[推荐]2020年苏教版高中数学必修五(全册)精品教案汇总

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品教案汇总





1.1 正弦定理
教学目标：
1. 掌握正弦定理及其证明, 能够运用正弦定理解决一些简单的三角形度量
问题；
2. 通过对任意三角形的边长和角度关系的探索, 培养学生的自主学习和自主探索能
力；
3. 提供适当的问题情境, 激发学生的学习热情, 培养学生学习数学的兴趣．

教学重点：
正弦定理及其证明过程．

教学难点：
正弦定理的推导和证明．

教学过程：
一、问题情境
从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量, 从大禹治水到都江堰的修建, 从天文观测
到精密仪器的制造, 人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算．测量河流两岸两码头
之间的距离, 确定待建隧道的长度, 确定卫星的角度与高度等等, 所有这些问题, 都可以
转化为求三角形的边或角的问题, 这就需要我们进一步探索三角形中的边角关系．
探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系, 在Rt
?ABC
中, 设
C?90
, 那
么边角之间有哪些关系？
o
abcba
,
sinB?
,
sinC?1?
,
cosA?
,
cosB?
,
cosC?0
,
ccccc
a1
……
tanA?
,
sinA?cosB
,
sinB?cosA
,
tanA?
btanB
abc
探索2 在Rt
?ABC
中, 我们得到, 对于任意三角形, 这个结
??
sinAsinBsinC
sinA?
论还成立吗？
二、学生活动
把学生分成两组, 一组验证结论对于锐角三角形是否成立, 另一组验证结论对于钝角
三角形是否成立．
学生通过画三角形、测量长度及角度, 再进行计算, 得出结论成立．
教师再通过几何画板软件进行验证（如图1）．对于验证的结果不成立的情况, 指出这是由
于测量的误差或者计算的错误造成的．引出课题——正弦定理．

图1
三、建构数学
探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设
C
为最大角, 若
C
为直
角, 我们已经证明结论成立, 如何证明
C
为锐角、钝角时结论成立？
师生共同活动, 注意启发、引导学生作辅助线, 将锐角、钝角三角形转化为直角三角形,
进而探索证明过程．经过讨论, 可归纳出如下证法．
证法一 若
C
为锐角（图2（1））, 过点
A
作
AD?BC
于
D
, 此时有
ADADbc
,
sinC?
, 所以
csinB?bsinC
,即．
?
cbsinBsinC
acabc
同理可得,所以．
???sinAsinCsinAsinBsinC
sinB?
A
c
b
BDC

（1） 图2 （2）
若
C
为钝角（图2（2））, 过点
A
作
AD?BC
, 交
BC
的延长线于
D
, 此时有
sinB?
ADADabc
??
, 且
sinC?
, 同理可得．综上可得, 结论成立．
cbsinAsinBsinC
证法二 利用三角形的面积转化, 先作出三边上的高
AD
、
BE
、
CF
, 则
AD?csinB
,
BE?asinC
,
CF?bsinA
．

1111
bcsinA
=
acsinB
=
bcsinA
, 每项同时除以
abc
,
2222
abc
得
??
sinAsinBsinC
所以< br>S
V
ABC
?
探索4 充分挖掘三角形中的等量关系, 可以探索出不同的证明方法, 我们知道向量
也是解决问题的重要工具, 因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？
uuuruuuruuur
在
?ABC
中, 有
BC?BA?AC
, 设
C
为最大角, 过点
A
作
AD?BC
于
D
, （图3）,
uuu ruuuruuuruuuruuuruuur
uuur
uuur
于是
BC< br>g
AD?BA
g
AD?AC
g
AD
, 设
AD
与
AC
的夹角为
?
, 则
uuuruuur uuuruuur
o
0?BA
g
AD
g
cos(90+B)+AC
g
AD
g
cos
?
, 其中, 当
?C
为锐角或者直角时,
?
?90
o
?C
；当
?C
为钝角时,
?
?C?90
o
．故可得
csinB?bsinC?0
, 即
bcacabc
．同理可得．因此．
????
sinBsinCsinA sinCsinAsinBsinC
这里运用向量的数量积将向量等式转化为数量等式, 我们运用不同的方法证明了三角
形中的一个重要定理．

探索5 这个式子中包含哪几个式子？每个式子中有几个量？它可以解决斜三角型中
的哪些类型的问题？
三个式子：
abbcac
???
, , ．
sinAsinBsinBsinCsinAsinC
每个式子中都有四个量, 如果已知其中三个可求出第四个．
正弦定理可以解决两类三角形问题：
（1）已知两角与任一边, 求其他两边和一角（两角夹一边需要先用三角形内角和定理
求出第三角, 再使用正弦定理）；
（2）已知两边和其中一边的对角, 求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．

四、数学运用
例题 在
?ABC
中：
（1）已知
a?16
,
b?26
,
A?30
, 求
B
,
C
,
c
；
（2）已知
a?30
,
b?26
,
A?30
, 求
B
,
C
,
c
；
（3）已知
a?25
,
b?11
,
B?30
, 解这个三角形．
解 （1）由正弦定理得
o
o
o
ab1626
, 即,
??
o
sinAsinBsin30sinB
26sin30
o
13?
因此
sinB?
1616
ooo
o
所以
B
1
?54.3
, 或
B
2
?180?54.3?125.7
．
oooo
由于
B
2
?A?125.7?30?155.7?180

oo
故
B
2
也符合要求, 从而本题有两个解
B1
?54.3
或
B
2
?125.7
．
ooooo
o
①当
B
1
?54.3
时, < br>C
1
?180?(A?B
1
)?180?(54.3?30)?95. 7
,
asinC
1
16sin95.7
o
c
1
???32sin95.7
o
?31.84
．
o
sinAsin30
ooooo
o
②当
B
2
?125.7
时,
C
2
?180?(A ?B
2
)?180?(125.7?30)?24.3

asinC
2
16sin24.3
o
c
2
???32sin24.3
o
?13.17
．
o
sinAsin30
26sin30
o
13
bsinA
?
（2）由正弦定理得
sinB?
, 即
sinB?

3030
a
oooo
所以
B
1
?25.7
,或
B
2
?180?25.7?154.3
．
oooo
由于
B
2
?A?154.3?30?184.3?18 0
, 故
B
2
不符合要求,
从而本题只有一解
B?25.7

o
C?180
o
?(A?B)?180
o
?(25.7
o
?30
o
)?12 4.3
o
,
asinC30sin124.3
o
c???60s in55.7
o
?49.57
．
o
sinAsin30

asinB25sin30
o
25
???1
, 所以无解． （3） 由正弦定理得
sinA?
b1122
学生思考：已知三角形的两边和其中一边的对角, 为什么分别会出现两解、一解和无解
的情况呢？
巩固练习：
1.（口答）一个三角形的两角和边分别是
30
和
45
, 若
45
角所对边的长为8, 那么
ooo
30
o
角所对边的长是 .
2.(板演) 在
?ABC
中：
oo
（1）已知
A?75,B?45,c?32
, 求
C
,
b
；
（2）已知
A?30,B?120,b?12
, 求
a
,
c
．
3.（板演）根据下列条件解三角形：
（1）
b?40
,
c?20
,
C?25

（2）
a?15
,
b?20
,
A?108

五、回顾小结
本节课同学们通过自己的努力, 发现并证明了正弦定理．正弦定理揭示了三角形中任意
两边与其对角的关系, 其关系式和谐、对称．它可以解决斜三角型中这样的几类问题：已知
三角形中两边与一边的对角, 可求另一边的对角, 进而求出其他的边和角；已知三角形中的
两角与任意一边, 可求出其他的边和角；已知三角形中两边与它们的对角这四个元素中的两
个元素, 可研究出另外两个元素的关系．
六、课外作业
课本P11习题1.1第1, 2题．
o
o
oo
1.2 余弦定理（1）
教学目标：
1. 掌握余弦定理及其证明方法；
2. 初步掌握余弦定理的应用；
3. 培养学生推理探索数学规律和归纳总结的思维能力．

教学重点：
余弦定理及其应用；
教学难点：
用解析法证明余弦定理．

教学方法：
发现教学法．

教学过程：
一、问题情境
在上节中, 我们通过等式
BC?BA?AC
的两边与
AD
（
AD
为
?ABC
中
BC
边上的
高）作数量积, 将向量等式转化为数量关系, 进而推出了正弦定理．
abc
．
??
sinAsinBsinC
探索1 还有其他途径将向量等式
BC?BA?AC
数量化吗？
二、学生活动
向量的平方是向量数量化的一种手段．
A
因为
BC?BA?AC
（如图1）, 所以
BC?BC?（BA?AC）（?BA?AC）


?BA?2AC?BA?AC


22
B
图1
C
?BA?2AC?BAcos(180??A) ?AC?c
2
?2cbcosA?b
2

即
a?b?c?2bccosA
,
同理可得
b?a?c?2accosB
,
222
222
22
c< br>2
?a
2
?B
2
?2abcosC
．
上述等式表明, 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角

的余弦的积的两倍．引出课题——余弦定理．
三、建构数学
对任意三角形, 有余弦定理：

a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
,
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB
,
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
．
探索2：回顾正弦定理的证明, 尝试用其他方法证明余弦定理．
师生共同活动, 探索证明过程．经过讨论, 可归纳出如下方法．
方法一：如图2建立直角坐标系, 则
A(0,0),B(ccosA,csinA),C(b,0)
．
222222< br>所以
a?
?
ccosA?b
?
?
?
csin A
?
?ccosA?csinA?2bccosA?b

22
y
B
?b
2
?c
2
?2bccosA
．
同理可证：
b?a?c?2accosB
,
222
C
A
图2
x
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
．
方法二：若
A
是锐角, 如图3, 由
B
作
BD?AC
, 垂足为
D
, 则
AD?ccosA
．






所以,
a
2
?DC
2
?BD
2
?(A C?AD)
2
?BD
2
?AC
2
?AD
2
?2AC?AD?BD
2

?AC
2
?(AD
2
?BD
2
)-2AC?AD?b
2
?c
2
?2bccosA
,
即
a?b?c?2bccosA
,
类似地, 可以证明当
A
是钝角时, 结论也成立, 而当
A
是直角时, 结论显然成立．
同理可证
b?a?c?2accosB
,
c?a?b?2abcosC
．
方法三：由正弦定理, 得
a?2RsinA?2Rsin(B?C)
．
所以
222222
222
a
2
?4R
2< br>sin
2
(B?C)?4R
2
(sin
2
Bcos< br>2
C?cos
2
Bsin
2
C?2sinBsinCcosB cosC)

?4R[sinB(1?sinC)?(1?sinB)sinC?2si nBsinCcosBcosC]

22222
?4R
2
[sin< br>2
B?sin
2
C?2sinBsinCcos(B?C)]

?4R
2
sin
2
B?4R
2
sin
2
C?2(2RsinB)(2RsinC)cosA

?b
2
?c
2
?2bccosA
．
同理可证
b?a?c?2accosB
,
c?a?b?2abcosC
．
余弦定理也可以写成如下形式：
222222
b
2
?c
2
?a
2
cosA?
,
2bc
c
2
?a
2
?b
2
cosB?
,
2ca
a
2< br>?b
2
?c
2
cosC?
．
2ab
探索3 利用余弦定理可以解决斜三角形中的哪些类型问题？
利用余弦定理, 可以解决以下两类解斜三角形的问题：
（1）已知三边, 求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角, 求第三边和其他两个角．
四、数学运用
1．例题．
例1 在
?ABC
中,

（1）已知
b?3,c?1,A?60?
, 求
a
；
（2）已知
a?7,b?10,c?6,
求最大角的余弦值．
解 （1）由余弦定理,
得
a?b?c?2bccosA?3?1?2?3?1?cos60??7
,
所以
a?
22222
7
．
（2） 因为
c?a?b
, 所以
B
为最大角,
c
2
?a
2
?b
2
6
2
?7
2
?10
2
5
???
． 由余弦定理, 得
cosB?
2ca2?6?728
例2 用余弦定理证明：在
?ABC
中, 当
?C
为锐角时,
a?b?c
；当
?C
为钝
角时,
a?b?c
．
证明：当
?C
为锐角时,
cosC?0
, 由余弦定理得
222
222
c
2
?a
2
?b
2
?2a bcosC?a
2
?b
2

即
a?b?c
；
同理可证, 当
?C
为钝角时,
a?b?c
．
2．练习．
（1）在
?ABC
中, 已知
a?7,b?5,c?3
, 求
A
．
（2）若三条线段的长分别为5, 6, 7, 则用这三条线段（ ）
A. 能组成直角三角形 B. 能组成锐角三角形
C. 能组成钝角三角形 D. 不能组成三角形
（3）在
?ABC
中, 已知
a?b?ab?c
, 试求
C
的大小．
练习答案：
（1）
A?
222
222
222
2
?
2
?
（2）
B
（3）
C?

33
五、要点归纳与方法小结
本节课我们得出了任一三角形的三边及其一角之间的关系, 即余弦定理．余弦定理可以
解决斜三角形中这样的两类问题：已知三边, 求三个角；已知两边和它们的夹角, 求第三边
和其他两个角．

1.2 余弦定理（2）
教学目标：
1. 掌握余弦定理．
2. 进一步体会余弦定理在解三角形、几何问题、实际问题中的运用, 体会数学中的转
化思想．

教学重点：
余弦定理的应用；
教学难点：
运用余弦定理解决判断三角形形状的问题．

教学过程：
一、复习回顾余弦定理的两种形式
（一）
a
2
?b
2?c
2
?2bccosA
,
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB
,
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
．
（二）
cosA?
b
2
?c
2
?a
22bc
,
cosB?
c
2
?a
2
?b2
2ca
,
a
2
?b
2
?c
2< br>cosC?
2ab
．
二、学生活动
探讨实际生活中有哪些问题可以利用余弦定理来解决．
三、数学应用
1．例题．
例1
A
,
B
两地之间隔着一个水塘, 先选择另一点, 测得
C

．
CA?182m,CB?126m,?ACB?63?
, 求
A
,
B
两地之间的距离（精确到1m）
解 由余弦定理, 得
AB
2< br>?CA
2
?CB
2
?2CA?CBcosC?182??126??2 ?182?126cos63??28178.18
所以,
AB?168(m)
．
答：
A
,
B
两地之间的距离约为168m．

C
例2 在长江某渡口处, 江水以5
kmh
的速度向东流．一渡船在江南岸的
A
码头出发,
预 定要在
0.1h
后到达江北岸
B
码头．设
AN
为正北方向, 已知
B
码头在
A
码头的北偏东
A B
15?
, 并与
A
码头相距
1.2km
．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精 确到
0.1?
,
速度精确到
0.1kmh
）？
解 如图, 船按
AD
方向开出,
AC
方向为水流方向, 以
AC为一边、
AB
为对角线作平行
四边形
ACBD
, 其中
N
AB?1.2(km),AC?5?0.1?0.5(km)
．
在
?ABC
中, 由余弦定理, 得
D B
BC
2?1.2
2
?0.5
2
?2?1.2?0.5cos(90??15?) ?1.38

所以
AD?BC?1.17(km)
．
因此, 船的航行速度为
1.17?0.1?11.7(kmh)
．
在
?ABC
中, 由正弦定理, 得
A C
sin?ABC?< br>ACsin?BAC0.5sin75?
??0.4128
,
BC1.17
所以
?ABC?24.4?

