高中数学必修五全部教案(表格式-有三维目标)

优秀教案 欢迎下载


课型 新授课
新课标高中数学必修五全部教案
进位制
课时
1
备课时间

知识与技能
理解进位制的概念，了解一个数能够作不同进位制之间的
转换 ；根据对进位制的理解，体会计算机的计数原理；能
设计不同进位制之间转换的算法程序框图及程序。
学生经历由探究算理，到抽象算法步骤，绘制程序
框图，再到设计并优化程序的全过程，使学生 明确
教学
过程与方法
自己是在学数学而不仅仅是在编程序或玩计算机，
目 标
这一过程的主要目的是使学生得到算法思想的熏陶
与提升。

以问题引导学习，体现数学知识的形成与学生认知
情感态度与价值观
的过程性，加强数学知识间的联系性，促使学生主
动探究，培养学生的创新意识和应用意识。
重点
“十进制转k进制”与“k进制转十进制”的算理分析

难点
“十进制转k进制”与“k进制转十进制”的算理分析

教学方法
教学过程

情景步骤
“请先依次指出表格
师生活动 设计意图
1．“猜生月生日游戏”： 教师给出生月生日表，这个游戏中用到的“生月生日
并同时讲清游 戏规则，表”的制作原理是二进制记数
法，它需要掌握“十进制转二进（见附注1）中哪些行然后请一位 或两位学
次指出表格中哪些行
的生月生日．”
有你的生月，然后再依生根据表格回答 ，教师制”的方法；计算生月生日的程
记录学生的回答，并立序1的算理是“二进制转十进
制” 的算理，这一过程可以引起
学生对游戏的算法的兴趣，从
而引入本节课．
2．提出进位制的定义、教师在学生阅读课文
表示法及进制的一般
表现形式。
十进制数的含义．
的基础上介绍进位制
的意义及发展历程。
了解进位制的基本特点，为学
让学生体会十进制记数法及不
同的进位制实质。
日．
有你的生日，便知道你即给出学生的生月生
3．以3721为例，探究教师启发 ，学生观察
3721?3?10
3
?7?10
2
习k 进制的含义做准备

?2?10?1
通过实例体会“二进制转十进
制”的算 理，为得到“k进制转十
进制”的算法程序作铺垫．
9．以1011001
?
2
?
为例，
师生一起将“情景步骤
探究“二进制化十进制”
4”中 的“师生活动”所
的算理．
得到的算式由后往前

优秀教案 欢迎下载
代入并整理得到：
1011001
?
2
?
＝1× 2
6
＋
0×2
5
＋1×2
4
＋1×2
3< br>＋0×2
2
＋0×2
1

＋1×2
0
＝89．
6．从操作过程中提炼
出“二进制转十进制” 算
法步骤，并推广到“十
进制转k进制”的算法
步骤．
教师让学生先思考上
然后写出算法步骤并
进行交流，最后由教师
评析并给出正确的算
法步骤．
7. 由“k进制转十进制”让学生写出程序框图
的算法步骤写出程序
框图 评析 并给出正确的
程序框图．
10．编写计算机程序并
让学生在编写程序并
使学 生掌握“十进制转k进制”
上机运行“十进制转k的算法程序（见附注7），促使
运行，以10 11001
?
2
?
、
进制”程序． 学生积极主动并有效地学习．
324
?
5
?
分别转十进制，
检查学生的程序是否
正确．
4．以十进制数89为让学生模仿得出：
例，探究“除2取余”的
89 = 44×2 ＋1，
44 = 22×2 ＋0，
过程．
22 = 11×2 ＋0，
11 = 5×2 ＋1，
5 = 2×2 ＋1，
2 = 1×2 ＋0，
1 = 0×2 ＋1.
5．以89为例，实现“除师生一起进行下述操
2取余”的过程． 作：
89→


（取
得出“除2取余”的二进
制记数法则．
得出“k进制转十进制”的程序框
法结构．
并进行交流，随后教师图（见附注5）， 进一步领会算
得出“二进制转十进制”的算法
制”的算法步骤（见附注4）．
述操作 中的算法结构，步骤，并推广到“k进制转十进
探究“十进制化二进制”算法中
的主要算法结构 ：条件结构与
循环结构．

优秀教案 欢迎下载
余）
（取
商）
重复进行上述取余与
取商的操作，直至商为
0． 6．从操作过程中提炼
出“十进制转二进制”算
法步骤，并推广到“十
进制转k进 制”的算法
步骤．
教师让学生先思考上
然后写出算法步骤并
进行交流，最后 由教师
评析并给出正确的算
法步骤．
7. 由“十进制转k进制”让学生写出程序框图
的算法步骤写出程序
框图 评析 并给出正确的
程序框图．
8．根据“十进制转k进让学生在TI－
制”的程序框图， 在TI
－92PLUS图形计算
92PLUS图形计算器
这是本节课的一个重要环节，
不仅能使学生正确掌握“十进制
6），还能使学生积极主动并有
得出“十进制转k进制 ”的程序框
法结构．
并进行交流，随后教师图（见附注5），进一步领会算
得出“十 进制转二进制”的算法
制”的算法步骤（见附注4）．
述操作中的算法结构，步骤，并推广到 “十进制转k进
上编写程序并运行，以转k进制”的算法程序（见附注
进制，检查学生的程序效 地学习．
是否正确．
器上编写程序并运行． 89分别转二进制、五
9．以101 1001
?
2
?
为例，
师生一起将“情景步骤
探究“二进制 化十进制”
4”中的“师生活动”所
的算理．
得到的算式由后往前
代入并整 理得到：
1011001
?
2
?
＝1×2
6
＋0×2
5
＋1×2
4
＋1×2
3
＋0×2
2< br>＋0×2
1

＋1×2
0
＝89．
通过实例体会“ 二进制转十进
制”的算理，为得到“k进制转十
进制”的算法程序作铺垫．

优秀教案 欢迎下载
10．在TI－92PLUS图
让学生在TI－
形计算器上编写并运
行“k进制转十进制”程
92PLUS图形计算器
序．
上编写程序并运行，以
1011001
?
2
?
、324分别
转十进制，检查学生的
程序是否正确．
使学生掌握“k进制转十进制 ”的
算法程序（见附注7），促使学
生积极主动并有效地学习．
11．把二
让学生先利用“k进制转十进制”的程序得出：1011001
?
2
?
＝89 ，
进制数
1011001
化为五进
所以，1011001
?
2
?
＝324
（5）
．
制数．

12．讨论让学生讨论、交流对算法的认识及利用算法思想解决问题的基本步
与小结． 骤，教师进行归纳小结．















课题
课型
教学
新授课
知识与技能
§2.1数列的概念与简单表示法
课时
2
备课时间

体会任意两种进
数之间的转化方
先利用“十进制转k进制”的程序得出：
89＝324，
进制转十进制”，
制转s进制”．
使学生体会教学
所期望的学习目
了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；

优秀 教案 欢迎下载
目 标 会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前
n项和与
a
n
的关系
过程与方法
情感态度与价值观
经历数列知识的感受及理解运用的过程。
通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习
的兴趣。
重点
难点
根据数列的递推公式写出数列的前几项
理解递推公式与通项公式的关系

教学方法
教学过程
Ⅰ.课题导入
[复习引入] 数列及有关定义
Ⅱ.讲授新课
数列的表示方法
1、 通项公式法：如果数列?
a
n
?
的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么
这个公式就叫做这个数列的通项公式。
2、 图象法
3、 递推公式法
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：1
?
4＝1+3
第2层钢管数为5；即：2
?
5＝2+3
第3层钢管数为6；即：3
?
6＝3+3
第4层钢管数为7；即：4
?
7＝4+3
第5层钢管数为8；即：5
?
8＝5+3
第6层钢管数为9；即：6
?
9＝6+3
第7层钢管数为10；即：7
?
10＝7+3
若用
a
n
表 示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且
a
n
?n?3(1≤n≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很< br>快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即< br>a
1
?4
；
a
2
?5?4?1?a
1
?1
；
a
3
?6?5?1?a
2
?1

依此类推：
a
n
?a
n?1
?1
（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。
递推公式 ：如果已知数列
?
a
n
?
的第1项（或前几项），且任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或

优秀教案 欢迎下载
前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89
递推公式为：
a
1
?3,a
2
?5,a
n
?a
n?1
?a
n?2
(3?n?8)

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表 示法有联系，首先请学生回忆函数的表示
法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数， 数列有这样的表示法：用

表示第一项，用

4、列表法
．简记为

．
表示第一项，……，用

表示第

项，依次写出成为
a
1
?1
?
?
例3 设数列
?
a
n
?
满足
?
写出这个数列的前五项。
1
a?1?(n?1).
?
n
a
n?1
?
例4已知
a
1
?2
，
a
n?1
?2a
n< br> 写出前5项，并猜想
a
n
．
Ⅲ.课堂练习
课本P36练习2
[补充练习]1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1)
a
1
＝0,
a
n?1
＝
a
n
＋(2n－1) (n∈N)；
(2)
a
1
＝1,
a
n?1
＝
2a
n
(n∈N)；
a
n
?2
(3)
a
1
＝3,
a
n?1
＝3
a
n
－2 (n∈N).
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1．递推公式及其用法；
2．通 项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n
项）之间的关系.
Ⅴ.课后作业
习题2。1A组的第4、6题
教学反思




课题
课型
教学
新授课
知识与技能
课时
§2.2等差数列
1
备课时间

了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，

优秀教案 欢迎下载
目 标 能根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等
差数列的各种表示 法，能灵活运用通项公式求等差数列的
首项、公差、项数、指定的项
过程与方法
情感态度与价值观
经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知
识解决问题的过程。
通过等差 数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资
料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。
重点
难点
等差数列的概念，等差数列的通项公式。
等差数列的性质

