高中数学直方图怎么看-高中数学值域练习题
第一章综合检测题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分15
0
分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共
12个小题,每小题5分,共60分,在每
小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.若α是第二象限角,则180°-α是( )
A.第一象限角
C.第三象限角
[答案] A
[解析]
α为第二象限角,不妨取α=120°,则180°-α为第一象
限角.
2.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,则这个圆心角所对的
弧长是( )
A.2
2
C.
sin1
[答案] C
1
[解析] 由题设,圆弧的半径r=
sin1
,∴圆心角所对的弧长l=<
br>2
2r=
sin1
.
3.(2013·宁波模拟)如图,在直角坐标系xOy中,射线OP交单
B.sin2
D.2sin1
B.第二象限角
D.第四象限角
位圆O于点P,若∠AOP=θ,则点P的坐标是( )
A.(cosθ,sinθ)
B.(-cosθ,sinθ)
C.(sinθ,cosθ)
D.(-sinθ,cosθ)
[答案] A
[解析] 设P(x,y),由三角函数定义知sinθ=y,cosθ=x,故P
点坐标为(
cosθ,sinθ).
4.(2013·昆明模拟)设α是第二象限角,P(x,4)为其终边上的
一点,
1
且cosα=
5
x,则tanα=( )
4
A.
3
3
C.-
4
[答案] D
[解析]
x<0,r=
4
=-3,∴tanα=-
3
.
1
x
+16,∴cosα==
5
x,∴x
2
=9,∴x
x
2<
br>+16
2
3
B.
4
4
D.-
3
x
sinα-2cosα
5.如果=-5,那么tanα的值为(
)
3sinα+5cosα
A.-2
23
C.
16
[答案] D
[解析] ∵sinα-2cosα=-5(3sinα+5cosα),
23
∴16sinα=-23cosα,∴tan=-
16
.
3<
br>6.如果sinα+cosα=
4
,那么|sin
3
α-cos
3
α|的值为( )
25
A.
128
23
2525
C.
128
23或-
128
23
[答案] C
7
[解析]
由已知,两边平方得sinαcosα=-
32
.
∴|sin
3
α
-cos
3
α|=|(sinα-cosα)(sin
2
α+cos
2
α+sinαcosα)|=
25232523
33
1-2sinαcos
α·|1+sinαcosα|=
128
.∴sin
α-cosα=±
128
.
sinθ+cosθ
sinθcosθ
7.(2013·普宁模拟)若=
2,则
cos
3
θ
+
sin
3
θ
的值为(
)
sinθ-cosθ
817
A.-
27
820
C.
27
[答案] C
817
B.
27
820
D.-
27
25
B.-
128
23
D.以上全错
B.2
23
D.-
16
[解析]
∵
sinθ+cosθ
sinθ-cosθ
=2,∴sinθ=3cosθ
∴
sinθcos
3
θ3182
cos
3
θ
+sin
θ
=
cos
2
θ
+
27cos
2
θ
=
27cos
2
θ
由
?
?
sinθ=3cosθ
2
?
sin
2
θ+cos
2
θ=1
得cos
θ=
1
10
∴
sinθcosθ
=
820
cos
3
θ
+
sin
3
θ
27
.
8.若sinα是5x
2
-7x-6=0的根,
sin?-α-
3
π
?sin?
3π
22
-α?tan
2
?2π-α?
则=(
cos?
π
?
π
)
2
-α?cos
2
+α?sin?π+α?
A.
3
5
B.
5
3
C.
4
5
D.
5
4
[答案] B
[解析] 方程5x
2
-7x-6=0的两根为x
3
1
=-
5
,
x
2.则
sinα=-
3
2
=
5
原式=
cosα?-co
sα?tan
2
α
15
sinα?-sinα??-sinα?
=-
sinα
=
3
.
9.函数y=sin
?
?
π
?
2x+
?
6
?
?
的一个单调递减区间为(
A.
?
?
π
2π
?
?
6
,
3
?
?
B.
?
?
ππ
?
?
-
3
,
6
?
?
)
p>
?
ππ
?
C.
?
-
2
,
2
?
??
?
π
2π
?
D.
?
2
,
3
?
??
[答案] A
ππ3ππ2π
[解析] 令
2
+2kπ≤2x+
6
≤2
+2kπ(k∈Z),整理得
6
+kπ≤x≤
3
?
π
2π
?
+kπ,所以仅有
?
6
,
3
?是单调递减区间.
??
π
10.将函数y=sin(x-
3
)
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
π
2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向右平移
3
个单位,得到的图象对
应的解析式是( )
1
A.y=sin
2
x
1
π
C.y=sin(
2
x-
6
)
[答案] B
[解析]
1
π
B.y=sin(
2
x-
2
)
π
D.y=sin(2x-
6
)
π
??
?
11.已知函数f(x)=sin
x-
2
?
(x∈R),下面结
论错误的是( )
??
A.函数f(x)的最小正周期为2π
π
??<
br>B.函数f(x)在区间
?
0,
2
?
上是增函数
??
C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D.函数f(x)是奇函数
[答案] D
π
??
??
x-
[解析]
∵f(x)=sin
2
?
=-cosx(x∈R),
?
π
??
??
0,
∴T=2π,在
2
?
上是增函数.
?
∵f(-x)=-cos(-x)=-cosx=f(x).
∴函数f(x)是偶函数,图象关于y轴即直线x=0对称.
12.已知某帆船中心比赛场馆
区的海面上每天海浪高度y(米)可
看作是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作y=f(
t),经长期观
测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b,下表是某日各时的浪高数据:
t时
y米
0
2
3
3
2
6
1
9
3
2
12
2
15
3
2
18
0.99
21
3
2
24
2
则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( )
1
π
A.y=
2
cos
6
t+1
π
3
C.y=2cos
6
t+
2
[答案] B
2π2ππ
[解析]
∵T=12-0=12,∴ω=
T
=
12
=
6
.
又最大值为2,最小值为1,
1
π
3
B.y=
2
cos
6
t+
2
13
D.y=
2
cos6πt+
2
?
A+b=2,
则
?
?
-A+b=1,
1
π3
∴y=
2
cos
6
t+
2
.
13
解得A=
2
,b=
2
,
第Ⅱ卷(非选择题
共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确
答案填在题中横线上) 1
13.若cos(75°+α)=
3
,其中α为第三象限角,则cos(105
°-α)
+sin(α-105°)=________.
