高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）
1．重要不等式
当a，b是 任意实数时，有a
2
＋b
2
≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．基本不等式
a＋b
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把
叫做正数 a，b的算术平均数，
2
把ab叫做正数a，b的几何平均数．
(2)不等式：当a ，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术
a＋b
平均数，即ab≤，当且仅 当a＝b时，等号成立．
2
?
a＋b
?
2
a
2< br>＋b
2
?
≤
(3)变形：ab≤
?
，a＋b≥2ab (其中a＞0，b＞0，当且仅当a
2
?
2
?
＝b时等号成立)．
题型一：利用基本不等式比较大小
1.已知m＝a＋
1
(a>2)，n＝2 2－b
2
(b≠0)，则m，n之间的大小关系是( )
a－2
B．m D．不确定
A．m>n
C．m＝n
a＋b
1
2.若a>b>1，P＝lg a·lg b，Q＝
2
(lg a＋lg b)，R＝lg
2
，则P，Q，R的
大小关系是________．
题型二：利用基本不等式证明不等式
2b＋3c－aa＋3c－2ba＋2b－3c
3.已知a，b，c均为正实数， 求证：
＋＋≥3.
a2b3c
?
1
??
1
??< br>1
?
4.已知a，b，c为正实数， 且a＋b＋c＝1，求证：
?
a
－1
??
b
－1
??
c
－1
?
≥ 8.
??????
题型三：利用基本不等式求最值
5.已知lg a＋lg b＝2，求a＋b的最小值．
6.已知x＞0，y＞0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值． 19
7.已知x＞0，y＞0，
x
＋
y
＝1，求x＋y的最小值 ．

211
8．已知a>0，b>0，
a
＋
b
＝
6
，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值
为( )
A．8
C．6
B．7
D．5
题型四：利用基本不等式解应用题
9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)， 高度恒定，它的后墙利用
旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元 ，
顶部每平方米造价20元，求：
(1)仓库面积S的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多
长？
巩固练习：
1．下列结论正确的是( )
1
A．当x>0且x≠1时，lg x＋
lg x
≥2
B．当x>0时，x＋
1
≥2
x
1
C．当x≥2时，x＋
x
的最小值为2
1
D．当0x
无最大值
2．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是( )
A．lg(x
2
＋1)≥lg(2x)
C.
1
≤1
x
2
＋1
B．x
2
＋1>2x
1
D．x＋
x
≥2
3．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是( )
11
A.
a
＋
b
<1
11
C.
a
＋
b
<2
11
B.
a
＋
b
≥1
11
D.
a
＋
b
≥2
4．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则( )
a＋d
A.
2
>bc

a＋d
B.
2

a＋d
C.
2
＝bc
a＋d
D.
2
≤bc
28
5．若x>0，y>0，且
x
＋
y
＝1，则xy有( )
A．最大值64
1
C．最小值
2

1
B．最小值
64

D．最小值64
11
6．若a>0，b>0 ，且
a
＋
b
＝ab，则a
3
＋b
3
的最小 值为________．
7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费
为6万元次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之
和最小 ，则x的值是________．
8．若对任意x>0，
x
≤a恒成立，则a的取值范围是________．
x
2
＋3x＋1
4
＋x的最大值；
x－3
9．(1)已知x<3，求f(x)＝
参考答案：
1.解：因为a> 2，所以a－2>0，又因为m＝a＋
以m≥2
11
＝(a－2)＋＋2，所
a－2a－2
1
?a－2?·＋2＝4，由b≠0，得b
2
≠0，所以2－b
2
<2，n＝22－b
2
<4，
a－2
综上可知m>n.
2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，
1
所以Q＝
2
(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；
a＋b
1
Q＝
2
(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab2
＝R.
所以P3.[证明] ∵a，b，c均为正实数，
2ba
∴
a
＋
2b
≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，
3ca
a
＋
3c
≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，

3c2b
2b
＋
3c
≥2(当且仅当2b＝3c时等 号成立)，
?
2ba
??
3ca
??
3c2b
?
将上述三式相加得
?
a
＋
2b
?
＋
?a
＋
3c
?
＋
?
2b
＋
3c
?
≥6(当且仅当a＝2b＝3c
??????
时等号成立)，
?
2ba
??
3ca
??
3c2b
?
∴
?
a
＋
2b
－1
?
＋
?
a
＋
3c－1
?
＋
?
2b
＋
3c
－1
?
≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号
??????
成立)，
2b＋3c－aa＋ 3c－2ba＋2b－3c
即＋＋≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)．
a2b3c
4.证明：因为a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
1－ab＋c
2bc1
所以
a
－1＝
a
＝
a
≥
a
.
12ac12ab
同理，
b
－1≥
b
，c
－1≥
c
.
上述三个不等式两边均为正，
1
?< br>1
??
1
??
1
?
2bc2ac2ab
相乘 得
?
a
－1
??
b
－1
??
c
－ 1
?
≥
a
·
b
·
c
＝8，当且仅当a＝b ＝c＝
3
时，
??????
取等号.
5.解：由lg a＋lg b＝2可得lg ab＝2，
即ab＝100，且a＞0，b＞0，
因此由基本不等式可得a＋b≥2ab＝2100 ＝20，
当且仅当a＝b＝10时，a＋b取到最小值20.
6.解：∵x＞0，y＞0,2x＋3y＝6，
11
?
2x＋3y
?
2
?
∴xy＝
6< br>(2x·3y)≤
6
·
?
?
2
?
1
?
6
?
3
＝
6
·
?
2
?
2
＝
2
，
??
当且仅当2x＝3y，
33
即x＝
2
，y＝1时，xy取到最大值
2
.
19
7.解：∵
x
＋
y
＝1，
?
19< br>?
∴x＋y＝(x＋y)·
?
x
＋
y
?

