最新人教新课标A版高中数学必修五全册教案

备课人
课题
课标要求

授课时间
1．1．1正弦定理

通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方
法

知识目标
理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形；
理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知
技能目标
识，体现向量的工具性
情感态度价值观
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；
教
学
目
标
重点
难点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
问题与情境及教师活动


讲授新课
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨
< br>直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt
?
ABC中，
设B C=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有

学生活动




















教

学

过

程

及

方

法
a
b
c
?sin
A
，
?sin
B
，又
sin
C
?1?
, < br>c
c
c
abc
则Ac
???
c
sin
A
sin
B
sin
C

从而在直角三角形ABC中， b
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C

C B
a
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
（证法一）如图1．1-3，当
?
ABC是锐角三角形时，设边AB
上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有
CD=a
sin
B
?
b
sin
A
,则
同理可 得
从而
a
sin
A
，
?
b
sin
B
，
c
sin
C
?
?
b
sin
B
?
a
sin
A
b< br>sin
B
c
sin
C
1


教

问题与情境及教师活动

1
学生活动

学

过

程

及

方

法

（证法二）：过点A作
j
?
AC
，
由向量的加法可得
AB
?
AC
?
CB

则
j?
AB
?
j
?(
AC
?
CB
)

∴
j
?
AB
?
j
?
AC
?< br>j
?
CB

jABcos
?
90
0
?A
?
?0?jCBcos
?
90
0
?C
?

∴
csinA?asinC
，即
ac

?
sinAsinC
同理，过点C作
j?BC
，
可得
从而
bc
?
sinBsinC

a
sinA
?
b
sin
B
?
c
sin
C

（证法三）：（外接圆法）
如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ
∴
aa
b
??CD?2R
同理 =2R，
sinB
sinAsinD
c
＝2R
sinC
C
a
b
O
B
D
?
a
sin
A
sin
C
类似可推出，当
?
ABC是钝角三角形时，以上
?
b
sin
B
?
c
?2
R

A
c
关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
? 2
R

[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦 成正比，且比例
系数为同一正数，即存在正数k使
a
?
k
sinA
，
b
?
k
sin
B
，
c
?
k
sin
C
；
2
ab
c
ab
cb
????






































教
sin
A
sin
B
a
sin
A
?
c
sin
C
sin
C
sin
A
sin
B
问题与情境及教师活动

sin
C
sin
B
学生活动
a
?
b
sin
A
sin
B
2

学

过

程

及

方

法

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如
sin
A
?si n
B
。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角
形。
三、讲解范例
例1．在
?ABC
中，已知
A?32.0
0
，
B?81.8
0
，
a?42.9
cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，
a
b
C?180
0
?(A?B)


?1 80
0
?(32.0
0
?81.8
0
)

?66.2
0
；
根据正弦定理，
asinB42.9sin81.8
0
b???80.1(cm)
；
sinA
sin32.0
0
根据正弦定理，
asinC42.9sin66.2
0
c???74.1(cm).

sinA
sin32.0
0
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2 在
?ABC中，b?3,B?60
0
,c?1,求a和A,C

bccsinB1?sin60
0
1
解：∵
?,?sinC???< br>
sinBsinCb2
3
?b?c,B?60
0
,?C?B ,C为锐角，?C?30
0
,B?90
0

∴
a?b
2
?c
2
?2

例3．在
?ABC
中，已知
a?20
cm，
b?28
cm，
A?4 0
0
，解三角形（角度
精确到
1
0
，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，
bsinA28sin40
0
sinB???0.8999.

a2 0
因为
0
0
＜
B
＜
180
0
，所 以
B?64
0
，或
B?116
0
.

⑴ 当
B?64
0
时，
76
0
，
C?180
0
?(A?B)?180
0
?(40
0
?64
0< br>)?
3






































教

asinC20sin76
0
c???30(cm).
问题与情境及教师活动

sinA
sin40
0
学生活动
B?116
C?180?(A?B)?180?(40?116)?24
3

学

过

程

及

方

法
asinC20sin24
0
c???13(cm).

sinA< br>sin40
0
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解
的情形。
[随堂练习]第5页练习第1（1）、2（1）题。
[课堂小结]（由学生归纳总结）
（1） 定理的表示形式：

a
?
b
?
c
?
k
?
k
?0
?
sin
A
sin
B
sin
C
sin
A
?sin
B
?sin
C
或
a
?
k
sin
A
，
b
?
k
sin
B
，
c
?
k
sin
C
(
k
?0)

a
?
b
?
c
?
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

教
学
小
结

课

后
反
思

4



备课人


4
授课时间

课题
课标要求
教
学
目
标
重点
难点
余弦定理

知识目标
技能目标
情感态度价值观
§1.1.2余弦定理（一）
余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法
运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用
问题与情境及教师活动

一、 复习引入：
C

b
a

A c
B

(图1．1-4)
二、讲解新课：
[探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这 个问
题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。由
于涉及边长问题，从而可 以考虑用向量来研究这个问题。
A
如图1．1-5，设
CB
?
a
，
CA
?
b
，
学生活动



学生思考


















教

学

过

程

及

方

法
如图1．1-4，在
?
ABC中，设
BC=a, AC=b,AB=c,
已知a,b和
?
C，求边c



b

AB
?
c
，那么
c
?
a?
b
，则
C
c
教
c
?
c
?
c
?
a
?
ba
?
b
1
?
a
?
a
?
b
?
b
?2
a
?
b
22

?
a
?
b
?2
a
?
b
问题与情境及教师活动

2
????
a
B
学生活动
5

从而
c
2
?
a
2
?
b
2
?2
ab
cos
C

学

同理可证
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A

过

b
2
?
a
2
?
c
2
?2
ac
cos
B

程
于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去
及
这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bc< br>cos
A

方

b
2
?
a
2
?
c
2
?2
ac
cos
B

法
c
2
?
a
2
?
b
2
?2
ab
cos
C

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已 知其中三个量，可
以求出第四个量，能否由三边求出一角？
从余弦定理，又可得到以下推论：
b
2
?c
2
?a
2

cosA?
2bc
a
2
?c
2
?b
2

cosB?< br>2ac
b
2
?a
2
?c
2

cosC?
2ba
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间 的关系，余弦定
理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间
的关系？
若
?
ABC中，C=
90
0
，则
cosC?0，这时
c
2
?a
2
?b
2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
[例题分析]
例1．在
?
ABC中，已知
a?23
，
c?6?2
，
B?60
0
，求b及A
⑴解：∵
b
2
?a
2< br>?c
2
?2accosB

=
(23)
2
? (6?2)
2
?2?23?(6?2)
cos
45
0

=
12?(6?2)
2
?43(3?1)

2
8
















学生推出














学生思考
并总结

教
A
b?22.
问题与情境及教师活动

学生活动

b
2
?c
2
?a
2
(22)
2
?(6? 2)
2
?(23)
2
1
A???,
2bc2
2?2 2?(6?2)
A?60.
6

学

过

程

及

方

法
a23
?sin45
0
,
解法二：∵sin
A?sinB ?
b
22
又∵
6?2
＞
2.4?1.4?3.8,

23
＜
2?1.8?3.6,

∴
a
＜
c
，即
0
0
＜
A
＜
90
0
,

∴
A?60
0
.