所以
?DAN??DAB??NAB??ABC?15??9.4?
．
答：渡船应按北偏西
9.4?
的方向, 并以
11.7kmh
的速度航行．
例3 在
?ABC
中, 已知
sinA?2sinBcosC
, 试判断该三角形的形状．
解 由正弦定理及余弦定理, 得
222
a?b?c
sinAa
cosC?
?
,
2ab
sinBb
,

aa
2
?b
2
?c
2
所以
?2?
,
b2ab
整理, 得
b?c

因为
b?0,c?0
, 所以
b?c
．因此,
?ABC
为等腰三角形．
例4 在
?ABC
中, 已知
acosA?bcosB?ccosC
, 试判断
?ABC
的形状．
解 由
acosA?bcosB?ccosC
及余弦定理, 得
22
b
2
?c
2
?a
2
c
2
?a
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
a?? b??c?
,
2bc2ca2ab
整理, 得
c?(a?b)
,
即
a?b?c
或
a?b??c
,
所以
a?b?c
或
a?c?b
,
所以
?ABC
为直角三角形．
例5 如图,
AM
是
?ABC
中
BC
边上的中线, 求证：
2 22222
222222
4222
AM?
1
2(AB
2?AC
2
)?BC
2
．
2
A
证明：设
?AMB?
?
,
则
?AMC?180??
?
,
在
?ABC
中, 由余弦定理, 得
AB
2
?AM
2
?BM
2
?2AM?BMcos
?
．
在
?ACM
中, 由余弦定理, 得
B
α
M
C< br>AC
2
?AM
2
?MC
2
?2AM?MCcos(1 80??
?
)
．
180??
?
)??cos
?
,
BM?MC?
因 为
cos(
所以
AB?AC?2AM?
因此,
AM?
2. 练习．
222
1
BC
,
2
1
BC
2
,
2
1
2(AB
2
?AC
2
)?BC
2
．
2
（1）在
?ABC
中, 如果
sinA:sinB:sinC?2:3:4
, 那么
cosC
等于（ ）
A．
21
21
B．
?
C．
?
D．
?

33
34

（2）如图, 长7m的梯子
BC
靠在斜壁上, 梯脚与壁基相距
1.5
m, 梯顶在沿着壁向上
6m的地方, 求壁面和地面所成的角
?
(精确到
0.1?
)．




（3）在
?ABC
中, 已知
a?2,b?3,C?60?
, 试判断此三角形的形状．
uuur
uuur
（4）在
?ABC
中, 设
CB
＝
a
,
AC
＝
ｂ
, 且|
a
|＝2, |
ｂ
|
=
3
,
a
·
ｂ＝－
3
, 求
．
AB
的长（精确到0.01）
练习答案：
（1）D （2）
126.7?
（3）锐角三角形 （4）1.88
四、要点归纳与方法小结
这节课, 我们进一步学习了余弦定理在解三角形、几何问题、实际问题中的运用, 对
于三角形中边角关系, 我们有了进一步地了解, 在后面的学习中, 我们将继续研究．
1.3 正弦定理、余弦定理的应用（1）
教学目标：
1．能熟练应用正弦、余弦定理及相关公式解决三角形中的有关问题；
2．能把一些简单的实际问题转化为数学问题, 并能应用正弦、余弦定理及
相关的三角公式解决这些问题；
3．通过复习、小结, 使学生牢固掌握两个定理, 应用自如．

教学重、难点：
能熟练应用正弦、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题, 牢固掌握两
个定理, 应用自如．

教学过程：

一、复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式, 解斜三角形的要求和常用方法．
1．正弦定理、三角形面积公式：

abc
???2R
；
sinAsinBsinC

111
S
?ABC
?bcsinA?absinC?acsinB
．
222
2．正弦定理的变形：
（1）
a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC
；
（2）
sinA?
abc
；
,sinB?,sinC?
2 R2R2R
（3）
sinA
:
sinB
:
sinC?a:
b
:
c
．
3．利用正弦定理和三角形内角和定理, 可以解决以下两类解斜三角形问题：
（1）已知两角和任一边, 求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角, 求另一边的对角, 从而进一步求其它的边和角．
b< br>2
?c
2
?a
2
4．余弦定理：
a?b?c?2bc cosA,cosA?
．
2bc
222
5．应用余弦定理解以下两类三角形问题：
（1）已知三边求三内角；
（2）已知两边和它们的夹角, 求第三边和其他两个内角．
二、例题
（学生自主学习讨论后到黑板板演, 教师规范解题格式）
例1 如图, 为了测量河对岸两点
A
,
B
之间的距离, 在河岸这边取点
C
,
D
, 测得∠
ADC
＝85°, ∠
BDC
＝60°, ∠
ACD
＝47°, ∠
BCD
＝72°,
CD
＝100m．设
A
,
B
,
C
,
D
在同一平面
内, 试求
A
,
B
之间的距离（精确到1 m）．
解 在△
ADC
中, ∠
ADC
＝85°, ∠
ACD
＝47°, 则∠
DAC
＝48°．
又
DC
＝100, 由正弦定理, 得
AC?
DCsin?ADC100sin85?
≈134.05（m）．
?
sin?DACsin48?
在△
BDC
中, ∠
BDC
＝60°, ∠
BCD
＝72°, 则∠
DBC
＝48°．
又
DC
＝100, 由正弦定理, 得
BC?
DCsin?BDC100sin60?
≈116.54（m）．
?
sin?DBCsin48?
在△
ABC
中, 由余弦定理, 得
AB
２
＝
AC
２
＋
BC
２
－2< br>AC·BC
cos∠
ACB

＝134.05＋116.54－2×134.05×116.54cos25°≈3233.95,
２２

所以
AB
≈57（m）．
答
A
,
B
两点之间的距离约为57 m．
例2 如图, 某渔轮在航行中不幸遇险, 发出呼救信号．我海军
舰艇在
A
处获悉后, 测出该渔轮在方位角为45°, 距离为10n mile
的
C
处, 并测得渔轮正沿方位角为105°的方向, 以9n mile／h的速
度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以21n mile／h的速度前去营救．求
舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1°, 时间精确到
1min）．
解 设舰艇收到信号后
x
h在
B
处靠拢渔轮, 则
AB
＝21
x
, BC＝9
x
, 又
AC
＝10, ∠
ACB
＝45°＋（180°－105°）＝120°．
由余弦定理, 得
AB
２
＝
AC
２
＋
BC
２
-2
AC
·
BC
cos∠
ACB
,
即（21
x）
２
＝10
２
＋（9
x
）
２
－2×1 0?9
x
cos120°．
化简, 得36
x
２
－9
x
－10＝0,
解得
x
＝
2
3
（h）＝40（min）（负值舍去）．
由正弦定理, 得
sin?BAC?
BCsin?ACB9xsin120?33AB
?
21x
?
14
,
所以∠
BAC
≈21.8°, 方位角为45°＋21.8°＝66.8°．
答 舰艇应沿着方位角66.8°的方向航行, 经过40min就可靠近渔轮．
例3 作用于同一点的三个力
F
1
,
F
2
,
F
3
平衡．已知
F
1
＝30N,
F
2
＝50N,
F
1
与
F
2
之间的
夹角是60°, 求
F
3
的大小与方向（精确到0.1°）．
解
F
3
应和
F
1
,
F
2
的合力
F
平衡,
所以
F
3
和
F
在同一直线上, 并且大小相等, 方向相反．
如图, 在△
OF
1
F
中, 由余弦定理, 得

F?30
2
?50
2
?2?30?50cos120?? 70(N)
．
再由正弦定理, 得
sin?F
?53
1
O F?
50sin120
70
?
14
,
所以∠
F
1
O
F
≈38.2°, 从而∠
F
1
OF
3
≈141.8°．
答
F
3
为70N,
F
3
和
F
1
间的夹角为141.8°．
三、课题小结
解斜三角形问题即用正余弦定理求解, 已知三角形边角的三个量（至少一条边）, 即可
求其余所有量, 注意解的个数．
四、练习

课本P21习题1.3第2, 4题．
五、布置作业
课本习题．
1.3 正弦定理、余弦定理的应用（2）
教学目标：
1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算、最值探求
有关的实际问题.
2. 能把一些简单的实际问题转化为数学问题, 并能应用正弦、余弦定理及相关的三角
公式解决这些问题.

教学重点：
正弦定理、余弦定理等知识和方法在计算、最值探求等方面的应用．
教学难点：
正弦定理、余弦定理等知识和方法在计算、最值探求等方面的应用．

教学方法：
讲练结合．

教学过程：
一、复习引入
（一） 主要知识：
1. 正弦定理：
abc
???2R
．
sinAsinBsinC
?
b
2
?c
2
?a
2
,
?
cosA?
2bc
?
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA,
?
222
a?c?b
?
2
?< br>22
b?a?c?2accosB,?
?
cosB?,

?
2. 余弦定理：
222
2ac
?
222
?c?a?b?2abcosC.
?
a?b?c
?
cosC?.
?
2ab
?
3. 推论：正余弦定理的边角互换功能．


①
a?2RsinA
,
b?2RsinB
,
c?2RsinC

②
sinA?
③
abc
,
sinB?
,
sinC?

2R2R2R
abca?b?c
==
2R

??
s inAsinBsinCsinA?sinB?sinC
④
a:b:c?sinA:sinB: sinC

4. 三角形中的基本关系式：
sin(B?C)?sinA,cos(B?C)??cosA,

sin
B?CAB?CA
?cos,cos?sin

2222
（二）总结解斜三角形的要求和常用方法：
1. 利用正弦定理和三角形内角和定理, 可以解决以下两类解斜三角形问题：
①已知两角和任一边, 求其他两边和一角；
②已知两边和其中一边的对角, 求另一边的对角, 从而进一步求其他的边和角.
2. 应用余弦定理解以下两类三角形问题：
①已知三边求三内角；
②已知两边和它们的夹角, 求第三边和其他两个内角.
二、问题情境
利用正弦定理、余弦定理解三角形在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的
应用, 今天我们继续来研究正弦定理、余弦定理等知识和方法在计算、最值探求等方面的
应用．如果我们抽去每 个应用题中与生产生活实际所联系的外壳, 就暴露出解三角形问题
的本质, 这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力．下
面, 我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用．
三、数学运用
1．例题．
例1． 如图1-3-4, 半圆
O
的直径为
2
,
A
为直径延长线上
的一点,
OA?2
,
B
为半圆上任意一点, 以
AB
为一边作等边三
角形
ABC
.问：点
B
在什么位置时, 四边形
OACB
面积最大？

学生活动：
问题1：四边形怎么产生的呢？

生：
OA
是定的,
B
动面积变．
师：是的, 四边形的面积由点
B
的位置惟一确定, 而点
B
由
?AOB
惟一确定．
问题2：如何求该四边形的面积？
生：
S?S
?AOB
?S
?ABC

师：选什么作为自变量呢？
生：四边形
OACB
的面积随着
??
?AOB
?
的变化而变化, 可设
?AOB?
?
, 再用
?
的三角函数来表示四边形
OACB
的面积.
解 设
?AOB?
?
.在
?AOB
中, 由余弦定理, 得
A B
2
?1
2
?2
2
?2?1?2cos
?
?5?4cos
?
.
于是, 四边形
OACB
的面积为
13
S?S
?AOB
?S
?ABC
?OA?OBsin
?< br>?AB
2

24
13
5
??2?1?sin
?
?5?4cos
?
?sin
?
?3cos
?
?3

??
24
4
?
?
5
?
?2si n
?
?
?
?
?3
.
34
??
因为
0?
?
?
?
, 所以当
?
?
四边形
OACB
的面积最大.
小结：将四边形
OACB
的面积表示成
?
的函数, 利用三角函数的有界性求出四边形
?
3
?
?
2
时,
?
?
55
?
, 即
?AOB?
?
时,
66
OACB
面积的最大值.
另外, 在求三角函数最值时, 涉及到两角和正弦公式：
sin(
?
?
?
)?sin
?< br>cos
?
?cos
?
sin
?
的构造及逆用, 应要求学生予以重视.
例2 如图, 有两条相交成
60
角的直线
XX?
、
YY
?
, 交点是
O
, 甲、乙分别在
OX
、
o
OY
上, 起初甲离
O
点3千米, 乙离
O
点1千米, 后来两人同时用每小时
4
千米的速度,
甲沿
XX
?
方向, 乙沿
Y
?
Y
方向步行,
（1）起初两人的距离是多少？
（2）用包含
t
的式子表示
t
小时后两人的距离；
（3）什么时候两人的距离最短？

P
?



Q
?

Y
B
?


O


A

X

?
X
?

解 （1）设甲、乙两人起初的位置是
A
,
B
,
则
AB?OA?OB?2OA?OBcos60

22
222
o

?3?1?2?3?1?
∴AB＝
7
km．
1
?7
,
2
∴ 起初两人的距离是
7
km．
师：如何表示
t
小时后两人的距离呢？
生：还是用余弦定理, 但是要分类讨论, 因为夹角发生了改变．
（2）设甲、乙两人
t
小时后的位置分别是
P,Q
, 则
AP?4t
,
BQ?4t
,


当
0?t?
当
t?
3
时,
PQ
2
?(3?4t)
2
?(1?4t)
2
?2(3?4t)(1?4t)cos 60
o
?48t
2
?24t?7
；
4
3
222
o
2
时,
PQ?(4t?3)?(1 ?4t)?2(4t?3)(1?4t)cos120?48t?24t?7
,
4
所以,
PQ?48t
2
?24t?7
km．
（3）∴当
t?PQ?48t?24t?7?48(t?)?4
,
短．
答 在第
15
分钟末, 两人的距离最短．
2． 练习：
如图, 已知
?A
为定角,
P,Q
分别在
?A
的两边上,
PQ
为定长．当
P,Q
位于什么位
置时,
?APQ
的面积最大？
师：三角形的面积怎么表示？
解 设
?A?
?
,PQ?a,AP?x,AQ?y
,
其中
a,
?
为定值,
∴
S
V
APQ
?
22
1
4
2
1
时, 即在第
15
分钟末,
PQ
最
4
1
xysin
?

2
师：
?
为定值, 要求面积的最值, 就是求
xy
的最值, 那么
x
和
y
有什么关系呢？
a
2
?x
2
?y
2
?2xycos
?

