高中数学必修五学业质量标准检测

学业质量标准检测(解三角形、数列部分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
a
1．在锐角三角形ABC中，已知A＝2C，则的范围是( C )
c
A．(0,2)
C．(2，3)
B．(2，2)
D．(3，2)
asinAsin2C
[解析] ＝＝＝2cosC，又A＋B＋C＝π，A＝2C，
csinCsinC
ππ
a
∴64c
2．已知2
a
＝3
b
＝m，且a，ab，b成等差数列，则m＝( C )
A．2
C．6
B．3
D．6
[解析] ∵2
a＝3
b
＝m，∴a＝log
2
m，b＝log
3
m.
又∵a，ab，b成等差数列，
11
∴2ab＝a＋b?2＝＋＝log
m
2＋log
m
3＝log
m
6，∴m＝6.
ab
3．在△ABC中，若(a－acosB)sinB＝(b－ccosC)sinA，则这个三角形是( D )
A．底角不等于45°的等腰三角形
B．锐角不等于45°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
[解析] 由正弦定理，得asinB＝bsinA，
∴asinBcosB＝csinAcosC，
sinAsinBcosB＝sinCsinAcosC
．

∴sin2B＝sin2C
．

π
∴B＝C，或2B＝π－2C，即B＋C＝.
2
4．等差数列{a
n
}中，a
1
＋a
4
＋a
7
＝39，a
3
＋a
6
＋a
9
＝27，则数列{a
n
}前9项的 和S
9
等于
( B )
A．66
C．144
B．99
D．297
[解析] 设b
i
＝a
i
＋a
i＋
3
＋a
i
＋
6
，则由条件知{b
n
}为等差数列，且b
1
＝39，b
3
＝27，∴公
b
3－b
1
差d＝＝－6，∴数列{a
n
}前9项的和a
1
＋a
2
＋…＋a
9
＝b
1
＋b
2
＋b3
＝3b
2
＝3(b
1
＋d)＝
2

3×(39－6)＝99.
5．△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S< br>△
ABC
＝2，则△ABC的外接圆的
直径为( C )
A．43
C．52
1
[解析] ∵S
△
ABC
＝acsinB，∴c＝42.
2
由余弦定理，得b
2
＝a
2
＋c
2
－2accosB＝25，
∴b＝5.
b
由正弦定理，得2R＝＝52(R为△ABC外接圆的半径)，故选C．
sinB
6．已知{a
n
}是公差为1的等差数列，S
n
为{a
n< br>}的前n项和．若S
8
＝4S
4
，则a
10
＝( B )
17
A．
2
C．10
19
B．
2
D．12
B．5
D．62
n?n－1?d
[解析] 由题可知：等差数列{a
n
}的公差d＝1，因为等差数列S
n
＝a
1
n＋，且S
8
2
1
＝4S
4
，代入计算可得a< br>1
＝；等差数列的通项公式为a
n
＝a
1
＋(n－1)d，则
2
119
a
10
＝＋(10－1)×1＝.
22
故本题正确答案为B．
7．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c ，且a>b>c，a
2
2
＋c
2
，则A的取值
范围为( C )
π
A．(，π)
2
ππ
C．(，)
32
ππ
B．(，)
42
π
D．(0，)
2
b
2
＋c
2
－a
2
[解析] 由题意，得cosA＝>0，
2bc
π
∴A<.
2
又a>b>c，∴A>B>C
．

π
又∵A＋B＋C＝π，∴A>，故选C．
3
55S
n
8 ．已知等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且a
1
＋a< br>3
＝，a
2
＋a
4
＝，则( C )
24a
n
A．4
n
－1
C．2
n
－1
B．4
n
1

D．2
n
1

－
－

55115
[解析] 设公比为q，则a
1(1＋q
2
)＝，a
2
(1＋q
2
)＝，∴q＝，∴a
1
＋a
1
＝，∴a
1
＝2.
24242
1
2[1－??
n
]
2
1
－－
∴a
n＝a
1
q
n
1
＝2×()
n
1
，S< br>n
＝
21
1－
2
1
＝4[1－()
n
]，
2
1
4[1－??
n
]
2
S
n
1
－
∴＝＝2(2
n
1
－)
a
n
1
－
2
2×??
n
1
2
＝2
n
－1.
S
n
[点评] 用一般解法解出a
1
、q，计算量大，若注意到等比 数列的性质及求，可简明
a
n
解答如下：
1
∵a
2
＋a
4
＝q(a
1
＋a
3
)，∴q＝，
2a
1
?1－q
n
?
1
1－
n
1－q< br>2
n
1－q
S
n
∴＝＝2
n
－1.
－
1
＝
－
1
＝
nn
a
n
11< br>a
1
q?1－q?·q
·
2
2
n
－
1
9．根据下边框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是( C )