评述：解法二应注意确定A的取值范围。
例2．在
?
ABC中，已知
A?41
0
，
b?60cm
，
c?34cm
，解三角形（ 角
度精确到
1
，边长精确到1cm）
（见课本第8页例3，可由学生通过阅读进行理解）
解：由余弦定理得：

a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A

0
?60
2
?34
2?2?60?34?cos41
0


?3600?1156?4080?0.7547

?1676.82
∴
a?41cm

由正弦定理得：

















学生独立完
成
csinA34?sin41
0
34?0.656
sinC????0.5440

a4141
因为C不是三角形中最大的边，所以C是锐角，利用计算器可得
C?33
0
；
B?180
0
?A?C?180
0
?41
0
?33
0
?106
0

Ⅲ.课堂练习
第8页练习第1（1）、2（1）题。
教
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
a
?
b
?
c
?
bc
?
学
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第
小
三边。
结

课

后
反
思

3



7

备课人
课题
课标要求
教
学
目
标
重点
难点

授课时间
§1．1．3解三角形的进一步讨论

掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无
解等情形；

知识目标
技能目标
情感态度价值观
三角形各种类型的判定方法
三角形面积定理的应用。
解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数
的关系 ，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
Ⅰ.课题导入
[创设情景]



思考：在
?
ABC中，已知
a
?2 2
cm
，
b
?25
cm
，
A
?1330
，解三角
教

学

过

程

及

方

法
形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边 的
对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步
来研究这种情形下解三角形的 问题。
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
b
,
A
，讨论三角形解的情况 例1．在
?
ABC中，已知
a
,
分析：先由
sin
B
?
则
C
?180
0
?(
A
?
B
)

从而
c
?
b
sin
A
可进一步求出B；
a
a
sin
C

A
1．当A为钝角或直角时，必须
a
?
b
才能有且只有一解；否则无
解。
2．当A为锐角时，
如果
a
≥
b
，那么只有一解；
如果
a
?
b
，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若
a
?
b
sin
A
，则有两解；
1
教
a
?
b
sin
A

a
?
b
sin
问题与情境及教师活动
A

学生活动
8

学

过

程

及

方

法





0
（1）在
?
ABC中，已知
a< br>?80
，
b
?100
，
?
A
?45
，试判断此三角形


的解的情况。

1
（2）在
?
ABC中，若
a
?1
，
c
?
，
?C
?40
0
，则符合题意的b的值

2

有
_____个。


0
（3）在
?
AB C中，
a
?
xcm
，
b
?2
cm
，
?
B
?45
，如果利用正弦定理
学生完成

解三角形有两解，求x的取值范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3）
2?
x
?22
）


例2．在
?
ABC中，已知
a
?7
，
b
?5
，
c
?3
，判断
?
ABC的类型。

分析：由余弦定理可知

a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是直角??ABC是直角三角形
a
2
?
b
2
?
c
2
?
A是钝角??ABC是钝角三角形
222
a
?
b
?
c?
A
是锐角??ABC是锐角三角形




（注意：
A
是锐角??ABC是锐角三角形
）


解：
7
2
?5
2
?3
2
，即
a
2
?
b
2
?
c
2
，

∴
?ABC是钝角三角形
。


[随堂练习2]

（1）在
?
ABC中，已知
sin
A
:sin< br>B
:sin
C
?1:2:3
，判断
?
ABC的类型。

（2）已知
?
ABC满足条件
a
cos
A
?
b
cos
B
，判断
?
ABC的类型。
（答 案：（1）
?ABC是钝角三角形
；（2）
?
ABC是等腰或直角三角形）

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，
只有当A为锐角且
b
sin
A
?
a
?
b
时，有两解；其它情 况时则只有一解或无解。
[随堂练习1]
例3．在
?
ABC中，
A
?60
0
，面积为
b
?1
，
的值
分< br>3
a
?
b
?
c
，求
2
sin
A
?sin
B
?sin
C
角形面积定理析：可利用三
S< br>?
ab
sin
C
?
ac
sin
B
?
bc
sin
A
以及正弦定理
a
sin
A
?
1
2
1
2
1
2
b
sin
B?
c
sin
C
?
a
?
b
?
c

sin
A
?sin
B
?sin
C
2
c
?2

学生完成







教 问题与情境及教师活动

a
?
b
?
c
?2
bc
cos
A
a
?3
a
?
b
?
c
a
??2
sin
A
?sinB
?sin
C
sin
A
13
S
?
bc
sin
A
?
22
学生活动
9

学

过

程

及

方

法
Ⅲ.课堂练习
（1）在
?
ABC中，若
a
?55
，
b
?16
，且此三角形的面积
S
?220 3
，
求角C
（2）在
?
ABC中，其三边分别为a、b、c，且三 角形的面积
S
?
求角C
（答案：（1）
60
0
或
120
0
；（2）
45
0
）
Ⅳ.课后作业 （1）在
?
ABC中，已知
b
?4
，
c
?10
，
B
?30
0
，试判断此三角形的解
的情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。
（3）在
?
ABC中，
A
?60
0
，
a
?1
，< br>b
?
c
?2
，判断
?
ABC的形状。
（4 ）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程
学生思考讨
论完成
a
2
?
b
2
?
c
2
4
，
5
x
2
?7
x
?6?0
的根，
求这个三角形的面积。

教
(1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
学
（2）三角形各种类型的判定方法；
小
（3）三角形面积定理的应用。
结

课

后
反
思
3



备课人


10
授课时间

课题
课标要求
教
学
目
标
重点
难点
§1.2解三角形应用举例
能够运用正弦定理、余弦定理等知 识和方法解决一些有关测量距离的实
际问题，了解常用的测量相关术语
知识目标
技能目标
情感态度价值观
掌握正弦定理、余弦定理等知识和方法
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测
量距离的实际问题
培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决
数学问题的能力
实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解
根据题意建立数学模型，画出示意图
问题与情境及教师活动

教学过程
一.课题导入
1、复习旧知
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些
类型的三角形？
2、设置情境
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，
我们遇到这 么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远
呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估 算出了两者的
距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于
未知的距离、高度 等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可
以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角 形等
等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法
会不能实施。如因为没有足 够的空间，不能用全等三角形的方法
来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定
理在科学实践中的重要应用，首先研 究如何测量距离。
二.讲授新课
解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做
出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未
知的边、角，通过建立数学模型 来求解
例题讲解：
例1.如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距
1

51?
?
75?
?
问题与情境及教师活动

学生活动

教

学

过

程

及

方

法
教 学生活动
11

到0.1m)
学

过

程

及

方


启发提问1：
?
ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比
法
较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析： 这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的
距离的问题
，
题目条件 告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角
形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角 ，应用正弦定理
算出AB边。
解：根据正弦定理，得
AB

=

AC

sin?ACB
sin?ABC

AB =
ACsin?ACB

sin?ABC
=
55sin?ACB

sin?ABC
=
55sin75?

sin(180??51??75?)

=
55sin75?

sin54?
≈ 65.7(m)
答:A、B两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观
察站C的北偏东3 0
?
，灯塔B在观察站C南偏东60
?
，则A、B之间的距
离为多少 ？
老师指导学生画图，建立数学模型。
2
2

教 问题与情境及教师活动 学生活动
12

AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。
学

过

程

及

方


法
解： 测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点
分别测得
?
B CA=
?
，
=
?
，在
?
ADC和
?BDC中，应用正
?
ACD=
?
，
?
CDB=
?
，
?
BDA
弦定理得
AC
=

BC
=

asin(
?
?
?
)

=
asin(
?
?
?
)

sin[1 80??(
?
?
?
?
?
)]sin(
?
?
?
?
?
)
asin
?
asin
?

=

sin[180??(
?
?
?
?
?
)]sin(
?
?
?
?
?
)

计算出AC和BC后，再在
?
ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间
的距离
AB
=
AC
2
?BC
2
?2AC?BCcos
?