师：怎样得到
xy
的最值呢？
a
2
?x
2
?y
2
?2xycos
?
?2xy?2xycos
?
?2 xy(1?cos
?
)

a
2
,

Q1?cos
?
?0,
∴
xy?
2(1?cos
?
)
∴
S
V
APQ
1a
2
sin
?
?xysin
?
?,
当且仅当< br>x?y
时取等号．
24(1?cos
?
)
∴
AP?AQ
时,
?APQ
的面积最大．
小结：本题中用正弦定理表示
?APQ
的面积, 然后用余弦定理找到
x
和
y
的关系式,
可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据, 一般地也是分析几何量之间关系的重要公式, 要
认识到这两个定理的重要性．另外, 本题还要利用基本不等式
a?b?2ab(a?0,b?0)
．
四、回顾小结
通过本节学习, 要求大家在了解正余弦定理在实际中的应用的同时, 掌握由实际问题
向数学问题的转化, 并提高解三角形问题及实际应用题的能力．

2.1 数列（1）
教学目标：
1. 了解数列的概念, 了解数列的分类, 理解数列是一种特殊的函数, 会用列表法和图
象法表示数列；
2．理解数列通项公式的概念, 会根据通项公式写出数列的前几项, 会根据简单数列的
前几项写出数列的一个通项公式．

教学重点：
1．理解数列的概念；
2．会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式．
教学难点：
1．理解数列是一种特殊的函数；
2．会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式.

教学方法：

采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法, 通过问题激发学生求知欲, 使学生主
动参与数学实践活动, 以独立思考和相互交流的形式, 在教师的指导下发现、分析和解决问
题．

教学过程：
一、问题情境
1．情境：
剧场座位：
20
,
22
,
24
,
26
,
28
, ．．． （1）
彗星出现的年份：
1740
,
1823
,
1906
,
1989
,
2072
, ．．．（2）
细胞分裂的个数：
1
,
2
,
4
,
8
,
16
, ．．． （3）
“一尺之棰” 每日剩下的部分： 1,
1111
, , , , ．．． （4）
24816
各年树木的枝干数： 1,
1
,
2
,
3
,
5
,
8
, ．．． （5）
我国参加6次奥运会获金牌数：
15
,
5
,
16
,
16
,
28
,
32
． （6）
2．问题：
这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？
二、学生活动
思考问题, 并理解顺序变化对这列数字的影响．
三、建构数学
1．数列：按照一定次序排列的一列数称为数列．
数列的一般形式可以写成
a
1
,
a
2
,
a
3
, ．．．,
a
n
, ．．．, 简记为
?
a
n
?
．
2．项：数列中的每个数都叫做这个数列的项．
a
1
称为数列
?< br>a
n
?
的第
1
项（或称为首项）,
a
2
称为第
2
项, ．．．,
a
n
称为第
n
项．
说明：数列的概念和记号
?< br>a
n
?
与集合概念和记号的区别：
（1）数列中的项是有序的, 而集合中的项是无序的；
（2）数列中的项可以重复, 而集合中的元素不能重复．
3．有穷数列与无穷数列．
项数有限的数列叫做有穷数列, 项数无限的数列叫做无穷数列．
4．数列是特殊的函数．

在数列
?
a
n
?
中, 对于每一个正整数
n
（或
n?
｛1, 2, …,
k
｝）, 都有一个数
a
n
与之对
应．因此, 数列可以看成以正整数集N
*
（或它的有限子集｛1, 2, …,
k
｝）为定义域的函数
a
n
?f(n)
, 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时, 所对应的一列函数值．反过来, 对
于函数
y?f(x)
, 如果
f(i)
（
i?1,2,3
, …）有意义, 那么我们可以得到一个数列
（强调有序性）
f(1)
,
f(2)
,
f(3)
, …,
f(n)
, …．
说明：数列的图象是一些离散的点．
5．通项公式．
一般地, 如果数列?
a
n
?
的第
n
项与序号
n
之间的关 系可以用一个公式来表示．那么这
个公式叫做这个数列的通项公式．
四、数学运用


例2．已知数列
?
a
n
?
的通项公式, 写出这个数列的前
5
项, 并作出它的图象：
(?1)
n
n
（1）
a
n
?
； （2）
a
n
?
．
n
2
n?1

例3．写出数列的一个通项公式, 使它的前4项分别是下列各数：
（1）
1
,
3
, 5,
7
； （2）2, 4, 6, 8；
（3）
?1
,
1
,
?1
； （4）
0
,
2
,
0
,
2
．

五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．数列的概念；
2．求数列的通项公式的要领．
2.1 数列（2）

教学目标：
1. 进一步熟悉数列及其通项公式的概念；
2．掌握数列通项公式的写法．

教学重点：
掌握数列通项公式的写法．
教学难点：
掌握数列通项公式的写法．
教学方法：
采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法．

教学过程：
一、复习
1. 分别用列表法、图象法表示数列：
我国参加6次奥运会获金牌数:
15
,
5
,
16
,
16
,
28
,
32
．
2. 若数列{
a
n
} 的通项公式为
a
n
＝2
n
－3, 试写出这个数列的前4项．
3. 已知一个数列的前4项分别为1, 2, 4, 8, 试写出这个数列的一个通项公式．
二、例题剖析
例1. 写出下列数列的一个通项公式：
（1）1, 4, 9, 16, … , （2）－1, 3, －5, 7, …,
（3）
14916111
1
, , , , …； （4）,
?
, ,
?
, …；
35792?33?44?5
1?2
（5）1, 3, 1, 3, …； （6）1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, …．

例2. 判断数列｛2
n
－1｝的单调性, 并说明理由．

例3. 试判断下列各数是否是数列｛5
n
＋4｝的项, 并说明理由：
（1）29； （2）31．

三、巩固练习
2-1
1. 用图象法表示数列｛ ｝（
n
≤5）．
3

1＋(－1)
2.
a
n
＝cos 是否是数列｛ ｝的一个通项公式？请说明理由．
22

四、 要点归纳与方法小结
1. 数列的表示方法；
2. 写数列通项公式的基本方法；
3．判断数列中项的方法；
4. 函数思想与数列．

n
n
?
n
2.2.1 等差数列的概念
教学目标：
1.理解等差数列的概念, 体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要函数模型；
2.能够利用等差数列的定义判断给定数列是否为等差数列 ；
3.在探索活动中培养学生的观察、分析能力, 培养由特殊到一般的归纳能力．

教学重点：
等差数列的概念 ．
教学难点：
对等差数列“等差”的特点的理解 .

教学方法：
启发式、研讨式．

教学过程：

一、问题情境
1．情境：第23届到第28届奥运会举行的年份依次为：1984, 1988, 1992, 1996, 2000,
2004；
2．问题：这个数列有什么特点？
二、学生活动
1．让学生回顾书上本章第2.1节开始碰到的数列（初步体会等差数列的特点）；
2．列举生活中的等差数列的实例（了解等差数列的定义）；
3．分析、概括各种等差数列实例的共同特征．
三、建构数学
1．引导学生自己总结给出等差数列的含义（描述性概念）；
2．给出等差中项的概念．
四、数学运用

（1）1,1,1,1,1；
（2）4,7,10,13,16；
（3）-3, -2, -1, 1,2,3．
例2 求出下列等差数列中的未知项：
（1）
3,a,5
；
（2）
3,b,c,?9
．
例3 （1）在等差数列
?
a
n
?
中, 是否有
a
n?
a
n?1
?a
n?1
(n?2)
？
2
a
n?1
?a
n?1
,
2
（2）在数列
?
a
n
?
中, 如果对于任意的正整数
n(n?2)
, 都有
a
n
?
那么数 列
?
a
n
?
一定是等差数列吗？
2．练习.
课本P37练习 1, 2, 3, 4．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．等差数列的有关概念；

2．等差数列的判断方法——定义法、等差中项法．

2.2.2 等差数列的通项公式
教学目标：
1. 掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法；
2. 掌握等差数列的通项公式, 并能用公式解决一些简单的问题；
3. 理解等差数列的性质, 能熟练运用等差数列的性质解决有关问题．

教学重点：
等差数列的通项公式, 关键对通项公式含义的理解．
教学难点：
等差数列的性质和应用.

教学方法：
小组合作式, 研讨式, 启发式．

教学过程：
一、问题情境
1．情境：观察等差数列
?
a
n
?

4,7,10,13,16, …,
如何写出它的第100项呢？
2．问题：设< br>?
a
n
?
是一个首项为
a
1
, 公差为
d
的等差数列, 你能写出它的第
n
项
a
n
吗？
二、建构数学
通过对引例的讲解使学生了解“叠加法”, 引导学生自己总结得出等差数列的通项公式．
三、数学运用
1．例题.

（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；

（2）2008年北京奥运会时第几届？2050年举行奥运会吗？
例2 在等差数列
?
a
n
?
中, 已知
a
3
?10,a
9
?28
, 求
a
12
．
例3 已知等差数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?2n?1
, 求首项
a
1
和公差
d
．
2．练习.
课本P39-40练习 1, 2, 4, 5, 6．
四、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1． 等差数列的通项公式；
2． 会用“叠加法”求等差数列的通项公式．

2.2.3 等差数列的前n项和（1）
教学目标：
要求学生掌握等差数列的求和公式以及推导该公式的数学思想方法, 并能运用公式解
决简单的问题．

教学重点：
掌握等差数列的求和公式．
教学难点：
推导该公式的数学思想方法．

教学方法：
启发、讨论、引导式．

教学过程：
一、问题情境
高斯计算从1一直加到100的和, 这里的算法非常高明, 回忆他是怎样算的．（由一名
学生回答, 再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为
50组, 第一个数与最后一个数一组, 第二个数与倒数第二个数一组, 第三个数与倒数第三
个数一组, ……, 每组数的和均相等, 都等于101, 50个101就等于5050了．高斯算法将

加法问题转化为乘法运算, 迅速准确得到了结果．我们希望求一般的等差数列的和, 高斯
算法对我们有何启发？
二、学生活动
由学生讨论, 研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义．
提问：你能说出高斯解题的思想方法是什么吗？
三、建构数学
等差数列的前
n
项和公式；
四、数学运用
1．例题．
例1 已知等差数列﹛
a
n
﹜中,
a
1
＝50,
a
8
＝15, 求
S
8
．
例2 已知等差数列﹛
a
n
﹜中,
a
13
＝0.7,
a
3
＝1.5, 求
S
7
．
2．练习．

（2）在等差数列﹛
a
n
﹜中, ①若
a
2＋
a
5
＋
a
12
＋
a
15
＝ 36．求
S
16
．②已知
a
6
＝20．求
S
11
．
（3）求1000以内能被7整除的所有自然数之和．
（4）南北朝《张秋建算经》：今有女子善织布, 逐日所织布以同数递增, 初日织五尺,
计织三十日, 共织九匹三丈, 问日增几何？（一匹为四丈）
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．运用从特殊到一般的方法得到了等差数列前
n
项和公式．
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)d
；
?na
1
?
22
2．探究过程中得到了一种重要的求和方法：倒序相 加法．

2.2.3 等差数列的前n项和（2）
教学目标：
1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前
n
项和公式．
2. 了解等差数列的一些性质, 并会用它们解决一些相关问题．

教学重点：
熟练掌握等差数列的求和公式．
教学难点：
灵活应用求和公式解决问题．

教学方法：
启发、讨论、引导式．
教学过程：
一、问题情境
1．情境：首先回忆一下上一节课所学主要内容：
（1）等差数列的前
n
项 和公式1：
S
n
?
n(a
1
?a
n
) ．
2
（2）等差数列的前
n
项和公式2：
S
n?na
1
?
（3）
S
n
?
n(n?1)d ．
2
d
2
d
n?(a
1
?)n
, 当
d
≠0, 是一个常数项为零的二次式．
22
二、学生活动
根据上节课知识讨论对等差数列前项和的最值问题有哪些方法．
三、建构数学
（1）利用
a
n
：
当
a
n
＞0,
d
＜0, 前
n
项和有最大值．可由
a
n
≥0, 且
a
n?1
≤0, 求得
n
的值．
当
a
n
＜0,
d
＞0, 前
n
项和有最小值．可由
a
n
≤0, 且
a
n?1
≥0, 求得
n
的值．
（2）利用
S
n
：由
S
n
?
四、数学运用
1．例题．
d
2
d
n?(a
1
?)n
二 次函数配方法求得最值时
n
的值．
22

例2 已知数列
?
a
n
?
是等差数列,
S
n
是其前
n
项和．
求证：（1）
S
6
,
S
12
－
S
6
,
S
18
－
S
12
成等差数列；

（2）
S
k
,S
2k
?S
k
,S
3k
?S
2k
（
k?N
?
）成等差数列．

2．练习.
（1）一个等差数列前4项的和是24, 前5项的和与前2项的和的差是27, 求这个等差
数列的通项公式.

（2）两个数列1,
x
1
,
x
2
, …,
x
7
, 5和1,
y
1
,
y
2
, …,
y
6
, 5均为等差数列, 公
差分别是
d
1
,
d
2
, 求
x
1
?x
2
????x
7
d
1
与的值．
y
1
?y
2
????y
6
d
2
五、要点归 纳与方法小结
本节课学习了：等差数列前
n
项和的最值问题．
2.3.1 等比数列的概念
教学目标：
1. 体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型, 理解等比数列的概念．
2. 利用等比数列解决实际问题．
教学重点：
等比数列的概念．
教学难点：
理解等比数列“等比”的特点．可以通过与等差数列进行类比来突破难点．

教学方法：
启发式、讨论式．
教学过程：
一、问题情境
情境1：某种细胞, 如果每个细胞每分钟分裂为2个, 那么每过1分钟, 1个细胞分裂
的个数依次为
1,2,4,8,16,LL

情境2：“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”的意思为：一尺长的木棒, 每日取其一半,

永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份, 那么每日剩下的部分依次为
1111
,,,,
LL

24816
情境3：某轿车的售价约为36万元, 年折旧率约为
10
﹪（就是说这辆车每年减少它的
价值的
10
﹪）, 那么该车从购买当年算起, 逐年的价值依次为

36,36?0.9,36?0.9,36?0.9,LL

问题：与等差数列相比, 上面这些数列有什么特点？
二、学生活动
通过观察, 发现：
1．上述数列的共同特征, 从第2项起, 每一项都与它的前一项的比等于同一个常数．而
等差数列的特征是, 从第2项起, 每一项都与它的前一项的差等于同一个常数．
2．根据这一规律可以发现任何一项都可以找出来．
通过讨论, 得到这些问题共同的特点是, 每一项与它的前一项的比都等于同一个常数．
三、建构教学
1. 归纳总结, 形成等比数列的概念：
一般地, 如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前一项的比都等于同一个常数, 那
么这个数列就叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的公比, 公比通常用字母
q
表示．
2. 符号记法, 若数列
?
a
n
?
为等比数列, 公比为
q
, 则
23
a
n
?q(n?2)
．
a
n?1
问题1：下列数列是否为等比数列, 如果是, 公比是多少？
（1）
1,1,1,1,1
； （2）
0,1,2,4,8
； （3）
1,?
1111