22-1
[答案]
3
[解析] cos(105°-α)+sin(α-105°)=-cos(75
°+α)-sin(α+
1
75°).∵180°<α<270°,∴255°<α+75°<
345°.又∵cos(α+75°)=
3
,∴sin(α
22-1
212<
br>+75°)=-
3
2.∴原式=-
3
+
3
2=
3
.
14.函数y=lg(sinx)+16-x
2
的定义域为____
____________.
[答案] [-4,-π)∪(0,π)
[解析]
?
sinx>0,
由已知,得
?
2
16-x≥0.
?
解得
?
2kπ
?
-4≤x≤4,
即x∈[-4,-π)∪(0,π).
15.据市场调查,某种商品每件的售价按月呈f(x
)=Asin(ωx+φ)
π
+B(A>0,ω>0,|φ|<
2)的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价
8千元,7月份价格最低为4千元,则f(x)
=________.
π
??
π
[答案]
2sin
?
4
x-
4
?
+6
??
[解析]
?
A+B=8,
由题意得
?
?
-A+B=4,
解得A=2,B=6.
2ππ
周期T=2(7-3)=8,∴ω=
T
=
4
. ?
π
?
?
∴f(x)=2sin
4
x+φ
?<
br>+6.
??
又当x=3时,y=8,
?
3π
?
∴
8=2sin
?
4
+φ
?
+6.
??
?
3π
?
π
∴sin
?
4
+φ
?
=1,取φ
=-
4
.
??
π
??
π
∴f(x)=2sin<
br>?
4
x-
4
?
+6.
??
π
16
.关于函数f(x)=4sin(2x+
3
)(x∈R),有下列命题:
π
①函数y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-
6
);
②函数y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数;
π
③函数y=f(x)的图象关于点(-
6
,0)对称;
π
④函数y=f(x)的图象关于直线x=-
6
对称.
其中,正确的是________.(填上你认为正确命题的序号)
[答案] ①③
ππππ
[解析] ①f(x)=4sin(2x+
3
)=4
cos(
2
-2x-
3
)=4cos(-2x+
6
)=π2ππ
4cos(2x-
6
).②T=
2
=π,最小正周期为
π.③∵2x+
3
=kπ,当k=0
ππππ
时,x=-
6
,函数f(x)关于点(-
6
,0)对称.④2x+
3
=
2
+kπ,当x=
π
1
-
6
时,k=-
2
,与k∈Z
矛盾.∴①③正确.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,
证明过程或演算步骤) <
br>17.(本题满分10分)(1)已知角α的终边经过点P(4,-3),求2sinα
+cos
α的值;
(2)已知角α的终边经过点P(4a,-3a)(a≠0),求2sinα+cosα的
值;
(3)已知角α终边上一点P与x轴的距离与y轴的距离之比为
求2sinα+cosα的值.
y3x4
[解析] (1)∵r=x
2
+y
2
=5,∴si
nα=
r
=-
5
,cosα=
r
=
5
,∴
2sinα
642
+cosα=-
5
+
5
=-
5<
br>.
-3a
3
(2)∵r=x
+y=5|a|,∴当a>0时,r=5
a,∴sinα=
5a
=-
5
,
22
,
-3a342
cosα=
5
,∴2sinα+cosα=-
5
;当a<
0时,r=-5a,∴sinα==
5
,
-5a
4
cosα=-5
,
2
∴2sinα+cosα=
5
.
34
(3)当点P在第一象限时,sinα=
5
,cosα=
5
,
3
2sinα+cosα=2;当点P在第二象限时,sinα=
5
,
423
cosα=-
5
,2sinα+cosα=
5
;当点
P在第三象限时,sinα=-
5
,
4
cosα=-
5
,2
sinα+cosα=-2;
342
当点P在第四象限时,sinα=-
5
,cosα=
5
,2sinα+cosα=-
5
.
1
18
.(本题满分12分)已知tanα、
tanα
是关于x的方程x
2
-kx+
k
2
7
-3=0的两实根,且3π<α<
2
π,求cos(3π+α
)-sin(π+α)的值.
1
[解析] 由题意,根据韦达定理,得tanα
ta
nα
=k
2
-3=1,∴k=±2.
71
又∵3π<α<
2
π,∴tanα>0,
tanα
>0,
11
∴tanα+
tanα
=k>0,即k=2,而k=-2舍去,∴tanα=
tanα
=1,
2
∴sinα=cosα=-
2
,∴cos(3π+α)-sin(π+α)=si
nα-cosα=0.
π2π
19.(本题满分12分)已知x∈[-
3
,
3
],
(1)求函数y=cosx的值域;
(2)求函数y=-3sin
2
x-4cosx+4的值域.
π2π
[解析] (1)∵y=cosx在[-
3
,0]上为增函数,在[0
,
3
]上为减函
数,
∴当x=0时,y取最大值1;
2π
1
x=
3
时,y取最小值-
2
.
1
∴y=cosx的值域为[-
2
,1].
(2)原函数化为:y=3cos
2
x-4cosx+1,
21
即y=3(cosx-
3
)
2
-
3
,
1115
由(1)知,cosx∈[-
2
,1],故y的值域为[-
3
,
4
].
π
??
1
20.(本题满分12分)
已知函数f(x)=3sin
?
2
x+
4
?
-1,x∈R.
??
求:(1)函数f(x)的最小值及此时自变量x的取值集合;
(2)函数y=
sinx的图象经过怎样的变换得到函数f(x)=
π
??
1
?
x+
3sin
24
?
-1的图象?
??
1
π
[解析] (1)函数f(x)的最小值是3×(-1)-1=-4
,此时有
2
x+
4
π3π
=2kπ-
2
,解得x=
4kπ-
2
(k∈Z),
即函数f(x)的最小值是-4,此时自变量x的取值集合
是
?
?
?
3π
?
x
?
x=4kπ-
,k∈Z
?
.
2
?
?
?
(2)步骤是:
π
①将函数y=sinx的图象向左平移
4
个单位
长度,得到函数y=
π
??
sin
?
x+
4
?的图象;
??
π
??
②将函数y=sin
?
x+4
?
的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2
??
π??
1
?
倍(纵坐标不变),得到函数y=sin
2
x+
4
?
的图象;
??
π
??
1
?
③将函
数y=sin
2
x+
4
?
的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3<
br>??
π
??
1
?
倍(横坐标不变),得到函数y=3sin<
br>2
x+
4
?
的图象;
??
π
??
1
?
④将函数y=3sin
2
x+
4
?
的图象向下
平移1个单位长度,得函数
??
π
??
1
?
y=3sin<
br>2
x+
4
?
-1的图象.
??