分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练：若在河岸 选取相距40米的C、D两点，测得
?
BCA=60
?
，
?????
教
?
学
解斜三角形应用题的一般步骤：
分析――建模――求解――检验
小
结
6
课

后
反
思
3



备课人

授课时间
13

课题
课标要求
教
学
目
标
重点
难点
解三角形应用举例(2)

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物
体高度测量的问题
知识目标
技能目标
情感态度价值观
巩固深化解三角形实际问题的一般方法
要养成良好的研究、探索习惯
进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、
类比、概括的能力
结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题
能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件
问题与情境及教师活动


Ⅰ.课题导入
提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度

呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度

呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例 1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，
设计一种测量建筑物高度AB的方法。

学生活动




















教

学

过

程

及

方

法

分析 ：求AB长的关键是先求AE，在
?
ACE中，如能求出C点到建
筑物顶部A的距离C A，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算
出AE的长。
解：选择一条水平基线HG，使H
1
、G、B三点在同一条直线

教 问题与情境及教师活动

学生活动
14

学

过

程

及

方

法

上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是
?
、
?
，CD = a，
测角仪器的高是h，那么，在
?
ACD中，根据正弦定理可得
AC
=
asin
?

sin(
?
?
?
)
AB
=
AE + h

=
AC
sin
?
+ h

=
asin
?
sin
?
+ h
sin(
?
?
?
)
例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角
?< br>=54
?
40
?
，
在塔底C处测得A处的俯角
?=50
?
1
?
。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,
求出山高CD(精确到1 m)


师:根据已知条件,大家能设计出 解题方案吗？（给时间给学生讨论思
考）若在
?
ABD中求CD，则关键需要求出哪条 边呢？
生：需求出BD边。
生：可首先求出AB边，再根据
?
BAD=
?
求得。
解:在
?
ABC中,
?
BCA=90
?
+
?
,
?
ABC =90
?
-
?
,
?
BAC=
?
-
?
,
?
BAD =
?
.根据正弦定理,
BC
AB
=
?
sin(
?
?
?)
sin(90?
?
)
BCsin(90
?
?
?
)
BCcos
?
所以
AB
==
sin(
?
?
?
)
sin(
?
?< br>?
)
解Rt
?
ABD中,得 BD =ABsin
?
BAD=
BCcos
?
sin
?

sin(
?
?
?
)
2







































教 问题与情境及教师活动

27.3cos50
?
1
?
sin54
?
40?
sin(54
?
40
?
?50
?
1
?
)
27.3cos50
?
1
?
sin54
?40
?
sin4
?
39
?
学生活动
15

学

过

程

及

方

法
答:山的高度约为150米.
师：有没有别的解法呢？
生：若在
?
ACD中求CD，可先求出AC。
师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC？
生：同理，在
?
ABC中，根据正弦定理求得。（解题过程略）
例3、如图 ,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公
路南侧远处一山顶D在东偏南15
?
的方向上,行驶5km后到达B处,测得
此山顶在东偏南25
?
的方向上, 仰角为8
?
,求此山的高度CD.



师：欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？
生：在
?
BCD中
师：在
?
BCD中，已知BD或BC都 可求出CD,根据条件,易计算出哪条边
的长？
生：BC边
Ⅲ.课堂练习
1、 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔
顶A的仰角为30
?
，测得塔基B的俯角为45
?
，则塔AB的高度为多
少m？

教
利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所
学
给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。
小

结

课

后
反
思
3



备课人


16
授课时间

课题
课标要求
教
学
目
标
重点
难点
§1.2应用举例(3)
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问
题
知识目标
技能目标
情感态度价值观
通过综合训练强化学生的相应能力。
课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论
培养学生提出问题、正确分析问题、独立 解决问题的能力，
并在教学过程中激发学生的探索精神。
能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系
灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题
问题与情境及教师活动

Ⅰ.课题导入
[创设情境]
提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际 上都可转
化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海
生活中,人们又会遇到 新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮
船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨 这
方面的测量问题。
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75
?
的方向航行67.5 n
mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32
?
的方向航行54.0
n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该
沿怎样的方向航行, 需要航行多少距离?(角度精确到0.1
?
,距离
精确到0.01n mile)


学生活动






学生回答















教

学

过

程

及

方

法
1

教 问题与情境及教师活动

学生活动
17

学

过

程

及

方

法
学生看图思考并讲述解题思路
教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求 出AC
边所对的角
?
ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC< br>边和AB边的夹角
?
CAB。
解：在
?
ABC中，
?
ABC=180
?
- 75
?
+ 32
?
=137
?
，根据余弦定理，
AC=
AB
2
?BC
2
?2AB?BC?cos?ABC

=
67.5
2
?54.0
2
?2?67.5?54.0?c os137
?

≈113.15
根据正弦定理,

BC
=
AC

sin?CABsin?ABC
AC
sin
?
CAB =
BCsin?ABC

=
54.0sin137
?

113.15
≈0.3255,
所以
?
CAB =19.0
?
,
75
?
-
?
CAB =56.0
?

答:此船应该沿北偏东56.1
?
的方向航行,需要航行113.15n mile
例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为
?
，沿BE方向前进
30 m，至点C处测得顶端A的仰角为2
?
，再继续前进10
3
m至D点，
测得顶端A的仰角为4
?
，求
?
的大小和建筑物AE的高。

师：请大家根据题意画出方位图。
生：上台板演方位图（上图）
教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同
2















学生分析回
答






















教
3
?
问题与情境及教师活动

学生活动
?
?
sin2
?
?
103
30
sin(180
?
?4
?
)
18
???

3
cos2
?
=,得 2
?
=30
?

?

学
2

?
=15
?
，
?

过

?
在Rt
?
ADE中，AE=ADsin60
?
=15
程

答：所求角
?
为15
?
，建筑物高度为15m
及
（设方程来求解）设DE= x，AE=h

解法二：
方
在 Rt
?
ACE中,(10
3
+ x)
2
+ h
2
=30
2


法
在 Rt?
ADE中,x
2
+h
2
=(10
3
)
2


由学生解答，
老师巡视并
对学生解答
进行讲评小
结。







两式相减，得x=5
3
,h=15


3
h

=
?
在 Rt
?
ACE中,tan2
?
=
103?x
3


??
?
2
?
=30,
?
=15


?
答：所求角
?
为15，建筑物高度为15m


解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得

?
BAC=
?
，
?
CAD=2
?
，

AC = BC =30m , AD = CD =10
3
m
学生分析解
答
x
?
?
在RtACE中，sin2=

30

--------- ①

4

?
ADE在Rt中，sin4
?
=,
103


--------- ②

3
??
②
?
① 得 cos2
?
=,2
?
=30,
?
=15，

2

?
AE=ADsin60=15


?
?
3

教 问题与情境及教师活动

学生活动
19

学

过

程

及

方

法
师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型
分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变
量。
解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则
CB=10x, AB=14x,AC=9,
?
ACB=
75?
+
45?
=
120?

?
(14x)
2
= 9
2
+ (10x)
2
-2
?
9
?
10xcos
120?

9
3
?
化简得32x
2
-30x-27=0，即x=,或x =-(舍去)
2
16
所以BC = 10x =15,AB =14x =21,
BCsin120
?
15353
又因为sin
?
BAC ===
?
AB2
14
21
，
?
?
BAC =38
?
13
?
,或
?
BAC =141
?
47
?
（钝角不合题意，舍去）
?
38
?
13
?
+
45?
=83
?
13
?

