高中数学必修5等差数列知识点总结和题型归纳

等差数列
一．等差数列知识点：
知识点1、等差数列的定义:
①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列
就叫做等 差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示
知识点2、等差数列的判定方法: < br>②定义法：对于数列
?
a
n
?
，若
a
n?1
?a
n
?d
(常数)，则数列
?
a
n
?< br>是等差数列
③等差中项：对于数列
?
a
n
?
，若
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
，则数列
?
a
n
?
是等差数列
知识点3、等差数列的通项公式:
④ 如果等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公 差是
d
，则等差数列的通项为

a
n
?a
1
?(n?1)d
该公式整理后是关于n的一次函数
知识点4、等差数列的前n项和:
⑤
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
d
⑥
S
n
?na
1
?
2
2
对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数
知识点5、等差中项:
⑥如 果
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做< br>a
与
b
的等差中项即：
A?
a?b
或
2A? a?b

2
在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是 它的前一项
与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项
知识点6、等差数列的性质:
⑦等差数列任意两项间的关系：如果
a
n是等差数列的第
n
项，
a
m
是等差数列的第
m
项，
且
m?n
，公差为
d
，则有
a
n
?a
m
?(n?m)d

⑧ 对于等差数列
?
a
n?
，若
n?m?p?q
，则
a
n
?a
m
?a
p
?a
q

也就是：
a
1
? a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
???

⑨若数列
?
a
n
?
是等 差数列，
S
n
是其前n项的和，
k?N
*
，那么
S
k
，
S
2k
?S
k
，
S
3k?S
2k
成
等差数列如下图所示：
S
3k
????? ????????????????????
a
1
?a
2
?a
3
?
?
?a
k
?a
k?1
?
?
?a
2k
?a
2k?1
?
?
?a
3k
< br>???????????????????????
S
k
S
2k
?S
k
S
3k
?S
2k

10、
等差数列的前
n
项和的性质：①若项数为
2n
?
n??
*
?
，则
S
2n
?n
?
a
n
?a< br>n?1
?
，且
S
奇
a
?
n
S
偶
?S
奇
?nd
，
S
偶
a
n?1
*
．②若项数为
2n?1n??
，则
S
2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
，且
S
奇
?S
偶
?a
n
，
??
S
奇
n
?
（其 中
S
奇
?na
n
，
S
偶
?
?n?1
?
a
n
）．

S
偶
n?1
1

二、题型选析：
题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）
1、.等差数列{a
n
}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ )
A . -1 B . 1 C .-2 D. 2
2．在数列{a
n
}中，a
1
=2，2a
n+ 1
=2a
n
+1，则a
101
的值为 （ ）
A．49 B．50 C．51 D．52
3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）
A．92 B．47 C．46 D．45
4、已知等差数列
{a
n
}
中，
a
7
?a
9
?16,a< br>4
?1,则a
12
的值是( )
( )
C 31 D 64
）
A 15 B 30
5. 首项为－24的等差数列，从第10
888
A.
d
＞ B.
d
＜3 C. ≤
d
＜3 D.＜
d
≤3
333
6、.在数列
{a
n
}中，
a
1
?3
，且对任意大于1的正整数
n
，点
(a
n
,a
n?1
)
在直
x?y?3?0
上，
则
a
n
=_____________.
7、在等差数列{a
n
}中，a
5
＝3，a
6
＝－2，则a
4
＋a
5
＋…＋a
10
＝ ．
8、等差数列?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，若
a
2
?1,a
3
?3,则S
4
＝
（< br>
）

（A）12 （B）10 9、设数列
?
a
n
?
的首项
a
1
?? 7,且满足a
n?1
（D）6

?a
n
?2 (n?N)
，则
a
1
?a
2
???a
17
?
______.
（C）8
10、已知{a
n
}为等差数列，a
3
+ a
8
= 22，a
6
= 7，则a
5
= __________
11、已知数列的通项a
n
= -5n+2,则其前n项和为S
n
= .
12、设
S
n
为等差数列
?
a
n
?
的前n项和，
S
4
＝14，
S
10
?S
7
?30
，则
S
9
＝ .
题型二、等差数列性质

1、已知｛a
n
｝为等差数列，a
2
+a
8
=12,则a
5
等于（ ）
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
2、
设
S
n
是等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和，若
S
7
?35
，则
a
4
?
（ ）
A．
8
B．
7
C．
6
D．
5

3、 若等差数列
?
a
n
?
中，
a
3?a
7
?a
10
?8,a
11
?a
4
?4,
则
a
7
?__________.