,,?,
； （4）
x,x
2
,x
3
,x
4
．
24816
问题2：一 个数列是等比数列, 那么它的项和公比必须满足什么条件？
问题3：当等比数列的公比为负数的时候, 数列每一项有什么样的特征？
（学生讨论回答）
答 问题1中（1）、（3）是等比数列, 公比分别是1和
?
等于
0
的时候是, 等于0的时候不是．
问题2中等比数列的每一项都不能为0, 公比也不能等于0．
问题3中项是呈正负交替出现, 形成摇摆数列．
3. 等比中项的概念．
1
；（2）不是；（4）当
x
不
2

2
若
a,G,b
成等比数列, 那么
G
叫
a
和
b
的等比中项, 且
G?ab,G??ab
．
注：同号的两个数才有等比中项, 等比中项有两个, 它们互为相反数．
四、数学运用
1. 例题．


例2 （1）在等比数列
?
a
n
?
中, 是否有
a
n?a
n?1
a
n?1
(n?2)
？
2
（2）如果数列
?
a
n
?
中, 对于任意的正整数
?
n?2
?
, 都有
a
n
?a
n?1
a
n?1
, 那
2
么
?
a
n
?
一定成等比数列吗？
引导学生利用课本P36例3的证明过程对等比数列进行讨论, 只是要提醒学生等比数列
每一项均不为0．所以（2）不一定成立, 只有在每一项均不为0的时候才成立．
总结判定数列是否是等比数列的两个方法：定义法和等比中项法．
例3 已知等比数列
?
a
n
?
的首项为
a
1
, 公比为
q
．
（1） 新数列
a
n
,a
n?1,a
n?2
,?,a
2
,a
1
也是等比数列吗？如果是 , 公比是多少？
（2） 依次取出数列
?
a
n
?
所有的奇数项, 组成一个新数列, 这个数列还是等
比数列吗？如果是, 它的首项和公比是多少？
（3） 数列
?< br>ca
n
??
c?0
?
是等比数列吗？如果是, 它的首项和公比是多少？
引导学生讨论, 按照等比数列的定义, 利用
a
n
?q(n?2)
判断．归纳总结一般性的结论：
a
n?1
如果取出的项下标 成等差数列, 按照原来的顺序排列形成的新数列依然是等比数列, 公比
是
q
（
d
为下标成等差数列时的公差）
2. 练习．
（1） 已知下列数列是等比数列, 请在括号内填上适当的数：
①（ ）, 3,27； ②3, （ ）, 5； ③1, （ ）, （ ）,
d
81
．
8
（2） 直角三角形的三边
a,b,c
成等比,
c
为斜边, 则
sinA?___________
．

（3） 已知数 列
?
a
n
?
满足：
lga
n
?3n?5< br>, 试用定义证明
?
a
n
?
是等比数列．
五、要点归纳与方法小结
1. 了解等比数列的概念, 形成与等差数列的一个对比；
2. 对于等比数列的每一项均不为0要进行讨论；
3. 证明一个数列是等比数列要用定义法证明, 即
六、课外作业
课本练习P51第1, 2, 3, 6题．

a
n
?q
?
n?2
?
．
a
n?1
2.3.2 等比数列的通项公式
教学目标：
1. 掌握通项公式, 并能应用公式解决有关问题；
2. 理解等比数列的性质, 并学会其简单应用；
3. 会求两个正数的等比中项, 能利用等比中项的概念解决有关问题, 提高分析、计算
能力；
4. 通过学习推导等比数列的通项公式, 掌握“叠乘法” ．
教学重点：
等比数列的通项公式．
教学难点：
等比数列的有关性质及灵活应用．
教学方法：
采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法．

教学过程：
一、问题情境
问题1：观察等比数列
?
a
n
?
：

1,2,4,8,16,L,

如何写出它的第10项
a
10
呢？

问题 2：设
?
a
n
?
是一个首项为
a
1
, 公比为
q
的等比数列, 你能写出它的第
n
项
a
n
吗？
二、学生活动
通过讨论, 发现：
23
n?1
1．
a
2
?a< br>1
q,a
3
?a
2
q?a
1
q,a
4
?a
3
q?a
1
q,L,
可以总结出
a
n
?a
1
q
．
2．如果类比等差数列通项公式的求法,
aa
a
2
a
?q,
3
?q,
4
?q,L,
n
?q
, 可以将
a
1
a
2
a
3
a
n?1
a
n
?q
n?1
．
a
1
这
n?1
个等式的左右两边分别相乘, 就可以得到
三、建构教学
1. 归纳总结学生的方法, 等到等比数列的通项公式, 并且由学生讨论的第二种情况
等到总结“叠乘法”的方法．不过要提醒学生, 按照等差数列通项公式的推导方法, 也必须
检验
n?1
时, 公式也是成立的．
n
2. 问题1：已知等比数列
?
a
n
?
的通项公 式为
a
n
?3?2
, 求首项
a
1
和公比
q
, 并画出
相应的函数图象．
n?1
问题2：观察等比数列
?
a
n
?
的通项公式
a
n
?a
1
q
,
a
n
和
n
的函数关系是什
么？
﹡
问题 3：类比等差数列的性质
a
m
?a
n
?a
p
?a< br>q
(m?n?p?q,m,n,p,q?
N), 等比数
列具备什么样的性质？
（学生讨论回答）
答 问题1：
a
1
?6,q?2
；
问题2：
a
n
和
n
的函数关系是指数型的函数关系； ﹡
问题3：
a
m
?a
n
?a
p
?a< br>q
(m?n?p?q,m,n,p,q?
N)．
四、数学应用
1. 例题．

思考：类比等差数列通项公式的一般性结论
a< br>n
?a
m
?(n?m)d
, 观察例1中第2个问
2
?
?
a
3
?a
1
q,
3
题
?, 你能得到更加一般性的结论吗？
?a?aq
63
5
?
?< br>a
6
?a
1
q．
（学生讨论）
结论：
a< br>n
?q
n?n
?a
n
?a
m
q
n? m
, 特别地,
m?1,a
n
?a
1
q
n?1
．
a
m
例2 已知数列
a,?
3243
,b,?,c
这5个数成等比数列, 求
a,b,c
．
232
变式：等比数列
?
a
n
?
中,
a
4
?4,a
8
?9,
求
a
6
．
分析：（1）注意方法的多样性；
（2）注意等比中项
G?ab
, 所以等比中项有两个且互为相反数；
（3）要注意等比数列中, 间隔项符号相同, 所以
a
6
?0
．
例3 等比数列
?
a
n
?
满足：
a
2
a
8
?2a
3
a
5
?a
2
a
4
?25
, 求
a
3
?a
5
．
分析：等比数列的性质的简单运用： < br>2
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
(m?n?p?q,m,n,p,q?
N
﹡
)．
2．练习．
（1）在等比数列
{a
n
}
中, 若
a
2
?4
,
a
5
?32
, 则公比应为______________；
（2）在等比数列
?
a
n
?
中, 若
a
1
?a
2
?40,a
3
?a
4
?60,则a
7
?a
8
?____________
；
（3）已知
? 9,a
1
,a
2
,?1
四个实数成等差数列,
?9,b< br>1
,b
2
,b
3
,?1
五个实数成等比数列, 则
b
2
?
a
2
?a
1
?
的值 等于________________；
（4）在等比数列
?
a
n
?
中,
a
1< br>?a
2
?a
3
?27,a
2
?a
4
?20
, 求首项
a
1
和公比
q
．
五、 要点归纳与小结
1. 等比数列通项公式的推导方法“叠乘法”；
2. 等比数列通项所具备的性质：
n
（1）指数型函数性质
a
n
?aq
?
aq?0
?

（2）
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
(m?n?p?q,m, n,p,q?
N)．
﹡
六、课外作业
课本P54习题2.3(1)3,4,5,6,9,10．

2.3.3 等比数列的前
n
项和（1）
教学目标：
1.了解等比数列前
n
项和公式及其获取思路, 会用等比数列的前
n
项和公式解决简单的
与前
n
项和有关的问题．
2. 提高学生的推理能力, 培养学生应用意识.

教学重点：
等比数列前
n
项和公式的理解、推导及应用．
教学难点：
应用等差数列前
n
项和公式解决一些简单的有关问题．

教学方法：
采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法．

教学过程：
一、问题情境
提出问题：关于国王的奖赏, 国际象棋棋盘的格子中分别放1, 2, 4, …, 2粒麦子．怎
样求数列1, 2, 4, …, 2, 2的各项和？
即求以1为首项, 2为公比的等比数列的前64项的和, 可表示为：
6263
6 3
S
64
?1?2?4?8???2
62
?2
63
, ①
6364
2
S
64
?2?4?8?16??2?2
, ②
64
由②－①可得：
S
64
?2?1
．
这种求和方法称为“错位相减法”, “错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法．
二、学生活动

怎样求等比数列前
n
项的和？
公式的推导方法一：
一般地, 设等比数列
a
1
,a
2< br>?a
3
,?a
n
??
它的前
n
项和是 < br>S
n
?
a
1
?a
2
?a
3
???a
n
,
2n?2n?1
?
?
?
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
???a
n，
?
S
n
?a
1
?a
1
q?a
1
q???a
1
q?a
1
q，
由
?
得
?

n?1
23n?1n
a?aq．
?
?
1
?
n
?
qS
n
?a
1
q?a
1
q?a
1
q???a
1
q?a
1
q．
a ?a
n
q
a
1
(1?q
n
)
?(1?q) S
n
?a
1
?a
1
q
． ∴当
q?1
时,
S
n
?
或
S
n
?
1
．
1?q
1?q
n
当
q
＝1时,
S
n
?na
1
．
三、建构教学
等比数列的前
n
项和公式：
a?a
nq
a
1
(1?q
n
)
当
q?1
时,
S
n
?
① 或
S
n
?
1
②；
1?q
1?q
当
q
＝1时,
S
n
?na
1
．
思考：什么时候用公式（1）、什么时候用公式（2）？
（当已知
a
1
,
q
,
n
时用公式①；当已知
a
1
,
q
,
a
n
时, 用公式②）
四、数学运用
1. 例题讲解．
例1 求下列等比数列前8项的和．
（1）

1
111
,
?
q?0
?
． , , , …； （2）
a
1
?27,a
9
?
248
243


例3 求数列
1,3a,5a,7a,...,(2n?1)a
2．练习．
23n?1
（
a
≠1）的前
n
项的和．

课本P57－58练习1, 2, 3, 5题．
五、要点归纳与方法小结：
1. 等比数列求和公式：当
q
＝1时,
S
n
?na
1
；
a
1
?a
n< br>q
a
1
(1?q
n
)
当
q?1
时,
S
n
?
或
S
n
?
．
1?q
1?q
2．这节课我们从已有的知识出发, 用错位相减法推导出了等比数列的前
n
项和公式,
并在应用中加深了对公式的认识．
六、课外作业
课本P61习题第1, 3题．

2.3.3 等比数列的前
n
项和（2）
教学目标：
1．掌握等比数列前
n
项和公式．
2．综合运用等比数列的定义、通项公式、性质、前
n
项和公式解决相关的问题．

教学重点：
进一步熟悉掌握等比数列的通项公式和前
n
项和公式的理解、推导及应用．

教学难点：
灵活应用相关知识解决有关问题．

教学方法：
采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法．

教学过程
一、复习引入：
1．等比数列求和公式：
(q?1)
?
na< br>1
?
S
n
?
?
a
1
(1?q
n
)

(q?1)
?
1?q
?

2．数学思想方法：错位相减, 分类讨论．
二、学生活动
求和：
1?a?a?a???a
三、建构教学
1．等比数列通项
a
n
与前
n
项和
S
n
的关系？
n
{
a
n
}是等比数列
?S
n
?Aq?B
其中
A?0,q?1,A?B?0
.
23n?1
．
2．
S
n
为等比数列的前
n
项和,
S
n
?0
, 则
S
k
,S
2k
?S
k
,S
3k
?S
2k
(k?
N)是等比数列．
﹡
注意：①公比
q
的各种取值情况的讨论,
②不要忽视等比数列的各项都不为0的前提条件．
3． 在等比数列中, 若项数为2
n
(
n
∈N),
S
偶
与
S
奇
分别为偶数项和与奇数项和, 则
﹡
S
偶
S
奇
?
．
四、数学运用
1．例题讲解．
例1 设等比数列{
a
n
}的公比为
q
, 前
n
项和为
S
n
, 若
S
n?1
,S
n
,S
n?2
成等差数列, 求
q
的值．



例3 某制糖厂第1年制糖5万吨, 如果平均每年的产量比上一年增加10%, 那么从第
1年起, 约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)？
分析：由题意可知, 每年产量比上一年增加的百分率相同, 所以从第1年起, 每年的
产量组成一个等比数列, 总产量则为等比数列的前
n
项和．
2．练习．
n
①若等比数列{
a
n
}中,
S
n
?m3?1,
则实数
m
＝ ；
②等比数列中,
S
10
= 10,
S
20
= 30, 则
S
30
= ；
③等比数列中
S
n
= 48,
S
2
n
= 60, 则
S
3
n
= ；

④等比数列{
a
n
}共2
n
项,其和为－240, 且奇数项的和比偶数项的和大80, 则公比
q
= ．
五、要点归纳与方法小结
1．{
a
n
}是等比数列
?S< br>n
?Aq
n
?B
其中
A?0,q?1,A?B?0
．
2．
S
n
（
S
n
?0
）为等比数列的前< br>n
项和, 则
S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
(S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
都不为0）
一定是等比数列．
3．在等比数列中,若项数为2
n
（
n
∈N）,
S
﹡
偶
与
S
奇
分别为偶数项和与奇数项和,则
S
偶
S
奇
?q
．
六、课外作业
课本P62习题6, 7, 9, 10, 11, 13题．
3.1 不等关系
教学目标：
1．通过具体情境, 感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系, 了解不等式
（组）的实际背景．
2．经历由实际问题建立数学模型的过程, 体会其基本方法．

教学重点：
从具体情境中提炼出不等式（组）．
教学难点：
建模的过程．

教学过程：
一、问题情境
1．情境：比较自己与同桌的身高、体重、年龄、家庭成员．
2．问题：像“身高”、“体重 ”、“年龄”、“家庭成员”等概念之间反映在数量关系上就
是相等与不等两种情况．
二、学生活动

1．仿照所给例子, 让学生就日常生活, 生产实 际和科学研究中经常要进行大小、多少、
高低、轻重、长短和远近的比较．（初步体会数量关系上的相等 与不等的两种情况）
2．分析、概括由实际问题建立数学模型的过程, 体会其处理方法．
三、建构数学
1．引导学生自己总结出实际生活中蕴涵的不等关系或不等式．
2．引导学生对问题中包含的数量关系进行认真, 细致的分析, 找出其中的不等关系．
3．用常见数学模型刻画不等关系．
4．引导学生将不等式与等式进行比较, 找出其相同点和不同点．
四、数学运用
1．例题．
（1）某博物馆的门票每位10元, 20人以上（含20人）的团体票8折优惠,
那么不足20人时, 应该选择怎样的购票策略？
（2）某杂志以每本2元的价格发行时, 发行量为10万册, 经过调查, 若价
格每提高0.2元, 则发行量就减少5000册, 要使杂志社的销售收入大于22.4万元, 每本
杂志的价格应定在怎样的范围内？
（3）下表给出了
X
,
Y
,
Z
三种食物的维生素含量及成本：
维生素A