??

9xyy9x
＝1＋
y
＋
x
＋9＝
x
＋
y
＋10，
又∵x＞0，y＞0，
y9x
∴
x
＋
y
＋10≥2
y9x
x
·< br>y
＋10＝16，
y9x
当且仅当
x
＝
y
，即y＝3x时，等号成立． y＝3x，
?
?
?
x＝4，
由
?
19
得
?

y＝12，
＋＝1，
?
?
?
xy


即当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16.
?
21
??
21
?
8.解析：选C 由已知，可得6
?
a
＋
b
?
＝1，∴2a＋b＝6
?
a
＋
b
?
·(2a＋b)＝
????
2a2b
?
2a 2b
?
6
?
5＋
b
＋
a
?
≥6× (5＋4)＝54，当且仅当
b
＝
a
时等号成立，∴9m≤54，即m≤6，
??
故选C.
9.[解] (1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，而顶部面积 为S＝xy，依题
意得，40x＋2×45y＋20xy＝3 200，
由基本不等式得
3 200≥240x×90y＋20xy
＝120xy＋20xy，
＝120S＋20S.
所以S＋6S－160≤0，即(S－10)(S＋16)≤0，
故S≤10，从而S≤100，
所以S的最大允许值是100平方米，
(2)取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，
求得x＝15，即铁栅的长是15米．
练习：
1
1.解析：选B A中，当0lg x
≥2不成立；由基本不
1 5
等式知B正确；C中，由对勾函数的单调性，知x＋
x
的最小值为
2
；D中，由函
113
数f(x)＝x－
x
在区间(0,2]上单调递增，知 x－
x
的最大值为
2
，故选B.

2.解析：选C 对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x
＝1时，x
2
＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x<0时，不成立．对于C，x
2
＋1≥1，
1
∴
2
≤1成立．故选C.
x
＋1< br>11
?
a＋b
?
2
?
4
?
2
?
≤
?
2
?
＝4，所以＋≥2
3.解析：选B 因为ab ≤
?
ab
?
2
?
??
1
ab
≥2
1
4
＝1.
4.解析：选A 因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝ b＋c，又因为a，b，
a＋d
c，d均大于0且不相等，所以b＋c>2bc，故
2
>bc.
?
28
?
5.解析：选D 由题意xy＝
?x
＋
y
?
xy＝2y＋8x≥22y·8x＝8xy，∴xy≥8，??
即xy有最小值64，等号成立的条件是x＝4，y＝16.
11
6.解析 ：∵a>0，b>0，∴ab＝
a
＋
b
≥2
1
即ab≥2， 当且仅当a＝b＝2
ab
，
时取等号，∴a
3
＋b
3
≥2?ab?
3
≥22
3
＝42，当且仅当a＝b＝2时取等号，则
a
3
＋b
3
的最小值为42.
600600
7.解析： 由题意，一年购买
x
次，则总运费与总存储费用之和为
x
×6＋
?< br>900
?
4x＝4
?
x
＋x
?
≥8
??
900
x
·x＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储
费用之和最小时x的值是30.
1
8.解析：因为x>0，所以x＋
x
≥2.当且仅当x＝1时取等号，
所以有
x
＝
x
2
＋3x＋1
111
≤＝，
1
2＋3
5
x＋
x
＋3
即
x11
的最大值为，故a≥
55
.
x
2
＋3x＋1
?
1
?
答案：
?
5
，＋∞
?

??
1 3
(2)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求
x
＋
y
的最小值．
9.解：(1)∵x<3，
∴x－3<0，

∴f(x)＝
44
＋x＝＋(x－3)＋3
x－3x－3
4
·?3－x?＋3＝－1，
3－x
?
4< br>?
＝－
?
3－x
＋?3－x?
?
＋3≤－2
??
当且仅当
4
＝3－x，
3－x
即x＝1时取等号，
∴f(x)的最大值为－1.
(2)∵x，y是正实数，
?
13
??
y3x
?
∴(x＋y)
?
x
＋
y
?< br>＝4＋
?
x
＋
y
?
≥4＋23.
????
y3x
当且仅当
x
＝
y
，
即x＝2(3－1)，y＝2(3－3)时取“＝”号．
又x＋y＝4，
133
∴
x
＋
y
≥1＋
2
，
133
故
x
＋
y
的最小值为1＋
2
.