答：巡逻艇应 该沿北偏东83
?
13
?
方向去追，经过1.4小时才追赶上该走
私 船.
评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但
作为有关现实生活 的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意
义，从而得出实际问题的解
Ⅲ.课堂练习
课本第18页练习























解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个
教
（2）已知量与未知量涉及两个或几个三
学
三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。
小
角形，这时需要选择条件足够的三 角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的
结

解。
课

后
反
思
4



备课人


20
授课时间

课题
课标要求
教
学
目
标
重点
难点
§1.2应用举例(4)
运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题
知识目标
技能目标
情感态度价值观
掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
巩固所学知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力
进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦
的成功体验
推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目
利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题
问题与情境及教师活动

Ⅰ.课题导入
以前我们就已经接触过了三角形的面 积公式，今天我们来学
习它的另一个表达公式。在
?
ABC中，边BC、CA、AB上 的高分别


学生活动






学生回答















教

学

过

程

及

方

法
记为h
a
、h
b
、h
c
， 那么它们如何用已知边和角表示？
h
a
=bsin
C
=csin
B

h
b
=csin
A
=asin
C

h
c
=asin
B
=bsina
A
根据以前学过的三角形面积公式S=

1
ah,应用以上求出的高
2
的公式如h
a
=bsin
C代入，
可以推导出下面的三角形面积公式 ，
S=
1
absin
C，
大家能推出其它的几个公式吗？
2
11
同理可得，S=bcsin
A,
S=acsinB
22
即：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，
如能知道三角形的任意两边以 及它们夹角的正弦也可求出三角形
的面积。
Ⅱ.讲授新课
1
?

教 问题与情境及教师活动

学生活动
21

学

过

程

及

方

法


分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形

问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，

尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。

1
解：（1）应用S=acsinB，得

2

1
S=
?
14.8
?
23.5
?
sin148.5
?
≈90.9(cm
2
)

2

(2)根据正弦定理，


b

=

c


sinC
sinB

c
=
bsinC


sinB

11

S = bcsin
A =
b
2
sinCsinA

22
sinB
学生分析回
答
A = 180
?
-(B + C)= 180
?
-(62.7
?
+ 65.8
?
)=51.5
?


??

sin65.8sin51.5
1
22
S =
?
3.16
?
≈4.0(cm)

sin62.7
?
2

(3)根据余弦定理的推论，得

222
c?a?b

cosB =
2ca

222
38.7?41.4?27.3

=
2?38.7?41.4

≈0.7697

sinB =
1?cos
2
B
≈
1?0.7697
2
≈0.6384

1

应用S=acsinB，得
2

1

S ≈
?
41.4
?
3 8.7
?
0.6384≈511.4(cm
2
)
2


例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成

室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为

2
68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）？


分析：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
2
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

教 问题与情境及教师活动

学生活动
22

c
2
?a
2
?b
2
cosB=
学
2ca

127
2
?68
2
?88
2
=≈0.7532
过
2?127?68

sinB=
1?0.7532
2
?
0.6578
程

1
应用S=acsinB
及
2

1
S ≈
?
68
?
127
?
0 .6578≈2840.38(m
2
)
方
2

答：这个区域的面积是2840.38m
2
。
法
例3、在
?
ABC中，求证：

由学生解答，
老师巡视并
对学生解答
进行讲评小
结。


















学生分析解
答











a
2
?b
2
sin
2
A?sin
2
B
?;
（1）
c
2
sin
2
C（2）
a
2
+
b
2
+
c
2
= 2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明 问题，观察式子左右
两边的特点，联想到用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设

a
=
b
=
c
= k
sinAsinB
sinC
显然 k
?
0，所以
a
2
?b
2
k
2
sin
2
A?k
2
sin
2
B
?
左边=
c
2
k
2
sin
2
C
sin2
A?sin
2
B
==右边
2
sinC
（2）根据余弦定理的推论，
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?b
2
?c
2
c
2
?a
2
?b
2
右边=2(bc+ca+ab)
2bc2ca2ab

=(b
2
+c
2
- a
2
)+(c
2
+a
2
-b
2
)+(a
2
+b
2
-c
2
)
3

教
?
问题与情境及教师活动

3
?
?
学生活动
23

学

过

程

及

方

法


答案：a=6,S=9
3
;a=12,S=18
3





变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，

（1） acosA = bcosB

sinA?sinB

（2） sinC =
cosA?cosB

（1）提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”

解：（余弦定理）得

b
2
?c
2
?a
2
c
2
?a
2
?b
2

a
?
=b
?

2bc2ca


?
c
2
(a
2
?b
2
)?a
4
? b
4
=
(a
2
?b
2
)(a
2
? b
2
)



?
a
2
?b
2
或c
2
?a
2
?b
2

学生用两种
?
根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形
方法证明
（正弦定理）得

sinAcosA=sinBcosB,

?
sin2A=sin2B,


?
2A=2B, 或2A+2B=180
?
，


?
A=B或A+B=90
?


?
根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形
数。
(2)（解略）直角三角形
Ⅲ.课堂练习
课本第21页练习第1、2题
教
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，
学
然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定
小
理也可用余弦定理甚至可以两者混用。
结

课

后
反
思
4



备课人

24
授课时间

课题
2.1数列的概念与简单表示法（1）
理解数列及其有关概念，掌握通项公式及其应用

课标要求
教
学
目
标
重点
难点
知识目标
技能目标
情感态度价值观
理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解
数列的通项公式，
会用通 项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，
会根据其前几项写出它的个通项公式。
体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
数列及其有关概念，通项公式及其应用
根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
问题与情境及教师活动

学生活动
教

学

过

程

及

方

法

Ⅰ.课题导入

三角形数：1，3，6，10，…

正方形数：1，4，9，16，25，…
Ⅱ.讲授新课 学生阅读
⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 理解概念
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个老师评价
数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； 讲解

⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在

数列中可以重复出现.

⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项

依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….

例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1

项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.

⒊数列的一般形式：
a< br>1
,a
2
,a
3
,?,a
n
,?
， 或简记为
?
a
n
?
，其


中
a
n
是数列的第n项


结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数

1
列，它的首项是“1”，“”是这个数列的第“3”项，等等

3

下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有

一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一

步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数

列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：

111
1
1
1
234

5
教 问题与情境及教师活动

a
n
?
1
n
学生活动
25

学

过

程

及

方

法
⒋ 数列的通项公式：如果数列
?
a
n
?
的第n项
a
n
与n之间的关系可以用
一个公式 来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是 不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，
1?(?1)
n?1
0，…它的通项公式可 以是
a
n
?
，也可以是
2
a
n
?|cos
n?1
?
|
.
2
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是
该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第

项，又是这个
数列中所有 各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数
关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定 了，代入项数就可求出数
列的每一项．
5.数列与函数的关系
*
数列可以 看成以正整数集N（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定
义域的函数
a
n< br>?f(n)
，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数
值。
反过来，对于 函数
y=f(x)
,如果
f(i)
（i=1、2、3、4…）有意义，那么< br>我们可以得到一个数列
f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，…

6．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列
2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一
项的数列
观察：课本P28的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，
摆动数列？
[范例讲解]
2














学生讨论
回答





课本29页
思考


教 问题与情境及教师活动

学生活动
26

[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
2
4
6810
学
(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) , , , , , ……；

3
15
356399
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；
过
(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….

