高中数学必修5第三章 不等式

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课时计划 共 次课 第 次课 基础（ ） 提高（ ） 强化（ ）
教学课题: 人教版高中数学 必修5第三章——不等式
1、通过函数图 象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，了解二元一次
不等式的几何意义，了解基本不等式的证 明过程。
2、解一元二次不等式，用平面区域表示二元一次不等式组，用基本不等式解决
教学目标：
简单的最大（小）值问题。
3、从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，抽象出简单的二元线性规划问
题，并加以解决。

重难点： 一元二次不等式、二元一次不等式组、线性规划、基本不等式

第1课 不等式的性质
知识清单

(1)对称性：
a?b?b?a
.
(2)传递性：
a?b,b?c?a?c
.
(3)加法法则：
a? b?a?c?b?c
；
a?b,c?d?a?c?b?d
.
(4)乘法法则 ：
a?b,c?0?ac?bc
；
a
?
b
,
c?0?
ac
?
bc

教
学
过
程


a?b?0,c?d?0?ac?bd
.
(5)倒数法则：
a?b,ab?0?
11
?
.
ab(6)乘方法则：
a?b?0?a
n
?b
n
(n?N*且n?1 )
.
(7)开方法则：
a?b?0?
n
a?
n
b (n?N*且n?1)
.

小试牛刀
1、如果
30?x?42
,
16?y?24
,则
(1)
x?y
的取值范围是 , (2)
x?2y
的取值范围是 ,
(3)
xy
的取值范围是 , (4)
x
的取值范围是 .
y
2、设
0?b?a?1
，则下列不等式成立的是（ ）

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3、


A．
ab?b
2
?1
B．
log
1
b?log
1
a?0
C．
2
b
?2
a
?2
D．
a
2
?ab?1

22
b
?1
是
a(a?b)?0
成立的（ ）
a
A．充分不必要条件
C．必要不充分条件


B．充要条件
D．既不充分不必要条件
4、若
x?y?0,a?0,ay?0
，则
x?y
的值（ ）
A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．正负不确定
5、若a>b，在①
A．1个
11
?
；②a
3
> b
3
；③
lg(a
2
?1)?lg(b
2
?1)< br> ；④
2
a
?2
b
中，正确的有（ ）
ab
B．2个 C．3个 D．4个
6、已知a、b、c满足
c?b?a< br>，且
ac?0
，那么下列选项中不一定成立的是（ ）
A．
ab?ac
B．
c(b?a)?0
C．
cb
2
?ab
2
D．
ac(a?c)?0
< br>7、若
11
??0
，则下列不等式①
a?b?ab
；②
|a|?|b|;
③
a?b
；④
a
2
?ab?0
中，正确的
ab
不等式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11
8、如果
?1?a?b?0
，则
,,b
2
,a
2
的大小关系为
ba
2a?b9、若
2?a?4,3?b?5
，则
3a?b
的取值范围为 ，的取值范围为
b
10、证明：若
a
?
b?
m?0
，则
b
?
mbb
?
m
??< br>
a
?
maa
?
m

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第2课 一元二次不等式
知识清单

设相应的一元二次方程
a x
2
?bx?c?0
?
a?0
?
的两根为
x
1
、x
2
且x
1
?x
2
，
??b
2
?4ac
，则
不等式的解的各种情况如下表：


二次函数

??0


??0??0
y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

（
a?0
）的图象


一元二次方程
有两相异实根

有两相等实根


ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?< br>的根
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集


小试牛刀
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)

b
x
1
?x
2
??

2a
无实根
?
xx?x或x?x
?
12
?
b
?
?xx??
?
2a
??

?

R
?
xx
1
?x?x
2
?
?

1、不等式
6x
2
?5x?4
的解集为（ ）
4< br>??
1
???
41
?
A．
?
??,?
?
?
?
,??
?
B．
?
?,
?

3
??
2
???
32
?
1
??
4
???
14
?
C．
?
??,?
?
?
?
,??
?
D．
?
?,
?

2
??
3
???
23
?
2、若不等式
x
2
?mx?1?0
的解集为
R
，则
m
的取值范围是（ ）
A．
R
B．
?
?2,2
?
C．
?
??,?2
?
?
?
2,??
?
D．
?
?2,2
?

?1?
3、设一元二次不等式
ax
2
?bx?1?0
的解集为
?
x?1?x?
?
，则
ab
的值是（ ）
3
??