21.(本题满分12分)如图,某市拟在长为8 km的道路OP的一
侧修建一
条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为
函数y=Asinωx(A>0,ω>0),
x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为
S(3,23);赛道的后一部分为折线段MNP.试求A、
ω的值和M、P两
点间的距离.
[解析]
∵函数y=Asinωx(A>0,ω>0)图象的最高点为S(3,23),
T
∴A=23.由图象,得
4
=3,∴T=12.
2πππ
又T=
ω
,∴ω=
6
,即y=23sin
6
x.
2π
当x=4时,y=23sin
3
=3.
∴M(4,3).又P(8,0).
∴|MP|=4
2
+3
2
=5,
即MP的长是5.
22.(本题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B
(A>0,ω>0)
的一系列对应值如下表:
x
y
π
-
6
-1
π
3
1
5π
6
3
4π
3
1
11π
6
-1
7π
3
1
17π
6
3
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式;
2ππ
(2)根据(1)
的结果,若函数y=f(kx)(k>0)的周期为
3
,当x∈[0,
3
]<
br>时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.
11ππ
[解析]
(1)设f(x)的最小正周期为T,则T=
6
-(-
6
)=2π,
?
B+A=3,
2π
由T=
ω
,得ω=1,又
?
,
B-A=-1
?
?
A=2
解得
?
?
B
=1
5ππ
即
6
+φ=
2
,
π
解得φ=-
3
,
π
∴f(x)=2sin(x-
3
)+1.
π2π
(2)
∵函数y=f(kx)=2sin(kx-
3
)+1的周期为
3
,又k>0,
∴k=3,
5ππ
,令ω·
6
+φ=
2
,
π
令t=3x-
3
,
ππ2π
∵x∈[0
,
3
],∴t∈[-
3
,
3
],
π2π
3
如图,sint=s在[-
3
,
3
]上有两个不同的解,则s∈[
2
,1],
π
∴方程 f(kx)=m在x∈[0,
3
]时恰好有两个不同的解,则m∈[3
+1,3],即实数m的取值范围是[3+1,3].
第二章综合检测题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两
部分。满分150
分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选
择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每
小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要
求的)
1.下列等式成立的是( )
→→
=NM
C.(a·b)c=a(b·c)
[答案] D
B.a·0=0
D.|a+b|≤|a|+|b|
2.如果a、b是两个单位向量,那么下列四个结论中正确的是
( )
A.a=b
C.a=-b
[答案] D
[解析] 两个单位向量的方向不一定相同或相反
,所以选项A、
C不正确;由于两个单位向量的夹角不确定,则a·b=1不成立,所
以选项B
不正确;|a|=|b|=1,则选项D正确.
3.(山东师大附中2012-2013期中)已知平
面向量a=(1,1),b=
13
(1,-1),则向量
2
a-
2<
br>b=( )
A.(-2,-1)
C.(-2,1)
[答案]
B
1313
[解析]
2
a-
2
b=
2
(1,1)-
2
(1,-1)
1313
=(
2
-
2
,
2
+
2
)=(-1,2).
4.(哈尔滨三中201
2-2013高一期中)已知两点A(4,1),B(7,-
→
3),则向量AB的模等于(
)
A.5
C.32
B.17
D.13
B.(-1,2)
D.(-1,0)
B.a·b=1
D.|a|=|b|
[答案] A
→
[解析]
|AB|=?7-4?
2
+?-3-1?
2
=5.
5.(2012
北京海淀区期末)如图,正方形ABCD中,点E、F分
→
别是DC、BC的中点,那么EF=
( )
1
→
1
→
A.
2
AB+
2
AD
1
→
1
→
B.-
2
AB-
2
AD
1
→
1
→
C.-
2
AB+
2
AD
1
→
1
D.
2
AB-
2
AD
[答案] D
→
1
→
1
→→
[解析]
EF
=
2
DB
=
2
(AB
-AD
). <
br>6.(2013诸城模拟)已知a、b、c是共起点的向量,a、b不共线,
且存在m、n∈R使
c=ma+nb成立,若a、b、c的终点共线,则必
有( )
A.m+n=0
C.m+n=1
B.m-n=1
D.m+n=-1
[答案] C
→→→
[解析]
设OA
=a,OB=b,OC=c,
∵a、b、c的终点共线,
→→→→→→
∴设AC=λAB,即OC-OA=λ(OB-OA
),
→→→
∴OC=(1-λ)OA+λOB,
即c=(1-λ)a+λb,又c=ma+nb,
?
1-λ=m,
∴
?
?
λ=n,
∴m+n=1.
→→
7.如图,M、N分别是AB、AC的一个三等分点,且MN=
λ(AC
→
-AB)成立,则λ=( )
1121
A.
2
B.
3
C.
3
D.±
3
[答案] B
→
1
→→→→
[解析]
MN
=
3
BC
且BC=AC-AB
.
8.与向量a=(1,1)平行的所有单位向量为( )
22
A.(
2
,
2
)
22
B.(-
2
,-
2
)
22
C.(±
2
,±
2
)
2222
D.
(
2
,
2
)或(-
2
,-
2
)
[答案] D
a
[解析] 与a平行的单位向量为±.
|a|
9
.(2013·湖北文)已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),
→
→
则向量AB在CD方向上的投影为( )
32
A.
2
32
C.-
2
[答案] A
[解析]
本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算.
→→→→
由条件知AB=(2,1),CD=(
5,5),AB
·CD
=10+5=15.
→
|CD|=
→→
5
+5=52,则AB在CD方向上的投影为
22
315
B.
2
315
D.-
2
→→
→→→
AB·CD1532
|AB|cos〈AB
,CD〉===
2
,故选A.
→
5
2
|CD|
10.若|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的夹角为(
)
π
A.
6
π
C.
3
[答案] C
π
B.
4
π
D.
2
[解析] a·(b-a)=a·b-a
2
=1×6×cosθ-1=2.
1
π
cosθ=
2
,θ∈[0,π],故θ=
3
.
11.(2012·全国高考浙江卷)设a、b是两个非零向量( )
A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b
B.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb
D.若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|
[答案] C
[解析] 利用排除法可得选项C是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则
a、b共线,
即存在实数λ,使得a=λb.如选项A:|a+b|=|a|-|b|时,
a、b可为异向的共线向量
;选项B:若a⊥b,由正方形得|a+b|=|a|
-|b|不成立;选项D;若存在实数λ,使得a
=λb,a,b可为同向的
共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.