（6）9，99，999，9999，…….
程

2n
； (3)
a
n
＝
及
解：(1)
a
n
＝2n＋1； (2)
a
n
＝
(2n?1)(2n?1)

方
1?(?1)
n

；
2
法
(4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋
1, ……,










1?(?1)
n
∴
a
n
＝n＋；
2
(5) 将数列变形为1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,……，
∴
a
n
＝(－1)

（6）
a
n
?10
n
?1


n?1
n(n＋1)
教
学
小
结

课

后

反
思


⒈ 数列的定义 。 ⒉ 数列的项
⒊数列的一般形式 ⒋ 数列的通项公式
5.数列与函数的关系 6．数列的分类
3



备课人

授课时间
27

课题
2.1数列的概念与简单表示法（1）
理解数列及其有关概念，掌握通项公式及其应用

课标要求
教
学
目
标
重点
难点
知识目标
技能目标
情感态度价值观
理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解
数列的通项公式，
会用通 项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，
会根据其前几项写出它的个通项公式。
体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
数列及其有关概念，通项公式及其应用
根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
问题与情境及教师活动

学生活动
教

学

过

程

及

方

法

Ⅰ.课题导入

三角形数：1，3，6，10，…

正方形数：1，4，9，16，25，…
Ⅱ.讲授新课 学生阅读
⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 理解概念
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个老师评价
数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； 讲解

⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在

数列中可以重复出现.

⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项

依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….

例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1

项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.

⒊数列的一般形式：
a< br>1
,a
2
,a
3
,?,a
n
,?
， 或简记为
?
a
n
?
，其


中
a
n
是数列的第n项


结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数

1
列，它的首项是“1”，“”是这个数列的第“3”项，等等

3

下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有

一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一

步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数

列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：

111
1
1
1
234

5
教 问题与情境及教师活动

a
n
?
1
n
学生活动
28

学

过

程

及

方

法
⒋ 数列的通项公式：如果数列
?
a
n
?
的第n项
a
n
与n之间的关系可以用
一个公式 来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是 不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，
1?(?1)
n?1
0，…它的通项公式可 以是
a
n
?
，也可以是
2
a
n
?|cos
n?1
?
|
.
2
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是
该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第

项，又是这个
数列中所有 各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数
关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定 了，代入项数就可求出数
列的每一项．
5.数列与函数的关系
*
数列可以 看成以正整数集N（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定
义域的函数
a
n< br>?f(n)
，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数
值。
反过来，对于 函数
y=f(x)
,如果
f(i)
（i=1、2、3、4…）有意义，那么< br>我们可以得到一个数列
f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，…

6．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列
2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一
项的数列
观察：课本P28的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，
摆动数列？
[范例讲解]
2














学生讨论
回答





课本29页
思考


教 问题与情境及教师活动

学生活动
29

[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
2
4
6810
学
(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) , , , , , ……；

3
15
356399
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；
过
(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….

（6）9，99，999，9999，…….
程

2n
； (3)
a
n
＝
及
解：(1)
a
n
＝2n＋1； (2)
a
n
＝
(2n?1)(2n?1)

方
1?(?1)
n

；
2
法
(4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋
1, ……,










1?(?1)
n
∴
a
n
＝n＋；
2
(5) 将数列变形为1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,……，
∴
a
n
＝(－1)

（6）
a
n
?10
n
?1


n?1
n(n＋1)
教
学
小
结

课

后

反
思


⒈ 数列的定义 。 ⒉ 数列的项
⒊数列的一般形式 ⒋ 数列的通项公式
5.数列与函数的关系 6．数列的分类
3



备课人

授课时间
30

课题
课标要求
教
学
目
标
重点
难点
§2.1数列的概念及简单表示法（2）
了解数列的递推公式，会根据数列的递推公式写出数列的前几项

知识目标
技能目标
了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同
会根据数列的递推 公式写出数列的前几项；理解数列的前n
项和与
a
n
的关系
体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 情感态度价值观
根据数列的递推公式写出数列的前几项
理解递推公式与通项公式的关系
问题与情境及教师活动

Ⅰ.课题导入
[复习引入]
数列及有关定义
Ⅱ.讲授新课
（一）数列的表示方法
1.上节课我们学 习了数列的一种表示方法通项公式法，它反映
了一个数列项与项数的函数关系。如数列


学生活动



学生回答



















的通项公式为


教

学

过

程

及

方

法
；
与函数一样，数列也可用图像和列表法表示。如数列
a
n
?2n

可用列表法表示为
n 1
2
2
4
3
6
…
…
k
2k
…
…
a
n


2.图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项
数

为横坐标，相应的项

为纵坐标，即以

为坐标在平
面直角 坐标系中做出点（以前面提到的数列2，4，6…为例，做出
一个数列的图象），所得的数列的图形是一 群孤立的点，因为横坐
1

教 问题与情境及教师活动

学生活动
31

学

过

程

及

方

法
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：1
?
4＝1+3
第2层钢管数为5；即：2
?
5＝2+3
第3层钢管数为6；即：3
?
6＝3+3
第4层钢管数为7；即：4
?
7＝4+3
第5层钢管数为8；即：5
?
8＝5+3
第6层钢管数为9；即：6
?
9＝6+3
第7层钢管数为10；即：7
?
10＝7+3
若用
a
n
表 示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数
列，且
a
n
?n?3 (1
≤n≤7）
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
也可用课本
30页例题2












启发学生
寻找规律


即
a
1
?4
；
a
2
?5?4?1?a
1
?1
；
a
3
?6?5?1?a
2
?1



依此类推：
a
n
?a
n?1
?1
（2≤n≤7）


对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一

关系也较为重要

定义：递推公式：如果已知数列
?
a
n
?
的第1项（或前几项），且任一


项
a
n与它的前一项
a
n?1
（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，


那么这个公 式就叫做这个数列的递推公式

说明：递推公式也是给出数列的一种方法

如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89

递推公式 为：
a
1
?3,a
2
?5,a
n
?a
n? 1
?a
n?2
(3?n?8)

学生思考
并总结
（二）．数列的前n项和：

数列
?
a
n
?中，
a
1
?a
2
?a
3
???a
n< br>称为数列
?
a
n
?
的前n项和，记
为
Sn
.
S
教
SaS
2

Sa
1
?a
学生活动
S
n?
S

问题与情境及教师活动

S
n?
a
1
?a
2
?a
3
???a
n?
S
S
a
1
?a
2
?a
3
???a
32
S
n?
S< br>Sa
a
SS
n?

(三)例题讲解：

例1：课本31
学

例2:已知数列
?
a
n< br>?
中，
a
1
?1,a
2
?2,a
n
?3a
n?1
?a
n?2
(n
≥3），试
过

写出数列的前4项。
程
例3已知
a
1
?2
，
a
n?1
?2a
n
写出前5项，并猜想
a
n
．

及
法一：
a
1
?2

a
2
?2?2?2
2

a
3
?2?2
2
?2
3
，

方
观察可得
a
n
?2
n


法
a
法二：由
a
n?1
?2a
n
∴
a
n
?2a
n?1
即
n
?2

a
n?1
∴
a
n
a
n?1
a< br>n?2
a
???
??
?
2
?2
n?1

a
n?1
a
n?2
a
n?3
a
1
∴
a
n
?a
1
?2
n?1
?2
n

例4 已知数列
?
a
n
?
的前n项和，求数列的通项公式：
⑴
S
n
=n+2n； ⑵
S
n
=n-2n-1.
解：（1）①当n≥2时，
22

















学生讨论完
成
a
n
=
S
n
-
S
n?1
=(n
2
+2n)-[(n-1)
2< br>+2(n-1)]=2n+1；
②当n=1时，
a
1
=
S
1
=1+2×1=3；
③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，
1．递推公式及其用法；
a
2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项
（或n项）之间的关系.
2
教
学
小
a
n
之间的关系
结

3．
Sn?
a
S
n
S
的定义及与
课

后
反
思

aS
a
?
?2(n?1)
?
2n?3(n?2)
3


33

备课人
课题
课标要求
教
学
目
标
重点
难点

授课时间
§2.2等差数列（一）

了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，

知识目标
技能目标
情感态度价值观
能根据定义判断一个数列是等差数列;
能灵活运用通项公式求等差数列的公差、项数、指定的项
培养学生观察、分析能力，积极思维，追求新知的创新意识。
等差数列的概念，等差数列的通项公式。
等差数列的性质
问题与情境及教师活动