（单位kg） （单位kg）
700
100
300
（元kg）
5
4
3
维生素B 成本
X
Y
Z
300
500
300
某人欲将这三种食物混合成100kg的食品, 要使混合食品中至少含35000
单位的维生素A及40000单位的维生素B, 设
X
,
Y
, 这两种食物各取
x
kg,
y
kg, 那么
x,y
应满足怎样的关系？

五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
（1）常见的不等关系及其模型．

（2）由实际问题建立数学模型．

3.2 一元二次不等式（1）
教学目标：
1．经历从实际情境抽象出一元二次不等式模型的过程；
2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；
3．会解一元二次不等式, 对给定的一元二次不等式, 尝试设计求解的程序框图．
教学重点：
一元二次不等式的解法．
教学难点：
一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．

教学方法：
数形结合．

教学过程：
一、问题情境
1．情境：由不等关系中得到的
5x?10x?4.8?0
这样的不等式．
2．问题：如何求解此类不等式？
二、学生活动
1．探索一元二次方程和相应二次函数的关系；
2．画出二次函数图象, 分析相应一元二次不等式的解集；
3．以上情境中以
5x?10x?4.8?0
为例, 学生自己总结求解此不等式的步骤方法．
三、 建构数学
1．引入一元二次不等式得概念．
2．引导学生分析一元二次方程与相应二次函数的联系, 进而引出一元二次不等式和相
应二次函数的联系．
1．引导学生总结解一元二次不等式的方法和步骤；
2
2

2．分析
ax?bx?c?0
与
ax?bx?c?0
的解集；
3．列出对照表格, 学生自行填空, 老师加以补充．
四、 数学应用
1. 例题：
22

0a?0）
例2 将求解一元二次不等式
ax?bx?c?（
的过程用流程图表示．
2. 练习：
（1）不等式
(x?1)(x?3)?0
的解集为 ；
（2）解不等式：
①
?6x?x?2?0
； ②
1?3x?x
；
③
1?4x?4x?2
； ④
(x?2)(x?2)?1
．
2
22
2
0a?0）（3）用流程图表示求解一元二次不等式
ax?bx?c?（
的过程．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．一元二次不等式的概念；
2．一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的联系；
3. 求解一元二次不等式的方法和步骤．

2
3.2 一元二次不等式（2）
教学目标：
1. 进一步巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；会解简单的分式不
等式, 简单的含参数的不等式；掌握简单的含有参数的一元二次不等式恒成立问题；
2. 渗透数形结合, 分类讨论的数学思想.
教学重点：

初步掌握含有参数的一元二次不等式的求解和恒成立问题.
教学难点：
解含有参数的一元二次不等式．

教学方法：
合作探究.

教学过程：
一、问题情境
1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；
2．问题：写出关于
x
的不等式
x?1
?0
解集；
x?2
3．问题：写出关于
x
的不等式
?
x?a
?
(x?1)?0
解集.
二、学生活动
1.学生合作探究, 给出结论, 教师点评, 并给出新问题：
（1）解关于
x
的不等式
x?2
?1
；
3?x< br>（2）解关于
x
的不等式
(x?a)x?a
2
?0
．
三、建构数学
1. 学生合作探究, 并给出具体思路；
2. 呈现课题：简单的含参数的一元二次不等式.
四、数学运用
1．例题.

2
例2. 关于
x
的不等式
mx?mx?2?0
恒成立, 求实数
m
的取值范围.
??
2．练习.
（1）函数
y?lgx?2x?k?1
的定义域为R, 求实数
k
的取值范围.
（2）若关于
x
的不等式
x?ax?
五、要点归纳与方法小结 2
?
22
?
3
的解集为
?
x2?x?b
?
, 求实数
a,
b
.
2

本节课学习了以下内容：
1. 解简单的分式不等式以及含有参数的一元二次不等式, 进一步巩固了一元二次不
等式、一元二次方程以及二次函数的关系；
2．含有参数的一元二次不等式的恒成立问题的处理.

3.2 一元二次不等式（3）
教学目标：
一、知识与技能
1. 进一步熟悉求解一元二次不等式的方法、步骤；
2. 提高分析问题、构建函数模型、解决问题的能力．
二、过程与方法
1. 让学生在解决应用题的过程中, 体会应用题的求解思路, 掌握求解应用题的方法．
2. 培养学生数学应用意识和分析问题、解决问题的能力以及表达交流能力．

教学重点：
通过构建函数模型解应用题．
教学难点：
建立函数模型．

教学方法：
在教师的引导下学生自主分析、转译、建立函数模型．

教学过程：
一、问题情境
如果某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的2倍, 那么明、后两年每年的平均增长率
至少是多少？
二、学生活动
1. 让学生分组讨论, 通过尝试解决问题, 暴露和发现可能存在的问题．
2. 通过问题求解, 让学生总结求解应用题的基本思路和程序．

三、建构数学
引导学生自己总结出求解一元二次不等式应用题的基本思路：
（1）阅读理解、认真审题, 把握问题中的关键量, 找准不等关系．
（2）引进数学符号, 用不等式表示不等关系．
（3）解不等式．
（4）回归实际问题．
四、数学运用
1．例题．
例1 用一根长为
100m
的绳子能围成一个面积大于
600m
的 矩形吗？当长、宽分别为
多少米时, 所围成的矩形的面积最大？
解 设矩形一边的长为
x(m)
, 则另一边的长为
50?x(m)
,
0?x?50
．由题意, 得
2
x(50?x)?600
, 即x
2
?50x?600?0
．解得
20?x?30
．所以, 当矩形一边的长在
(20,30)的范围内取值时, 能围成一个面积大于
600m
的矩形．
用
S
表示矩形的面积, 则
S?x(50?x)??(x?25)?625(0?x?50)
．
当
x?25
时,
S
取得最大值, 此时
50?x?25
．即当矩形的长、宽都为
25m
时, 所
围成的矩形的面积最大．
例2 某小型服装厂生产一种风衣, 日销货量
x件与货价
p
元／件之间的关系为
2
2
p?160?2x
, 生产
x
件所需成本为
C?500?30x
元, 问：该厂日产量多大时, 日获利不
少于1300元？
解 由题意, 得
(1600?2x)x?(500?30x)?1300
, 化简得
x?65x?900?0
, 解之得
2
20?x?45
．因此, 该厂日产量在20件至45件时, 日获利不少于1300元．
例3 汽车在行驶中, 由于惯性的作用, 刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,
我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．
在一个限速为40kmh的弯道上, 甲、乙两辆汽车相向而行, 发现情况不对, 同时刹车,
但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m, 乙车的刹车距离略超过10m, < br>又知甲、乙两种车型的刹车距离
s(m)
与车速
x(kmh)
之间分别 有如下关系：
s
甲
?0.1x?0.01x
2
,s
乙
?0.05x?0.005x
2
．问：甲、乙两车有无超速现象？

解 由题意知, 对于甲车, 有
0.1x?0.01x?12
, 即
x?10x?1200?0
, 解得
22
x?30或x??40
（不合实际意义, 舍去）, 这表明甲车的车速超过30kmh．但根据题意刹
车距离略超过12m, 由此估计甲车车速不会超过限速40kmh．
对于乙车, 有
0.05x?0.005x?10
, 即
x?10x?2000?0
, 解得
22
x?40或x??50
（不合实际意义, 舍去）, 这表明乙车的车速超过40kmh, 超过规定限
速．
点评：从现实中抽象出来的问题, 由两车的刹车距离来推测车速, 从而确定事故的主
要责任方, 这里实际上仅考虑了车速因素, 现实生活中的交通事故认定, 往往要考虑许多
因素．
2．练习
（1）国家为了加强对烟酒生产的宏观管理, 实行征收附加税政策．已知某种酒每瓶70
元, 不加收附加税时, 每年大约销售100万瓶；若政府征收附加税, 每销售100元要征税
R
元（叫做税率
R
0
0
）, 则每年的销售量将减少10
R
万瓶, 要使每年在此项经营中所收取的
附加税不少于112万元,
R
应怎样确定？
（2）制作一个高为20cm的长方体容器, 底面矩形的长比宽多10cm, 并且容积不少于
4000cm．问：底面矩形的宽至少应为多少？
五、回顾小结
3

六、课后作业
1．用24米长的竹篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场 ,中间有一道竹篱笆,要使养鸡场
的面积最大,问矩形的边长应为多少米？
2．某旅店有200张床位, 若每床一晚上租金为27元, 则可全部出租；若将出租收费
标准每晚提高10的整数倍, 则出租的床位会减少10的相应倍数张, 若要该旅店某晚的收入
超过10000元, 则每个床位的出租价格应定在什么范围内？

3.3.1 二元一次不等式表示的平面区域
教学目标：

1．知识目标：准确画出二元一次不等式表示的平面区域；
2．能力目标：学生在学会知识的过程中, 培养学生运用数学方法解决问题的能力, 会
准确地阐述自己的思路和观点, 着重培养学生的认知和元认知能力；
3．情感目标：通过对新知识的构建, 优化学生的思维品质, 通过自主探索、合作交流,
增强数学的情感体验, 提高创新意识．

教学重点：
二元一次不等式表示的平面区域．
教学难点：
准确画出二元一次不等式表示的平面区域．

教学方法：
引导发现法、探索讨论法、题组教学法等等．

教学手段：
利用多媒体技术优化课堂教学, 体现辅助功能．

教学过程：
一、问题情境
本节导入部分为实际应用问题的求解过程．
第一步：研究本节其中的约束条件, 确定数对
(x,y)
的范围．
第二步：在第一步得到的数对
(x,y)
的范围中, 找出使
P
达到最大的数对
(x,y)
．
先讨论第一步．
如图3-3-1（1）, 直线
l:4x?y?10
将
平面分成上、下两个半平面区域, 直线
l
上的
点的坐标满足方程
4x?y?10
, 即
y?10?4x
, 直线
l
上方的平面区域中的点
的坐标满足不等式
y?10?4x
, 直线
l
下方

的平面区域中的点的坐标满足不等式
y?10?4x
．
因此,
4 x?y?10
在平面上表示的是直线
l
及直线
l
下方的平面区域, 即图3－3－1
（2）中的阴影部分（包括边界直线
l
）
一般地, 直线
y?kx?b
把平面分成两个区域（如图）：
y?kx?b
表示直线上 方的平面区域；
y?kx?b
表示直线下方的平面区域．
问 对于二元一次不等式
Ax?By?C?0
(A?B?0)
, 如何确定它所表示的平面
区域？
二、例题选讲
例1 画出下列不等式所表示的平面区域．
（1）
y??2x?1
（2）
x?y?2?0

解 （1）, （2）两个不等式所表示的平面区域如图3－3－3（1）, （2）所示：








例2 将下列各图中的平面区域（阴影部分）用 不等式表示出来（图3－3－4（1）中的
区域不包括
y
轴）：








解 （1）
x?0
．
（2）
6x?5y?22
．
（3）
y?x
．
补充：确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法, 常用的一种方法是“选点
法”：任选一个不在直线上的点, 检验它的坐标是否满足所给的不等式, 若适合, 则该点所
22

在的一侧为不等式所表示的平面区域；否则, 直线的另一侧为不等式所表示的平面区域．
三、课堂练习
1．判断下列命题是否正确．
（1）点
(0,0)
在平面区域
x?y?0
内；
（2）点
(0,0)
在平面区域
x?y?1?0
内；
（3）点
(1,0)
在平面区域
y?2x
内；
（4）点
(0,1)
在平面区域
x?y?1?0
．
2．不等式
x?4y?9?0
表示直线
x?4y?9?0
（ ）．
A．上方的平面区域
C．上方的平面区域（包括直线）
3．用“上方”或“下方”填空．
（1）若
B?0
,
不等式
Ax?By?C?0
表示的区域是直线
Ax?By?C?0
的
不等式
Ax?By?C?0
表示的区域是直线
Ax?By?C?0
的
（2）若
B?0

不等式
Ax?By?C?0
表示的区域是直线
Ax?By?C?0
的
不等式
Ax?By?C?0
表示的区域是直线
Ax?By?C?0
的
4．画出下列不等式所表示的平面区域．
（1）
y?x?1
（2）
y?0

（3）
3x?2y?6?0
（4）
x?2

5．将下列各图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来：



B．下方的平面区域
D．下方的平面区域（包括直线）
3.3.2 二元一次不等式组表示的平面区域
教学目标：
1．掌握二元一次不等式
Ax?By?C?0
表示的平面区域．
2．掌握判断平面区域的方法．

教学重点：
二元一次不等式（组）表示的平面区域．
教学难点：
判断平面区域的方法．

教学过程：
一、复习
Ax?By?C?0
表示的平面区域．
例
6x?5y?22





二、建构数学
判断方法（一）
6x?5y?22

?y??
O
y

22

5
6x?5y?22

11

3
622

x?