教学方法
教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
上 两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通
项公式、递推公式、图 象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一
些例子。
课本P41页的4个例子：
①0，5，10，15，20，25，… ②48，53，58，63
③18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④10072，10144，10216，10288，10366
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？
·共同特征：从第二项起 ，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每
相邻两项的差相等——应指明作差的顺 序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一
个名字——等差数列
Ⅱ.讲授新课
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常
数，这个数列 就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{
a
n
},若
a
n
－
a
n?1
=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数
列是等差数列，d 为公差。
思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
2．等差数列的通项 公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d
【或
a
n
?
a
m
?(n?m)d
】
等差数列定义是由一数列相邻 两项之间关系而得若一等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公
?
差是d，则据其定义可得：
a
2
?a
1
?d
即：
a
2
?a
1
?d

a
3
?a
2
?d
即：
a
3
?a
2
?d?a
1
?2d

a
4
?a
3
?d
即：
a
4
?a
3
?d?a
1
?3d< br>……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
a
n
?a
1
?(n?1)d

优秀教案 欢迎下载
∴已知一数 列为等差数列，则只要知其首项
a
1
和公差d，便可求得其通项
a
n
。
由上述关系还可得：
a
m
?a
1
?(m?1)d

即：
a
1
?a
m
?(m?1)d

则：< br>a
n
?
a
1
?(n?1)d
=
a
m
?(m?1)d?(n?1)d?a
m
?(n?m)d

即等差数列的第二通项公式
a
n
?
a
m
?(n?m)d
∴ d=
[范例讲解]
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
解：⑴由
a
1
?8,d?5?8?2?5??3
n=20，得
a
20
?8?(20?1)?(?3)??49

⑵由
a
1
??5,d??9?(?5)??4
得数列通项公式为：
a
n
??5?4(n?1)

由题意可知，本题 是要回答是否存在正整数n，使得
?401??5?4(n?1)
成立解之得
n=10 0，即-401是这个数列的第100项
例3 已知数列{
a
n
}的通项公 式
a
n
?pn?q
，其中
p
、
q
是常数， 那么这个数列是否一定
是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
分析：由等差数 列的定义，要判定
?
a
n
?
是不是等差数列，只要看
an
?a
n?1
（n≥2）是
不是一个与n无关的常数。
解：当n≥2时, （取数列
?
a
n
?
中的任意相邻两项< br>a
n?1
与
a
n
（n≥2））
a
m
?a
n

m?n
a
n
?a< br>n?1
?(pn?q)?[p(n?1)?q]
?pn?q?(pn?p?q)?p为常数
∴{
a
n
}是等差数列，首项
a
1
? p?q
，公差为p。
注：①若p=0，则{
a
n
}是公差为0的等 差数列，即为常数列q，q，q，…
②若p≠0, 则{
a
n
}是关于n的 一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数
y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线 在y轴上的截距为q.
③数列{
a
n
}为等差数列的充要条件是其通项a
n
=pn+q (p、q是常数)，称其为第3
通项公式。
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。
Ⅲ.课堂练习

优秀教案 欢迎下载
课本P45练习1、2、3、4
[补充练习]
1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
解 ：根据题意可知：
a
1
=3,d=7－3=4.∴该数列的通项公式为：
a< br>n
=3+（n－1）×4,即
a
n
=4n－1（n≥1,n∈N*）∴
a
4
=4×4－1=15,
a
10
=4×10－1=39.
评述：关键是求出通项公式.
（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.
解：根据题意可知：
a
1
=10,d=8－10=－2.
∴该数列 的通项公式为：
a
n
=10+（n－1）×（－2）,即：
a
n=－2n+12,∴
a
20
=－2×
20+12=－28.
（ 3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说
明理由.
解：根据题意可得：
a
1
=2,d=9－2=7. ∴此数列通项公式为：
a
n
=2+（n－1）×7=7n
－5.
令7n－5=100,解得：n=15, ∴100是这个数列的第15项.
（4）－20是不是等差数列0，－3
是，说明理由.
1
，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不
2
177
∴此数列的通项公式为：
a
n
=－n+,
222
774777
令－n+=－20,解得n= 因为－n+=－20没有正整数解，所以－20不是这
2222
7
个数列的项.
Ⅳ.课时小结
Ⅴ.课后作业
课本P45习题2.2[A组]的第1题
教学反思






课题 §2.2等差数列

2
课型 新授课 课时 备课时间
明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公
教学
知识与技能 式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的
目 标
性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。
解：由题意可知：
a
1
=0,d=－3

优秀教案 欢迎下载

过程与方法
情感态度与价值观
重点
难点
通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、
函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗 透方程思想。
通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列
的内在联系，从而渗透 特殊与一般的辩证唯物主义观点。
等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 教学方法
教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上节课所学主要内容：
1．等差数列：一般地，如果一 个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一
个常数，即
a
n
－
a
n?1
=d ，（n≥2，n∈N），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做
等差数列的公差（常用字母“d”表示）
2．等差数列的通项公式：
?
a
n
?a
1
?(n?1)d
(
a< br>n
?
a
m
?(n?m)d
或
a
n
= pn+q (p、q是常数))
3．有几种方法可以计算公差d
① d=
a
n
－
a
n?1
② d=
a
n
?a
1
a?a
m
③ d=
n

n?1n?m
Ⅱ.讲授新课
问题：如果在
a< br>与
b
中间插入一个数A，使
a
，A，
b
成等差数列数 列，那么A应满足什
么条件？
由定义得A-
a
=
b
-A ，即：
A?
反之，若
A?
a?b

2
a?b
，则A-
a
=
b
-A
2
a?b
由此可可得：
A??a,b,
成等差数列
2
[补充例题]
例 在等差数列{
a
n
}中，若a
1
+
a
6
=9,
a
4
=7, 求
a
3
,
a
9
.
分析：要求一个数列的某 项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须
知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道 这个数列的任意两项（知道任意两项就知道
公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从 这双项关系式入手……
解：∵ {a
n
}是等差数列
∴
a
1
+
a
6
=
a
4
+
a
3
=9
?
a
3
=9－
a
4
=9－7=2

优秀教案 欢迎下载
∴ d=
a
4
－
a
3
=7－2=5
∴
a
9
=
a
4
+(9－4)d=7+5*5=32
[范例讲解]
课本P44的例2 解略
课本P45练习5
已知数列{
a
n
}是等差数列
∴
a
3

=2,
a
9
=32
（1）2a
5
?a
3
?a
7
是否成立？
2a
5
?a
1
?a
9
呢？为什么？
（2）
2a
n
?a
n?1
?a
n?1
(n?1)
是否成立？据此你能 得到什么结论？
（3）
2a
n
?a
n?k
?a
n ?k
(n?k?0)
是否成立？？你又能得到什么结论？
结论：（性质）在等差数列 中，若m+n=p+q，则，
a
m
?a
n
?a
p
? a
q

即 m+n=p+q
?
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
(m, n, p, q ∈N )
但通常 ①由
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
推不出m+n=p+q ，②
a
m
?a
n
?a
m?n

探究：等差数列与一次函数的关系
Ⅲ.课堂练习
1.在等差数列
?
a
n
?
中，已知
a
5
?10
，
a
12
?31
，求首项
a
1
与公差
d

2. 在等差数列
?
a
n
?
中, 若
a
5
?6

a
8
?15
求
a
14

Ⅳ.课时小结
节课学习了以下内容：
1．
A?
a?b
?a,A,b,
成等差数列
2
2．在等差数列中， m+n=p+q
?
a
m
?an
?a
p
?a
q
(m, n, p, q ∈N )
Ⅴ.课后作业
课本P46第4、5题
教学反思


§3.3 等差数列的前n项和
新授课
知识与技能
课时
1
备课时间


课题
课型
教学掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列

优秀教案 欢迎下载
目 标 的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
通过公式的推导和 公式的运用，使学生体会从特殊到一
般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解
决 问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对
学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的 思维水
平.
通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。
过程与方法
情感态度与价值观
重点
难点
等差数列n项和公式的理解、推导及应
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题

教学方法
教学过程
Ⅰ.课题导入
“小故事”:
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现
在给大家出道题目:
1+2+…100=?”
过了两分钟,正当大家在：1+ 2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答
说：
“1+2+3+…+100=5050。
教师问：“你是如何算出答案的？
高斯回答说：因为1+100=101；
2+99=101；…50+51=101，所以
101×50=5050”
这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小 就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发
现和寻找出某些规律性的东西。
（2 ）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们
要介绍的“倒序相加 ”法。
Ⅱ.讲授新课
1．等差数列的前
n
项和公式1：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)

2
证明：
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
?
?
?a
n?1
?a
n
①

S
n
?a
n
?a
n?1
? a
n?2
?
?
?a
2
?a
1
② ①+②：
2S
n
?(a
1
?a
n
)?(a2
?a
n?1
)?(a
3
?a
n?2
)??
?(a
n
?a
n
)

∵
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?a3
?a
n?2
???