Ⅰ.课题导入
[创设情境]
上两节课我 们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的
几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这 些方法从
不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。
课本P36页的4个例子：
①0，5，10，15，20，25，…
②48，53，58，63
③18，15.5，13，10.5，8，5.5
④10072，10144，10216，10288，10366
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特
征？
·共同特征：从 第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个
常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明 作差的顺
序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差
数列
Ⅱ.讲授新课
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前
一项 的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数
就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示 ）。
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项
来求；
⑵．对于 数列{
a
n
},若
a
n
－
a
n?1
=d (与n无关的数或字母)，
1

教学环节与
活动设计
























教

学

过

程

及

方

法
教 问题与情境及教师活动

学生活动
34

学

过

程

及

方

法
2．等差数列的通项公式：
a
n
?a
1
?(n ?1)d
【或
a
n
?
a
m
?(n?m)d
】
等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列
?
a
n?
的首项是
a
1
，公差是d，则据其定义可得：
a
2
?a
1
?d
即：
a
2
?a
1
?d

a
3
?a
2
?d
即：
a
3?a
2
?d?a
1
?2d

a
4
?a
3
?d
即：
a
4
?a
3
?d?a
1
?3d

……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
a
n
?a
1
?(n?1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项
a
1
和公差d，便可求得其通
项
a
n
。
由上述关系还可得：
a
m
?a
1
?(m?1)d

即：
a
1
?a
m
?(m?1)d

则：< br>a
n
?
a
1
?(n?1)d
=
a
m
?(m?1)d?(n?1)d?a
m
?(n?m)d

即等差数列的第二通项公式
a
n
?
a
m
?(n?m)d

∴ d=
a
m
?a
n

m?n
[范例讲解]
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
解：⑴由
a
1
?8,d?5?8?2?5??3
n=20，得































a
20
?8?(20?1)?(?3)??49

⑵由
a
1
??5,d??9?(?5)??4

2

教
?401??5?4(n?1)
a
n
? ?5?4(n?1
问题与情境及教师活动

学生活动

a
a
n
?pn?
35
p
q
?
a
n
?

∴{a
n
}是等差数列，首项
a
1
?p?q
，公差为p。
学

注：①若p=0，则{
a
n
}是公差为0的等差数列 ，即为常数列q，q，
过

q，…
程
②若p≠0, 则{
a
n
}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的

及
各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上

的截距为q.
方

③数列{
a
n
}为等差数列 的充要条件是其通项
a
n
=pn+q (p、q是
法
常数)，称其为第3通项公式。
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的
一个。
[补充练习]
1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.
（3）100是不是等差数列2，9，1 6，……的项？如果是，是第几
项？如果不是，说明理由.
（4）－20是不是等差数列0，－3
是第几项？如果不是，说明理由.



















1
，－7，…… 的项？如果是，
2
通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：
a
n
－
a
n?1
=d ，
教
学
?
（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：
a
n
?a
1< br>?(n?1)d
，并掌握
小
结

其基本应用.重要关系式：
a
n
?
a
m
?(n?m)d
和
a
n
=pn+q (p、q是常数)的理解与应用.
课

后
反
思
3



36

备课人
课题
课标要求
教
学
目
标
重点
难点

授课时间
§2.2等差数列（二）

进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,

知识目标
技能目标
情感态度价值观
能通过通项公式与图像认识等差数列的性质
能用图像与通项公式的关系解决某些问题。
渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。
等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
问题与情境及教师活动

Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上节课所学主要内容：
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与
教学环节与
活动设计
























教

学

过

程

及

方

法
它前 一项的差等于同一个常数，即
a
n
－
a
n?1
=d ，（n ≥2，n∈N），
这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常
用字母“d” 表示）
2．等差数列的通项公式：
?
a
n
?a
1
?(n?1)d
(
a< br>n
?
a
m
?(n?m)d
或
a
n
= pn+q (p、q
是常数))
3．有几种方法可以计算公差d
① d=
a
n
－
a
n?1
② d=
a
n
?a
1
a?a
m
③ d=
n


n?1n?m
Ⅱ.讲授新课
问题：如果在a
与
b
中间插入一个数A，使
a
，A，
b
成等 差数列
数列，那么A应满足什么条件？
由定义得A-
a
=
b
-A ，即：
A?
反之，若
A?
a?b

2
教
a
a?b
，则A-
a
=
b
-A
2
a?b
A??a,b,
1
2

b
a
问题与情境及教师活动

b
学生活动
37

学

过

程

及

方

法
数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中
5是3和7的等差中项，1和9的等差中项
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项

例1 在等差数列{
a
n
}中，若
a
1
+
a
6
=9,
a
4
=7, 求
a
3
,
a
9
.
分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要
求通项公式，必须知道这 个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数
列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已 知一项，和
另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……
解：∵ {a
n
}是等差数列
∴
a
1
+
a6
=
a
4
+
a
3
=9
?
a
3
=9－
a
4
=9－7=2
∴ d=
a
4
－
a
3
=7－2=5
∴
a
9
=
a
4
+(9－4)d=7+5*5=32 ∴

a
3

=2,
a
9
=32
2.在等差数列
?
a
n
?
中， 若
a
5
?a

a
10
?b
求
a
15

解：
2a
10
?a
5
?a
15
即
2b?a?a
15
∴
a
15
?2b?a

[范例讲解]
课本P38的例2 解略
课本P39练习5
已知数列{
a
n
}是等差数列
（1）
2a
5?a
3
?a
7
是否成立？
2a
5
?a
1
?a
9
呢？为什么？
（2）
2a
n
?a
n?1
?a
n?1
(n?1)
是否成立？据此你能得到什么结论？
（3）
2a
n
?a
n?k
?a
n?k
(n?k? 0)
是否成立？？你又能得到什么
结论？
2































{a
n
教 问题与情境及教师活动

m,n,p,q?N
m?n?p?q
学生活动
a
m
?a
n
?a
p
?a

am
?a
n
?a
p
?a
a
m
?a
n
?a
m?
38

学

过

程

及

方

法
(2) k为常数,
{ka
n
}
也是等差数列.
(3)下标成等差数列的项也成等差数列.
(4)
{a
n
},
{b
n
}
是等差数列,则
{pa
n

Ⅲ.课堂练习
1.在等差数列
?
a
n
?
中，已知
a
5
?10
，
a
12
?31
，求首项a
1
与公差
d

2. 在等差数列
?
a
n
?
中, 若
a
5
?6

a
8
?15
求
a
14

3.等差数列{
a
n
}中，
a
1
+
a
3
+
a
5
=－12, 且
a
1
·
a
3
·
a
5
=80. 求通项
a
n

4.成等差数列的四个数之和为26,第二数和第三数之积为40,求这四个
数．
?qb
n
}
也是等差数列.


















教
a?b
?a,A,b,
成等差数列
学
1．
A?
2
小
2．在等差数列中， m+n=p+q
?
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
(m, n, p, q ∈N )
结

课

后
反
思
3

本节课学习了以下内容：


39

备课人
课题
课标要求
教
学
目
标
重点
难点


§
2.3
授课时间
等差数列的前n项和（1）

等差数列n项和公式的理解、推导及应用
知识目标
技能目标
情感态度价值观
掌握等差数列前n项和公式及其获取思路
应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题
通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。
等差数列n项和公式的理解、推导及应用

灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题

问题与情境及教师活动

学生活动
教

学

过

程

及

方

法





Ⅰ.课题导入

“小故事”:

高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出

了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:

1+2+…100=?”

