综合高中数学必修一数学试题-高中数学必修一教材拓展
2020年高中数学必修五全套精品学案
(精华版)
§1.1.1 正弦定理
学习目标
1.
掌握正弦定理的内容;
2. 掌握正弦定理的证明方法;
3.
会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题.
学习过程
一、课前准备 试验:固定
?
ABC的边CB及
?
B,使边AC绕着顶
点C转动
.
思考:
?
C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系?
显然,边AB的长度随着其对角
?
C的大小的增大而
.能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来?
二、新课导学
※
学习探究
探究1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下
面就首先来探讨直角三角形中,
角与边的等式关系.
如图,在Rt
?
ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,
根据锐角三角函数中正弦函数的定义,
有
a
?sinA
,
b
?sinB
,又
sinC?1?
c
,
cc
从而在直角三角形ABC
c
中,
a
?
b
?
c
.
sinAsinBsinC
(
探究2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:
当
?
ABC是锐角三角形时,设
边AB上的高是CD,根据任意
角三角函数的定义,
有CD=
asinB?bsinA
,则
cb
,
?
sinCsinB
从而
a
?
b
?
c
.
sinAsinB
sinC
ab
,
?
sinAsinB
同理可得
类似可推出,当
?
ABC是钝角三角形时,以上关系式仍然成立.请
你试试导
.
新知:正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的 的比相等,即
c
ab
?
?
sinAsinB
sinC
.
试试:
(1)在
?ABC
中,一定成立的等式是( ).
A.
asinA?bsinB
B.
acosA?bcosB
C.
asinB?bsinA
D.
acosB?bcosA
(2)已知△ABC中,a=4,b=8,∠A=30°,则∠B等
于
.
[理解定理]
(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,
且
比例系数为同一正数,即存在正数k使
a?ksinA
,
,
c?ksinC
;
(2)
a
?
b
?
c
等价于
,
c
?
b
,
a
?
c
.
sinA
sinB
sinC
sinCsinB
sinAsinC
(3)正弦定理的基本
作用为:
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如
a?
bsinA
;
sinB
.
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦
值,
如
sinA?
a
sinB
;
sinC?
.
b
b?
(4)一般地,已知三角形的某些边和角,求其它的边和角的过程
叫作解三角形.
※ 典型例题
例1. 在
?ABC
中
,已知
A?45
o
,
B?60
o
,
a?42
cm,解三角形.
变式:在
?ABC
中,已知
B?
45
o
,
C?60
o
,
a?12
cm,解三角形.
例2.
在
?ABC中,c?6,A?45
o
,a?2,求b和B,C
.
变式:在
?ABC中,b?
三、总结提升
※
学习小结
1.
正弦定理:
3,B?60
o
,c?1,求a和A,C
.
c
ab
?
?
sinAsinB
sinC
2. 正弦定理的证明方法:①三角函数的定义,
还有 ②等积法,③外接圆法,④向量法.
3.应用正弦定理解三角形:
①已知两角和一边;
②已知两边和其中一边的对角.
※
知识拓展
abc
???2R
,其中
2R
为外接圆直径.
sinAsinBsinC
学习评价
※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:
1. 在
?AB
C
中,若
cosA
?
b
,则
?ABC
是(
).
cosBa
A.等腰三角形 B.等腰三角形或直角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
2. 已知△ABC中,A∶B∶C=1∶1∶4,
则a∶b∶c等于( ).
A.1∶1∶4 B.1∶1∶2
C.1∶1∶
3
D.2∶2∶
3
3. 在
△ABC中,若
sinA?sinB
,则
A
与
B
的大小关系
为( ).
A.
A?B
B.
A?B
C.
A
≥
B
D.
A
、
B
的大小关系不能确定
4. 已知
?
ABC
中,
sinA:sinB:sinC?1:2:3
,则
a:b:c
=
.
5. 已知
?
ABC中,
?
A
?60?
,a?3
,则
a?b?c
sinA?sinB?sinC
=
.
课后作业
1.
已知△ABC中,AB=6,∠A=30°,∠B=
120?
,解此三角形.
2. 已知△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=k∶(k+1)∶2k
(k
≠
0),求实
数k的取值范围为.
§1.1.2
余弦定理
学习目标
1.
掌握余弦定理的两种表示形式;
2. 证明余弦定理的向量方法;
3.
运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
学习过程
一、课前准备
复习1:在一个三角形中,各 和它所对角的 的 相
等,即
= = .