∴
2S
n
?n(a
1
?a
n
)
由此得 ：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)

2
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性

优秀教案 欢迎下载
2． 等差数列的前
n
项和公式2：
S
n
?na
1
?
n(n?1)d

2
用上述公式要求
S
n
必须具备三个条件：
n,a< br>1
,a
n

但
a
n
?a
1
?(n?1)d
代入公式1即得：
S
n
?na
1
?
n(n?1)d

2此公式要求
S
n
必须已知三个条件：
n,a
1
,d （有时比较有用）
[范例讲解]
课本P49-50的例1、例2、例3
由例3得与
a
n
之间的关系：
由
S
n
的 定义可知，当n=1时，
S
1
=
a
1
；当n≥2时，
a
n
=
S
n
-
S
n?1
，
即
a
n
=
?
?
S
1
(n?1)
.
?
S
n
?S
n?1
(n?2)
Ⅲ.课堂练习
课本P52练习1、2、3、4
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1.等差数列的前
n
项和公式1：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)

2
2.等差数列的前
n
项和 公式2：
S
n
?na
1
?
Ⅴ.课后作业
课本P52-53习题[A组]2、3题
教学反思



n(n?1)d

2





课题
课型
教学
目 标
新授课
§2.3等差数列的前n项和

课时
2
备课时间

进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前
n
项和公式；了
解等差数列的一些性 质，并会用它们解决一些相关问题；
会利用等差数列通项公式与前

项和的公式研究

的
知识与技能

优秀教案 欢迎下载
最值；
过程与方法
情感态度与价值观
重点
难点
经历公式应用的过程
通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数
学源于 生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观
察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。
熟练掌握等差数列的求和公式
灵活应用求和公式解决问题

教学方法
教学过程
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1.等差数列的前
n
项和公式1：< br>S
n
?
n(a
1
?a
n
)
2
2.等差数列的前
n
项和公式2：
S
n
?na
1
?
Ⅱ.讲授新课
探究：——课本P51的探究活动
n(n?1)d

2
2
结论：一般地，如果一个数列
?a
n
?
,
的前n项和为
S
n
?pn?qn?r
，其中p、q、r为常
数，且
p?0
，那么这个数列一定是等差数列吗？如果 是，它的首项与公差分别是多少？
2
由
S
n
?pn?qn?r，得
S
1
?a
1
?p?q?r

22
当
n?2
时
a
n
?S
n
?S
n?1
=
(pn?qn?r)?[p(n?1)?q(n?1)?r]
=
2pn?(p?q )

?d?a
n
?a
n?1
?[2pn?(p?q)]?[ 2p(n?1)?(p?q)]
=2p
对等差数列的前
n
项和公式2：S
n
?na
1
?
n(n?1)d
可化成式子：
2
S
n
?
d
2
d
n?(a
1
? )n
，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
22
[范例讲解]
等差数列前项和的最值问题
课本P51的例4 解略
小结：
对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1） 利用
a
n
:
当
a
n
>0，d<0，前n项和有最大值可由
a
n
≥0，且
a
n?1
≤0，求得n的值

优秀教案 欢迎下载
当
a
n
<0，d>0，前n项和有最小值可由
a
n
≤0，且
a
n?1
≥0，求得n的值
（2） 利用
S
n
：
由
S
n
?
d
2d
n?(a
1
?)n
利用二次函数配方法求得最值时n的值
22
Ⅲ.课堂练习
1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的 差是27，求这个等差数列
的通项公式。
2．差数列{
a
n
}中,
a
4
＝－15, 公差d＝3, 求数列{
a
n
}的前n项和
S
n
的最小值。
Ⅳ.课时小结
2
1．前n项和为
S
n
?pn?qn?r< br>，其中p、q、r为常数，且
p?0
，一定是等差数列，
该数列的
首项是
a
1
?p?q?r

公差是d=2p
通项 公式是
a
n
?
?
?
S
1
?a
1< br>?p?q?r,当n?1时
?
S
n
?S
n?1
?2p n?(p?q),当n?2时

2．差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1）当
a
n
>0，d<0，前n项和有最大值可由
a
n
≥0，且< br>a
n?1
≤0，求得n的值。
当
a
n
<0，d>0 ，前n项和有最小值可由
a
n
≤0，且
a
n?1
≥0，求得 n的值。
（2）由
S
n
?
d
2
d
n?( a
1
?)n
利用二次函数配方法求得最值时n的值
22
Ⅴ.课后作业
课本P53习题[A组]的5、6题

教学反思






课题
课型
教学
目 标
新授课
知识与技能
过程与方法
课时
§2.4等比数列

备课时间

掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；
通过实例，理解等比数列的概念；探 索并掌握等比数列的
通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等
比关系，提高数学 建模能力；体会等比数列与指数函数的

优秀教案 欢迎下载
关系
情感态度与价值观
重点
难点
充分感受数列是反映现实生 活的模型，体会数学是来源于
现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不
是枯燥无 味的，提高学习的兴趣
等比数列的定义及通项公式
灵活应用定义式及通项公式解决相关问题

教学方法
教学过程
Ⅰ.课题导入
复习：等差数列的定义：
a
n
－
a
n?1
=d ，（n≥2，n∈N
?
）
等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列 ，我们还会遇到下面一类特殊
的数列。
课本P41页的4个例子：
①1，2，4，8，16，…
②1，
1111
，，，，…
248 16
234
③1，20，
20
，
20
，
20
，…
④
10000?1.0198
，
10000?1.0198
2
，
10000?1.0198
3
，
10000?1.01984
，
10000?1.0198
5
，……
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。
Ⅱ.讲授新课
1 ．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一
个常数，那么这个数 列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q
表示（q≠0），即：
a
n
=q（q≠0）
a
n?1
1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)
｛
a
n
｝成等比数列
?
a
n?1
?
=q（
n ?N
,q≠0）
a
n
2? 隐含：任一项
a
n
?0且q?0

“
a
n
≠0”是数列｛
a
n
｝成等比数列的必要非充分条件．
3? q= 1时，{a
n
}为常数。
n?1
2.等比数列的通项公式1:
a
n
?a
1
?q(a
1
?q?0)

由等比数列的定义，有：

优秀教案 欢迎下载
a
2
?a
1
q
；
a
3
?a2
q?(a
1
q)q?a
1
q
2
；
a
4
?a
3
q?(a
1
q
2
)q?a1
q
3
；
… … … … … … …
a
n?a
n?1
q?a
1
?q
n?1
(a
1
?q?0)

m?1
3.等比数列的通项公式2:
a
n
?a
m
?q(a
1
?q?0)

4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系

[范例讲解]
课本P57例1、例2、P58例3 解略。
Ⅲ.课堂练习
课本P59练习1、2
[补充练习]
2.（1） 一个等比数列的第9项是
41
，公比是－，求它的第1项（答案：
a
1
=2916）
93
a
1
=（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（ 答案：
a
4
=
a
3
q
=40）
Ⅳ.课时小结
本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式．
Ⅴ.课后作业
课本P60习题A组1、2题

教学反思





§2.4等比数列
新授课
知识与技能
过程与方法
课时
2
备课时间
a
2
=5,
q

课题
课型
教学目
标

灵活应 用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项
概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列 是
否成等比数列的方法
通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。

优秀教案 欢迎下载
情感态度与价值观
重点
难点
教学方法
教学过程
Ⅰ.课题导入
充分感受数列是反映现 实生活的模型，体会数学是来源于
现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不
是枯 燥无味的，提高学习的兴趣。
等比中项的理解与应用
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题

首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它 的前一项的比等于同一个常数，
那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常 用字母q表示（q≠
0），即：
a
n
=q（q≠0）
a
n?1
n?1n?m
(a
m
?q?0)
2.等比数列的通项公式:
a
n
?a
1
?q(a
1
?q?0)
， < br>a
n
?a
m
?q
3．｛
a
n
｝成等 比数列
?
列的必要非充分条件
a
n?1
?
=q（
n?N
,q≠0） “
an
≠0”是数列｛
a
n
｝成等比数
a
n
4．既 是等差又是等比数列的数列：非零常数列
Ⅱ.讲授新课
1．等比中项：如果在a与b中间插 入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数
G为a与b的等比中项. 即G=±
ab
（a,b同号）
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比 数列，则
Gb
??G
2
?ab?G??ab
，

aG
反之，若G=ab,则
≠0）
[范例讲解]
课本P58例4 证明：设数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公 比为
q
1
;
?
b
n
?
的首项为
b
1
，公比为
q
2
，
那么数列
?
a
n
?b
n
?
的第n项与第n+1项分别为：
2
Gb
b
?
，即a,G,b成等比数列。∴a,G,b成等比数列
?
G
2
=ab（a·
aG
a
1
?q
1
n?1
?b
1
?q
2
n?1
与a
1
?q
1
? b
1
?q
2
即为a
1
b
1
(q
1
q
2
)
n?1
与a
1
b
1
(q< br>1
q
2
)
n
nn
a
n?1
?bn?1
a
1
b
1
(q
1
q
2
)
n
?
??q
1
q
2
.

n?1
a
n
?b
n
a
1
b
1
(q
1
q
2
)
它是一个与n无关的常数，所以
?
a
n
?b
n
?
是一个以q
1
q
2
为公比的等比 数列

优秀教案 欢迎下载
拓展探究：
对于例4中 的等比数列{
a
n
}与{
b
n
}，数列{
a
n
}也一定是等比数列吗？
b
n
a
n
a
，则< br>c
n?1
?
n?1

b
n
b
n?1
探究：设数列{
a
n
}与{
b
n
}的公比分别为< br>q
1
和q
2
，令
c
n
?
?
c
n?1
b
n?1
ab
a
q
??(
n?1
)(
n?1
)?
1
，所以，数列{
n
}也一定是等 比数列。
a
n
b
n
c
n
a
n
b
n
q
2
b
n
a
n?1
课本P59的练习4
22
已知数列{
a
n
}是等比数列，（1）
a
5< br>?a
3
a
7
是否成立？
a
5
?a
1
a
9
成立吗？为什么？
22
（2）
a
n
?a
n?1
a
n?1
(n?1)
是否成立？你据此能得到什么结论？
a
n
?a
n?k
a
n?k
(n?k?0)
是
否成立？你又能得到什么结论？
结论：2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则
a
m
a
n
?a
p
a
k

Ⅲ.课堂练习
课本P59-60的练习3、5
Ⅳ.课时小结
1、若m+ n=p+q，
a
m
?a
n
?a
p
?a
q< br>
2、若
?
a
n
?
,
?
b
n
?
是项数相同的等比数列，则
?
a
n
?b
n?
、{
Ⅴ.课后作业
课本P60习题2.4A组的3、5题

教学反思





§2.5等比数列的前n项和
新授课
知识与技能
教学
目 标
课时
1
备课时间

a
n
}也是等比数列
b
n

课题
课型
掌握等比数列的前n项和公式及公式证 明思路；会用等比
数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题
经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的
求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数
学 模型、解决求和问题。
过程与方法

优秀教案 欢迎下载
情感态度与价值观
重点
难点
在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于 探索，积极进
取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
等比数列的前n项和公式推导
灵活应用公式解决有关问题

教学方法
教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
[提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”
Ⅱ.讲授新课
[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比 数列，它的
首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比< br>数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。
1、 等比数列的前n项和公式：
a
1
(1?q
n
)
a?a
n
q
当
q?1
时，
S
n
?
① 或
S
n
?
1
②
1?q
1?q
当q=1时，
S
n
?na
1

当已知
a
1
, q, n 时用公式①；当已知
a
1
, q,
a
n
时，用公式②.
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列
a
1
,a
2?a
3
,?a
n
?
它的前n项和是
S
n?a
1
?a
2
?a
3
??a
n
由
?
?
S
n
?a
1
?a
2
? a
3
??a
n
?
a
n
?a
1
q< br>n?1

2n?2n?1
?
?
S
n
?a1
?a
1
q?a
1
q?
?
a
1
q?a
1
q
得
?