A．a
n
＝2n
C．a
n
＝2
n

B．a
n
＝2(n－1)
D．a
n
＝2
n
1

－
[解析] 由程序 框图可知a
1
＝2，a
2
＝2
2
，a
3
＝ 2
3
，
∴a
n
＝2
n
.
10．已知等 比数列{a
n
}中，a
n
>0，a
5
、a
95为方程x
2
－10x＋16＝0的两根，则a
20
·a
50·a
80
的值为( B )
A．32 B．64

C．256 D．±64
[解析] 由条件知a
5
＋a95
＝10，a
5
·a
95
＝16，
∵{a
n
}是等比数列，∴a
2
50
＝16，
3
∵a
n
>0，∴a
50
＝4，∴a
20
a
50
a
80
＝a
50
＝64.
11．△ABC中，A︰B ＝1︰2，∠ACB的平分线CD把△ABC的面积分成3︰2两部分，
cosA等于( C )
A．
1
3
B．
1
2

C．
3
4
D．0
[解析] ∵CD为∠ACB的平分线，
∴点D到AC与点D到BC的距离相等，
∴△ACD与△BCD的高相等．
∵A︰B＝1︰2，∴AC>BC
．

∵S
△
ACD
︰S
△
BCD
＝3︰2，∴
AC
BC
＝
3
2
.
由正弦定理，得
sinB3
sinA
＝
2
，又∵B＝2A，
∴
sin2A
sinA
＝
32sinAcosA3
2
，∴
sinA
＝
2
，
∴cosA＝
3
4
.
12．若△ABC的三边为a，b，c，f( x)＝b
2
x
2
＋(b
2
＋c
2
－a2
)x＋c
2
，则函数f(x)的图象( B
A．与x轴相切 B．在x轴上方
C．在x轴下方 D．与x轴交于两点
[解析] 函数f(x)相应方程的 判别式Δ＝(b
2
＋c
2
－a
2
)
2
－4 b
2
c
2

＝(2bccosA)
2
－4b
2
c
2

＝4b
2
c
2
(cos
2
A－1)．
∵02
A－1<0，∴Δ<0，
∴函数图象与x轴没交点．故选B．
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)
13． 已知数列{a
n
}中，a
1
＝1，a
n
＝a
n1
－
1
＋
2
(n≥2)，则数列{a
n
}的前 9项和等于27.
[解析] ∵n≥2时，a
n
＝a
n
1
－
1
＋
2
，且a
1
＝1，
∴{a
n
}是以1为首项，
1
2
为公差的等差数列．
)
则

9×8
1
∴S
9
＝9×1＋×＝9＋18＝27.
22
14．三角形一边长14，它对的角为60°，另两边之比为8︰5，则此三角形面积为4 03.
[解析] 设另两边长为8x和5x，则
64x
2
＋25x
2
－14
2
cos60°＝，∴x＝2，
80x
2
1< br>∴另两边长为16和10，此三角形面积S＝×16×10·sin60°＝403.
2
15．若数列{a
n
}满足a
1
＝2，a
n
＝1－，则a
2016
＝－1.
a
n
－
1
1
111
[解析] ∵a
1
＝2，a
n
＝1－，∴a
2
＝1－＝，
a
1
2
a
n
－
1
1111
a
3＝1－＝－1，a
4
＝1－＝2，a
5
＝1－＝，……
a2
a
3
a
4
2
∴数列{a
n
}的值呈 周期出现，周期为3.
∴a
2016
＝a
3
＝－1.
16．已知a，b，c分别为 △ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－
sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为3.
[解析] 由a＝2，(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC及正弦定理可得，
(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c
∴b
2
＋c
2
－a
2
＝bc，
b
2
＋c
2
－a
2
1
∴cosA＝＝，∴A＝60°. < br>2bc2
在△ABC中，a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos60°＝b
2
＋c
2
－bc≥2bc－bc＝bc，(等号在 b＝c时成立)，
∴bc≤4.
113
∴S
△
ABC
＝bcsinA≤×4×＝3.
22 2
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足acosB
＋ bcosA＝2ccosC
．

(1)求C；
(2)若△ABC的面积为23，a＋b＝6，求∠ACB的角平分线CD的长度．
[解析] (1)已知acosB＋bcosA＝2ccosC，由正弦定理，得
sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosC，
所以sin(A＋B)＝2sinCcosC，即sinC＝2sinCcosC
．

1
π
因为023

13
(2)方法一：由已知，得S＝absinC＝ab＝23，所以ab＝8.
24< br>?
a＝2
?
a＝4，
??
又a＋b＝6，解得
?，或
?