4、记等差数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
，若
S
2
?4
，
S
4
?20
，则该数列的公差d=（ ）
A．7 B. 6 C. 3 D. 2
5、 等差数列
{a
n
}
中，已知
a
1
?
1，
a
2
?a
5
?4
，
a
n
? 33
，则n为（ ）
3
（A）48 （B）49 （C）50 （D）51
6.、等差数列{a
n
}中，a
1
=1,a
3
+a
5
=14，其前n项和S
n
=100,则n=（ ）
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12
7、设Sn
是等差数列
?
a
n
?
的前n项和，若
a5
5
S
?,则
9
?
（ ）
a
3
9S
5
2

A．1 B．－1 C．2 D．
1

2
8、已知等差数列{ a
n
}满足α
1
＋α
2
＋α
3
＋…＋α< br>101
＝0则有( )
A．α
1
＋α
101
＞0 B．α
2
＋α
100
＜0 C．α
3
＋α
99
＝0 D．α
51
＝51
9、如果
a
1
，
a
2
，…，
a
8
为各项都大于零的等差数列，公差
d?0
，则( )
（A）
a
1
a
8
?
a
4
a
5
（B）
a< br>8
a
1
?
a
4
a
5
（C）
a
1
+
a
8
?
a
4
+
a
5
（D）
a
1
a
8
=
a
4
a
5

10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和
为390，则这个数列有（ ）
（A）13项 （B）12项 （C）11项 （D）10项

题型三、等差数列前n项和
1、等差数列
?
a
n
?
中，已知
a
1
?a
2< br>?a
3
?
S
n
?
．
?a10
?p
，
a
n?9
?a
n?8
??a
n
?q
，则其前
n
项和
2、等差数列
?2,1,4,?< br>的前n项和为 （ ）
1111
A.
n
?
3n?4
?
B.
n
?
3n?7
?
C.
n
?
3n?4
?
D.
n
?
3n?7
?

2222
3、已知等差数列?
a
n
?
满足
a
1
?a
2
? a
3
???a
99
?0
，则 （ ）
A.
a
1
?a
99
?0
B.
a
1
?a
99
?0
C.
a
1
?a
99
?0
D.
a
50
?50
[来源:学科网ZXXK]
4、在等差数列
?
a
n
?
中，
a
1
?a
2
?a< br>3
?15,a
n
?a
n?1
?a
n?2
?7 8
，
S
n
?155
，
则
n?

。
5、等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，若
S
2
?2,S
4
?10 ,则S
6
等于
（ ）
A．12 B．18 C．24 D．42
6、若等差数列共有
2n?1
项
n?N*
，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，
则项数为 （ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
7、 设等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n< br>，若
S
3
?9
，
S
6
?36
，则< br>a
7
?a
8
?a
9
?

a
S
7n
8、 若两个等差数列
?
a
n
?
和
?
b
n
?
的前
n
项和分别是
S
n
，T
n
，已知
n
?
，则
5
等于 （ ）
b
5
T
n
n?3
22721
Ａ．
7
Ｂ． Ｃ． Ｄ．
84
3
??
题型四、等差数列综合题精选
1、等差数列{
a
n
}的前n项和记为S
n
.已知
a
10
?30, a
20
?50.

（Ⅰ）求通项
a
n
； （Ⅱ）若S
n
=242，求n.



2、已知数列{a
n
}
是一个等差数列，且
a
2
?1
，a
5
??5
。
（1）求
{a
n
}
的 通项
a
n
；（2）求
{a
n
}
前n项和
S
n
的最大值。

3

< br>3、设
?
a
n
?
为等差数列，
S
n
为数列
?
a
n
?
的前
n
项和，已知
S7
?7
，
S
15
?75
，
T
n
为数列
?