23n?1n
?
?< br>qS
n
?a
1
q?a
1
q?a
1
q ?
?
a
1
q?a
1
q
?(1?q)S
n< br>?a
1
?a
1
q
n

a
1
(1?q
n
)
a?a
n
q
∴当
q?1时，
S
n
?
① 或
S
n
?
1
②
1?q
1?q
当q=1时，
S
n
?na
1

公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
a
a
2
a
3
??
?
?
n
?q

a
1
a
2
a
n?1

优秀教案 欢迎下载
根据等比的性质，有
a
2
?a
3
?
?< br>?a
n
S?a
1
?
n
?q

a1
?a
2
?
?
?a
n?1
S
n
?a
n
即
S
n
?a
1
?q
?
(1?q)S
n
?a
1
?a
n
q
（结论同上） < br>S
n
?a
n
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导 出了公式．

[解决问题]
有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。
由
a
1
?1,q?2,n?64
可得
a
1
(1?q
n
)
1?(1?2
64
)
64
S
n
?
==
2?1
。
1?q
1?2
2
6 4
?1
这个数很大，超过了
1.84?10
19
。国王不能实现他的 诺言。
[例题讲解]
课本P65-66的例1、例2 例3解略
Ⅲ.课堂练习
课本P66的练习1、2、3
Ⅳ.课时小结
等比数列求和公式：当q=1时，
S
n
?na
1
当
q?1
时，
S
n
?
a
1
?a
n< br>q
或
1?q
a
1
(1?q
n
)
S
n
?

1?q
Ⅴ.课后作业
课本P69习题A组的第1、2题

教学反思



§2.5等比数列的前n项和
新授课 课时
2
备课时间


课题
课型
会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比
教学
目 标
知识与技能
数列的
S
n
,a
n
,a
1< br>,n,q
中知道三个数求另外两个数的一些
简单问题；提高分析、解决问题能力
过程与方法
通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论
的思想、等价转化的思想.

优秀教案 欢迎下载
情感态度与价值观
重点
难点
通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，
培养他们实事求是的科学态度.

进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式
灵活使用公式解决问题

教学方法
教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下前一节课所学主要内容：
等比数列的前n项和公式：
a
1< br>(1?q
n
)
a?a
n
q
当
q?1
时，
S
n
?
① 或
S
n
?
1
②
1?q
1?q
当q=1时，
S
n
?na
1

当已知
a
1
, q, n 时用公式①；当已知
a
1
, q,
a
n
时，用公式②
Ⅱ.讲授新课
1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，
22
求证：
S
n
?S
2n
?S
n
(S
2n
?S
3n
)

2、设a为常数，求数列a，2a，3a，…，na，…的前n项和；
（1）a=0时，S
n
=0
（2）a≠0时，若a=1，则Sn=1+2+ 3+…+n=
n-1n
23n
1
n(n?1)

2
若a≠1，S
n
-aS
n
=a（1+a+…+a-na），Sn=


Ⅲ.课堂练习



Ⅳ.课时小结



Ⅴ.课后作业

教学反思



a
nn?1
[1?(n?1)a?na]

2
(1?a)

优秀教案 欢迎下载



































课题
课型 新授课
知识与技能
教学
目 标
过程与方法
情感态度与价值观
重点
§3.1不等式与不等关系
课时

备课时间

掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不
等式；
通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问
题、解决问题的方法；
通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能
力.
掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；

优秀教案 欢迎下载
难点 利用不等式的性质证明简单的不等式。

教学方法
教学过程
1.课题导入
在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。
请同学们回忆初中不等式的的基本性质。
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；
即若
a?b?a?c?b?c

（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；
即若
a?b,c?0?ac?bc

（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
即若
a?b,c?0?ac?bc

2.讲授新课
1、不等式的基本性质：
（1）
a?b,b?c?a?c

（2）
a?b?a?c?b?c

（3）
a?b,c?0?ac?bc

（4）
a?b,c?0?ac?bc

2、探索研究
思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：
（1）
a?b,c?d?a?c?b?d
；
（2）
a?b?0,c?d?0?ac?bd
；
nn
（3）
a?b?0,n?N,n?1?a?b;
n
a?
n
b
。
证明：
1）∵a＞b，
∴a＋c＞b＋c ①
∵c＞d，
∴b＋c＞b＋d． ②
由①、②得 a＋c＞b＋d．

优秀教案 欢迎下载
a?b,c?0?ac?bc
?
2）
?
?ac?bd
c?d,b?0?bc?bd
?
3）反证法）假设
n
a?
nn
b
，
这都与
a?b
矛盾， 则：若
a?
a?
n
n
n
b?a?b
b?a?b
n
∴
n
a?b
．
3.随堂练习1
1、课本P82的练习3
2、在以下各题的横线处适当的不等号：
(1)（
3
＋
2
）
2
６＋2
6
；（2）（
3
－
2
）
2
（
6
－1）
2
；
（3）
1

5?2
1
；(4)当a＞b＞0时，log
1
a log
1
b
6?5
22
[补充例题]
例2、比较(a
＋3)（
a
－５）与（
a
＋2）（
a
－4） 的大小。
随堂练习2

1、 比较大小：
2
（1）（
x
＋５）（
x
＋７）与（
x
＋６）
（2）
x?5x?6与2x?5x?9

22
4.课时小结
本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何
比较两个实数 （代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是
n
个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论
5.评价设计
课本P83习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题

教学反思



3.2一元二次不等式及其解法
第1课时
新授课 课时

备课时间

理解一元二次方 程、一元二次不等式与二次函数的关系，
掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能
力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑
思维能力；

课题
课型
教学
目 标
知识与技能

优秀教案 欢迎下载
过程与方法
经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和
通过函 数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联
系，获得一元二次不等式的解法
激发学习数 学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精
神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
情感态度与价值观
重点
难点
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系

教学方法
教学过程
1.课题导入
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：
教材P84互联网的收费问题
教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模 型：
x
2
?5x?0
…………………………(1)
2.讲授新课
1）
一元二次不等式的定义
象
x?5x?0
这样，只含有一个未知 数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元
二次不等式
2
2）
探究一元二次不等式
x
2
?5x?0
的解集
怎样求不等式（1）的解集呢？
探究：（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系：二次方程的根就是二次函数的零点。
（2）观察图象，获得解集
画出二次函数
y?x?5x
的图象，如图，观察函数图象，可知：
当 x< 0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即
2
x
2
?5x? 0
；当0x
2
?5x ?0
；所以，不等式
x
2
?5x?0
的解集是
?
x |0?x?5
?
，从而解决了本节开始时
提出的问题。
3）
探究一般的一元二次不等式的解法
任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种 形式：
ax
2
?bx?c?0,(a?0)或ax
2
?bx?c?0 ,(a?0)

一般地，怎样确定一元二次不等式
ax?bx?c
>0与< br>ax?bx?c
<0的解集呢？
组织讨论，总结讨论结果：
（l）抛物线
y?
ax?bx?c
（a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一
元二次方程
ax?bx?c
=0的判别式
??b?4ac
三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来
22
2
22

优秀教案 欢迎下载
确定.因此，要分二种情况讨论
（2）a<0可以转化为a>0
分Δ> O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式
ax?bx?c
>0与
ax?bx ?c
<0的解
集
一元二次不等式
ax?bx?c?0或ax?bx?c?0
?
a?0
?
的解集：
22
22
设相应的一元二次 方程
ax?bx?c?0
?
a?0
?
的两根为
x
1
、x
2
且x
1
?x
2
，
2
??b
2
?4ac
，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格 )


二次函数

??0

??0

??0

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

（
a?0
）的图象

一元二次方程
有两相异实根


有两相等实根


无实根

R


?


ax?bx?c?0
2
?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
[范例 讲解]
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)

x
1
?x
2
??
b

2a

b
?
?
xx?x
1
或x?x
2
?

?
xx??
??

2a
??

?
xx
1
?x?x
2
?


?

例2 (课本第87页)求不等式
4x?4x?1?0
的解集.
解：因为
??0, 方程4x?4x?1?0的解是x
1
?x
2
?
所以，原不等式的解集 是
?
xx?
2
2
1
.
2
?
?
1
?
?

2
?
例3 (课本第88页)解不等式
?x?2x?3?0
.
解：整理，得
x?2x?3?0
.
因为
??0,方程x?2x?3?0
无实数解，
2
2
2

优秀教案 欢迎下载
所以不等式
x
2
?2x?3?0
的解集是
?
.
从而，原不等式的解集是
?
.
3.随堂练习
课本第89的练习1（1）、（3）、（5）、（7）
4.课时小结
解一元二次不等式的步骤：
① 将二次项系数化为“+”：A=
ax?bx?c
>0(或<0)(a>0)
② 计算判别式
?
，分析不等式的解的情况：
2
?
若A?0，则x?x
1
或?x
2
；
ⅰ.
?
>0时，求根
x1
<
x
2
，
?