→→<
br>15
12.已知△ABC中,AB=a,AC=b,a·b<0,S
△
ABC<
br>=
4
,|a|=3,
|b|=5,则a与b的夹角为( )
A.30°
C.150°
[答案] C
B.-150°
D.30°或150°
1
[解析] 由a·b<0可知a,b的夹角
θ为钝角,又S
△
ABC
=
2
|a|·|b|sinθ,
1
15
∴
2
×3×5×sinθ=
4
,
1
∴sinθ=
2
?θ=150°.
第Ⅱ卷(非选择题
共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确
答案填在题中横线上) →→→
13.已知向量a、b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-
2
b,则A、B、C、D四点中一定共线的三点是____________.
[答案] A,B,D
→→→
[解析] BD
=BC+CD=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4
b=2(a+
→
2b)=2AB.
14.已知向量a=(1,1),b=(2,-3
),若ka-2b与a垂直,则
实数k等于________.
[答案] -1
[解析] (ka-2b)·a=0,[k(1,1)-2(2,-3)]·(1,1)=0,即(k-
4,
k+6)·(1,1)=0,k-4+k+6=0,
∴k=-1.
15.(2
013北京东城区模拟)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=
(3,4).若λ为实数,(
a+λb)∥c,则λ的值为____________.
1
[答案]
2
[解析] a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),
∵(a+λb)∥c,
1
∴4(1+λ)-3×2=0,解得λ=
2
.
→→
16
.(2013北京东城区模拟)正三角形ABC边长为2,设BC=2BD,
→→→→
AC=3
AE,则AD·BE=________.
[答案] -2
→→→→
1
→→→→
1
→→
[解析] ∵AD
=A
B+BD=AB+
2
BC
,BE=AE-AB=
3
AC
-A
B,
→→→
1
→
1
→→
1
→→
1
→→
1
→→
∴AD
·BE
=(AB+
2
BC)·
(
3
AC
-AB
)=
3
AB·AC
+
6<
br>BC·AC
-
2
BC·AB
→
111111
2
-AB=
3
×2×2×
2
+
6
×2×2×
2+
2
×2×2×
2
-2
2
=-2.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,
证明过程或演算步骤) <
br>17.(本题满分10分)(山东济南一中12-13期中)已知向量a=
(1,2),b=(x
,1)
(1)若〈a,b〉为锐角,求x的范围;
(2)当(a+2b)⊥(2a-b)时,求x的值.
[解析]
(1)若〈a,b〉为锐角,则a·b>0且a、b不同向.
a·b=x+2>0,∴x>-2
1
当x=
2
时,a、b同向.
1
∴x>-2且x≠
2
(2)a+2b=(1+2x,4),(2a-b)=(2-x,3)
(2x+1)(2-x)+3×4=0
即-2x
2
+3x+14=0
7
解得:x=
2
或x=-2.
18.(本题满分12分)(山东师
大附中2012-2013期中)设e
1
、e
2
→→→
是正交单位向
量,如果OA=2e
1
+me
2
,OB=ne
1
-e
2
,OC=5e
1
-e
2
,
若A、B、C三点在一条直线
上,且m=2n,求m、n的值.
[解析] 以O为原点,e
1
、e
2的方向分别为x,y轴的正方向,建
立平面直角坐标系xOy,
→→→
则OA=(2,m),OB=(n,-1),OC=(5,-1),
→→
所以AC=(3,-1-m),BC=(5-n,0),
→→
又因为A、B、C三点在一条直线上,所以AC∥BC,
所以3×0-(-1-m)·(5-n)=0,与m=2n构成方程组
?
mn-5m+n-5=0
?
?
m=2n
?
?
m=-1
,解得
?
1
n=-
?
?
2
?
m=10,
或
?
?
n=5.
19.(本题满分12分)已知a和b是两个非零的已知向量,当a
+tb(t∈R)的模取最小值时
.
(1)求t的值;
(2)已知a与b成45°角,求证:b与a+tb(t∈R)垂直.
[解析] (1)设a与b的夹角为θ,则|a+tb|
2
=|a|
2
+t
2
|b|
2
+2t·a·b
|a|
=|a|+t·|b|
+2|a|·|b|·t·cosθ=|b|
(t+cosθ)
2
+|a|
2
(1-cos
2
θ).
|b|
2222|a|
∴当t=-
cosθ时,|a+tb|取最小值|a|sinθ.
|b|
2|a|2
(2)∵a与b的夹角为45°,∴cosθ=
2
,从而t=-<
br>·
2
,b·(a+
|b|
22|a|
2
tb)=a·
b+t·|b|
2
=|a|·|b|·
2
-
2
··|b|<
br>=0,所以b与a+tb(t∈R)垂直,
|b|
即原结论成立.
20.(本题满分12分)已知向量a、b不共线,c=ka+b,d=a-b,
(1)若c∥d,求k的值,并判断c、d是否同向;
(2)若|a|=|b|,a与b夹角为60°,当k为何值时,c⊥d.
[解析]
(1)c∥d,故c=λd,即ka+b=λ(a-b).
又a、b不共线,
?
k=λ,
∴
?
?
1=-λ.
?
λ=-1,
得
?
?
k=-1.
即c=-d,故c与d反向.
(2)c·d=(ka+b)·(a-b)
=ka
2
-ka·b+a·b-b
2
=(k-1)a
2
+(1-k)|a|
2
·cos60°
1-k
2
又c⊥d,故(k-1)a+
2
a
=0.
2
1-k
即(k-1)+
2
=0.
解得k=1.
21.(本题满分12分)向量a、b、c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,
a⊥b,若|a|
=1,求|a|
2
+|b|
2
+|c|
2
的值.
[解析] 由(a-b)⊥c知(a-b)·c=0.
又c=-(a+b),
∴(a-b)·(a+b)=a
2
-b
2
=0.
故|a|
=|b|=1,又c
2
=[-(a+b)]
2
=a
2
+2a
·b+b
2
=a
2
+b
2
=2,∴|a|
2
+|b|
2
+|c|
2
=4.
13
22.(本题满分1
2分)已知向量a=(3,-1),b=(
2
,
2
).
(1)求证:a⊥b;
(2)是否存在不等于0的实数k和t,使x=a+(t
2<
br>-3)b,y=-ka
+tb,且x⊥y?如果存在,试确定k和t的关系;如果不存在,请说<
br>明理由.
1333
[解析] (1)a·b=(3,-1)·(
2
,
2
)=
2
-
2
=0,∴a⊥b.
(2)假设存在非零实数k,t使x⊥y,则[a+(t
2
-3)b]·(-ka+tb)=<
br>0,
整理得-ka
2
+[t-k(t
2
-3)]a·b+t
(t
2
-3)b
2
=0.