?
S
n
?
?
的前
n
项和，求
T
n
。
?
n
?
4、已知?
a
n
?
是等差数列，
a
1
?2
，< br>a
3
?18
；
?
b
n
?
也是等差数 列，
a
2
?b
2
?4
，
b
1
?b
2
?b
3
?b
4
?a
1
?a
2< br>?a
3
。
（1）求数列
?
b
n
?
的通项公式及前
n
项和
S
n
的公式；
（2）数列
?
a
n
?
与
?
b
n
?
是否有相同 的项？ 若有，在100以内有几个相同项？若没有，请说明理由。
5、设等差数列{a
n< br>}的首项a
1
及公差d都为整数，前n项和为S
n.
(Ⅰ)若a11
=0,S
14
=98,求数列｛a
n
｝的通项公式； (Ⅱ)若a
1
≥6，a
11
＞0，S
14
≤77，求所 有可能的数列｛a
n
｝的通项公式.






6、已知二次函数
y?f(x)
的图像经过坐标原点，其导函数为
f
'
(x)?6x?2
，数列
{a
n
}
的前n项和 为
S
n
，
点
(n,S
n
)(n?N
?)
均在函数
y?f(x)
的图像上。 (Ⅰ)求数列
{a
n
}
的通项公式；
(Ⅱ)设
b
n
?
m
3
?
,
T
n
是数列
{b< br>n
}
的前n项和，求使得
T
n
?
对所有
n? N
都成立的最小正整数m；
20
a
n
a
n?1





五、等差数列习题精选

1、等差数列< br>{a
n
}
的前三项依次为
x
，
2x?1
，< br>4x?2
，则它的第5项为（ ）
A、
5x?5
B、
2x?1
C、5 D、4
2、设等差 数列
{a
n
}
中，
a
4
?5,a
9
?17
,则
a
14
的值等于（ ）
A、11 B、22 C、29 D、12
3、设
?
a< br>n
?
是公差为正数的等差数列，若
a
1
?a
2
?a
3
?15
，
a
1
a
2
a
3
?80
，
则
a
11
?a
12
?a
13
?
( )
A．
120
B．
105
C．
90
D．
75

4

4、若等差数列
{a
n
}
的公差
d?0
，则 （ ）
（A）
a
2
a
6
?a
3
a
5
（B）
a
2
a
6
?a
3
a
5

（C）
a
2
a
6
?a
3
a
5
（D）
a
2
a
6
与
a
3
a
5< br>的大小不确定
5、 已知
?
a
n
?
满足，对一切自 然数
n
均有
a
n?1
?a
n
，且
a
n
?n
2
?
?
n
恒成立，则实数
?
的取 值范
围是（ ）
Ａ．
?
?0
Ｂ．
?
?0
Ｃ．
?
?0
Ｄ．
?
??3

6、等差数列
?
a
n
?< br>中，a
1
?1,公差d?0,若a
1
,a
2
,a5
成等比数列，则d
为 （ ）
(A) 3 (B) 2 (C)
?2
(D) 2或
?2

7 、在等差数列
?
a
n
?
中，
a
p
?q,a
q
?p(p?q)
，则
a
p?q
?

A、
p?q
B、
?(p?q)
C、0 D、
pq

8、设数列
?
a< br>n
?
是单调递增的等差数列，前三项和为12，前三项的积为48，则它的首项是
A、1 B、2 C、4 D、8 < br>9、已知为等差数列，
a
1
?a
3
?a
5
? 105,a
2
?a
4
?a
6
?99
，则
a
20
等于（ ）
A. -1 B. 1 C. 3 D.7
10、已知
?
a
n
?
为等差数列，且
a< br>7
－2
a
4
＝－1,
a
3
＝0,则公差d＝
11
C. D.2
22
11、在等差数列
?
a
n
?
中，
a
2
?a
8
?4
,则 其前9项的和S
9
等于 （ ）
A.－2 B.－
A．18 B 27 C 36 D 9
12、设等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
3
?9
，
S
6
?36
，则
a
7
?a
8
?a
9
?
（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
13、在等差数列
?
a
n
?中，
a
1
?a
2
?a
3
?15,a
n
?a
n?1
?a
n?2
?78
，
S
n?155
，
则
n?