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A．
?6
B．
?5
C．
6
D．
5

4、不等式
x
2
?ax?12a
2
?0
?
a?0
?
的 解集是（ ）
A．
?
?3a,4a
?
B．
?
4a,?3a
?
C．
?
?3,4
?
D．
?
2a,6a
?

?11?
5、不等式
ax< br>2
?bx?2?0
的解集是
?
x??x?
?
，则a?b?
（ ）
23
??
A．
?14
B．
14
C．
?10
D．
10

2x
2
?6x?9x
2
?3x?19< br>?
1
?
6、不等式
??
?
2
?
?< br>1
?
?
??
?
2
?
的解集是（ ）
A．
?
?1,10
?
B．
?
??,?1
?
?
?
10,??
?

C．
R
D．
?
??,?1
?
?
?
10,??
?

7、设
f
?
x
?
?x
2
?bx?1
，且
f
?
?1
?
?f
?
3
?
， 则
f
?
x
?
?0
的解集是（ ）
A．?
??,?1
?
?
?
3,??
?
B．
R
C．
?
xx?1
?
D．
?
xx?1
?

1
??
8、若
0?a ?1
，则不等式
?
a?x
?
?
x?
?
?0
的解是（ ）
a
??
A．
a?x?
1

a
1

a
C．
x?a
或
x?
1
?x?a

a
1
D．
x?
或
x?a

a
B．
9、不等式
x
?
1?3x
?
?0
的解集是（ ）
1
???
1
??
1
?
A．
?
??,
?
B．
?
??,0
?
?
?
0,
?
C．
?
,??
?

3
???
3
??
3
?
?
1
?
D．
?
0,
?

?
3
?
10、二次函数
y?ax
2
?bx?c?
x?R
?
的部分对应值如下表：
x

y

?3

6

?2

?1

?4

0

0

?6

1

2

?4

?6

3

0

4

6

则不等式ax
2
?bx?c?0
的解集是______________________ ______．
11、不等式
ax
2
?bx?c?0
的解集为?
x2?x?3
?
，则不等式
ax
2
?bx?c?0< br>的解集是
________________________．
?4?
12 、
?
k?1
?
x
2
?6x?8?0
的解集是
?
xx??2或x?
?
，则
k?
_________．
5
??
13、已知不等式
x
2
?px?q?0
的解集是?
x?3?x?2
?
，则
p?q?
________．

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第3课 二元一次不等式和线性规划
知识清单

二元一次不等式
Ax?By?C
?0
在平面直 角坐标系中，表示直线
Ax?By?C
?0
某一侧所
有点组成的平面区域（虚 线表示区域不包括边界直线）。
判断方法：在直线一侧取特殊点
?
x
0,y
0
?
，代入
Ax
0
?By
0
?C
，根据正负判断平面区
域属于
Ax?By?C
＞0或
Ax?By?C
＜0（当
C
≠0时，常把原点作为特殊点）。
线性规划：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值。
线性约束条件：关于
x
、
y
的一次不等式组是一组变量
x
、
y
的约束 条件，故又称线
性约束条件。
目标函数：要求最大值或最小值的函数z=2
x
+
y
，又因它是关于变量
x
、
y
的一次解析
式， 所以又称为线性目标函数。
满足线性约束条件的解（
x
,
y
）叫可 行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使
目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最 优解。


小试牛刀
1、不在 3x+ 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是（ ）
A．（0，0） B．（1，1） C．（0，2） D．（2，0）
2、已知点（3 ，1）和点（－4 ，6）在直线 3x–2y + m = 0 的两侧，则（ ）
A．m＜－7或m＞24
C．m＝－7或m＝24
3、不等式
?


B．－7＜m＜24
D．－7≤m≤ 24
?
(x?y?5)(x?y)?0,
表示的平面区域是一个（ ）
0?x?3
?
A．三角形 B．直角三角形 C．梯形 D．矩形
4、在△ABC中，三顶点坐标为A（2 ，4），B（－1，2），C（1 ，0 ）， 点P（x，y）在
△ABC内部及边界运动，则 z= x – y 的最大值和最小值分别是（ ）
A．3，1 B．－1，－3 C．1，－3 D．3，－1

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5、不等式
x?y?3
表示的平面区域内的整点个数为（ ）
A． 13个 B． 10个 C． 14个 D． 17个
6、在直角坐标系中，满足不等式 x
２
－y
2
≥0 的点（x，y）的集合的是（ ）

A B C D
7、不等式
|2x?y?m|?3
表示的平面区域包含点
(0,0)
和点
(?1,1),
则m的取值范围是（ ）
A．
?2?m?3
B．
0?m?6
C．
?3?m?6
D．
0?m?3
[
8、已知平面区域如右图所示，
z?mx?y(m?0)
在平面区域内取得最大值的最优解有无数多
个，则
m
的值为（ ）
7
A．
20
1
C．
2
7
B．
?

