
?c
r
?
;③
a
r
?
r
0?r
0?a
r
?a
r
.
⑷坐标运算:设
a
r
?
?
x
?
,
b
r
?
?
x
r
r
1
,y
1
2
,y
2
?<
br>,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
7、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被
量.
⑵坐标运算:设<
br>a
r
?
?
x
r
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a
r
?b
r
?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,则
u
??
uur
?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
.
8、向量数乘运算:
减向
rr
⑴实数<
br>?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作
?
a
.
rr
①
?
a?
?
a
;
rrrr
②当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同;当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反;
r
r
当
?
?0
时,
?<
br>a?0
.
r
r
r
r
rrrrr
⑵
运算律:①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
;②
?
?
?
?
?
a?
?a?
?
a
;③
?
a?b?
?
a?
?<
br>b
.
??
rr
⑶坐标运算:设
a?
?x,y
?
,则
?
a?
?
?
x,y
?<
br>?
?
?
x,
?
y
?
.
r
r
r
rr
r
9、向量共线定理:向量
aa?0
与
b
共线,当且仅当有唯一一个实数
?
,使
b?
?
a
.
??
r
r
r
r
r
rr
r
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,其中
b?0
,
则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时,向量
a
、
bb?0
共
??
线.
uruur
10、平面向量基本定理:如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面
uruururuur
rr
内的任意向量
a
,有且只有一对实数
?
1
、
?
2
,使
a?
?
1
e
1
?
?2
e
2
.(不共线的向量
e
1
、
e
2
作为
这一平面内所有向量的一组基底)
11、分点坐标公式:设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点,
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1?
,
?
x
2
,y
2
?
,
uu
uruuur
?
x?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
,
当
?
1
??
???
2
时,点
?
的坐标是
?
1
?
.<
br>
1?
?
??
1?
?
12、平面向量的数量积:
<
br>r
r
r
r
r
r
r
r
o
⑴<
br>a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
o<
br>.零向量与任一向量的数量积为
0
.
??
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⑵性质:设
a
和
b
都是非零向量,则①
a?b?
a?b?0
.②当
a
与
b
同向时,
a?b?ab
;
r
r
r
r
r
r
r
r
rrr
2
r
2
rrr
r
r
当
a
与
b<
br>反向时,
a?b??ab
;
a?a?a?a
或
a?a?a.③
a?b?ab
.
r
r
rr
r
r
r
r
r
r
r
r
rrr
r
r
⑶运算律:①
a?b?b?a
;②
?
?
a
?
?b
?
?
a?b?a?
?
b
;③
a?b?c?a?c?b?c<
br>.
????
??
r
r
r
r
⑷坐标
运算:设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a
?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
.
r
r
2
r
若
a?
?
x,y
?,则
a?x
2
?y
2
,或
a?x
2
?
y
2
.
r
r
r
r
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x<
br>2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
r
r
r
r
r
r
设
a
、
b
都是非零向量,a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,
?
是
a
与
b
的夹角,则
r
r
x
1
x
2
?y
1
y
2
a?b
cos
?
?
r
r
?
.
2222
ab
x
1
?
y
1
x
2
?y
2
第三章 三角恒等变形
1、同角三角函数基本关系式
(1)平方关系:
sin
2?
?cos
2
?
?1
(2)商数关系:
tan
?
?
sin
?
cos
?
(3)倒数关系:
tan
?
cot
?
?1
tan
2
?
1
2
cos
?
?
sin
?
?
;
2
2
1?tan
?
1?tan
?
2
注意:
sin
?
,cos
?
,tan
?
按照以上公式可以“知一求二”
2、两角和与差的正弦、余弦、正切
S
(
?
?
?
)
:
sin(
?<
br>?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?sin
?
S
(
?
?
?
)
:
sin(
?
?
?
)?sin
?
co
s
?
?cos
?
sin
?
C
(
?
?
?
)
:
cos(a?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
C
(
?
?
?
)
:
cos(a?
?)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?<
br>
T
(
?
?
?
)
:
tan(?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
T
(
?
?
?
)
:
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
正切和公式:
tan
?
?tan
?
?tan(
?
?
?
)?(1?tan
?
tan
?
)
??
ab
3、辅助角公式:
asinx?bcosx?a
2
?b
2
??
sinx?cosx
?
2
?
222
a?b
?
a?b
?
(其中
?
称为辅助角,<
br>?
的终边过点
(a,b)
,
tan
?
?
b<
br>)
a
4、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
S
2
?
:
sin2
?
?2sin
?
cos
?
C
2
?
:
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?1?2sin
2
?
?2cos
2
?
?1
T
2
?
:
tan2
?
?
2tan
?
1?t
an
2
?
1?cos2
?
?2|cos
?
|
;
二倍角公式的常用变形:①、
1?cos2
?
?2|sin<
br>?
|
,
11
?cos2
?
?|cos
?
|
②、
1
?
1
cos2
?
?|sin?
|
,
22
22
sin
2
2
?<
br>sin
?
?cos
?
?1?2sin
?
cos
?
?1?
③、;
cos
4
?
?sin
4<
br>?
?cos2
?
;
2
4422
降次公式:
sin
?
cos
?
?
11?cos2
?
1
1
sin2
?
sin
2
?
???cos2
?
?
2222
5、半角的正弦、余弦和正切公式:
sin
?
2
??
1?cos
?
?
1?cos
?
;
cos??
,
222
6、同角三角函数的常见变形:(活用“1”)
①
sin
2
?
?1?cos
2
?
;
sin
?
??1?cos
2
?
;
cos
2
?
?1?sin
2
?
;
cos
?
??1?sin
2
?
;
cos
2
?
?sin
2
?
2
cos
2
?
?sin
2
?
2cos2
?
?
②
tan<
br>?
?cot
?
?
,
cot
?
?tan
?
???2cot2
?
sin
?
cos<
br>?
sin2
?
sin
?
cos
?
sin2<
br>?
③
(sin
?
?cos
?
)
2
?
1?2sin
?
cos
?
?1?sin2
?
;
1
?sin2
?
?|sin
?
?cos
?
|
7、补充公式:
①万能公式
2tan
sin
?
?
1?tan
?
2
?
2
1?tan
2 ;
cos
?
?
?
2
;
tan?
?
2
2tan
1?tan
?
2
?
2
1?tan
2
?
2
2
②积化和差公式
③和差化积公式
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