55
x

∴表示直线
6x?5y?22
及其下方区域．
判断方示（二）（选点法）将原点（0, 0）代入
6x?5y?22

∴（0, 0）所在的一侧即为
6x?5y?22
表示的区域．
三、数学运用
例1 二元一次不等式组
?
?
4x?y?10
表示怎样的几何意义？
4x?3y?20
?
例2 画出下列不等式组所表示的平面区域．
（1）
?
?
y?2x?1

?
x?2y?4

?
x?0
?
（2）
?
y?0

?
4x?3y?8?0
?
思考：如何寻找满足（2）中不等式的整数解？
例3 如图, △
ABC
三个顶点坐标为
A
（0, 4）,
B
（－2, 0）,
C
（2, 0）, 求△
ABC
内任一点（
x,y
）所满足的条件．
四、练习

1．画出下列不等式表示的区域
（1）
(x?y)(x?y?1)?0
（2）
x?y?2x

2．求不等式
x?1?y?1?2
表示的平面区域的面积.
?
x? 0
4
?
3．若不等式组
?
x?3y?4
所表示的平面区域被 直线
y?kx?
分成面积相等的两部
3
?
3x?y?4
?< br>分, 则
k
的值为 ．
五、要点归纳
1．二元一次不等式（组）表示的平面区域及判断方法．
2．平面区域用二元一次不等式（组）表示．

3.3.3 简单的线性规划问题（1）
教学目标：
1．让学生了解线性规划的意义, 以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、
最优解等概念．
2．让学生掌握线性规划的图解法, 并会用图解法求线性目标函数的最大值与最小值．

教学重点：
用图解法求线性规划问题的最优解．
教学难点：
对用图解法求解简单线性规划问题的最优解这一方法的理解和掌握．

教学方法：
1．在学生的独立探究和师生的双边活动中完成简单的线性规划的数学理论的构建, 在
实践中掌握求解简单的线性规划问题的方法——图解法．
2．渗透数形结合的思想, 培养分析问题、解决问题的能力．
教学过程：
一、问题情境
1．情境：我们先考察生产中遇到的一个问题：（投影）

某工厂生产甲、乙两种产品, 生产1t甲种产品需要
A
种原料4t、
B
种原料12t, 产生
的利润为2万元；生产1t乙种产品需要A种原料1t、B种原料9t, 产生的利润为1万元．现
有库存
A
种原料10t,
B
种原料60t, 问如何安排才能使利润最大？
为理解题意, 可以将已知数据整理成下表：（投影）

甲种产品
4
（1t）
乙种产品
1
（1t）
现有库存（t） 10 60
9 1
12 2
A
种原料（t）
B
种原料（t） 利润（万元）
设计划生产甲、乙两种产品的吨数分别为
x
、
y
, 根据题意, A 、B两种原料分别不得超
?
4x?y?10，
?
4x?y?10，
过 10t和60t, 即
?
, 即
?
．
12x?9y?60，4x?3y?20．
??
这是一个二元一次不等式组, 此外, 产量不可能是负数,所以
x?0,y?0
③
①
②
?
4x?y?10，
?
4x?3y?20，
?
于是上述问题转化为如下的一个数 学问题：在约束条件
?
④下, 求出
x
,
y
,
x?0，
?
?
?
y?0．
使利润（万元）
P?2x?y达到最大．
2．问题：上述问题如何解决？
二、学生活动
①让学生探究解决这个问题分几个步骤；
②让学生分组讨论：如何在不等式组确定的区域中找 到
P?2x?y
取得最大值的数对（
x
,
y
）；
③由学生整理解决这个问题的思路．
（投影）首先, 作出约束条件所表示的区域．其次, 考虑
P?2x?y
的几何意义, 将
P?2x?y
变形为
y??2x?P
, 它
表示斜率为－2, 在
y
轴上截距为P的一条直线．平移直线
y??2x?P
, 当它经过两直线
4x?y?10
与
4x?3y?20
的交
点
A
（1 .25, 5）时, 直线在
y
轴上的截距
P
最大．
因此, 当
x?1.25,y?5
时,
P?2x?y
取得最大值

2?1.25?5?7.5
, 即甲、乙两种产品分别生产1.25t和5t时, 可获得最大利润7.5万元．
三、数学建构（投影）
1．目标函数, 线性目标函数线性规划问题, 可行解, 可行域, 最优解．
诸如上述问题中, 不等式组是一组对变量
x
,
y
的约束条件, 由于这组约束条件都是关
于
x
,
y
的一次不等式, 所以又可称其 为线性约束条件．
P?2x?y
是欲达到最大值或最小
值所涉及的变量
x,
y
的解析式, 我们把它称为目标函数．由于
P?2x?y
又是关于
x
,
y
的
一次解析式, 所以又可叫做线性目标函数．
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外, 也可用一次方程表示．
一般地, 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题, 统称为线性规
划问题．例如：我们刚才研 究的就是求线性目标函数
P?2x?y
在线性约束条件下的最大值
和最小值的问题, 即为线性规划问题．
那么, 满足线性约束条件的解（
x
,
y
）叫做可行解, 由所有可行解组成的集合叫做可行
域．在问题中, 可行域就是阴 影部分表示的区域．其中可行解
A(x
0
,y
0
),B(x
1
,y
1
)
（一般是
区域的顶点）分别使目标函数取得最大值和最小 值, 它们都叫做这个问题的最优解．
2．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）列出线性约束条件及写出目标函数；
（2）画出线性约束条件所表示的平面区域；
（3）通过平面区域求出满足线性条件下的可行解；
（4）用图形的直观性求最值；
（5）检验由（4）求出的解是否为最优解或符合问题的实际意义．
3．应用线性规划的图解方法, 一般必须具备下列条件：
（1）能够将目标函数表示为最大化或最小化的要求；
（2）要有不同选择的可能性存在, 即所有可行解不止一个；
（3）所求的目标函数是受条件约束的；
（4）约束条件应明确地表示为线性不等式或等式；
（5）约束条件中所涉及的变量不超过3个．
四、数学运用

?
x?4y??3，
?
例1 若已知
x,y
满足
?
3x?5y?25，
求
z?2x?y
的最大值和最小值．
?
x?1．
?
?
x?4y??3，
?
解 约束条件
?
3x?5y?25，
, 是关于
x,y
的一个二元一次不
?
x?1．
?
等式组；
目标函数：
z?2x?y
是关于
x,y
的一个二元一次函数； 可行域：是指由直线
x?4y??3,3x?5y?25
和
x?1
所围成的一个三角形区域（包括边界）
?
（如图）；
可行解 所有满足
( x,y)?U
［即三角形区域内（包括边界）的点的坐标的实数
x,y
都
是可 行解；
最优解
(x,y)?U
, 即可行域内一点
(x,y)
, 使得一组平行线
y??2x?z(z
为参
数）中的
z
取得最大值和最 小值时, 所对应的点的坐标
(x,y)
就是线性规划的最优解．当直
线
l: z?2x?y
, 即
y??2x?z
过三角形区域, 且纵截距取最值时,
z
有最值, 即目标函
数
z
有最值．由图知, 当
l
过
B
（1,1）点和
A
（5,2）时,
z
有最小值和最大值．
z
max
?2?5?2?12
,
z
min
?2?1?1?3
．
?
2x?y?3?0，
?
例2 已知
x,y
满足不等式组< br>?
2x?3y?6?0，
求使
x?y
取最大值的整数
x,y< br>的值．
?
3x?5y?15?0．
?
解 不等式组的解集为三直线：
l
1
:2x?y?3?0,l
2
:2x?3y?6?0,l
3
:3x?5y?15?0
所围成的三角形内部（不含
边界）, 设
l
1
与
l
2
,
l
1
与
l
3
,
l
2
与
l
3
交点分别为
A
,
B
,
C
, 则
A
,
B
,
C
坐标分别为
1537512
A(,),B(0,?3),C(,?)
． 841919
作一组平行线
l:x?y?t
平行于
l
0
:x?y?0
,
当
l
往
l
0
右上方移动时,
t
随之增大,
∴当
l
过
C
点时
x?y
最大为
又由
0?x?
63
, 但不是整数解．
19
75
知
x
可取1, 2, 3,
19

当
x
＝1时, 代入原不等式组得
y
＝－2, ∴
x
＋
y
＝－1；
当
x
＝2时, 得
y
＝0或－1,
?
x
＋
y
＝2或1；
当
x
＝3时,
y
＝－1,
?
x
＋
y
＝2．
故
x
＋
y
的最大整数解为
?
练习：
?
x?2，
?
x?3，
或
?
．
?
y?0，
?
y??1．
?
x?4y??3，
?
设
z?6x?10y
, 式中
x
,
y
满足条件
?
3 x?5y?25，
求
z
的最大值或最小值．
?
x?1．
?
五、回顾反思
本节课的主要内容为：
1．目标函数, 线性目标函数线性规划问题、可行解、可行域、最优解；
2．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤；
3．应用线性规划的图解方法, 必须具备的条件．
3.3.3 简单的线性规划问题（2）
教学目标：
一、知识与技能
1．能将实际问题转化为数学问题, 从实际情景中抽象解决一些简单的线性规划应用问
题的基本思路和主要方法；
2. 在应用中培养分析能力、判断能力、作图能力、计算能力；
3. 通过对线性规划方法的实际应用, 进一步加深对线性规划有关知识的理解；
4. 正确进行多种数学语言的转译, 增强学生应用数学的意识．
二、过程与方法
经历从实际情境中抽象出不等式模型的过程, 培养学生数学建模的能力以及
数学应用意识．
三、情感、态度与价值观
1. 通过具体情景, 感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系, 体会不等
式对于刻画不等关系的意义和价值；
2. 体会线性规划的基本思想, 借助几何直观解决一些简单的线性规划问题；
3. 通过实例, 体验数学与日常生活的联系, 感受数学的实用价值, 增强应用意识, 提
高实践能力, 培养学生理论联系实际的观点．

教学重点：
线性规划问题的图解法, 即根据实际问题中的已知条件, 找出约束条件和目标函数,
并利用图解法求得最优解的主要步骤和基本思路；
教学难点：
把实际问题转化为数学问题, 即如何根据实际问题的条件, 转化为线性约束条件；如何
把实 际问题中要的结果转化为线性目标函数；如何根据实际问题的要求确定最优解．

教学方法：
应用多媒体辅助教学, 增强动感和直观性, 增大教学容量, 提高教学效果和教学质量．
采取先师生共同分析、探究解决一两个范例, 给学生提供良好有效的解决问题的思路方
法以及完整规范的解题格式和程序, 再让学生进行模仿练习, 在模仿中加深对求解线性规
划应用题的思路方法的理解和掌握, 逐步提高分析问题、解决问题的能力．

教学过程：
一、 问题情景
1. 提高企业的经济效益是现代化管理的根本任务, 各个领域中的大量问题都可以归结
为线性规划问题, 根据美国《财富》杂志对全美前500家大公司的调查表明, 有
85
0
0
的公
司频繁地使用线性规划, 并取得了提高经济效益的显著效果．在实际生活中, 我们也经常遇
到需要合理安排资源, 以得到最大效益的问题, 如：（多媒体显示）．
某校办工厂有方木料
90m
, 五合板600
m
2
, 正准备为外校新生加工新桌椅和书橱出
售．已知生产每张书桌需要方木料
0?1m
, 五合板2
m
2
, 生产每个书橱需要方木料
0?2m
,
五合板1
m
2
, 出售一张书桌可获利润80元, 出售一张书橱可获利润120元．
（1）假设你是工厂的生产科长, 请你按要求设计出工厂的生产方案．
（2）设生产书桌
x
张, 书橱
y
张, 利润
z
元, 写出
x
,
y
应满足的条件以及
z
与
x
,
y
之间的函数关系式．
（3）如果你是厂长, 为使工厂原料充分利用, 问怎么安排能够使资源最大限度的利用,
且可获得最大利润？
二、学生活动
33
3

1. 让学生思考上面的问题, 探究解决这一问题的方案．
生甲：若只生产书桌, 用完五合板, 可生产书桌300张, 可获得利润80×300＝24000
元, 但方木料没有用完．
生乙：若只生产书橱, 用完方木料, 可生产450张书橱, 可获得利润120×450＝54000
元, 但五合板没有用完．
师：在上面两种情况下, 原料都没有充分利用, 造成了资源浪费, 那么该怎么安排能够
使资源最大限度的利用, 且可获得最大利润？
生丙：设生产书桌
x
张, 书橱
y
张, 利润
z
元, 利用线性规划．
师：
x
y
应满足什么约束条件呢？目标函数是什么？
y
?
0.1x?0.2y?90，
?
2x?y?600，
?
生丙：约束 条件为
?
目标函数为
x?Ｎ，
0.1x+0.2y=90
?
?
y?Ｎ．
?

z?80x?120y
, 这个问题转化为求目标函数的最大值问题．
O
师：能用前面学过的知识解决这一问题吗？
生丁：作出可行域, 作出一组平行直线
2x?3y?t
,
当直线经过点
A
?
100,400
?
时, 直线的纵截距最大,
即合理安排生产, 生产书桌100张, 书橱400张,
有最大 利润为
z
max
?80?100?400?120?56000
元．
师：解决本题的关键在哪儿？
A（100,400）
x
2x+y=600
生：根据题意, 找出线性约束条件和线性目标函数, 利用线性规划图解法求解．
师：哪些应用题可以用线性规划来处理？
生：（讨论, 再次观察例题, 总结, 教师补充）一是人力、物力、财力等资源一定的条
件下, 如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务, 如何合理安排和规划, 能以最
少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．（即“少投入, 多产出”）
三、建构数学
1. 线性规划问题的求解步骤：
（1）审：审题（将题目中数据列表）, 将实际问题转化为数学问题；
（2）设：设出变量, 确定约束条件, 建立目标函数；

（3）画：画出线性约束条件所表示的可行域, 作出目标函数线；
（4）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中, 利用平移的方法找出与可行域有公
共点且纵截距最大或最小的直线；
（5）求：通过解方程组求出最优解；
（6）答：回答实际问题．
2. 对于有实际背景的线性规划问题, 可行域通常是一个凸多边形区域, 此时变动直线
的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点, 因此, 确定其最优解, 往往只需考虑在各个顶
点的情形, 通过比较, 即可得最优解．
四、数学运用
1. 例题.
例1 某工厂用
A
,
B
两种配件生产甲、乙两种产品, 每生产一件甲产品使用4个
A
配
件耗时1h, 每生产一件乙产品使用4个
B
配件耗时2h, 该厂每天最多可从配件厂获得16
个
A
配件和12个
B
配件, 按每天工作8h计算, 该厂所有可能的日生产安排是什么？若生
产一件甲产品可获利润2万元, 生产一件乙产品可获利润3万元, 则如何安排日生产, 可使
工厂所获利润最大？
解 设甲、乙两种产品的产量分别为
x
,
y
件, 工厂所获利润
z
万元,
?
x?2y?8，
?
4x?16 ，
?
约束条件为
?
, 目标函数是
z?2x?3y
． 4y?12，
?
?
?
x?0,y?0．
作出可行域（如图所示） , 可行域内的每一个整点就代表所有
可能的日生产安排．
y
4
2
O
2
4 6
8
x
x+2y-8=0
y=3
x=4
2
2z
将目标函数变形为
y??x?
, 这是斜率为
?
,
3
33
zzz
在
y
轴上的截距为, 随着变化的直线族．当最大时,
z
最大, 但直线要与可行域相
333
交． 当直线经过两条直线
x?4与x?2y?8?0
的交点
M
?
4,2< br>?
时, 直线在
y
轴上的截距最
大, 最大值为
14
, 因此, 每天生产甲产品4件、乙产品2件时, 工厂可得最大利润14万元．
3
例2 投资生产
A
产品时, 每生产一百吨需要资金200万元, 需场地200 m
2
, 可获利
润300万元；投资生产
B
产品时, 每生产一百米需要资金300万元, 需场地100m
2
, 可获利
润200万元．现某单位可使用资金1400万元, 场地900 m
2
, 问 应作怎样的组合投资, 可

获利最大？
分析：
资金（百万元） 场地（百平方米） 利润（百万元）
2
3
14
2
1
9
3
2

A
产品（百吨）
B
产品（百米）
限制
解 设生产
A
产品
x
百吨, 生产
B
产品
y
百米,
利润为
S
百万元, 则约束条件为：
?
2x?3y?14，
?
2x?y?9，
?
目标函数为
S?3x?2y
,
?
x?0，
?
?
y?0．
?