??
b＝4b＝2.
??
?
?
a＝2
1
当
?
时，由余弦定理，得c
2
＝4＋16－2× 2×4×＝12，
2
?
b＝4
?


所以c＝23.
π
所以b
2
＝a
2
＋c
2
，△ABC为直角三角形，∠B＝.
2
π
因为CD平分∠ACB，所以∠BCD＝.
6
243
在Rt△BCD中，CD＝＝.
π
3
cos6
?
?
a＝4
243
当
?
时，同理可得CD＝ ＝.
π
3
?
b＝2
?

cos
6
π
方法二：在△ABC中，因为CD平分∠ACB，所以∠ACD＝∠BCD＝.
6
因为S
△
ABC
＝S
△
ACD
＋S
△
B CD
，
1
π
1
π
1
π
1
所以S
△
ABC
＝b· CD·sin＋a·CD·sin＝CD·sin·(a＋b)＝(a＋b)·CD
．

2626264
143
因为S
△
ABC
＝23，a＋b＝6，即2 3＝×6·CD，解得CD＝.
43
A
18．(本题满分12分)在△ABC中，a ，b，c分别为内角A，B，C的对边，若m＝(cos
2
，
2
1)，n＝( cos
2
(B＋C)，1)，且m∥n.
(1)求角A；
a
2< br>＋b
2
－c
2
(2)当a＝6，且△ABC的面积S满足3＝时，求边 c的值和△ABC的面积．
4S
cosA＋1
AA
[解析] (1)因为m ∥n，所以cos
2
(B＋C)－cos
2
＝cos
2
A－ cos
2
＝cos
2
A－＝0，
222
即2cos
2
A－cosA－1＝0，(2cosA＋1)(coaA－1)＝0.
1
所以cosA＝－或cosA＝1(舍去)，即A＝120°.
2
a2
＋b
2
－c
2
3
(2)由3＝及余弦定理，得tan C＝，所以C＝30°.
4S3
ac
又由正弦定理＝，得c＝23.
sinAsinC

1
所以△ABC的面积S＝acsinB＝33.
2
3
19．(本题满分12分)已知数列{a
n
}的前n项和为S< br>n
，且S
n
＝a
n
－1(n∈N
*
).
2
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
a
n
11 1
(2)设b
n
＝2log
3
＋1，求＋＋…＋.
2b< br>1
b
2
b
2
b
3
b
n
－< br>1
b
n
3
[解析] (1)当n＝1时，a
1
＝a
1
－1，∴a
1
＝2.
2
3
∵S
n
＝a
n
－1，①
2
3
S
n
－
1
＝a
n
－
1
－1(n ≥2)，②
2
33
∴①－②得a
n
＝(a
n
－1 )－(a
n
－
1
－1)，即a
n
＝3a
n
－
1
，
22
∴数列{a
n
}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴a
n
＝2·3
n
1
.
a
n
( 2)由(1)得b
n
＝2log
3
＋1＝2n－1，
2
∴
111111
＋＋…＋＝＋＋…＋
b
1
b< br>2
b
2
b
3
b
n
－
1
b< br>n
1×33×5?2n－3??2n－1?
－
n－1
111111＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝.
2335
2n－32n－12n－1
20．(本题满分12分)用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首
付30 0万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.
若从首付300 万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应
付多少万元？全部贷款付清 后，买这批住房实际支付多少万元？
[解析] 购买时付款300万元，则欠款2 000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠
款的数额依次购成数列{a
n
}，
故a
1
＝100＋2 000×0.01＝120(万元)，
a
2
＝100＋(2 000－100)×0.01＝119(万元)，
a
3
＝100＋(2 000－100×2)×0.01＝118(万元)，
a
4
＝100＋(2 000－100×3)×0.01＝117(万元)，
…
a
n
＝100＋[2 000－100(n－1)]×0.01
＝121－n(万元) (1≤n≤20，n∈N
*
)．
因此{a
n
}是首项为120，公差为－1的等差数列．
故a
10
＝121－10＝111(万元)，