过了两分钟,正当 大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦
乐乎时，高斯站起来回答说： 学生回答

“1+2+3+…+100=5050。

教师问：“你是如何算出答案的？

高斯回答说：因为1+100=101；

2+99=101；…50+51=101，所以

101×50=5050”

这个故事告诉我们：

（1） 作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所

以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性

的东西。

（2） 该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重

要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”

法。
1


40

问题与情境及教师活动



Ⅱ.讲授新课
1．等差数列的前
n
项和公式1：
S
n
?
学生活动


















学生完成



















n(a
1
?a
n
)

2
证明：
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
?
?
?a
n?1
?a
n
①

S
n
?a
n
?a
n?1
?a
n?2
??
?a
2
?a
1
②

教
①+ ②：
2S
n
?(a
1
?a
n
)?(a
2< br>?a
n?1
)?(a
3
?a
n?2
)?
?< br>?(a
n
?a
n
)


学
∵
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
???


过


∴
2S
n
?n(a
1
?a
n
)

程

n(a
1
?a
n
)
S?
由此得：
n
及
2

从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
方
n(n?1)d

2． 等差数列的前
n
项和公式2：
S
n
?na
1
?

法
2
用上述公式要求
S
n
必须具备 三个条件：
n,a
1
,a
n

但
a
n
?a
1
?(n?1)d
代入公式1即得：

S
n
?na
1
?
n(n?1)d
2
此公式要求
S
n
必须已知三个条件：
n,a
1
,d
（有时比较有用）

[范例讲解]
课本P49-50的例1、例2、例3
由例3得与
a
n
之间的关系：
S
教
2
S

a
a
a
问题与情境及教师活动

S
S
n?
学生活动
?
S
1
(n?1)< br>?
S
n
?S
n?1
(n?2)
41

学

过

程

及

方

法


Ⅲ.课堂练习
课本P52练习1、2、3、4



















学生独立完
成
本节课学习了以下内容：
教
学
小
结

课

后
反
思
1.等差数列的前
n
项和公式1：
S
n?
n(a
1
?a
n
)

2
n(n?1)d

2
2.等差数列的前
n
项和公 式2：
S
n
?na
1
?
3



备课人
课题

授课时间
§2.3等差数列的前n项和（2）
42

课标要求
教
学
目
标
重点
难点
进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前
n
项和公式；
知识目标
技能目标
情感态度价值观
利用等差数列通项公式与前

项和的公式研究的最值；
了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；
引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并解决问题
熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；
会利用等差数列通项公式与前

项和的公式研究

的最值；
问题与情境及教师活动

Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容：


学生活动





















教

学

过

程

及

方

法
1.等差数列的 前
n
项和公式1：
S
n
?
n(a
1
?a< br>n
)

2
n(n?1)d

2
2.等差数 列的前
n
项和公式2：
S
n
?na
1
?
Ⅱ .讲授新课

探究：——课本P45的探究活动
一般地，如果一个数列
?
a
n
?
,
的前n项和为
S
n
?pn
2
?qn?r
，
其中p、q、r为常数，且
p?0
，那么这个数列 一定是等差数列
吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
分析：由
S
n
?pn
2
?qn?r
，
得
S
1
?a
1
?p?q?r

当
n?2
时
a
n
?S
n
?S
n?1
=
1
(pn?qn?r)?[p(n?1)?q(n?1)?r]
2pn?(p?q)


教
?d?a
n
?a
n?
?
问题与情境 及教师活动
[2pn?(p?q)]?[2p(n?

1)?(p?q)]
学生活动
n
43

学

过

程

及

方

法

S
n
?na
1
?
n(n?1)d
可化成式子： < br>2
dd
S
n
?n
2
?(a
1
?)n
，
22
当d≠0，是一个常数项为零的二次式
Ⅲ[范例讲解]
等差数列前项和的最值问题
例4 已知等差数列
5,4
24
,3,
…的前
n
项和为
S
n
，求使得
S
n
最大的序
77
号
n
的值。
分析：（课本）







小结：
对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1） 利用
a
n
:
当
a
n
>0，d<0，前n项和有最大值可由
a
n
≥0，且
a
n?1
≤0，求得n的
值
当
a
n<0，d>0，前n项和有最小值可由
a
n
≤0，且
a
n?1< br>≥0，求得n的
值
（2） 利用
S
n
：
由
S
n
?
d
2
d
n?(a
1
?)n
利用二次函数配方法求得最值时n的值
22

Ⅳ.课堂练习

1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，
求这个等差数列的通项公式 。
2







































教
a
a
问题与情境及教师活动

a
S
学生活动
44

学

过

程

及

方

法

Ⅴ.课时小结

1． 前n项和为
S
n
?pn
2
?qn?r
，
其中p、q、r为常数，且
p?0
，一定是等差数列，该数列的
首项是
a
1
?p?q?r

公差是d=2p
通项公式是
a
n
?
?

S
1
?a
1
?p?q?r,当n?1时

S?S?2pn?(p?q),当n?2时
n?1
?
n
?

2．差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1）当
a
n
>0，d <0，前n项和有最大值可由
a
n
≥0，且
a
n?1
≤0， 求得n
的值。
当
a
n
<0，d>0，前n项和有最小值可由
a
n
≤0，且
a
n?1
≥0，求得n的
值。
（ 2）由
S
n
?
d
2
d
n?(a
1
?)n
利用二次函数配方法求得最值时n的值
22

ⅵ.课后作业
课本P46习题[A组]的5、6题


教
学
小
结

课

后
反
思
①掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；
②利用等差数列通项公式与前

项和的公式研究

的最值
3



备课人


45
授课时间

课题
课标要求
教
学
目
标
重点
难点
§2.4等比数列(1)
掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；
知识目标
技能目标
情感态度价值观
掌握等比数列的定义；
理解等比数列的通项公式及推导
充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现
实生活，并应用于现实生活的.
等比数列的定义及通项公式
灵活应用定义式及通项公式解决相关问题
问题与情境及教师活动


Ⅰ.课题导入
复习：等差数列的定义：


学生活动

?
教

学

过

程

及

方

法

a
n
－
a
n?1
=d ，（n≥2，n∈N）
等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，
我们还会遇到下面一类特殊的数列 。
课本P41页的4个例子：
①1，2，4，8，16，…
②1，





学生回答















1111
，，，，…
24
8
16
234
③1，20，
20
，
20
，
20
，…
④
10000?1.0198
，
10000?1.0198
，
10000?1 .0198
，
23
10000?1.0198
4
，
1000 0?1.0198
5
，……
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四
个数列有什么共同特征？
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个
常数。
Ⅱ.讲授新课 < br>1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比等于同一个常数，那 么这个数列就叫做等比数列.这
1

教
a
n
a
n?1
问题与情境及教师活动

学生活动
a

?
a
n?1
a
n
n?N
46

2? 隐含：任一项
a
n
?0且q?0

学

“
a
n
≠0”是数列｛
a
n
｝成等比数列的必要非充分条件．
过

3? q= 1时，{a
n
}为常数。
程


2.等比数列的通项公式1:
a
n
?a
1
?q
n ?1
(a
1
?q?0)

及

由等比数列的定义，有：
方
a
2
?a
1
q
；

法
a3
?a
2
q?(a
1
q)q?a
1
q
2
；
a
4
?a
3
q?(a
1
q
2
)q?a
1
q
3
；
… … … … … … … < br>a
n
?a
n?1
q?a
1
?q
n?1
(a
1
?q?0)

3.等比数列的通项公式2:
a
n
?a
m
?q
m?1
(a
1
?q?0)