。
1 4、数列
?
a
n
?
是等差数列，它的前
n
项和可以 表示为 （ ）
A.
S
n
?An
2
?Bn?C
B.
S
n
?An
2
?Bn

C. < br>S
n
?An
2
?Bn?C
?
a?0
?
D.
S
n
?An
2
?Bn
?
a?0
?








5

小结
1、等差中项：若
a,A,b
成 等差数列，则A叫做
a
与
b
的等差中项，且
A?
a?b
2
2、为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
a? 2d,a?d,a,a?d,a?2d
…（公差为
d
）；偶数个数成等差，可设为…，
a?3d,a?d,a?d,a?3d
,…（公差为2
d
）
3、当 公差
d?0
时，等差数列的通项公式
a
n
?a
1
? (n?1)d?dn?a
1
?d
是关于
n
的一次函数，
且斜 率为公差
d
；若公差
d?0
，则为递增等差数列，若公差
d?0，则为递减等差数列，若
公差
d?0
，则为常数列。
4、当
m ?n?p?q
时,则有
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
，特别地，当
m?n?2p
时，则有
a
m
? a
n
?2a
p
.
5、若
{a
n
}
、则
{ka
n
}
、
{a
p?nq
}(p,q?N
*
)
、
{b
n
}
是等差数列，
{kan
?pb
n
}
(
k
、
p
是非零常数 )、
S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
，…也成等差数列，而
{a
a
n
}
成等比数列；








等差数列参考答案
题型一：计算求值
题号
答案
题号
答案

题型二、等差数列的性质
6
1
B
8
2
D
9
3
C
10
4
A
11
5
D
12
6
3n
2

13

7
-49
14
C 153 15 -(5n
2
+n)2 54

1、C 2、D 3、12（a
3
+a
7
-a
10
+a
11
-a
4
=8+4=a
7
=12）
4、C 5、C 6、B 7、A 8、C 9、B
10、A
题型三、等差数列前n项和
1、5n(p+q) 2、B 3、C 4、n=10 5、24
6、S
奇
S
偶
=nn-1=43, n=4
7、45 8、D（a
5
b
5
=S
9
T
9
）
题型四：等差数列综合题精选
1、解：（Ⅰ）由
a
n
?a
1
?(n?1)d,a
10
?30,a
20
?50,
得方程 组

?
?
a
1
?9d?30,
?19d?50.
……4分 解得
a
1
?12,d?2.
所以
a
n
?2n?10.

?
a
1
（Ⅱ）由
S
n(n?1)
n
?na
1
?
2
d,S< br>n
?242
得方程

12n?
n(n?1)
2
?2?242.
……10分 解得
n?11或n??22(舍去).

2、解：（Ⅰ）设
?
a< br>?
a
1
?d?1
n
?
的公差为
d
， 由已知条件，得
?
a
，
?
1
?4d??5
解出< br>a
1
?3
，
d??2
．所以
a
n
? a
1
?(n?1)d??2n?5
．
（Ⅱ）
S
n(n?1 )
n
?na
1
?
2
d??n
2
?4n?4?(n?2)
2
．
所以
n?2
时，
S
n
取到最大值
4
． < br>3、
解：设等差数列
?
a
1
n
?
的公差为< br>d
，则
S
n
?na
1
?
2
n?
n?1
?
d

∵
S
7
?7
，
S
15
?75
，
∴
?
?
7a
1
?21d?7 ,
?
?
15a
?
a
1
?3d?1 ,
1
?105d?75 ,
即
?
a
1
?7d?5 ,