a
20
＝121－20＝101(万元)．
20次分期付款的总和为
S
20
＝
?a
1
＋a< br>20
?×20?120＋101?×20
＝＝2 210(万元)．
22
实际要付300＋2 210＝2 510(万元)．
即分期付款第10个月应付111万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付2 510万
元．
21．(本题满分12分)在△ABC中，若a
2
＋c
2
－b
2
＝ac，log
4
sinA＋log
4
sinC＝－1，S
△
ABC
＝3，求三边a，b，c的长及三个内角A，B，C的度 数.
[解析] 由a
2
＋c
2
－b
2
＝ac，得
a
2
＋c
2
－b
2
1
cosB＝＝.
2ac2
∵0°113
∵S
△
ABC
＝acsinB＝ac×＝3，
222
∴ac＝4.①
1
由log
4
sinA＋log< br>4
sinC＝－1，得sinAsinC＝.
4
ac1
由正弦定理，得
2
＝，
4R4
∴
41
＝，
4R
2
4
∴R＝2(负值舍去)．
∴b＝2RsinB＝2×2×
3
＝23.
2
由已知，得a
2
＋c
2
－(23)
2
＝4.②
当a>c时，由①②，得a＝6＋2，c＝6－2.
∴三边的长分别为a＝6＋2，b＝23，c＝6－2.
由正弦定理，得
6＋2
a
sinA＝＝＝sin105°.
2R4
∴A＝105°，即C＝15°.
同理，当a22．(本题满分14分)(2015·石家庄市一模)设数列{a
n
}的前n项和为 S
n
，a
1
＝1，a
n
＋
1
＝λS
n
＋1(n∈N
*
，λ≠－1)，且a
1
、2a
2
、a
3
＋3为等差数列{b
n
}的前三项.
(1)求数列{a
n
}、{b
n
}的通项公式；
(2)求数列{a
n
b
n
}的前n项和．

[解析] (1)解法1：∵a
n
＋
1
＝λS
n
＋1(n∈N
*
)，
∴a
n
＝λS
n
－
1
＋1(n≥2)，
∴a
n
＋
1
－a
n
＝λa
n
，即a
n
＋
1
＝(λ＋1)a
n
(n≥2)，λ＋1≠0，
又a
1
＝1，a
2
＝λS
1
＋1＝λ＋1，
∴数列{a
n
}为以1为首项，公比为λ＋1的等比数列，
∴a
3
＝(λ＋1)
2
，
∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1 )
2
＋3，整理得λ
2
－2λ＋1＝0，得λ＝1
∴a
n
＝2
n
1
，b
n
＝1＋3(n－1)＝3n－2，
解法2：∵a
1
＝1，a
n
＋
1
＝λS
n
＋1(n∈N
*
)，
∴a
2
＝λS
1
＋1＝λ ＋1，a
3
＝λS
2
＋1＝λ(1＋λ＋1)＝λ
2
＋2λ ＋1，
∴4(λ＋1)＝1＋λ
2
＋2λ＋1＋3，整理得λ
2
－ 2λ＋1＝0，得λ＝1
∴a
n
＋
1
＝S
n
＋1 (n∈N
*
)，
∴a
n
＝S
n
－
1
＋1(n≥2)
∴a
n
＋
1
－a
n
＝a
n
，即a
n< br>＋
1
＝2a
n
(n≥2)，
又a
1
＝1，a
2
＝2，
∴数列{a
n
}为以1为首项，公比为2的等比数列，
∴a
n
＝2
n
1
，
b
n
＝1＋3(n－1)＝3n－2.
(2)a
n
bn
＝(3n－2)·2
n
1
，
∴T
n
＝1· 1＋4·2
1
＋7·2
2
＋…＋(3n－2)·2
n
1 ①
∴2T
n
＝1·2
1
＋4·2
2
＋7 ·2
3
＋…＋(3n－5)·2
n
1
＋(3n－2)·2
n
②
①－②得－T
n
＝1·1＋3·2
1
＋3·22
＋…＋3·2
n
1
－(3n－2)·2
n

2·?1－2
n
1
?
＝1＋3·－(3n－2)·2
n

1－2
整理得：T
n
＝(3n－5)·2
n
＋5.

－
－
－
－
－
－
－