4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系
等比数列与指数函数的关系：
等比数列｛
a
n
｝的通项公式
a
n
?a
1
?q
n?1
(a
1
?q?0)
,它的图象是
分布在 曲线
y?
a
1
x
q
（q>0）上的一些孤立的点。
q
当
a
1
?0
，q >1时，
等比数列｛
a
n
｝是递增数列；
当
a
1
?0
，
0?q?1
，
等比数列｛
a
n
｝是递增数列；
当
a
1
?0
，
0?q?1
时，
教
a
a?0
2
















学生分析回
答





















问题与情境及教师活动

学生活动
a

q?0
47
a
q?1
a

学

过

程

及

方

法
[补充练习]
1.（1） 一个等比数列的第9项是
案：
a
1
=2916） （2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4
项（答案：
a< br>1
=

41
，公比是－，求它的第1项（答
93
a
2
=5,
a
4
=
a
3
q
=40）
q






















教
学
本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式．
小
结

课

后
反
思
3



备课人


48
授课时间

课题
课标要求
教
学
目
标
重点
难点
§2.4等比数列(2)
灵活应用等比数列的定义及通项公式 ；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数
列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法
知识目标
技能目标
情感态度价值观
灵活应用等比数列的定义及通项公式
系统了解判断数列是否成等比数列的方法
充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现
实生活.
等比中项的理解与应用
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题
问题与情境及教师活动


Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容：


学生活动






学生回答















教

学

过

程

及

方

法
1．等比数列：如果一个数列从第二项起 ，每一项与它的前一
项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数
叫做等比 数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：
（q≠0）
2.等比数列的通项公式:
a
n
?a
1
?q
n?1
(a
1
? q?0)
，
a
n
=q
a
n?1
a
n?a
m
?q
n?m
(a
m
?q?0)

3．｛
a
n
｝成等比数列
?
a
n?1
?
=q（
n?N
,q≠0） “
a
n
≠0”
a
n< br>是数列｛
a
n
｝成等比数列的必要非充分条件
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
Ⅱ.讲授新课
1．等比中项：如果 在a与b中间插入一个数G，使a,G，b
成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=±
ab
1

教 问题与情境及教师活动

Gb
2
??G?ab?G??ab
aG
学生活动
49

学

过

程

及

方

法



2
数列
?
G=ab（a·b≠0）


[范例讲解]

课本P58例4 证明：设数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公比为
q
1
;
?
b
n
?
的


首项为
b
1，公比为
q
2
，那么数列
?
a
n
?b
n
?
的第n项与第n+1项分别为：


n?1n?1nn
a
1
?q
1
?b
1
?q
2
与a
1
?q
1
?b
1
?q
2
即为a
1
b
1
(q
1
q
2
)
n?1
与a
1
b
1
(q
1
q
2
)
n


a
n?1
?b
n?1
a
1
b
1
( q
1
q
2
)
n
?
??q
1
q2
.


n?1
a
n
?b
n
a
1
b
1
(q
1
q
2
)


它是一个与n无关的常数，所以
?
a
n
?b
n< br>?
是一个以q
1
q
2
为公比的等比数
学生分析回列 答

拓展探究：

a
n
对于例4中的等比数列 {
a
n
}与{
b
n
}，数列{}也一定是等比数列吗？

b
n


a
n
探究：设数列{
a
n
}与{
b
n
}的公比分别为
q
1
和q
2
，令
c
n
?
，则

b
n


a
n?1

c
n?1
?

b
n?1


a
n?1
cb
n?1
ab
a
q

?
n?1
??(
n?1
)(
n?1
)?
1
，所以，数列{
n
}也一定是等
a
n

c
n
a
n
b
n
q
2
b
n
b
n


比数列。

课本P59的练习4

已知数列{
a
n
}是等比数列，


22
（1）
a
5
?a
3
a
7
是否成立？
a< br>5
?a
1
a
9
成立吗？为什么？


2
（2）
a
n

?a
n?1
a
n ?1
(n?1)
是否成立？你据此能得到什么结论？
2
反之，若G=ab, 则
2
Gb
?
，即a,G,b成等比数列。∴a,G,b成等比
aG< br>教

a
n
?a
n?k
a
n?k
( n?k?0)
问题与情境及教师活动

a
m
a
n
? a
p
a
a
m
,a
n
,a
p
,a< br>学生活动

a
m
?a
1
q
m?1
a
n
?a
1
q
n?
50
a
p
?a
1
q
p?1
a
k< br>?a
1
?q
k?
a
m
?a
n
?a< br>1
q
m?n?
2
a
p
?a
k
?a< br>1
q
p?k?
2
a
m
a
n
?ap
a

Ⅲ.课堂练习
学
课本P59-60的练习3、5


过


程

及

方

法






















教
1、若m+n=p+q，
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

学
a
n
小
2、若
?
a
??
是项数相同的等比数列，则、{}也是等比数列
?
,b
??
a?b
nn
nn
b
结

n
课

后
反
思
3



51

备课人

课题
授课时间
§2.5
等比数列的前n项和（1）

课标要求
掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公
式解决有关等比数列的一些 简单问题。

知识目标
教
学
目
标
掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路
会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简
单问题。
在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，
技能目标
情感态度价值观
重点
难点
激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
等比数列的前n项和公式推导
灵活应用公式解决有关问题
问题与情境及教师活动

Ⅰ.课题导入
[提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”
[分析问题]如果把各格所放的 麦粒数看成是一个数列，我们可
以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到
第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64
项的和。下面我们先来推导等比数列 的前n项和公式。
Ⅱ.讲授新课
一般地，设等比数列
a
1
,a< br>2
,a
3
,
它的前n项和是


学生活动




















教

学

过

程

及

方

法
a
n

S
n
?
a
1
?a
2
?a
3
??a
n

?
S
n
?a
1
?a
2
?a
3??a
n
由
?

n?1
?
a
n
?a
1
q
得
S
n
?a
1
?a
1
q?a
1
q< br>2
?
①×
q
得
qS
n
?a
1q?a
1
q
2
?a
1
q
3
?
①-②得
(1?q)S
n
?a
1
?a
1
qn

a
1
q
n?2
?a
1
q
n?1
①
a
1
q
n?1
?a
1
q
n
②
q?1
教
a
1
(1?q
n
)
1
S
n
?(q

?1)
1?q
问题与情境及教师活动

S
n
?a
1
?a
n
q
(q?1)
1?q
52
学生活动
a
n
?a
1
q
n?

当q=1时，
S
n
?na
1

学

思考：还有没有其他推导方法？
过
公式的推导方法二：

aa
a
有等比数列的定义，
2
?
3
?
?
?n
?q

程
a
1
a
2
a
n?1

及
a2
?a
3
?
?
?a
n
S
n
? a
1
根据等比的性质，有
??q


a
1
?a
2
?
?
?a
n?1
S
n
?a
n
方

S
n
?a
1
即
?q
?
(1?q)S
n
?a
1
?a
n
q
（结论同 上）
法
S
n
?a
n
公式的推导方法三：
< br>S
n
?
a
1
?a
2
?a
3
??a
n
＝
a
1
?q(a
1
?a
2
?a
3
??a
n?1
)

＝
a
1
?qS
n?1
＝
a
1
?q(S
n
?a< br>n
)

?
(1?q)S
n
?a
1
? a
n
q
（结论同上）
[解决问题]
有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。
由
a
1
?1,q?2,n?64
可得
a
1
(1?q
n
)
1?(1?2
64
)
64
==2?1
。
S
n
?
1?2
1?q
2
6 4
?1
这个数很大，超过了
1.84?10
19
。国王不能实现他的 诺言。
[例题讲解]
课本
例1、






2







































教 问题与情境及教师活动

学生活动
53