复习2:在△ABC中,已知
c?10
,A=45?,C=30?,解此三角形.
思考:已知两边及夹角,如何解此三角形呢?
二、新课导学
※ 探究新知
问题:在
?ABC
中,
AB
、
BC
、
CA
的长分别为
c
、
a
、
C
A
b
c
a
B
b
.
∵
AC?
,
uuuruuur
∴
AC?AC?
同理可得:
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
,
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
新知:余弦定理:三角形中任何一边的 等于其他两边的
的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍.
思考:这个式子中有几个量?
从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边
求出一角?
从余弦定理,又可得到以下推论:
b
2
?c
2
?a
2
cosA?
2bc
uuur
,
,
.
[理解定理]
(1)若C=
90?
,则
cosC?
,这时
c
2
?a
2
?b
2
由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特
例.
(2)余弦定理及其推论的基本作用为:
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边;
②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
试试:
(1)△ABC中,
a?33
,
c?2
,
B?150
o
,求
b
.
(2)△ABC中,<
br>a?2
,
b?2
,
c?3?1
,求
A
.
※ 典型例题
例1. 在
△ABC中,已知
a?3
,
b?2
,
B?45
o
,
求
A,C
和
c
.
变式:在△ABC中,若
AB=
5
,AC=5,且cosC=
9
,则
10
BC=________.
例2. 在△ABC中,已知三边长
a?3
,
b?4
,<
br>c?
最大内角.
37
,求三角形的
变
式:在
?
ABC中,若
a
2
?b
2
?c
2
?bc
,求角A.
三、总结提升
※ 学习小结
1.
余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律,勾股定理
是余弦定理的特例;
2.
余弦定理的应用范围:
① 已知三边,求三角;
② 已知两边及它们的夹角,求第三边.
※ 知识拓展
在△ABC中,
若
a
2
?b<
br>2
?c
2
,则角
C
是直角;
若
a
2
?b
2
?c
2
,则角
C
是钝角;
若<
br>a
2
?b
2
?c
2
,则角
C
是锐角
.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测(时量:5分钟
满分:10分)计分:
1. 已知a=
3
,c=2,B=150°,则边b的长为(
).
A.
34
2
B.
34
C.
22
2
D.
22
2.
已知三角形的三边长分别为3、5、7,则最大角为( ).
A.
60
o
B.
75
o
C.
120
o
D.
150
o
3.
已知锐角三角形的边长分别为2、3、x,则x的取值范围是( ).
A.
5?x?13
B.
13
<x<5
C. 2<x<
5
D.
5
<x<5
uuuruuur
uuuruuuruuur
4. 在△ABC中,|
AB<
br>|=3,|
AC
|=2,
AB
与
AC
的夹角为60°
,则|
AB
uuur
-
AC
|=________.
5.
在△ABC中,已知三边a、b、c满足
b
2
?a
2
?c
2
?ab
,则∠C等于
.
课后作业
1.
在△ABC中,已知a=7,b=8,cosC=
13
,求最大角的余弦值.
14
uuuruuur
2.
在△ABC中,AB=5,BC=7,AC=8,求
AB?BC
的值.
§1.1
正弦定理和余弦定理(练习)
学习目标
1.
进一步熟悉正、余弦定理内容;
2.
掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两
解或一解或无解等情形.
学习过程
一、课前准备
复习1:在解三角形时
已知三边求角,用
定理;
已知两边和夹角,求第三边,用 定理;
已知两角和一边,用
定理.
复习2:在△ABC中,已知 A=
?
,a=25
6
2
,b=50
2
,解此三
角形.
二、新课导学
※ 学习探究
探究:在△ABC中,已知下列条件,解三角形.
①
A=
?
,a=25,b=50
6
② A=
?
6
③
A=
?
6
2
;
,a=
506
3
,b=50
2
;
,a=50,b=50
2
.
思考:解的个数情况为何会发生变化?
新知:用如下图示分析解的情况(A为锐角时). <
br>已知边a,b和
?
A
C
b
A
H
a
a
A
B
a=CH=bsinA
仅有一个解b
a
A
C
b
a
B1
H
a
B2
a?b
仅有一个解
A
H
B
C
b
C
a
CH=bsinA有两个解
试试:
1.
用图示分析(A为直角时)解的情况?
2.用图示分析(A为钝角时)解的情况?