?
若A?0，则x< br>1
?x?x
2
.
?
若A?0，则x?x
0
的 一切实数；
?
ⅱ.
?
=0时，求根
x
1
＝
x
2
＝
x
0
，
?
若A?0，则x?
?；

?
若A?0，则x?x.
0
?
ⅲ.
?<0时，方程无解，
?
③ 写出解集.
?
若A?0，则x?R；
?
若A?0，则x?
?
.

5.评价设计
课本第89页习题3.2[A]组第1题
教学反思










课题
课型 新授课
知识与技能
教学
目 标 过程与方法
情感态度与价值观
§3.2一元二次不等式及其解法
第2课时
课时

备课时间

巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；
进一步熟练解一元二次不等式的解法；
培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能
力和逻辑思维能力；
激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精

优秀教案 欢迎下载
神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想
重点
难点
熟练掌握一元二次不等式的解法
理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系

教学方法
教学过程
1.课题导入
1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
2．一元二次不等式的解法步骤——课本第86页的表格
2.讲授新课
[范例讲解]
例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x kmh有如下的关系：
s?
11
2
x?x

20180< br>在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多
少？ （精确到0.01kmh）
解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x kmh，根据题意，我们得到
移项整理得：
x?9x?7110?0

显然
?0
，方程
x?9x?7110?0
有两个实数根，即
2
2
11
2
x?x?39.5

20180
x
1
??88.94,x
2
?79.94
。所以不等式的解集为< br>?
x|x??88.94,或x?79.94
?

在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94kmh.
例4、一 个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量
x（辆）与创造的价值y （元）之间有如下的关系：
y??2x
2
?220x

若这家工厂 希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大
约应该生产多少辆摩托车 ？
解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到
?2x
2
?220x?6000

移项整理，得
x
2
?110x?3000?0

因为
?100?0
，所以方程
x?110x?3000?0
有两个实数根
2
x
1
?50,x
2
?60

由二次函数的图象，得不等式的解为：50因为x只能取正整数，所以，当这条摩 托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在

优秀教案 欢迎下载
51—59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益。
3．随堂练习1
课本第89页练习2
[补充例题]
▲ 应用一（一元二次不等式与一元二次方程的关系）
2
例：设不等式
ax?bx ?1?0
的解集为
{x|?1?x?
1
3
}
，求
a b
?
▲ 应用二（一元二次不等式与二次函数的关系）
例：设
A?{x| x?4x?3?0},B?{x|x?2x?a?8?0}
，且
A?B
，求
a
的取值
范围.
改：设
x?2x?a?8?0
对于一切
x? (1,3)
都成立，求
a
的范围.
2
改：若方程
x?2x ?a?8?0
有两个实根
x
1
,x
2
，且
x
1
?3
，
x
2
?1
，求
a
的范围.
2
22
随堂练习2
2
1
x
的不等式1、已知二次 不等式
ax?bx?c?0
的解集为
{x|x?
1
3
或x?
2
}
，求关于
cx
2
?bx?a?0
的解集. < br>2、若关于
m
的不等式
mx?(2m?1)x?m?1?0
的解集为空 集，求
m
的取值范围.
改1：解集非空
改2：解集为一切实数
2
4.课时小结
进一步熟练掌握一元二次不等式的解法
一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系
5.评价设计
课本第89页的习题3.2[A]组第3、5题

教学反思





课题
课型 新授课
知识与技能
教学
目 标 过程与方法
情感态度与价值观
§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域
第1课时
课时

备课时间

了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组
表示平面区域；
经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高
数学建模的能力；
通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习

优秀教案 欢迎下载
兴趣
重点
难点
用二元一次不等式（组）表示平面区域；
二元一次不等式的几何意义

教学方法
教学过程
1.课题导入
1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型
课本第91页的“银行信贷资金分配问题”
教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。
在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识：
2.讲授新课
1．建立二元一次不等式模型
把实际问题
转化
数学问题：
设用于企业贷款的资金为
x
元，用于个人贷款的资金为
y
元。
（把文字语言
转化
符号语言）
（资金总数为25 000 000元）
?
x?y?25000000
（1）
（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）
?
(12%)x+(10%)y?30000
即
12x?10y?3000000
（2）
（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）
?
x?0,y?0
（3）
将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：
?
x?y? 25000000
?
?
12x?10y?3000000

?
x?0,y?0
?
2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元
一次不等式。
（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
（ 3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有
序实数对（x,y ），所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）
的解集。
（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：
二元一次不等式（ 组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有
序实数对就可以看成是平面内点的坐标 ，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成
是直角坐标系内的点构成的集合。
3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
（1）回忆、思考

优秀教案 欢迎下载
回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间
思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？
（2）探究
从特殊到一般：
先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。
如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面内所有的点
被直线分成三类：
第一类：在直线x-y=6上的点；
第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；
第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。
设点是直线x-y=6上的点，选取点，使 它的坐标满足不等式x-y<6，请同学们完成课本第
93页的表格，
横坐标x
点P的纵坐标
y
1

点A的纵坐标
y
2

-3


-2


-1


0


1


2


3


并思考：
当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？
根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？
直线x-y=6右下方点的坐标呢？
学生思考、讨论、交流，达成共识：
在平面直 角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在
直线x-y=6的左上方；反过来，直线 x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。
因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。
类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。
直线叫做这两个区域的边界
由特殊例子推广到一般情况：
（3）结论：
二元一次不等式
Ax
+
By
+
C
＞0在平面直角坐标系中表 示直线
Ax
+
By
+
C
=0某一侧所有点
组成的平 面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线
Ax
+
By
+
C
=0同一侧的所有点(x,y
)，把它的坐标（
x,y
)代入
Ax
+
By+
C
，
所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（
x
0
,
y
0
)，从
Ax
0
+
B y
0
+
C
的正负即可判断
Ax
+
By
+< br>C
＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当
C
≠0时，常把原
点 作为此特殊点）
【应用举例】
例1 画出不等式
x?4y?4
表示的平面区域。
解：先画直线
x?4y?4
（画成虚线）.
取原点（0，0），代入
x
+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,

优秀教案 欢迎下载
∴原点在
x?4y?4
表示的平面区域内，不等式
x?4y?4
表示的区域如图：
归纳：画二元一次不等式 表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊
地，当
C?0
时，常把 原点作为此特殊点。
变式1、画出不等式
4x?3y?12
所表示的平面区域。
变式2、画出不等式
x?1
所表示的平面区域。
例2 用平面区域表示.不等式组
?
?
y??3x?12
的解集。
?x?2y
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个
不等式所表示的平面区域的公共部分。
解：不等式
y??3x?12
表示直线y??3x?12
右下方的区域，
x?2y
表
示直线
x?2y< br>右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原
不等式组的解集。
归纳 ：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而
是各个不等式所表示的平面区域 的公共部分。
变式1、画出不等式
(x?2y?1)(x?y?4）?0
表示的平面区域。
变式2、由直线
x?y?2?0
，
x?2y?1?0
和
2x?y? 1?0
围成的三角形区域（包括
边界）用不等式可表示为 。
3.随堂练习
1、课本第97页的练习1、2、3
4.课时小结
1．二元一次不等式表示的平面区域．
2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．
3．二元一次不等式组表示的平面区域．
5.评价设计
课本第105页习题3.3[A]组的第1题
教学反思



§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域
第2课时
新授课
知识与技能
过程与方法
课时

备课时间

巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面
区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条 件；
经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、

课题
课型
教学
目 标

优秀教案 欢迎下载
数形结合的数学思想；
情感态度与价值观
重点
难点
结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的
意识，激励学生创新.
理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来；
把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域

教学方法
教学过程
1.课题导入
[复习引入]
二元一次不等式
Ax+
By
+
C
＞0在平面直角坐标系中表示直线
Ax
+< br>By
+
C
=0某一侧所有点
组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边 界直线）
判断方法：由于对在直线
Ax
+
By
+
C
=0同一侧的所有点(
x
,
y
)，把它的坐标（
x
,y
)代入
Ax
+
By
+
C
，所得到实数的符号 都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（
x
0
,
y
0
)，从
Ax
0
+
By
0
+
C
的正负即可 判断
Ax
+
By
+
C
＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特 殊地，当
C
≠0时，
常把原点作为此特殊点）。
随堂练习1

1、画出不等式2
x
+
y
-6＜0表示的平面区域.
?< br>x?y?5?0
?
2、画出不等式组
?
x?y?0
表示的平面 区域。
?
x?3
?
2.讲授新课
y
x+y=0
55
B(-,)
22
x-y+5=0
6
x=3
03
C(3,-3)
x
A(3,8)
【应用举例】
例3 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面
的数据表格（以班级为单位）：
学段
初中
高中
班级学生人数
45
40
配备教师数
2
3
硬件建设万
元
26班
54班
教师年薪万元
2人
2人
分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。
解：设开设初中班x个，开设高中班y个，根 据题意，总共招生班数应限制在20-30之间，
所以有
20?x?y?30

考虑到所投资金的限制，得到
26x?54y?2?2x?2?3y?1200

即
x?2y?40

另外，开设的班数不能为负，则
x?0,y?0

把上面的四个不等式合在一起，得到：

优秀教案 欢迎下载
?
20?x?y?30
?
x?2y?40
?

?< br>x?0
?
?
y?0
?
用图形表示这个限制条件，得到如图的平 面区域（阴影部分）
例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷 酸盐18t；
生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、 硝酸盐
66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平
面区域。
解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足
以下条件：
?
4x?y?10
?
18x?15y?66
?