解得
a
∴
S
n
11
1
??2
，
d?1
。
n
?a
1
?
2
?
n?1
?
d??2?2
?
n?1
?
，
∵
S
n?1
S
1
?
S
?
1
?1
?
n< br>n
?
2
，∴ 数列
?
n
n
?
n< br>?
?
是等差数列，其首项为
?2
，公差为
2
，
∴
T
19
n
?
4
n
2?
4
n
。

4、解：（1）设{a
n
}的公差为d
1
，{b
n
}的公差为d
2
由a
3
=a
1
+2d
1
得
da
3
?a
1
1
?
2
?8

所 以
a
n
?2?8(n?1)?8n?6
，所以a
2
=10, a
1
+a
2
+a
3
=30
7

?
b
1
?d
2
?6
依题 意，得
?
?
解得
?
?
?
b
1
?3
，所以b
n
?
4b
4?3
1
?
2
d
2
?30
?
d
2
?3
=3+3(n-1)=3n
S
n(b?
n
?
1
b
n
)
2?
3
2
n
2
?
3
2
n.

（2）设a则8n-6=3m, 既
n?
3(m?2)
n
=b
m
,
8
①，要是①式对非零自然数m、n成立，只需
m+2=8k,
k?N
?
,所以m=8k-2 ，
k?N
?
②
②代入①得，n=3k,
k?N
?
,所以a
3k
=b
8k-2
=24k-6,对一切
k?N< br>?
都成立。
所以，数列
?
a
n
?
与
?
b
n
?
有无数个相同的项。
令24k-6<100,得
k?
53
12
,
又
k?N
?
，所以k=1,2, 3,4.即100以内有4个相同项。

5、解：（Ⅰ）由S
14
=98得2a
1
+13d=14, 又 a
11
=a
1
+10d=0，故解得d=－2,a
1
=20 .
因此，{a
n
}的通项公式是a
n
=22－2n,n=1,2,3…
?
S
14
?77,
?
2a
1
?13d?1 1,
?
2a
1
?13d?11,
（Ⅱ）由
?
?a
得
?
?
a,
即
?
11
?0,

1
?10d?0
?
?2a
1
?20d?0,
?
?
a
1
?6
?
?
a
1
?6
?
?
?2a
1
??12
由①+②得－7d＜11。即d＞－
11
7
。由①+③得13d≤－1 即d≤－
1
13

于是－
11
7
＜d≤－
1
13
，又d∈Z, 故d=－1，将④代入①②得10＜a
1
≤12.
又a
1
∈Z,故a
1
=11或a
1
=12.
所以，所有可能的数列{a
n
}的通项公式是 a
n
=12-n和a
n
=13-n,n=1,2,3,…

6、解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)
＝
ax
2
+bx (a
≠
0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x
－
2,得
a=3 , b=
－
2, 所以 f(x)
＝
3x
2
－
2x.
又因为点
(n,S
n
)(n?N
?
)
均在函数y?f(x
?
)
的图像上，所以
S
?
n
＝3n
2
－
2n.
当n
≥
2时
，
a
2
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
＝ （
3n
－
2n
）－
（3n?1)
2
?2(n?1)
＝
6n
－
5.
当n
＝
1时，a
?
1
＝
S
1
＝
3×1
2
－
2
＝< br>6×1
－
5
，
所以，a
n
＝
6n
－
5
（
n?N
）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知
b
3
3
11
n
?
aa
＝
n?5)
?
6(n? 1)?5
?
＝
2
(
6n?5
?
1
6n?1
)
，
nn?1
(6
故T
n
＝
?
n
b
?
i
＝
1
i?1
2
?
?(1?
1
7
)?(
1
7
?
1
13)?...?(
1
6n?5
?
1
6n?1
)
?
?
?
＝
1
2
（1－
1
6n?1
） .
因此，要使
11m1m
2
（
1
－
6n?1）
<
20
（
n?N
?
）成立的m,必须且仅须满足2
≤
20
，即m
≥
10，
所以满足要求的最小正整数m 为10
题型五、精选练习
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D C B B A B C
题号 8 9 10 11 12 13 14
8

答案

B B B A B 10 B
9