作出可行域（如图所示）, 将目标函数变形为
y??
轴上的截距为
3
3S
x?
, 这是斜率为
?
, 在
y
2
22
SSS
, 随着变化的直线族．当最大时,
S
最大, 但直线要与可行域相交．当
222
?
135
?
，
?
时, 直线在
y
轴上的截距最< br>?
42
?
直线经过两条直线
2x?y?9与2x?3y?14
的交点
A
?
大, 此时
S?3?3.25?2?2.5?14.75
,因此, 生产
A
产品325t, 生产
B
产品250m时, 获
利最大, 且最大利润为1475万元．
例3 营养学家指出, 成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,
0.06kg的蛋白质, 0.06kg的脂肪, 1kg食物
A
含有0.105kg碳水化合物, 0.07kg蛋白质,
0.14kg脂肪, 花费28元；而1kg食物
B
含有0.105kg碳水化合物, 0.14kg蛋白质, 0.07kg
脂肪, 花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求, 同时使花费最低, 需要同时食
用食物
A
和食物
B
多少千克？
分析


食物kg 碳水化合物kg
0.105
0.105
蛋白质kg
0.07
0.14
脂肪kg
0.14
0.07
A
B

解 设每天食用
x
kg食物
A
,
y
kg食物
B
, 总成本为
z
元, 则线性约束条件为：
?
0.105x?0.105y?0.075，
?
0.07x?0.14y?0.06，
?
?
?
0.14x?0.07y?0.06，
①,
?< br>x?0，
?
y?0．
?
?
目标函数为：
z?28x? 21y

28x＋21y＝0
y
4

7
3
7
M

?
7x?7y?5，
?7x?14y?6，
?
?
不等式①等价于
?
14x?7y?6，
②,
?
x?0，
?
y?0．
?
?
作出可行域如图：
2

7
1

7
O
1

2

3
4

5
6
1



7
7
7
7
7
7
x
14＋7y＝6
7x＋14y＝6
7x＋7y＝5
4
4z
x?
, 这是斜率为
?
、随
z
变化 的一组平行
3
328
zz
直线, 是直线在
y
轴上的截距, 当取最小值时
, z
的值最小, 且直线要与可行域相
2828
z
交, 由上图可见, 当直线
z?28x?21y
经过可行域上的点
M
时, 截距最小, 即
z
最小．
28
考虑
z?28x?21y
可变形为
y??
解方程组
?
?
7x?7y?5
?
14
?< br>, 得
M
的坐标为
?
，
?
, 所以
z
min
?28x?21y?16
．
?
77
?
?
14x?7y?6
由此可知, 每天食用
A
食物143g, 食物
B
约571g, 能够满足日常饮食要求, 又使花费
最低, 最低成本为16元．
2.练习．
（1）某工厂拟生产甲、乙两种适销产品, 每件销售收入分别为3千元、2千元．甲、
乙产品都需要在
A
,
B
两种设备上加工, 在每台
A
,
B
上加工一件甲所需工时分别为1小时、
2小时, 加工一件乙所需工时分别为2小时、1小时,
A
,
B
两种设备每月有效使 用台数分别
为400小时台和500小时台．如何安排生产可使收入最大？
解 设甲、乙两种产品的产量分别为
x
,
y
件,
y
?< br>x?2y?400
?
2x?4y?500
?
约束条件为
?,
x?0
?
?
y?0
?
O
2x+y=500
A（200,100）
x
x+2y=400

目标函数是
z?3x?2y
．
作出可行域（如图所示）
将目标函数变形为
y??
直线族．当
zz
3
3z
x?
, 这是斜率为
?
, 在
y
轴上的截距为, 随着变化的
22
2
22
z
最大时,
z
最大, 但 直线要与可行域相交．当直线经过两条直线
2
2x?y?500与x?2y?400
的 交点
A
?
200,100
?
时, 直线在y轴上的截距最大, 最大值为
800千元, 因此, 甲、乙两种产品的每月产量分别为200,100件时, 工厂可得最大收入800
千元．
（2）某人准备投资1200万元兴办一所完全中学, 对教育市场进行调查后, 他得到了
下面的数据表格（以班级为单位）：
学段
初中
高中
班级学生数
45
40
配备教师数
2
3
硬件建设（万元） 教师年薪（万元）
26班
54班
2人
2人
若根据有关部门的规定, 初中每人每年可收取学费1600元, 高中每人每年可收取学费
2700元．因生源和环境等条件限制, 办学规模以20至30个班为宜（含20个与30个）, 那
么开设初中班和高中班各多少个, 每年收取的学费总额最多？
解 设开设初中班
x
个, 高中班
y
个, 收取学费的总额为
z
万元．
?
x?y?2 0
?
x?y?30
?
满足的约束条件为
?
, 目标函数为
z?0.16?45x?0.27?40y
,
?
x?2y?4 0
?
?
x?0,y?0
2
25
可行域如图, 把
z?7.2x?10.8y变形为y??x?z
, 得到斜率为
?
, 在
y
轴
3
354
zz
上的截距为, 随着变化的直线族．
5454
y
z
当最大时,
z
最大, 但直线要与
54
可行域相交．当直线经过可行域上的点
M
时, 直线在
y
轴上的截距最大,
z
最大．
解方程组
?
30
20
7.2x＋10.8y＝0
10
O
10
M
?
x?y?30
,

?
x?2y?40
20
30
40
x
x＋2y＝40
x＋y＝20
x＋y＝30

得M的坐标为
?
20,10
?
,

所以
z
max
?7.2?20?10.8?10?252
．
由此可知, 开设20个初中班和10个高中班, 收取的学费最多, 为252万元．
五、要点归纳与方法小结：
本节课学习了以下内容：
1. 线性规划问题的求解步骤：
（1）审：审题（将题目中数据列表）, 将实际问题转化为数学问题；
（2）设：设出变量, 确定约束条件, 建立目标函数；
（3）画：画出线性约束条件所表示的可行域, 作出目标函数线；
（4）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中, 利用平移的方法找出与可行域有公
共点且纵截距最大或最小的直线；
（5）求：通过解方程组求出最优解；
（6）答：回答实际问题．
2. 对于有实际背景的线性规划问题, 可行域通常是一个凸多边形区域, 此时变动直线
的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点, 因此, 确定其最优解, 往往只需考虑在各个顶
点的情形, 通过比较, 即可得最优解．
3. 本节课学习的数学思想：化归思想、数形结合思想．

3.3.3 简单的线性规划问题（3）
教学目标：
1．掌握线性规划问题中整点问题的求解方法．
2．了解线性规划的思想方法在其他方面的应用．
3．通过问题解决, 丰富和完善对线性规划问题这一数学模型及其思想方法
的认识和理解, 拓宽视野．
4．体会线性规划这一数学模型及其思想方法应用的广泛性、实用性, 激发
学习数学的兴趣．

教学重点：
线性规划的应用．

教学难点：
将实际问题转化为线性规划问题, 并给予求解．

教学过程：
这节课程我们继续研究线性规划问题在实际生活中的应用．
一、例题讲解
例1 某运输公司向某地区运送物资, 每天至少运送180t．该公司有8辆 载重为6t的
A
型卡车与4辆载重为10t的
B
型卡车, 有10名驾驶员．每辆卡车每天往返次数为
A
型车4
次,
B
型车3次．每辆卡车每天往返的成本费
A
型车为320元,
B
型车为504元．试为该公
司设计调配车辆方案, 使公司花费的成本最低, 若只调配
A
型或
B
型卡车, 所花的成本费
分别是多少？
解 设每天调出
A
型车
x
辆,
B
型车
y
辆, 公司花费成本
z
元, 将题中数据整理成如下表
格：

载重（s）
车辆数
出车次数
每车每天运输成本（元）
A
型车
6
8
4
320
B
型车
10
4
3
504
物资限制
共180



?
x?y?10,< br>?
x?y?10，
?
4x?6?3y?10?180，
?
4x ?5y?30，
??
??
则约束条件为
?
0?x?8,
即
?
0?x?8，

?
0?y?4,
?
0?y?4 ，
??
??
?
x,y?Ｚ.
?
x,y?Ｚ．
目标函 数为
z?320x?504y
．
作出可行域：
当直线
320x? 504y?z
经过直线
4x?5y?30
与
x
轴的交点（7.5, 0）时,
z
有最小
值, 由于（7.5, 0）不是整点, 故不是最优解．
由图可知, 经过可行域内的整点, 且与原点距离最近的直线是
320x?504y?2560
,
经过的整点是（8, 0）, 它是最优解．

答 公司每天调出
A
型车8辆时, 花费的成本最低, 即只调配
A
型卡车, 所 花最低成本
费
z?320?8?2560
（元）；若只调配
B
型卡车 , 则
y
无允许值, 即无法调配车辆．
例2 学校有线网络同时提供
A
、
B
两套校本选修课程．
A
套选修课播40分钟, 课后研
讨20分钟, 可获得学分5分；
B
套选修课播32分钟, 课后研讨40分钟, 可获学分4分, 全
学期20周, 网络每周开播两次, 每次均独立内容．学校规定学生每学期收看选修课不超过
1400分钟, 研讨时间不得少于1000分钟, 两套选修课怎样合理选择, 才能获得最好学分成
绩？


分析 线性规划问题应根据实际情况作具体分析, 特别注意求整体、可解性和选择性．
解 设选择
A
、
B
两套课程分别为
x、y
次,
z
为学分, 则

?
x?y?40,
?
40x?32y?1400,
?
图示：
?
?
20x?40y?1000,
?
?
x,y?Ｎ.
目标函数
z?5x?4y
,
由方程组解得点
A
（15, 25）,
B
（25, 12.5）

（舍）
答 选
A
课和
B
课分别为15次和25次才能获得最好学分成绩．
例3 私人办学是教育发展的一个方向, 某人准备投资1200万元创办一所中学, 为了
考虑社会效益和经济效益, 对该地区教育市场进行调查, 得出一组数据, 列表如下（以班级
为单位）：
市场调查表

初中
高中

班级学生数
50
40
配备教师数
2.0
2.5
硬件建设费（万元） 教师年薪（万元）
28
58
1.2
1.6
根据物价部门的有关文件, 初中是义务教育阶段, 收费标准适当控制, 预计除书本费、
办公费, 初中每生每年可收取600元, 高中每生每年可收取1500元, 因生源和环境等条件
限制, 办学规模以20至30个班为宜（含2 0个与30个）．教师实行任聘制．初、高中的教
育周期均为三年, 请你合理地安排招生计划, 使年利润最大, 大约经过多少年可以收回全
部投资？

分析 这是一道线性规划问题, 可假设初中编制为
x
个班级, 高中编制为
y
个班级,
利用题设先列出不等式组, 求出目标函数, 然后画出它在直角坐标平面内所表示的区域,
利用图形法加以求解．
解 设初中编制为
x
个班, 高中编制为
y
个班, 则依题意有

?
20?x?y?30，
?
（★）
?
28x?58y?1200，
?
x,y?Ｎ．
*
?
又设年利润为
s
万元, 那么



s?( 50?600?10000)x?(40?1500?10000)y?2.4x?4y
,
即
s?0.6x?2y
．
现在直角坐标系中作出（★）所表示的可行域, 如下图所示
问题转化为在如图所示的阴影部分中, 求直线
s?0.6x?2y
在
y
轴上的截距的最大值,
如图, 虚线所示的为一组斜率为
?0.3
的直线, 显然当直线过图中的
A
点时, 纵截距取最大
值．
解联立方程组
?
?
x?y?30,
?
x?18
得
?

?
28x?58y?1200,
?
y?12



将
x?18,y?12
代入
s
中, 得
s
max
?34.8

设经过
n
年可收回投资, 则
第1年利润为
6?50?600?10000?6?2?1.2?4?40?1500? 10000?4?2.5?1.6?11.6

第2年利润为
2?11.6?23.2
（万元）
以后每年的利润均为34.8万元, 故依题意应有
11.6?23.2?34.8(n?2)?1200

解得
n?35.5

故学校规模以初中18个班、高中12个班为宜, 第一年初中招生6个班约300人, 高中
招生4个班约160人, 从第三年开始年利润为34.8万元, 约经过36年可以收回全部投资．
二、课堂小结
通过这节课的学习, 使我们对线性规划有了更深刻的理解, 拓宽了我们的视野, 让我

们体会到线性规划问题在现实生活中具有非常广泛的应用．
三、布置作业
要将两种大小不同的钢板截成
A
,
B
,
C
三种规格, 每张钢板可同时截得三种规格的小钢
板的块数如下表：
规格
A
规格
钢板类型
第一种钢板
第二种钢板
2
1
B
规格
1
2
C
规格
1
3
今需要
A
,
B
,
C
三种规格的成品分别为15, 18, 27块, 问各截这两种板多少张可得所
需三种规格成品, 且使所用钢板张数最少？

3.4.1 基本不等式的证明（1）
教学目标：
一、知识与技能
1．探索并了解基本不等式的证明过程, 体会证明不等式的基本思想方法； 2．会
用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；
3．学会推导并掌握基本不等式, 理解这个基本不等式的几何意义, 并掌握
定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
4．理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几
何解释．
二、过程与方法
1.通过实例探究抽象基本不等式；
2.本节学习是学生 对不等式认知的一次飞跃．要善于引导学生从数和形两方面深入地探
究不等式的证明, 从而进一步突破难点．变式练习的设计可加深学生对定理的理解, 并为以
后实际问题的研究奠定基础．两个定理的证明要注重严密性, 老师要帮助学生分析每一步的
理论依据, 培养学生良好的数学品质．
三、情感、态度与价值观
1．通过本节的学习, 体会数学来源于生活, 提高学习数学的兴趣；
2．培养学生举一反三的逻辑推理能力, 并通过不等式的几何解释, 丰富学生数形结合

的想象力．

教学重点：
应用数形结合的思想理解不等式, 并从不同角度探索不等式 的证明过程．
教学难点：
理解基本不等式 等号成立条件及 “当且仅当时取等号”的数学内涵．

教学方法：
先让学生观察常见的图形, 通过面积的直观比较抽象出基本不等式；从生活中实际问题
还原出数学本质, 可积极调动学生的学习热情；定理的证明要留给学生充分的思考空间, 让
他们自主探究, 通过类比得到答案．

教学过程：
一、问题情景
a?b
与
ab
哪个大？
2
a?b
2.基本不等式
ab?
的几何背景：
2
1.提问：
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标, 会标是根据中国古代数学家赵爽
的弦图设计的, 颜色的明暗使它看上去象一个风车, 代表中国人民热 情好客．你能在这个图
案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系 或不等关
系）．
二、学生活动
问题1 我们把“风车”造型抽象成上图．在正方形
ABCD
中有4个全等的直角三角
形．设直角三角形的长为
a，b
, 那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？
生答：
a
2
?b
2,a
2
?b
2
.
问题2 那4个直角三角形的面积和呢？
生答
2ab
．
问题3 好, 根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积, 我们可得容易得到一个
不等式,
a?b?2ab
.什么时候这两部分面积相等呢？
22

生答：当直角三角形变成等腰直角三角形, 即
x?y
时, 正方形EFGH变成一个点, 这时有
a
2
?b
2
?2ab
.
三、建构数学
1．重要不等式：一般地, 对于任意实数
a
,
b
, 我们有
a?b?2ab
, 当且仅当
22
a?b
时, 等号成立．
问题4：你能给出它的证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书)
(a?b)?0,当a?b时,(a?b)?0,
证明：
a?b?2ab?(a?b),当a?b时，
所以
a?b?2ab

注意强调：当且仅当
a?b
时,
a?b?2ab

注意：（1）等号成立的条件, “当且仅当”指充要条件；
（2） 公式中的字母和既可以是具体的数字, 也可以是比较复杂的变量式, 因此应用
范围比较广泛．
问题5：将
a
降次为
a
,
b
降次为
b
,则由这个不等式可以得出什么结论？
2．基本不等式：对任意正数
a
,
b
, 有
生讨论回答证明方法）
证法1：
22
22
22222
a ?b
（学
?ab,
当且仅当
a?b
时等号成立．
2
a?b
?
2
11
ab
?[(a)
2
?(b)
2
?2ab]?(a?b)
2
?0
当且仅当
22
a?b< br>即
a?b
时, 取“
?
”．
a?b
, 只要证
2ab?a?b
, 只要证
0?a?2ab?b
, 只要证
2
a?b
0?(a?b)
2
．因为最后一个不等式成立, 所以
ab
?
成立, 当且仅当
a?b
2
证法2：要证
ab
?
即
a?b
时, 取“=”号．
2
证法3：对于正数
a,b
有
(a?b)?0
,
?a?b?2ab?0
?a?b?2ab,?
说明： 把
a?b
?ab

2
a?b
和
ab
分别 叫做正数
a,b
的算术平均数和几何平均数, 上述不等式可
2
叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
注意：（1）基本不等式成立的条件是：
a?0,b?0
；

（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）；
（3）
a?b
（如图1）以
a?b
为直径作圆, 在直径
AB
上取一点
C
,
?ab
的几何解释：
2
ab
, 而半径
2
过
C
作弦
DD
?
?AB
, 则
CD?CA?CB?ab
, 从而
CD?
a?b
?CD?ab

2
基本不等式
ab?