20
y
C(1,

22
)
5


A(5,3)

D．不存在
o

B(1,1)

x
9、如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是（ ）

?
y??2,
A．
?
?
3x?2y?6?0,

?
x?0
?
?
y??2,
B．
?
?
3x?2y?6?0,

?
x?0
?

?
y??2,
C．
?

?
3x?2y?6?0,
?
x?0
??
y??2,
D．
?
?
3x?2y?6?0,

?
x?0
?
?
x?y?5?0,
?

?
x?y?0,
?
x?3.
?

10、已知x，y满足约束条件 则
z?4x?y
的最小值为______________．
?
x?2y? 8,
8832
?
11、已知约束条件
?
2x?y?8,
目标 函数z=3x+y，某学生求得x=， y=时，z
max
=， 这
333
?
x?N
*
,y?N
*
.
?
显然不合要求，正确答案 应为x= y= z
max
= .

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12、给出下面的线性规划问题：求z=3x+5y的最大值和最小值，使x、y满足约束条件： ?
6x?3y?15,
?
欲使目标函数z只有最小值而无最大值，请你设计一种改 变约束条件的办法
?
y?x?1,
?
x?5y?3.
?
（仍 由三个不等式构成，且只能改变其中一个不等式），那么结果是__________.
13、由
y?2及x?y?x?1
围成的几何图形的面积是多少?





14、某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的 制造白坯时间、油漆时间及有关数
据如下：
工艺要求
制白坯时间
天
油漆时间天
单位利润元
产品甲
6
8
20
产品乙
12
4
24
生产能力（台天）
120
64

问该公司如何安排甲、乙二种柜的日产量可获最大利润，并且最大利润是多少？

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第4课 基本不等式
知识清单

ab?
a?b

2
若
a,b?R
，则< br>a
2
?b
2
?2ab
，（当且仅当
a?b
时 取“=”）
若
a,b?R
*
，则


小试牛刀
a?b
（当且仅当
a?b
时取“=”）
?ab
，
2
1、在下列函数中，最小值为2的是( )
A．
y
＝
x
＋
1
x
B．y＝3
x
＋3
-x

C．
y
＝lg
x
＋
1
(0＜
x
＜1)
lg
x
π
?
1
?
0＜
x
＜
??
D．
y
＝sin
x
＋
2
?
sin
x< br>?
111
2、若
a
>0，
b
>0，
a
，
b
的等差中项是，且α＝
a
＋，β＝
b
＋，则α＋β的 最小值为( )
2
ab
A．2 B．3
C．4 D．5
3、若
a< br>＋
b
＝2，则3
a
＋3
b
的最小值是( )
A．18 B．6
4
C．23 D．23
11
4、已知
x
<，则函数
y
＝2
x< br>＋的最大值是( )
22
x
－1
A．2 B．1
C．－1 D．－2
5、设集合
??
?
x1?x?2
?
，
??
?
xx?a?0?
，若
?????
，那么实数
a
的取值范围是（ ）
A．
?
1,??
?
B．
?
2,??
?
C．
?
??,2
?
D．
?
1,??
?

6、当a>0，a≠1时，函数f(x)＝lo g
a
(x－1)＋1的图象恒过定点A，若点A在直线mx－y＋n＝0
上，则4m
＋2
n
的最小值是________．

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7、如下图，某药店有一架不准确的天平(其两臂长不相等)和一个10克 的砝码，一个患者想
要买20克的中药，售货员先将砝码放在左盘上，放置药品于右盘上，待平衡后交给 患者；
然后又将砝码放在右盘上，放置药品于左盘上，待平衡后再交给患者．设患者一次实际购
买的药量为
m
(克)，则
m
________20克．(请选择填“>”或“ <”或“＝”)
学
习
笔
记
教
学
反
思
家
长
建
议









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