?
x?0
?
?
y?0
?
在直角坐标系中可表示成如图的平面区 域（阴影部分）。
[补充例题]
例1、画出下列不等式表示的区域
(1)
(x?y)(x?y?1)?0
； (2)
x?y?2x

分析：(1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传递性，由
x?2x
， 得
x?0
，
又用
?y
代
y
，不等式仍成立，区域关 于
x
轴对称。
解：(1)
?
?
x?y?0
?x?y?0
矛盾无解，故点
(x,y)
在一带形区域
?0?x?y?1< br>或
?
?
x?y?1?0
?
x?y?1
内（含边界）。
(2) 由
x?2x
，得
x?0
；当
y?0
时，有
?
界)；当
y?0
，由对称性得出。
指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解
?
x?y?0
点
(x,y)
在一条形区域内(边
?
2x?y?0

优秀教案 欢迎下载
?
2x?y?3?0
?
例2、利用区域求不等式组
?
2x?3y?6?0
的整数解
?3x?5y?15?0
?
分析：不等式组的实数解集为三条直线
l
1:2x?y?3?0
，
l
2
:2x?3y?6?0
，
l
3
:3x?5y?15?0
所围成的三角形区域内部(不含边界)。设
l1
?l
2
?A
，
l
1
?l
3
?B
，
l
2
?l
3
?C
，求得区域内点横坐标范围 ，取出
x
的所有整数值，再代回原不等式组转化为
y
的一元不等式组得出相应 的
y
的整数值。
解：设
l
1
:2x?y?3?0
，
l
2
:2x?3y?6?0
，
l
3
:3x?5y ?15?0
，
l
1
?l
2
?A
，
1537 512
l
1
?l
3
?B
，
l
2
? l
3
?C
，∴
A(,)
，
B(0,?3)
，
C(,?)
。于是看出区域内点的
841919
?
?
y??1?
4
75
?
横坐标在
(0,)
内，取
x
＝1，2，3，当
x
＝1时，代入原不等式组有
?
y?
?
3
19
?
12
?
y??
?
5
?
?
12
?y??1
，得
y
＝－2，∴区域内有整点(1,-2)。同理 可求得另外三个整点(2,0)，
5
(2,-1)，(3,-1)。
指出：求不等式 的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数
解作铺垫。常有两种处理方法， 一种是通过打出网络求整点；另一种是本题解答中所采用
的，先确定区域内点的横坐标的范围，确定x
的所有整数值，再代回原不等式组，得出
y
的一元一次不等式组，再确定
y
的所有整数值，即先固定
x
，再用
x
制约
y
。
3.随堂练习2
1．（1）
y?x?1
； （2）．
x?y
； （3）．
x?y


3．课本第97页的练习4
4.课时小结
5.评价设计
1、课本第105页习题3.3[B]组的第1、2题
教学反思

优秀教案 欢迎下载

课题
课型 新授课
§3.3.2简单的线性规划
第3课时
课时

备课时间

使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划
的意义以及约束条件、目标 函数、可行解、可行域、最优
解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它
解决一些 简单的实际问题；
经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提
高数学建模能力；
培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、
数形结合的数学思想，提高学生“建模 ”和解决实际问题
的能力
知识与技能
教学
目 标 过程与方法
情感态度与价值观
重点
难点
用图解法解决简单的线性规划问题
准确求得线性规划问题的最优解

教学方法
教学过程
1.课题导入
[复习提问]
1、二元一次不等式
Ax?By?C?0
在平面直角坐标系中表示什么图形？
2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？
3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
2.讲授新课
在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。
1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：
引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙 两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件
耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该 厂每天最多可从配件厂获得16个A
配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排 是什么？
（1）用不等式组表示问题中的限制条件：
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：
?
x?2 y?8
?
4x?16
?
?
?
4y?12
……… …………………………………………
?
x?0
?
?
?
y?0
…………….（1）
（2）画出不等式组所表示的平面区域：
如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。
（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采 用哪种生产安排
利润最大？

优秀教案 欢迎下载
（4）尝试解答：
设生产甲产品
x
件，乙产品
y
件时，工 厂获得的利润为
z
,则
z=2x+3y
.这样，上述问题就
转化为：
当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，
z
的最大值是多少？
把z=2x+3y
变形为
y??
2z2z
x?
，这是斜率为
?
，在y轴上的截距为的直线。当
3333
z变化时，可以得到一族互相平行的直线 ，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只
28z
，这说明，截距可
x?
）
333
2z
以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线
y??x ?
与不等式组（1）的
33
z
区域的交点满足不等式组（1），而且当截距最 大时，z取得最大值。
3
2z
因此，问题可以转化为当直线
y??x?
与不等式组（1）确定的平
33
z
面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线 经过点P时截距最
3
要给定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（
y??
大。
（5）获得结果：
2z
x?
金国直线x=4与直线x+2y -8=0的交点M（4，
33
z14
2）时，截距的值最大，最大值为，这时2x+3 y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙
33
由上图可以看出，当实现
y??
产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。
2、线性规划的有关概念：
①线性约束条件 ：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条
件都是关于x、y的一次不等式， 故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值 或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫
线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规
划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
3、 变换条件，加深理解
探究：课本第100页的探究活动
（1） 在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元， 每生产一件乙产品获利2万元，
有应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。
（2） 有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？

优秀教案 欢迎下载
3.随堂练习
1．请同学们结 合课本
P
103
练习1来掌握图解法解决简
单的线性规划问题.
（ 1）求
z
=2
x
+
y
的最大值，使式中的
x
、
y
满足约束
y
3
2
1
O
x-y=0
11
B
(,)
22
x
12
-2-1
A(2,-1)
C
(-1,-1)
-1
x+y-1=0
2x+y= 0
?
y?x,
?
条件
?
x?y?1,

?
y??1.
?
解：不等式组表示的平面区域如图所示：
当
x
=0,
y
=0时，
z
=2
x
+
y=0
点（0，0）在直线
l
0
:2
x
+
y< br>=0上.
作一组与直线
l
0
平行的直线
l
:2< br>x
+
y
=
t
,
t
∈R.
可知， 在经过不等式组所表示的公共区域内的点
且平行于
l
的直线中，以经过点
A< br>（2，-1）的直线所
对应的
t
最大.
所以
z
m
ax
=2×2-1=3.
（2）求
z< br>=3
x
+5
y
的最大值和最小值，使式中的
x
、y
?
5x?3y?15,
?
y
满足约束条件
?
y?x?1,

?
x?5y?3.
?
x-y+1=0
917
3x+5y=0
(,)
A
88
x-5y-3=0
1
C
-1
O
x
3
-1
B
5x+3y-15=0
5
解：不等式组所表示的平面区域如图所示：
从图示可知，直线3
x
+5
y
=
t
在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，
-1）的直线所对应的
t
最小，以经过点（
所以
z
m
in
=3×(-2)+５×(-1)=-11.
917
,
）的直线所对应的
t
最大.
88
z
m
ax
=3×
917
+5×=14
88
4.课时小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
5.评价设计
课本第105页习题[A]组的第2题.

教学反思

优秀教案 欢迎下载

课题
课型 新授课
知识与技能
教学
目 标
过程与方法
情感态度与价值观
重点
难点
§3.3.2简单的线性规划
第4课时
课时

备课时间

掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的
实际问题；
经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提
高数学建模能力；
引发学生 学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培
养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德
利用图解法求得线性规划问题的最优解；
把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决 难点的关键是根据实际问题
中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解

教学方法
教学过程
1.课题导入
[复习引入]：
1、二元 一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所
有点组成的平 面区域（虚线表示区域不包括边界直线）
2、目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:
2.讲授新课

线性规划在实际中的应用：
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人 力、物力、资金等资源
一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安 排和规
划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务
下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：
[范例讲解]
例5 营养学家指 出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg
的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪，1kg食
物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，
0.14kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元。为了满足营养
专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食
用食物A和食物B多少kg？
指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去 完成它,这是线性
规划中最常见的问题之一.
例6 在上一节例3中，若根据有关部门的规定，初中每人每年
可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700元。
那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额
最高多？
指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划
中常见的问题之一

结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法：

优秀教案 欢迎下载
简单线性规划问题就是求线性目标函数在 线性约束条件下的最优解，无论此类题目是
以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
3.随堂练习
课本第103页练习2

4.课时小结
线性规划的两类重要实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束 条件，确定线性目标函数。然后，
用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函 数取得最值的解，
最后，要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优 解。
5.评价设计
课本第105页习题3.3[A]组的第3题

教学反思

优秀教案 欢迎下载
课题
§3.4基本不等式
ab?
第1课时
a?b

2
备课时间

课型 新授课
知识与技能
课时

教学
目 标
学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当
且仅当这两个数相等；
通过实例探究抽象基本不等式
通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的
兴趣
过程与方法
情感态度与价值观
重点
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式
ab?
过程
a?b
的证明
2
难点
基本不等式
ab?

a?b
等号成立条件
2
教学方法
教学过程
1.课题导入
基本不等式
ab?
a?b
的几何背景：
2
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵
爽的弦图设 计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这
个图案中找出一些相等关系 或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课
1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直 角三角形。设直角三
角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为
a
2
? b
2
。这样，4个直角三角形的面积
的和是2ab，正方形的面积为
a?b< br>。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我
们就得到了一个不等式：
a?b?2 ab
。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有
22
22
a
2
?b
2
?2ab
。
2．得到结论：一般的，如果
a,b?R,那么a?b?2ab(当且仅当a?b时取?号)

3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为
a?b?2ab?(a?b)

当
a?b时,(a?b)?0,当a?b时,(a?b)?0,

22
22
222

优秀教案 欢迎下载
所以，
(a?b)?0
，即
(a?b)?2ab.

4．< br>1）
从几何图形的面积关系认识基本不等式
ab?
222
a?b

2
特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得
a?b?2ab
，
a?b
(a>0,b>0)

2
a?b

2）
从不等式的性质推导基本不等式
ab?