D

a?b
几何意义是：“半径不小于半弦”；
2
A

a

C

b

B

?
（图1）
D

（4）当且仅当
a?b
时, 取“
?
”的含义：一方面是当
a?b
时取等号, 即
a?b
?ab?
a?ba?b
；另一方面是仅当
a?b
时取等号, 即
ab??
a?b
；
22
22
（5）如果
a,b?R
, 那么
a?b?2ab
（当且仅当
a?b
时取“
?
”）； < br>（6）如果把
a?b
看作是正数
a
、
b
的等差中项,
ab
看作是正数
a
,
b
的等比中项,
2
那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．
四、数学运用
1．例题．
例1 设
a,b
为正数, 证明下列不等式成立：（1）
ba1
（2）
a??2
.
??2
；
aba
证明 （1）∵
a,b
为正数, ∴
不等式成立．
（2）∵
a,
baba
ba
??2
∴原
,
也为正数, 由基本不等式得
??2
abab
ab
11
1
均为正数, 由基本不等式得
a??2a??2
, ∴原不等式成立．
aa
a
222
例2 已知
a,b,c
为两两不相等的实数, 求证：
a?b?c?ab?bc?ca
.
证明 ∵
a,b,c
为两两不相等的实数, ∴
a?b?2ab
,
b?c?2bc
,
22
22
c
2
?a
2
?2ca
,
以上三式相加：
2(a?b?c)?2ab?2bc?2ca
,
所以,
a?b?c?ab?bc?ca
．
例3 已知
a,b,c,d
都是正数, 求证
(ab?cd)(ac?bd)?4abcd
.
222
222

证明 由
a,b,c,d
都是正数, 得：
∴
ab?cdac?bd
?ab?cd?0
,
?ac?bd?0
,
22
(ab?cd)(ac?bd)
?abcd
, 即
(ab?cd)(ac?bd)?4abcd
.
4
2．练习．
（1）已知
x,y
都是正数, 求证：
(x?y)(x?y)(x?y)?8xy
；
（2）已知
a,b,c
都是正数, 求证：
(a?b)(b?c)(c?a)?8abc
；
（3）思考题：若
x?0
, 求
x?
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．算术平均数与几何平均数的概念；
2．基本不等式及其应用条件；
3．不等式证明的三种常用方法．
小结 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
六、课外作业
课后练习第2题, 第6题；习题3.4第1题, 第2题, 第3题．
223333
1
的最大值.
x

3.4.1 基本不等式的证明（2）
教学目标：
一、知识与技能
1．进一步掌握基本不等式；
2．学会推导并掌握均值不等式定理；
3．会运用基本不等式求某些函数的最值, 求最值时注意一正二定三等四同．
4．使学生能够运用均值不等式定理来研究函数的最大值和最小值问 题；基本不等式在
证明题和求最值方面的应用．
二、过程与方法
通过几个例题的研究, 进一步掌握基本不等式, 并会用此定理求某些函数的最大、最小
值．
三、情感、态度与价值观
引发学生学习和使用数学知识的兴趣, 发展创新精神, 培养实事求是、理论与实际相结

合的科学态度和科学道德．

教学重点：
均值不等式定理的证明及应用．
教学难点：
等号成立的条件及解题中的转化技巧．

教学方法：
先让学生回顾两个重要不等式, 然后由两个具体问题入手让学生分组讨论得到两个最
值定理（其证明可由学生完成）, 然后通过一些例题来讲解如何利用最值定理求最值, 并让
学生从中体味出如何创设情境用定理．

教学过程：
一、问题情境
提问：我们上一节课已经学习了两个重要的不等式, 请同学们回忆一下, 这两个重要不
等式叙述的内容是什么, “等号”成立的条件是什么？
学生回答：
1．如果
a,b?R,那么a?b?2ab(当且仅当a?b时取?号)

2．如果
a
,
b
是正数, 那么
老师总结：
我们称
22
a?b
?ab(当且仅当a?b时取?号).
2

a?b
为a,b
的算术平均数, 称
2
a?b
2
ab为a,b
的几何平均数,
a
2
?b
2
?2ab和?ab
成立的条件是不同的：前者只要求
a
,
b
都是实数, 而后者
要求
a
,
b
都是正数．
二、学生活动
提问：

生答：有, 最大值为4．
问题2：如何求出最大值的呢, 何时取到最大值的．
生答：
Qx,y?R
?
,x?y?4?2xy,?xy?4
, 当且仅当
x?y
时取“＝”．
问题3：如果将问题1中条件
x?y?4
改为
xy?4
, 那么
x?y
有无最值呢？
生答：
Qx,y?R
?
,x?y ?2xy?4,?x?y
有最小值4．当且仅当
x?y
时取到．
问题4：请同学们分组讨论能否由问题1及问题3推广至更一般的结论出来, 学生讨论
完后, 在学生回答的基础上得出以下最值定理．
三、建构数学
最值定理：已知
x,y
都是正数, ①如果积
xy
是定值
p
, 那么当
x?y
时, 和
x?y
有
最小值
2p
；②如果和
x?y
是定值
s< br>, 那么当
x?y
时, 积
xy
有最大值
1
2
s
．
4
x?y
?xy
,
2
x?y
①当
xy?p
(定值)时,
?p
∴
x?y
?2p
,
2
∵上式当
x?y
时取“
?
”,
证明：∵
x,y?R
, ∴
?
∴当
x?y
时有
(x?y)
min
?
2p
；
②当
x?y?s
(定值)时,
xy?
s1
2
∴
xy?s
, ∵上式当
x?y
时取“
?
”∴当
2 4
x?y
时有
(xy)
max
?
1
2
s< br>．
4
说明：最值定理是求最值的常用方法, 但应注意以下几点：
①最值的含义（“
?
”取最小值, “
?
”取最大值）；
②用基本不等式求最值必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”．
③函数式中各项必须都是正数;
④函数式中含变数的各项的和或积必须是常数时才能用最值定理求最值．
四、数学运用
1．例题．
例1 （1）求
lgx?log
x
10
(x?1)
的最值, 并求取最值时的
x
的值．
解 ∵
x?1
∴
lgx?0

log
x
10?0
, 于是
lgx?log
x
10?2lgxlg
x
10?2
,
当且仅当
lgx?log
x
10
, 即
x?10
时, 等号成立, ∴
lgx?log
x
10
( x?1)
的最小值是
2
,

此时
x?10
．
（2）若上题改成
0?x?1
, 结果将如何？
解 ∵
0?x?1

lgx?0

log
x
10?0
, 于是
(?lgx)?(?log
x
10)?2
,
从而
lgx?log
x
10??2
, ∴
lgx?log< br>x
10
(0?x?1)
的最大值是
?2
, 此时
x?
1
．
10
例2 （1）求
y?x(4?x)(0?x?4)
的最大值, 并求取最大值时的
x
的值．
（2）求
y?x4?x
2
(0?x?2)
的最大值, 并求取最大值时
x
的值
解 （1）∵
0?x?4
, ∴
x ?0,4?x?0
．∴
x(4?x)?
x?4?x
?2
2
．
则
y?x(4?x)?4
, 当且仅当
x?4?x
, 即
x?2?(0,4)
时取等号．∴当
x?2
时,
y?x(4?x)(0?x?4)
取得最大值4．
（2）∵0<
x
<2, ∴0<
x
<4,
2
x
2
?4?x
2
?2
, ∴
x4?x ?x(4?x)?
2
222
∴
y?2
当且仅当
x?4?x, 即x?2
,
即
x?
222
2?(0,2)时取“=”，


∴当
x?2时，y?x4?x
2
取得最大值2.
例3 已知
x,y
是正实数, 若
x?2y?1
, 求
11
?
的最小值．
xy
解 ∵
x,y
是正实数,
x?2y?1
,
∴
11x?2 yx?2y2yx2yx
????1??2??3?(?)?3?22

xyxyxyxy
,
?
x?2?1
?
2yx
?< br>?
?
y
, 即
?
当且仅当
?
x
2?2
时取等号,
?
y?
?
x?2y?1
?
?2
∴当
x?2?1,y?
2?2
11
时,
?
取最小值
3?22

2
xy

41
变题：若
??1(x,y是正实数)
, 求
x?y
的最小值．
xy
41
Qx,y是正实数
解 ,
??1
,
xy
414yx
?x?y?(x?y)(?)?5???5?24?9
．
xyxy
?(x?y)
min
?9
．
例4 求下列函数的值域:（1）
y?3x?
2
1
1
；（2）
y?x?
2
x
．
2x
解 （1）
y?3x?
（2）
y?x?
2
13
?2?6
,
?y?[6,??)
．
2
2x
2
11
, 当
x?0
时,
y?2
；当
x?0
时,
y??(?x?)??2
,
x?x
?y?(??,?2]?[2,??)
．
归纳：用均值不等式解决此类问题时, 应按如下步骤进行：
(1)先理解题意, 设变量, 设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式, 把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内, 求出函数的最大值或最小值；
(4) 写出正确答案.
2. 练习．
（1）已知
0?x?1,0?y?1,xy?
1
, 求
log
1
x?log
1
y
的最大值并求相应的
x,y
值．
9
33
（2）已知
x?0
, 求
2?3x?
4
的最大值, 并求相应的
x
值．
x
（3）已知
0?x?2
, 求函数
f(x)?3x(8?3x)
的最大值, 并求相应的
x
值．
（4）已知
x?0,y?0,x?3y?1,
求
五、要点归纳与方法小结：
1．用基本不等式求最值必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”, 当给
出的函数式不具备条件时, 往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用
11
?
的最小值, 并求相应的
x,y
值．
xy

基本不等式的条件进行求解；
2．运用基本不等式求最值常用的变形方法有：
（1）运用拆分和配凑的方法变成和式和积式；
（2）配凑出和为定值；
（3）配凑出积为定值；
（4）将限制条件整体代入．
一般说来, 和式形式存在最小值, 凑积为常数；积的形式存在最大值, 凑和为常数,
要注意定理及其变形的应用．

3.4.2 基本不等式的应用
教学目标：
一、知识与技能
1． 能利用基本不等式解决最值问题；
2． 会利用基本不等式解决与三角有关问题．
二、过程与方法
1． 通过实例体会基本不等式在最值问题中的应用；
2． 通过实例体会总结基本不等式在应用中需要注意的问题．
三、情感、态度与价值观
通过亲历解题的过程, 体会基本不等式的应用价值, 培养学生敢于思考的科学精神．

教学重点：
利用基本不等式解决最值问题．
教学难点：
利用基本不等式需要注意的问题．

教学方法：

教学过程：
一、问题情景
1． 函数
y?2x?
2< br>8
的最小值是什么?取得最小值时
x
的值是什么？
2
x
2．若
x,y
都是正实数,且
x?4y?1
, 则
xy
的最大值是什么？
二、学生活动
1．小组合作解决问题情境中的两道题目．
2．总结解决问题所用的主要方法以及需要注意的事项．
三、建构数学
总结应用基本不等式
a?b
?ab
求最值时需要注意的问题．
2
（1）
a
,
b
的取值必须为正；
（2）
ab
或
a?b
必须有一为定值；
（3）当且仅当
a?b
时等号成立．
四、数学运用
1．例题．
例1 已知
x?0
,求函数
y?x?
解
116x
的最小值．
?
2
xx?1
116xx
2
?116x
Q
y?x??
2
??
2
，
xx ?1xx?1
Q
x?0，

x
2
?116xx
2< br>?116x
??
2
?2?
2
?8，当且仅当x=2?3 时取 等号．
xx?1xx?1
116x
?y?x??
2
的最小值是8．< br>xx?1
11
例2 已知
a?0,b?0
,且
a?b?1< br>,求
(?1)(?1)
的最小值．
ab
解
Qa?b?1
,

11a?ba?b
?(?1)(?1)?(? 1)(?1)
abab
11
?(?2)(?2)

ab
ab
?5?2??2?．
ba

又
Qa?0,b?0
,
ab1
?5?2??2??9
, 当且仅当
a
＝
b
＝时取等号．
ba2
11
故
(?1)(?1)
的最小值是9．
ab
例3 在
?ABC
中,角
A，B，C
所对的边是a,b,c,
且
b?2,a?c?b?
求
?ABC
面积的最大值 ．
解 由
a?c?b?
222
1
ac
．
2
1
ac
可得
2
1
ac
222
a?c?b1
2
cosB???
,
2ac2ac4
222
又
B
为
?ABC
的内角,所以
sinB?
15
．
4
故
S
?ABC
?
115
acsinB?ac．
28
Q
b?2
，

1
?a?c?4?ac ．
2
22
又
Qa?c?2ac
,
22
1
?2ac?4?ac
．
2
8
解得
ac?
．
3
?S
?ABC
?
1515815
ac???
,
8833
15
．
3
当且仅当
a?c
时,
S
?ABC
有最大值
2．练习
（1）已知
lgx?lgy?1,
求
52
?
的最小值；
xy
（2）求周长为
2?1
的直角三角形的面积的最大值；
（3） 在
?ABC
中,角
A，B，C
所对的边是
a,b,c,
且< br>cosA?
1
,a?3
,求
?ABC
面
3