人教版高一数学必修5正弦定理(一)

1．1.1 正弦定理(一)
[学习目标]
1. 通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法
2. .能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题．
知识点一 正弦定理
1．正弦定理的表示
文字
语言
符号
语言
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比都相等，该比值为三角形
外接圆的直径
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
＝2R
abc
＝＝
sin Asin Bsin C
2.正弦定理的常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，其中R为△ABC外接圆的半径．
abc
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)．
2R2R2R
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
a＋b＋c
abc
(4)＝＝＝.
sin A＋sin B＋sin C
sin Asin Bsin C
(5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B.
思考 下列有关正弦定理的叙述： ①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直
角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它 所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC
中，sin A∶sin B∶sin C＝BC∶AC∶AB.其中正确的个数有( )
A．1 B．2 C．3 D．4
题型一 对正弦定理的理解
例1 在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b， c，则下列关于正弦定理的叙述
或变形中错误的是( )
A．a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B．a＝b?sin 2A＝sin 2B
b＋c
a
C.＝ D．正弦值较大的角所对的边也较大
sin A
sin B＋sin C


1

反思与感悟 (1)定理的内容：
活使用定理的各种变形．
ac
(2)如果＝，那么
bd
abc
＝＝＝2R，在运用正弦定理进行判断时，要灵
sin Asin Bsin C
a＋bc＋d
＝(b，d≠0)(合比定理)；
bd
a－bc－d
＝(b，d≠0)(分比定理)；
bd
a＋bc＋d
＝(a>b，c>d)(合分比定理)；
a－bc－d< br>a
1
a
2
a
n
a
1
a
2< br>a
n
a
1
＋a
2
＋…＋a
n
可以推 广为：如果＝＝…＝，那么＝＝…＝＝.
b
1
b
2
b
n< br>b
1
b
2
b
n
b
1
＋b
2
＋…＋b
n
跟踪训练1 在△ABC中，下列关系一定成立的是( )
A．a>bsin A B．a＝bsin A C．a题型二 用正弦定理解三角形
例2 (1)在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
(2)在△ABC中，已知c＝6，A＝45°，a＝2，解这个三角形．






反思与感悟 (1)已知两角与任意一边解三角形的方法．
首先由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角，再由正弦定理可计算出三角形的另两
边．
(2)已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法．
首先用正弦定理求出另一边所对的 角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对
的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已 知的角为小边所对的角时，则不能判断，此
时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求 出第三个角；最后根据正弦定
理求出第三条边．

2

跟踪训练2 (1)在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
A．42 B．43 C．46 D．4
(2)在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则C＝______．






题型三 判断三角形的形状
例3 在△ABC中，已知a
2
tan B＝b
2
tan A，试判断三角形的形状．







反思与感悟 (1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边
的 关系，也可以转化为角与角的关系．
asin A
(2)注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如＝等．
bsin B
跟踪训练3 在△ABC中，bsin B＝csin C且sin
2
A＝sin< br>2
B＋sin
2
C，试判断三角形的形状．







3

课堂小结
abc
1.正弦定理的表示形式：＝＝＝2R，或a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C(k>0)．
sin Asin Bsin C
2．正弦定理的应用： ①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的
对角，求另一边和两角．
3．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三
角函数问题来 解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．
课堂检测
1．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，下列等式中总能成立的是( )
A．asin A＝bsin B B．bsin C＝csin A
C．absin C＝bcsin B D．asin C＝csin A

2．在△ABC中，三个内角A ，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝3，B＝60°，
那么A等于( )
A．135° B．90° C．45° D．30°

3．在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝3b，则A等于( )
ππππ
A. B. C. D.
12643

sin Acos Bcos C
4．在△ABC中，内角A， B，C所对的边分别为a，b，c，若＝＝，则△ABC
abc
是( )
A．等边三角形 B．直角三角形，且有一个角是30°
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形，且有一个角是30°

2π
b
5．在△ABC中，∠A＝，a＝3c，则＝________．
3c

π
6．在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝______，a＝________．
4

4