又a·b=0,a
2
=4,b
2
=1.
1
2∴-4k+t(t-3)=0,即k=
4
(t
-3t)(t≠0),
2
故存在非零实数k、t,使x⊥y成立,
1
其关系为k=
4
(t
3
-3t)(t≠0).
第三章综合检测题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个
小题,每小题5分,共60分,在每
小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
ππ
1.sin
2
12
-cos
2
12
的值为( )
1133
A.-
2
B.
2
C.-
2
D.
2
[答案] C
ππ
[解析]
原式=-(cos
2
12
-sin
2
12
)
π
3
=-cos
6
=-
2
. 3
2.(2013·浙江文)函数f(x)=sinxcosx+
2
cos2x的
最小正周期和
振幅分别是( )
A.π,1
C.2π,1
[答案] A
13
π
[解析] f(x)=
2
sin2x
+
2
cos2x=sin(2x+
3
),周期T=π,振幅为
1,故
选A.
31
3.(2013昆明一中模拟)
cos10°
-
sin
170°
=( )
A.4
C.-2
[答案] D
3sin10°-cos10°
3131
[解析]
cos10°
-
sin170°
=
cos10°
-
sin10°
=
sin10°cos10°
=
2sin?10°-30°?2sin?-20°?
-2
sin20°
=
1
=-4.
sin10°cos10°
=
sin10°cos10°
2
sin20°
π
4.(2013莱州一中月考)
tanθ和tan(
4
-θ)是方程x
2
+px+q=0的
两根,则
p、q之间的关系是( )
A.p+q+1=0
C.p+q-1=0
[答案] D
B.p-q-1=0
D.p-q+1=0
B.2
D.-4
B.π,2
D.2π,2
π
[解析]
根据根与系数之间的关系可得tan(
4
-θ)+tanθ=-p,
-p
ππ
π
tan(
4
-θ)tanθ=q,∴tan(
4
-θ+θ)==,
即tan
4
=
π
1-tan?
4
-θ?tanθ
1
-q
=1,
1-q
∴p-q+1=0.
sinα+cosα
1
5.(2012·江西文)若=,则tan2α=( )
sinα-cosα
2
3
A.-
4
4
C.-
3
[答案] B
sinα+cosα
[解析] 本题考查三角恒等变换,“弦”化“切”.由
sinα
-cosα
1
tanα+1
1
=
2
得=
2
即2tanα+2=tanα-1,
tanα-1
2×?-3?
-6
32t
anα
∴tanα=-3,∴tan2α====
4
,“弦”化
22
1-tan
α
1-?-3?
-8
“切”,“切”化“弦”都体现了转化与化归
思想.
4
6.若tanα=3,tanβ=
3
,则tan(α-β)等于(
)
A.-3
1
B.-
3
3
B.
4
4
D.
3
-p
π
tan?
4
-θ?+tanθ
C.3
[答案] D
1
D.
3
1
[解析]
tan(α-β)=
==
3
.
4
1+tanαtanβ
1
+3×
3
7.cos
2
75°+cos
2
15°+cos7
5°·cos15°的值是( )
5
A.
4
3
C.
2
[答案] A
15
[解析] 原
式=sin15°+cos15°+sin15°cos15°=1+
2
sin30°=
4
.
22
tanα-tanβ
4
3-
3
6B.
2
2
D.1+
3
8.y=cos
2
x-sin
2
x+2sinxcosx的最小值是( )
A.2
C.2
[答案] B
π
[解析]
y=cos2x+sin2x=2sin(2x+
4
),
∴y
max
=-2.
13
9.(2013·温州模拟)设a=2
cos6°-
2
sin6°,b=2sin13°cos13°,c
=
1-cos50°
,则有( )
2
A.a>b>c
C.b
B.aD.a
D.-2
[解析]
a=sin24°,b=sin26°,c=sin25°.
∵sin24°
10.若sin
(α-β)sinβ-cos(α-β)cosβ=,且α是第二象限角,则
5
tan(
π
4
+α)等于( )
A.7 B.-7
C.
1
7
D.-
1
7
[答案]
C
[解析]
∵sin(α-β)sinβ-cos(α-β)cosβ=
4
5
∴cosα=-
4
5
又α
是第二象限角,∴sinα=
3
5
则tanα=-
3
4
.
∴tan(α+
π
tan
π
+tanα
1-
3
44
1
4
)=
=
tan
3
=
1-
π
7
.
4
tanα1+
4
11.y=sin(2x-
π
3
)-sin2x的一
个单调递增区间是(
A.[-
ππ
6
,
3
]
B.[
π
,
7
1212
π]
C.[
513
12
π,
12
π]
D.[
π5π
3
,
6
]
[答案] B
)
πππ
[解析] y=sin(2x-
3
)-sin2x=s
in2xcos
3
-cos2xsin
3
-sin2x=-
ππππ
(sin2xcos
3
+cos2xsin
3
)=-sin(2x+
3
),其增区间是函数y=sin(2x+
3
)
ππ3ππ7π的减区间,即2kπ+
2
≤2x+
3
≤2kπ+
2
,∴
kπ+
12
≤x≤kπ+
12
,当k
π7π
=0时,x∈[
12
,
12
].
11
12.已知sin(α+β)=2
,sin(α-β)=
3
,则log
A.2
C.4
[答案] C
11
[解析]
由sin(α+β)=
2
,sin(α-β)=
3
得
1
?
sinαcosβ+cosαsinβ=
?
2
?
1
?
?
sinαcosβ-cosαsinβ=
3
tanα
∴
tanβ
=5,
tanα
2
∴log
5
(
tanβ
)
=log
2
5
5
=4.
tanα
2
5
(
tanβ
)等于( )
B.3
D.5
5
?
sinαcosβ=
?
12
,∴
?
1
?
?
cosαsinβ=
12
,
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确
答案填在题中横线上)
13.(1+tan17°)(1+tan28°)=________.
[答案] 2
[解析] 原式=1+tan17°+tan28°+tan17°·tan28°,又
tan(17°+
28°)=
=tan45°=1,∴tan17°+tan28°=1-1-tan17°·tan28°
tan17°+tan28°
tan17°·tan28
°,代入原式可得结果为2.
π
?
4
?
?
14.(201
2·全国高考江苏卷)设α为锐角,若cos
α+
6
?
=
5
,则
??
π
??
?
sin
2α+
12
?<
br>的值为______.
??
[答案]
172
50
ππ2π
[解析]
∵α为锐角,∴
6
<α+
6
<
3
,
π
?
4
π
?
3
??
∵cos
?
α+
6
?
=
5
,∴sin
?
