谈影响高中数学成绩的原因及解决方法-高中数学奥林匹克竞赛考试大纲
课时作业(一)
1.在△ABC中,下列等式中总能成立的是( )
A.asinA=bsinB
C.absinC=bcsinB
答案 D
2.在△ABC中,a=4,A=45°,B=60°,则边b的值为( )
A.3+1
C.26
答案 C
3.在△ABC中,sin2
A=sin
2
B+sin
2
C,则△ABC为( )
A.直角三角形
C.等边三角形
答案 A
sinAcosB<
br>4.在△ABC中,若
a
=
b
,则∠B的值为( )
A.30°
C.60°
答案 B
sinAsinBcosBsinB
解析 ∵
a
=
b
,∴<
br>b
=
b
,∴cosB=sinB,从而tanB=
1,又0°5.(2013·湖南)在△ABC中,若3a=2bsinA,则B为(
)
π
A.
3
π
2
C.
3
或
3
π
答案 C
π
B.
6
π
5
D.
6
或
6
π
B.45°
D.90°
B.等腰直角三角形
D.等腰三角形
B.23+1
D.2+23
B.bsinC=csinA
D.absinC=bcsinA
解析 由3a=2bsinA,得3sinA=2sinB·sinA. <
br>3
π2π
∴sinB=
2
.∴B=
3
或
3<
br>.
6.在△ABC中,A∶B∶C=4∶1∶1,则a∶b∶c为( )
A.3∶1∶1
C.2∶1∶1
答案 D
解析
由已知得A=120°,B=C=30°,
根据正弦定理的变形形式,得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=3∶
1∶1.
7.以下关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( )
..
A.在△ABC中,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC
B.在△ABC中,a=b?sin2A=sin2B
a
C.在△ABC中,
sinA
=
b+c
sinB+sinC
B.2∶1∶1
D.3∶1∶1
D.在△ABC中,正弦值较大的角所对的边也较大
答案 B
解析 对于B项,当
a=b时,sinA=sinB且cosA=cosB,∴sin2A
=sin2B,但是反过来若si
n2A=sin2B.2A=2B或2A=π-2B,即A=B
π
或A+B=
2
.不一定a=b,∴B选项错误.
8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如
果c
=3a,B=30°,那么角C等于( )
A.120°
C.90°
答案 A
B.105°
D.75°
9.在△
ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=2,
b=2,sinB+cosB=2,则
角A的大小为________.
π
答案
6
ππ
解析
由sinB+cosB=2sin(B+
4
)=2,得sin(B+
4
)=1
,所以
π
2·sin
4
π
abasinB1
π
B=
4
.由正弦定理
sinA
=
sinB
,得sinA=
b
=
2
=
2
,所以A=
6
5π
或
6
(舍去).
10.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=3,A+C=2B,则sinA=________.
1
答案
2
解析 由A+C=2B,且A+B+C=180°,得B=60°,由正弦定311
理,得
sin60°
=
sinA
,∴sinA=
2
.
11.(2012·福建)在△ABC中,已知∠BAC=60°,∠ABC=45°,
BC=3,则AC=________.
答案
解析
2
<
br>ACBCAC3
如图所示,由正弦定理,得
sinB
=
sinA
,即
sin45°
=
sin60°
,
即
AC3
=,故AC=2.
23
22
π
12.(
2012·北京)在△ABC中,若a=3,b=3,∠A=
3
,则∠C
的大小为__
______.
π
答案
2
ab
解析
由正弦定理,得=.
sin∠Asin∠B
331
从而=,即sin∠B=
2
.
3
sin∠B
2
∴∠B=30°或∠B=150°.
由a>b可知∠B=150°不合题意,∴∠B=30°.
∴∠C=180°-60°-30°=90°.
13.已知三角形的两角分别是45°、60
°,它们夹边的长是1,则
最小边长为________.
答案 3-1
1
14.在△ABC中,若tanA=
3
,C=150°,BC=1,则AB=_______
_.
答案
10
2
15.△ABC中,a、b、c分别是角A、
B、C的对边,则a(sinC-
sinB)+b(sinA-sinC)+c(sinB-sinA)
=________.
答案 0
ab
解析
∵
sinA
=
sinB
,∴asinB=bsinA.
同理可得asinC=csinA且bsinC=csinB.
∴原式=0.
16.已知在△ABC中,c=10,A=45°,C=30°,求a、b和B.
答案
a=102 b=5(6+2) B=105°
17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b
,c.若c=2,b
=6,B=120°,求a的值.
答案 2
621
解析 由正弦定理,得
sin120°
=
sinC
,
∴sinC=
2
.
又∵C为锐角,则C=30°,∴A=30°.
∴△ABC为等腰三角形,a=c=2.
18.已知在△ABC中,∠A=45°,a=2,c=6,解此三角形.
ac
解析
由正弦定理
sinA
=
sinC
,得
6623
sinC=
2
sin45°=
2
×
2
=
2
.
因为∠A=45°,c>a,所以∠C=60°或120°.
所以∠B=180°-60°-45°=75°
或∠B=180°-120°-45°=15°.
asinB
又因为b=
sinA
,所以b=3+1或3-1.
综上,∠C=60°,∠B=75°,b=3+1
或∠C=120°,∠B=15°,b=3-1.
?重点班·选作题
19.下列判断中正确的是( )
A.当a=4,b=5,A=30°时,三角形有一解
B.当a=5,b=4,A=60°时,三角形有两解
C.当a=3,b=2,B=120°时,三角形有一解
3
D.当a=
2
2,b=6,A=60°时,三角形有一解
答案
D
a+b
20.△ABC的外接圆半径为R,C=60°,则
R
的取值范围是(
)
A.[3,23]
C.(3,23]
答案 C
B.[3,23)
D.(3,23)
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