2
通常我们把上式写作：
ab?
用分析法证明：
a?b
?ab
(1)
2
只要证 a+b
?
(2)
要证（2），只要证 a+b-
?
0 （3）
要证
要证（3），只要证 （ - ）
2
（4）
显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

3）
理解基本不等式
ab?
a?b
的几何意义
2
探究：课本第110页的“探究”
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一 点，AC=a,BC=b。过点C
作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本 不等
式
ab?
a?b
的几何解释吗？
2
2
易证< br>Ｒt
△
AＣD
∽
Ｒt
△
DＣB
，那么
ＣD
＝
ＣA
·
ＣB
即
ＣD
＝
ab
.
这个圆的半径为
a?b
a?b
，显然，它大于或等于
CD
，即
?ab
，其中当且仅当点C
与
22
a?b
几何意义是“半径不小于半弦”
2
圆心重合，即
a
＝
b
时，等号成立.
因此：基 本不等式
ab?
评述：1.如果把
a?b
看作是正数
a
、< br>b
的等差中项，
ab
看作是正数
a
、
b
的等 比中项，
2
a?b
为
a
、
b
的算术平均数，称ab
为
a
、
b
的几何平均数.
2
那么该定理可 以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2.在数学中，我们称
本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
[补充例题]
例1 已知
x
、
y
都是正数，求证：(1 )
2233
yx
?
≥2；
xy
33
(2)（x
＋
y
）（
x
＋
y
）（
x
＋
y
）≥８
xy
.

优秀教案 欢迎下载
分析：在运用定理：
a?b
注意条件
a
、
b均为正数，结合不等式的性质(把
?ab
时，
2
x
y
2 233
＞0，＞0，
x
＞0，
y
＞0，
x
＞0，< br>y
＞0
y
x
握好每条性质成立的条件)，进行变形.
解：∵
x
，
y
都是正数 ∴
(1)
xy
xyxy
??2?
＝2即
?
≥2.
yx
yxyx
2233
(2)
x
＋
y
≥2
xy
＞0
x
＋
y
≥2
x
2
y
2
＞0
x
＋
y
≥2
x
3
y
3
＞0 ∴（
x
＋
y
）（
x
＋
y
）（
x
＋
y
）≥2
xy
·2
2233
x
2y
2
·2
x
3
y
3
＝８
x
3
y
3

即（
x
＋
y
）（
x
＋
y
）（
x
＋
y
）≥８
xy
.
223333
3.随堂练习
1.已知
a
、
b
、< br>c
都是正数，求证:（
a
＋
b
）（
b
＋c
）（
c
＋
a
）≥８
abc

分析： 对于此类题目，选择定理：
解：∵
a
，
b
，
c
都是 正数
∴
a
＋
b
≥2
ab
＞0
a?b< br>?ab
（
a
＞0，
b
＞0）灵活变形，可求得结果.
2
b
＋
c
≥2
bc
＞0
c
＋
a
≥2
ac
＞0
∴（
a
＋
b
）（
b
＋
c
）（
c
＋
a
）≥2
ab
·2
bc
·2
ac
＝８
abc

即（
a
＋
b
）（
b
＋
c
）（
c
＋
a
）≥８
abc
.
4.课时小结
本节课，我们学习了重要不等式
a
＋
b
≥2
ab
；两正数< br>a
、
b
的算术平均数（
几何平均数（
ab
）及它们的 关系（
22
a?b
），
2
a?b
≥
ab
） .它们成立的条件不同，前者只要求
2
a
、
b
都是实数，而后者要求
a
、
b
都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数
最值 的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解
a
2?b
2
a?b
2
决问题：
ab
≤，
ab
≤（）.
2
2
5.评价设计
课本第113页习题[A]组的第1题
教学反思

优秀教案 欢迎下载

课题
§3.4基本不等式
ab?
第2课时
课型 新授课
知识与技能
教学
目 标
课时

备课时间

a?b

2
进一步掌握基本不等式
ab?
a?b
；会应用此不等式求
2
某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题
通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式
过程与方法
ab?
a?b
，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
2
情感态度与价值观
重点
难点
基本不等式
ab?


引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创 新精神，培
养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德
a?b
的应用
2
教学方法
教学过程
1.课题导入
1．重要不等式：
如果
a,b?R,那么a?b?2ab(当且仅当a?b时取?号)

2．基 本不等式：如果a,b是正数，那么
??我们称
22
a?b
?ab(当且仅当 a?b时取?号).

2
a?b
为a,b
的算术平均数，称
ab为a,b
的几何平均数?
2
a?b
2
?ab
成立的条 件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后
a
2
?b
2
?2ab 和
者要求a,b都是正数。
2.讲授新课
例1（1）用篱笆围成一个面积为100 m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，
所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多
少时， 菜园的面积最大，最大面积是多少?
解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y） m。由
2
x?y
?xy
，
2
可得
x?y?2100
，
2(x?y)?40
。等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.

优秀教案 欢迎下载
（2）解法一：设矩形菜园的宽为
x
m，则长为（36－2
x
）m ，其中0＜
x
＜
1
，其
2
11
2x?36?2x< br>2
36
2
)?
面积
S
＝
x
（36－ 2
x
）＝·2
x
（36－2
x
）≤
(
< br>28
22
当且仅当2x＝36－2x，即x＝9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9 m时菜园面积
最大为81 m
2


解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为
xy m
2
。由
xy?
x?y18
??9
，可得
xy?81

22
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m
2


归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若
a
，
b
∈R，且
a
＋
b
＝
M
，
＋
M< br>2
M
为定值，则
ab
≤，等号当且仅当
a
＝
b
时成立.
4
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若
a，
b
∈R，且
ab
＝
P
，
P
为定值， 则
a
＋
b
≥2
P
，等号当且仅当
a
＝b
时成立.

例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m
3
,深为3m，如果池底每1m
2
的造价为150元，池壁每1m
2
的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总
造价是多少元？
分析： 此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的
最值，其中用到了均值不等 式定理。
解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得
＋
l?240000?720(x?
1600
)

x
?240000?720?2x?
1600

x
?240 000?720?2?40?297600
当
x?
1600
,即x?40时, l有最小值2976000.

x
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水 池的总造价最低，最低总造价是297600
元

评述：此题既是不等式性质在实际 中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，
又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等 式性质的适用条件。

优秀教案 欢迎下载

归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
3.随堂练习
1.已知
x
≠0，当
x
取什么值时，
x
＋
2．课本第113页的练习1、2、3、4

2
81
的值最小?最小值是多少?
x
2
4.课时小结 < br>本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最
值问题。在用均 值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注
意考查下列三个条件：(1)函 数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数
的各项的和或积必须有一个为定值；(3 )函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最
值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条 件：一正二定三取等。
5.评价设计
课本第113页习题[A]组的第2、4题

教学反思

优秀教案 欢迎下载


课题
课型 新授课
知识与技能
课时
§1．1．1正弦定理


备课时间

通过对任意三角 形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理
的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定
理解斜三角形的两类基本问题。
让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形
中， 边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，
由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应 用的实
践操作
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能
力；培养学生合 情推理探索数学规律的数学思思想能力，
通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联
系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学
目 标
过程与方法
情感态度与价值观
重点
难点
正弦定理的探索和证明及其基本应用
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
观察、思考、交流、讨论、概括 教学方法
教学过程
●教学过程
Ⅰ.课题导入
如图1．1-1，固定< br>?
ABC的边CB及
?
B，使边AC绕着顶点C转动。
思考：
?
C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角
?
C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式
关系。
在Rt
?
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函 数的定义，有
a
?sin
A
，
c
b
c
?s in
B
，又
sin
C
?1?
,
c
c
abc
abc
则
???
c
，从而在直角三角形ABC中，
??
sin
A< br>sin
B
sin
C
sin
A
sin
B
sin
C
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
当
?
ABC是锐角三角形时，设 边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有
CD=
a
sin
B?
b
sin
A
,则
同理可得
a
sin
A
?
b
sin
B
，
c
sin
C
?
b
sin
B
，

优秀教案 欢迎下载
从而
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C

[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同 一正数，
即存在正数k使
a
?
k
sin
A
，
b
?
k
sin
B
，
c
?
k
si n
C
；
（2）
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
等价于
a
sin< br>A
?
b
sin
B
，
c
sin
C?
b
sin
B
，
a
sin
A
?
c
sin
C

从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任 意两角及其一边可以求其他边，如
a
?
b
sin
A
； sin
B
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如
s in
A
?sin
B
。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析] < br>例1．在
?ABC
中，已知
A?32.0
0
，
B?8 1.8
0
，
a?42.9
cm，解三角形。
例2．在
?A BC
中，已知
a?20
cm，
b?28
cm，
A?400
，解三角形（角度精确到
1
0
，边
长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，

a
b
bsinA28sin40
0
sinB???0.8999.
因为
0
0
＜
B
＜< br>180
0
，所以
B?64
0
，或
B?116
0
.

a20
0
00000
asinC20sin76
0
⑴ 当< br>B?64
时，
C?180?(A?B)?180?(40?64)?76
，c???30(cm).

sinA
sin40
0
asinC20sin24
0
⑵ 当
B?116
时，
C?180?(A?B)?180?(40?116)?24
，
c???13(cm).

sinA
sin40
0
评述： 应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
Ⅲ.课堂练习
第5页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]已知
?
ABC中，sin
A
:sin
B
:sin
C
?1:2:3
，求
a
:
b
:
c

（答案：1：2：3）
Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）
0
00000
（1）定理的表示形式：< br>a
sin
A
sin
B
sin
C
或
a
?
k
sin
A
，
b
?
k
sin< br>B
，
c
?
k
sin
C
(
k
?0)

?
b
?
c
?
a
?
b?
c
?
k
?
k
?0
?
；
s in
A
?sin
B
?sin
C
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
Ⅴ.课后作业
第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。
教学反思

优秀教案 欢迎下载

课题
§1.1.2余弦定理


新授课
知识与技能
课时

备课时间

课型
掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理 的向量方
法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
利用向量的数量积推出余弦定 理及其推论，并通过实践演
算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
培养学生在方程 思想指导下处理解三角形问题的运算能
力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的
关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一
教学
目 标
过程与方法
情感态度与价值观
重点
难点
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
观察、思考、交流、讨论、概括 教学方法
教学过程
●教学过程
Ⅰ.课题导入
C
如图1．1-4，在
?
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和
?
C，求边c b a

A c B
(图1．1-4)
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
如图1．1-5，设
CB
?
a
，
CA
?
b
，
AB
?
c
，那么
c
?
a
?
b
，则
b

c

c< br>?
c
?
c
?
a
?
ba
?
b
?
a
?
a
?
b
?
b
?2a
?
b
22
?
a
?
b
?2
a
?
b
2
????