α+
6
?
=
5
;
????
π
?
π
??
π
?
24
??
∴sin
?
2α+
3
?
=2si
n
?
α+
6
?
cos
?
α+
6
?
=
25
,
??????
πππ
7
cos(2α+
3
)=cos(α+
6
)
2
-sin
2
(
α+
6
)=
25
π
?
ππ
?
π
?
π
π
?
π
????
∴sin
?
2α+
12
?
=sin
?
2α+
3
-
4<
br>?
=sin
?
2α-
3
?
cos
4
-cos
?
2α+
3
?
sin
4
????????
172
=
50
.
?1+tanx?cos
2
x<
br>π
15.(2013长春二模)函数f(x)=的定义域为(0,
4
),
cos2x+sin2x
则函数f(x)的值域为________.
2+2
[答案] [
4
,1)
?1+tanx?cos
2
x
[解析] f(x)=
cos2x+sin2x
11
=
2
+
π
,
22sin?2x+
4
?
ππ
2
∵x∈(0,
4
),∴sin(2x+
4
)∈(
2
,1],
2+2
∴f(x)的值域为[
4
,1).
5
α
16.(2013南通调研)设α、 β∈(0,π),且sin(α+β)=<
br>13
,tan
2
=
1
2
,则cosβ的值为____
____.
16
[答案] -
65
α
1143
[解析]
由tan
2
=
2
得sinα===,cosα=,
α
15
5
1+tan
2
2
1+
4
5
π
由sin(
α+β)=
13
,π),
12
∴cos(α+β)=-
13
.
16
cosβ=co
s[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-
65
.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,
证明过程或演算步骤) <
br>33
17.(本题满分10分)已知cosα-sinα=
5
2,且π<α<<
br>2
π,求
α
2tan
2
sin2α+2sin
2
α
的值.
1-tanα
3218
[解析] 因为cos
α-sinα=
5
,所以1-2sinαcosα=
25
,所以
7<
br>2sinαcosα=
25
.
3π
42
又α∈(π,
2
),故sinα+cosα=-1+2sinαcosα=-
5
,
所以
sin2α+2sin
2
α
1-tanα
=
?2sinαc
osα+2sin
2
α?cosα
cosα-sinα
=
7422sinαcosα?cosα+sinα?
25
×?-
5
?
2
8
==-
75
.
32
cosα-sinα
5
23
18.(本题满分12分)已知α、β均为锐角,且cosα=,sinβ=,
510
求α-β的值.
[解析] 已知α、β均为锐角,且cosα=
则sinα=
22
1
1-?
?
=
.
55
3
2
1
1-?
?
=
.
1010
2
,
5
3
又∵sinβ=,∴cosβ=
10
∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
112352
=
×
-
×
=-=-
2
.
51051050
π
又∵sinα
.
ππ
∴-
2
<α-β<0.∴α-β=-
4
.
ππππ
19.(本题满分12分)已知-<α<,-<β<,且tanα、tanβ是<
br>2222
方程x
2
+6x+7=0的两个根,求α+β的值.
[解析] 由题意知tanα+tanβ=-6,tanαtanβ=7
∴tanα<0,tanβ<0.
又-
π
<α<
π
,-<
br>ππ
222
<β<
2
,
∴-
π
<0,-
π
2
<α
2
<β<0.
∴-π<α+β<0.
∵tan(α+β)=
tanα+tanβ
-61-tanαtanβ
=
1-7
=1,
∴α+β=-
3π
4
.
20.(本题满分12分)已知A、B、C
是△ABC的三个内角,向量
m=(-1,3),n=(cosA,sinA),且m·n=1.
(1)求角A;
(2)若
1+sin2B
cos
2
B-s
in
2
B
=-3,求tanC.
[解析] (1)∵m·n=1,
∴3sinA-cosA=1,2(sinA·
31
2
-cosA·
2)=1,
sin(A-
π
1
6
)=
2
, <
/p>
ππ5π
∵06
6
<6
,
πππ
∴A-
6
=
6
.∴A=
3
.
1+2sinBcosB
(2)由题知
=-3,
22
cosB-sinB
∴=-3
?cosB+sinB??cosB-sinB?
cosB+sinB
∴=-3
cosB-sinB
1+tanB
∴=-3,∴tanB=2.
1-tanB
∴tanC=tan[π-(A+B)]
8+53
=-tan(A+B)=-=
11
.
1-tanAtan
B
π
21.(本题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+
3
)+si
n
2
x.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;
1C1
(2)设A、B、C为△ABC的三个内角,若cosB=
3
,f(
2
)=-
4
,
且C为锐角,求sinA.
πππ
2
[解析] (1
)f(x)=cos(2x+
3
)+sinx=cos2xcos
3
-sin
2xsin
3
+
1-cos2x
1
1+3
3
=2
-
2
sin2x,所以函数f(x)的最大值为
2
,最小正周
期
2
为π.
tanA+tanB
?cosB+sinB?
2
(2)f(
C13
=-
1
2
)=
2
-
2
sinC
4
,
所以sinC=
3
2
.
因为C为锐角,所以C=
π
3
.
在△ABC中,cosB=
1
3
,
所以sinB=
2
3
2.
所以sinA=sin(B+C)
=sinBcosC+cosBsinC
=
2
×
11
×<
br>3
22+3
3
2
2
+
32
=
6.
22.(本题满分12分)(2013·江苏理)已知向量a=(cosα,
(cos
β,sinβ),0<β<α<π.
(1)若|a-b|=2,求证:a⊥b;
(2)设c=(0,1),若a+b=c,求α、 β的值.
[解析]
(1)由题意得|a-b|
2
=2,
即(a-b)
2
=a
2
-2a·b+b
2
=2.
又因为a
2
=b
2
=|a|
2
=|b|
2
=1,
所以2-2a·b=2,即a·b=0,
故a⊥b.
(2)因为a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1),
sinα
),b
=
?
cosα+cosβ=0,
所以
?
?
sinα+sinβ=1,
由此得,cosα=cos(π-β),
由0<β<π,得0<π-β<π,
又0<α<π,故α=π-β.代入sinα+sinβ=1得,
1
sinα=sinβ=
2
,而α>β,
5ππ
所以α=
6
,β=
6
.
本册综合能力测试
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150
分。考试时间120分钟
。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分
,在每
小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
8
1.(2013·泰安期末)tan
3
π的值为( )
33
A.
3
B.-
3
C.3 D.-3
[答案] D
822
[解析]
tan
3
π=tan(2π+
3
π)=tan
3
π=-3.
→
2.(2013·辽宁理)已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB同方向
p>
的单位向量为( )
34
A.(
5
,-
5
)
34
C.(-
5
,
5
)
[答案] A
[解析] 本题考查平面向量的坐标运算,单位向量的求法.
→
→→→
AB
因为AB=(3,-4),|AB
|=5,所以与向量AB
同向的单位向量为
→
|AB|
?3,-4?
34
==(,-
555
),选A.
ππ
3.(2013·诸城月考)集合{x|kπ+
4
≤α≤kπ+
2
,k∈Z}中的角所表
示的范围(阴影部分)是( )
43
B.(
5
,-
5
)
43
D.(-
5
,
5
)
[答案] C
ππ
[解析]
当k=2n时,2nπ+
4
≤α≤2nπ+
2
,
ππ
此时α的终边和
4
≤α≤
2
的终边一样.
π
π
当k=2n+1时,2nπ+π+
4
≤α≤2nπ+π+
2
,
ππ
此时α的终边和π+
4
≤α≤π+
2
的终边一样.
4.已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2弧度,则该扇形的面积
为( )
A.4 cm
2
B.6 cm
2
C.8 cm
2
D.16 cm
2
[答案] A
[解析] 由题意得
?
?
2r+l=8,
解
得
?
r=2,
?
l=2r.
?
?
l=4.
所以S=
1
2
lr=4(cm
2
).
5.已知α
是锐角,a=(
31
4
,sinα),b=(cosα,
3
),且<
br>为( )
A.15° B.45°
C.75° D.15°或75°
[答案] D
[解析]
∵a∥b,∴sinα·cosα=
31
4
×
3
,
即sin2α=
1
2
又∵α为锐角,∴0°<2α<180°.
∴2α=30°或2α=150°
即α=15°或α=75°.
6.若sinα=
12
?
13
,α∈
?
π
?
2
,π
?
?
?
,则tan2α的值为(
A.
60
119
B.
120
119
C.-
60
119
D.-
120
119
[答案] B
a∥b,则
)
α
?
π
?
12
[解析] ∵sinα=13
,α∈
?
?
2
,π
?
?
, ∴cosα=-
5
∴tanα=-
12
13
.
5
.
∴tan2α=
2tanα
1-tan
2
α
=
120
119
.
7.(2013烟台模拟)已知cosα=
35
5
,cos(α+β)=-
13
,
锐角,则cosβ=( )
A.-
63
65
B.-
33
65
C.
33
65
D.
63
65
[答案] C
[解析] ∵α、 β是锐角,
∴0<α+β<π,又cos(α+β)=-
5
13
<0
∴
π
β<π,∴sin(α+β)=
12
2
<α+
13
sinα=
4
5
,又cosβ=cos(α+β-β)
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=-
5
×
312
×
4
135
+
135
=
33
65
.
8.函数y=sinx(
π2π
6
≤x≤
3
)的值域是(
)
A.[-1,1] B.[
1
2
,1]
α,β都是
13
C.[
2
,
2
]
[答案] B
3
D.[
2
,1]
[解析]
可以借助单位圆或函数的图象求解.
π
9.要得到函数y=3sin(2x+
4)的图象,只需将函数y=3sin2x的
图象( )
π
A.向左平移
4
个单位
π
B.向右平移
4
个单位
π
C.向左平移
8
个单位
π
D.向右平移
8
个单位
[答案] C
10.已知a=(1,-1),b=(x+1,x),且a与b的夹角为45°,
则x的值为(
)
A.0
C.0或-1
[答案] C
2
[解析]
由夹角公式:cos45°=
=
2
,即x
2
+x
2·?x+
1?
2
+x
2
=0,解得x=0或x=-1.
sinα+cosα
1
11.(2012·全国高考江西卷)若=,则tan2α=(
)
sinα-cosα
2
3
A.-
4
3
B.
4
x+1-x
B.-1
D.-1或1
4
C.-
3
[答案]
B
4
D.
3
[解析]
主要考查三角函数的运算,分子分母同时除以cosα可得
tanα=-3,带入所求式可得结果. <
br>3
12.设a=sin17°cos45°+cos17°sin45°,b=2cos13°-
1,c=
2
,
2
则有( )
A.cC.a[答案] A
3
[解析] a=sin62°,b=
cos26°=sin64°,c=
2
=sin60°,∴b>a>c.
B.b
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确
答案填在题中横线上)
13.若tanα=3,则sinαcosα的值等于________.
3
[答案]
10
sinαcosαtanα33
[解析]
sinαcosα=
2
=
2
==
10
.
2
sin
α+cosα
tan
α+1
1+9
π
14.已知:
|a|=2,|b|=2,a与b的夹角为
4
,要λb-a与a垂
直,则λ为____
____.
[答案] 2
2
[解析] 由题意a·(λb-a)=
0,即λa·b-|a|
2
=0,∴λ·2×2×
2
-
4=0,即λ
=2.
5
α
15.(2013南通调研)设α、 β∈(0,π),且sin(α+
β)=
13
,tan
2
=
1
2
,则cosβ的值为
________.
16
[答案] -
65
α
1
[解析] 由tan
2
=
2
得
4
sinα=
=
1
=
5
α
1+
tan
2
2
1+
4
3
cosα=
5
5
由sin(α+β)=
13
α、
β∈(0,π),α+β∈(
2
,π)
12
∴cos(α+β)=-
13
cosβ=cos[(α+β)-α]
16
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-
65
.
16.(2013山东师大附中模拟)已知△ABC中,AC=4,AB=2,
→→
若
G为△ABC的重心,则AG·BC=________.
α
2tan
2
1
[答案] 4
[解析] 设BC的中点为D,
∵G为△ABC的重心,
→
2
→
21
→→
1
→→
∴AG=
3
AD
=
3
×
2
(AB
+AC
)=
3
(AB
+A
C
)
→→→
BC
=AC-AB
→→
2
→→
∴AG
·BC
=
3
AD·BC
1
→→→→
=-
3
(AB
+AC
)·(AB
-AC
)
1
→
2
→
2
=-
3
(AB
-AC
)
1
=-
3
×(2
2
-4
2
)=4
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,
证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分)已知函数f(x)=2sin(π-x)cosx.
(1)求f(x)的最小正周期;
ππ
(2)求f(x)在区间[-
6,
2
]上的最大值和最小值.
[解析]
(1)f(x)=2sin(π-x)cosx=2sinxcosx=sin2x
2π
∴函数f(x)的最小正周期T=
2
=π.