C

a
B
从而
c
2
?
a
2
?
b
2
?2
ab
cos
C
(
图1．1-5)

同理可证
a
2
?b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A

b
2
?
a
2
?
c
2
?2ac
cos
B

于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一 边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹
角的余弦的积的两倍。即
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A

优秀教案 欢迎下载
b
2
?
a
2
?
c
2
?2
ac< br>cos
B

c
2
?
a
2
?
b
2
?2
ab
cos
C

思考：这个式子中有几个 量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否
由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
b
2
?c
2
?a
2

cosA?
2bc
a
2
?c
2
?b
2

cosB?< br>2ac
b
2
?a
2
?c
2

cosC?
2ba
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间 的关系，余弦定理则指出了一般三
角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若
?
ABC中，C=
90
0
，则
cosC ?0
，这时
c
2
?a
2
?b
2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
[例题分析]
例1．在
?
ABC中，已知
a?23
，
c?6?2
，
B?60
0
，求b及A
例2．在
?
ABC中，已知
a? 134.6cm
，
b?87.8cm
，
c?161.7cm
，解三角 形
（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）

Ⅲ.课堂练习
第8页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]在
?
ABC中，若a
2
?
b
2
?
c
2
?
bc< br>，求角A（答案：A=120
0
）
Ⅳ.课时小结
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三
边。
Ⅴ.课后作业
①课后阅读：课本第9页[探究与发现]
②课时作业：第11页[习题1.1]A组第3（1），4（1）题。
教学反思

优秀教案 欢迎下载


课题
课型 新授课
知识与技能
§1．1．3解三角形的进一步讨论

课时

备课时间

掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，
有两解或一解或无解等情形 ；三角形各种类型的判定方
法；三角形面积定理的应用
通过引导学生分析，解答三个典型例子 ，使学生学会综合
运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解
三角形问题。 通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有
关性质和三角函数的关系，反映了事物之间 的必然联系及
一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之
间的内在联系。
教学
目 标
过程与方法
情感态度与价值观
重点
难点
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情
形；三角形各种类 型的判定方法；三角形面积定理的应用。
正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
观察、思考、交流、讨论、概括。
教学方法
教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情景]
思考：在
?
ABC中，已知
a
?22
cm
，
b
?25
cm
，
A
?133
0< br>，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三 角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些
条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形 下解三角形的问题。
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
例1．在
?
A BC中，已知
a
,
b
,
A
，讨论三角形解的情况
1．当A为钝角或直角时，必须
a
?
b
才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果
a
≥
b
，那么只有一解；
如果
a
?
b
，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若
a
?
b
sin
A
，则有两解；
（2）若
a
?
b
sin
A
，则只有一解；
（3）若
a
?
b
sin
A
，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
b
sin
A
?
a
?
b
时，有两解；其它情况时则只有一解或无 解。
[随堂练习1]
（1）在
?
ABC中，已知
a
?8 0
，
b
?100
，
?
A
?45
0
，试判断此三角形的解的情况。

优秀教案 欢迎下载
（2） 在
?
ABC中，若
a
?1
，
c
?
1
，
?
C
?40
0
，则符合题意的b的值有_____个。
2
（3）在
?
ABC中，
a
?
xcm
，
b
?2
cm
，
?
B
?45
0
，如果利用正 弦定理解三角形有两解，
求x的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3）
2?
x
?22
）
例2．在
?
ABC中，已知
a
?7
，
b
?5，
c
?3
，判断
?
ABC的类型。
分析：由余弦定理可知
a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是直角??ABC是直角三角形
a
2
?b
2
?
c
2
?
A
是钝角??ABC是钝角三角 形

a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是锐角??ABC是锐角三角形
（注意：
A
是锐角??ABC是 锐角三角形
）
[随堂练习2]
（1）在
?
ABC中，已知sin
A
:sin
B
:sin
C
?1:2:3
，判断
?
ABC的类型。
（2）已知
?
ABC满足条件
a
cos
A
?
b
cos
B
，判断
?
ABC的类型。
（答案：（1）
?ABC是钝角三角形
；（2）
?ABC是等腰或直角三角形）
例3．在
?
ABC中，
A
?60
0
，
b
?1
，面积为
Ⅲ.课堂练习
（1）在?
ABC中，若
a
?55
，
b
?16
，且此三 角形的面积
S
?2203
，求角C
（2）在
?
ABC中， 其三边分别为a、b、c，且三角形的面积
S
?
（答案：（1）
60
0
或
120
0
；（2）
45
0
）
Ⅳ.课时小结
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。
Ⅴ.课后作业
（1）在
?
ABC中，已知
b
?4
，
c
?10
，
B
?30
0
，试判断此三角形的解的 情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。
（3） 在
?
ABC中，
A
?60
0
，
a
?1，
b
?
c
?2
，判断
?
ABC的形状。 （4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程
5
x
2< br>?7
x
?6?0
的根，
求这个三角形的面积。
教学反思



3
a
?
b
?
c
，求的值
2
si n
A
?sin
B
?sin
C
a
2
?
b
2
?
c
2
4
，求角C

优秀教案 欢迎下载


课题
课型
教学
目 标
重点
难点



新授课
知识与技能
过程与方法
情感态度与价值观



§2.2解三角形应用举例

课时

备课时间

教学方法
教学过程

教学反思




课题
课型
教学
目 标
重点
难点



新授课
知识与技能
过程与方法
情感态度与价值观



§3.1不等式与不等关系

课时

备课时间

教学方法
教学过程

教学反思





课题
课型
教学
目 标
重点
难点


新授课
知识与技能
过程与方法
情感态度与价值观



§3.1不等式与不等关系

课时

备课时间

优秀教案 欢迎下载
教学方法
教学过程

教学反思






课题
课型
教学
目 标
重点
难点



新授课
知识与技能
过程与方法
情感态度与价值观



§3.1不等式与不等关系

课时

备课时间

教学方法
教学过程

教学反思

优秀教案 欢迎下载
课题

课型

教学
目 标

新授课

知识与技能

过程与方法

情感态度与价值观


课时

备课时间

重点

难点


教学方法

教学过程


教学反思



课题

课型

教学
目 标

新授课

知识与技能

过程与方法

情感态度与价值观


课时

备课时间

重点

难点


教学方法

教学过程


教学反思



课题

课型

教学
目 标

新授课

知识与技能

过程与方法

情感态度与价值观


课时

备课时间

重点

难点


教学方法

教学过程


教学反思

优秀教案 欢迎下载

§1．1．1正弦定理


课时


备课时间

课题
课型
知识与技能
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及
其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两
类基本问题。
< br>让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其
对角的关系，引导学生通过观察 ，推导，比较，由特殊到一般归纳
出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
培养学生在 方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学
生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过 三角形函数、正
弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系
与辩证统一。
教学目标 过程与方法
情感态度与价值观
重点
难点
教学方法
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
观察、思考、交流、讨论、概括。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
如图1．1 -1，固定
?
ABC的边CB及
?
B，使边AC绕着顶点C转动。 A
思考：
?
C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角
?
C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B
Ⅱ.讲授新课
[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的 等式关系。如图
1．1-2，在Rt
?
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有
a
?sin
A
，
c
b
c
?sin
B
，又
sin
C
?1?
, A
c
c
abc
则
???
c
b c
sin
A
sin
B
sin
Cabc
从而在直角三角形ABC中， C a B
??
sin
A
sin
B
sin
C
(图1． 1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当
?
ABC是 锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有

优秀教案 欢迎下载
CD=
a
sin
B
?
b
sin
A
,则
同理可得
从而
a
sin
A
?
bsin
B
， C
csin
C
?
?
b
sin
B
?
， b a
a
sin
A
b
sin
B
c
sin
C
A c B (图1．1-3)
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C

[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同 一正数，即存在正数k
使
a
?
k
sin
A
，
b
?
k
sin
B
，
c
?
k
si n
C
；
（2）
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
等价于
a
sin< br>A
?
b
sin
B
，
c
sin
C?
b
sin
B
，
a
sin
A
?
c
sin
C

从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任 意两角及其一边可以求其他边，如
a
?
b
sin
A
； sin
B
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如
s in
A
?sin
B
。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析] < br>例1．在
?ABC
中，已知
A?32.0
0
，
B?8 1.8
0
，
a?42.9
cm，解三角形。
例2．在
?A BC
中，已知
a?20
cm，
b?28
cm，
A?400
，解三角形（角度精确到
1
0
，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，
a
b
bsinA28sin40
0

sinB???0.8999.

a20
因为
0
0
＜
B
＜
180
0
，所以
B?64
0
，或< br>B?116
0
.

asinC20sin76
0
⑴ 当
B?64
时，
C?180?(A?B)?180?(40?64)?76
，
c???30(cm).

sinA
sin40
0
0
00000
asinC20sin24
0
⑵ 当
B?116
时，< br>C?180?(A?B)?180?(40?116)?24
，
c???13(cm).

sinA
sin40
0
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解 三角形时，可能有两解的情形。
Ⅲ.课堂练习
第5页练习第1（1）、2（1）题。 [补充练习]已知
?
ABC中，
sin
A
:sin
B< br>:sin
C
?1:2:3
，求
a
:
b
:c

（答案：1：2：3）
Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）
000000
（1）定理的表示形式：
a
sin
A
sin
B
sin
C
或
a
?
k
sin
A
，
b
?
k
sin
B
，
c
?
k
sin
C
(
k
?0)

（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
Ⅴ.课后作业
?
b
?
c
?
a
?
b
?
c
?
k
?
k
?0
?
； sin
A
?sin
B
?sin
C

优秀教 案 欢迎下载
第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。














教
学
反
思