π
ππ
(2)由-
6
≤x≤
2
,知-
3
≤2x≤π
3
∴-
2
≤sin2x≤1
ππ
3
∴f(x)在
区间[-
6
,
2
]上的最大值为1,最小值为-
2
. 18.(本题满分12分)已知向量a=3e
1
-2e
2
,b=4e1
+e
2
,其中
e
1
=(1,0),e
2=(0,1),求:(1)a·b;|a+b|;(2)a与b的夹角的余弦值.
[解析]
(1)a=3(1,0)-2(0,1)=(3,-2),
b=4(1,0)+(0,1)=(4,1),
a·b=3×4+(-2)×1=10. <
br>∵|a+b|
2
=(a+b)
2
=a
2
+2a·b+
b
2
=|a|
2
+20+|b|
2
=13+20+17=50,
∴|a+b|=52.
a·b1010221
(2)cos=
==
221
. <
br>|a||b|
13·17
19.(本题满分12分)(2011~2012浙江调研)设
向量α=(3sin 2x,
sin x+cos
x),β=(1,sinx-cosx),其中x∈R,函数f(x)=α·β.
(1)求f(x)的最小正周期;
ππ
(2)若f(θ)=3,其中0<θ<
2
,求cos(θ+
6
)的值.
[解析] (1)由题意得f(x)=3
sin2x+(sinx+cosx)·(sinx-cosx)=
π
3sin
2x-cos2x=2sin(2x-
6
),
2π
故f(x)的最小正周期T=
2
=π.
π
(2)由(1)知,f(θ)=2sin(2θ-
6
),若f(θ)=3,
π
3
则sin(2θ-
6
)=
2
.
ππ
π5ππππ2π
又因为0<θ<
2
,所以-
6
<2θ-
6
<
6
,则2θ-
6
=
3
或2θ-
6
=
3
,
π5π
故θ=
4
或θ=
12
.
6-2
ππππππππ
当θ=
4
时,cos(θ+
6)=cos(
4
+
6
)=cos
4
cos
6<
br>-sin
4
sin
6
=
4
.
5ππ5ππ
5π5π
当θ=
12
时,cos(θ+
6
)=cos(
12
+
6
)=cos(π-
12
)=-cos
12
=-
6-2
ππ
cos(
4
+
6
)=-
4.
20.(本题满分12分)(2012济宁模拟)已知向量a=(cosθ,sinθ),θ∈[0,π],向量b=(3,-1).
(1)若a⊥b,求θ的值;
(2)若|2a-b|
π
得tanθ=3,又θ∈[0,π],∴θ=
3
(2)∵2a-b=(2cosθ-3,2sinθ+1)
∴|2a-b|
2
=(2cosθ-3)
2
+(2sinθ+1)
2
13
=8+8(
2
sinθ-
2
cosθ)
π
=8+8sin(θ-
3
)
ππ
2
又θ∈[0
,π],∴θ-
3
∈[-
3
,
3
π]
π
3
∴sin(θ-
3
)∈[-
2
,1]
∴|2a-b|
2
的最大值为16.
∴|2a-b|的最大值为4.
又|2a-b|
21.(本题满分12分)(2013山
东潍坊高一期末)已知函数f(x)=
π
Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<
2
)的部分图象如图所示.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)将函数y
=f(x)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短为
1
π
原来的<
br>2
倍,再将所得函数图象向右平移
6
个单位,得到函数y=g(x)
的
图象,求g(x)的单调递增区间;
π5πππ
(Ⅲ)当x∈[-
2
,12
]时,求函数y=f(x+
12
)-2f(x+
3
)的最值
.
311
π
93
[解析] (Ⅰ)由图得:
4
T=
6
π-
3
=
6
π=
2
π,
∴T=2π,
2π
∴ω=
T
=1.
1111
又
f(
6
π)=0,得:Asin(
6
π+φ)=0,
1111
∴
6
π+φ=2kπ,φ=2kπ-
6
π,
ππ
∵0<φ<
2
,∴当k=1时,φ=
6
.
又由f(0)=2,得:Asinφ=2,A=4,
π
∴f(x)=4sin(x+
6
).
π
1
(Ⅱ
)将f(x)=4sin(x+
6
)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的
2
ππ
倍,纵坐标不变得到y=4sin(2x+
6
),再将图象向右平移
6<
br>个单位得到
πππ
g(x)=4sin[2(x-
6
)+
6<
br>]=4sin(2x-
6
),
πππ
由2kπ-
2
≤2x-
6
≤2kπ+
2
(k∈Z)得:
ππ
kπ-
6
≤x≤kπ+
3
(k∈Z),
ππ
∴g(x)的单调增区间为[kπ-
6
,kπ+
3
]
(k∈Z).
ππ
(Ⅲ)y=f(x+
12
)-2f(x+
3
)
ππππ
=4sin[(x+
12
)+
6
]-2×4sin[(x
+
3
)+
6
]
ππ
=4sin(x+
4
)-42sin(x+
2
) ππ
=4(sinx·cos
4
+cosx·sin
4
)-42
cosx
=22sinx+22cosx-42cosx=22sinx-22cosx
π
=4sin(x-
4
).
π
5
π
3<
br>π
∵x∈[-
2
,
12
π],x-
4
∈[-
4
π,
6
],
π
1
∴sin(x-
4
)∈[-1,
2
],
∴函数的最小值为-4,最大值为2.
22.(本题满分12分)(2012·全国高考山东
卷)已知向量m=(sinx,1),
A
n=(3Acosx,
2
cos2x
)(A>0),函数f(x)=m·n的最大值为6.
(Ⅰ)求A;
π
(Ⅱ)将函
数y=f(x)的图象像左平移
12
个单位,再将所得图象各点
1
的横坐标缩
短为原来的
2
倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,
5π
????
0,
求g(x)在
24
?
上的值域。
?
A3A
[解析] (Ⅰ)f(x)=m·n=3Acosxsinx+
2<
br>cos2x=
2
Asin2x+
2
π
???
cos2x=Asin
2x+
6
?
,则A=6;
?
?
π
(Ⅱ)函数y=f(x)的图象向左平移
12
个单位得到函数y=
ππ
??
1
??
6sin
2?x+
12
?+6
的图象,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的
2
??
π
倍
,纵坐标不变,得到函数g(x)=6sin(4x+
3
).
5π
??π
?
π
7π
?
π
?
1
?
??
??
当x∈
0,
24
时,4x+
3
∈
3
,
6
,sin(4x+
3
)∈
?
-
2
,1<
br>?
,g(x)
??????
∈[-3,6]
5π
??
??
0,
故函数g(x)在
24
?
上的值域为[-3,6].
?