※
典型例题
例1. 在
?
ABC中,已知
a?80
,
b?1
00
,
?A?45?
,试判断此三角形
的解的情况.
变
式:在
?
ABC中,若
a?1
,
c?
1
,
?C?40?
,则符合题意的b的值
2
有_____个.
例2. 在
?<
br>ABC中,
A?60?
,
b?1
,
c?2
,求
a?b?c
sinA?sinB?sinC
的值.
变式:在
?
ABC中,若
a?5
5
,
b?16
,且
1
absinC?220
2
3<
br>,求角C.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 已知三角形两边及其夹角(用余弦定理解决);
2.
已知三角形三边问题(用余弦定理解决);
3. 已知三角形两角和一边问题(用正弦定理解决);
4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题(既可用正弦定理,也
可用余弦定理,可能有一解
、两解和无解三种情况).
※ 知识拓展
在
?
ABC中,已知
a,b,A
,讨论三角形解的情况
:①当A为钝角
或直角时,必须
a?b
才能有且只有一解;否则无解;
②当A为锐角时,
如果
a
≥
b
,那么只有一解;
如果
a?b
,那么可以分下面三种情况来讨论:
(1)若
a?bsinA
,则有两解;
(2)若
a?bsinA
,则只有一解;
(3)若
a?bsinA
,则无解.
学习评价
※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:
1. 已知a、b为△A
BC的边,A、B分别是a、b的对角,且
sinA
?
2
,
sinB
3
则
a?b
的值=( ).
b
A.
1
B.
3
2
3
C.
4
3
D.
5
3
2.
已知在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,那么这个三角
形的最大角是(
).
A.135° B.90° C.120° D.150°
3.
如果将直角三角形三边增加同样的长度,则新三角形形状为
( ).
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形 D.由增加长度决定
4.
在△ABC中,sinA:sinB:sinC=4:5:6,则cosB= .
5. 已知△ABC中,
bcosC?ccosB
,试判断△ABC的形
状
.
课后作业
1. 在
?
ABC中,
a?xcm<
br>,
b?2cm
,
?B?45?
,如果利用正弦定理解三
角形有
两解,求x的取值范围.
1a
2
?b
2
?c
2
2. 在
?
ABC中,其三边分别为a、b、c,且满足
absinC?
,
24
求角C.
§1.2应用举例—①测量距离
学习目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距
离的实际问题
学习过程
一、课前准备
复习1:在△ABC中,∠C=60°,a+b=23?2
,c=2
2
,则∠A
为 .
复习2:在△ABC中,sinA=
sinB?sinC
,判断三角形的形状.
cosB?cosC
二、新课导学
※ 典型例题
例1. 如图,设A、B两点在河的两岸,
要测量两点之间的距离,
测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离
是5
5m,B两点的距离(精确到0.1m).
?
BAC=
51?
,
?
ACB=
75?
.
求A、
提问1:
?
ABC中,根据已知的边和对应角,运用哪个定理比较适
当?
提问2:运用该定理解题还需要那些边和角呢?
分析:这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之
间的距离的问题
题目条件告诉了边AB的对角,AC为已知边,
再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对
角,
应用正弦定理算出AB边.
新知1:基线
在测量上,根据测量需要适当确定的
叫基线.
例2.
如图,A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量
A、B两点间距离的方法.
分析:这是例1的变式题,研究的是两个 的点之间的距离
测量问题.
首先需要构造三角形,所以需要确定C、D两点.
根据正弦定理中已知三角形的任意两个内
角与一边既可求出另
两边的方法,分别求出AC和BC,
再利用余弦定理可以计算出AB的距离.
<
br>变式:若在河岸选取相距40米的C、D两点,测得
?
BCA=60°,
?ACD=30°,
?
CDB=45°,
?
BDA =60°.
练:两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在
观察站C的北偏东30°,
灯塔B在观察站C南偏东60°,则A、
B之间的距离为多少?
三、总结提升
※
学习小结
1. 解斜三角形应用题的一般步骤:
(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图
(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集
中在有关的三角形中,建立一个解斜三
角形的数学模型;
(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数
学模型的解
(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际
问题的解.
2.基线的选取:
测量过程中,要根据需要选取合适的基线长度,使测量具有较高
的精确度.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为(
).
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※
当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)
计分:
1.
水平地面上有一个球,现用如下方法测
P
量球的大小,用锐角
45?
的等腰直角三角
A C
板的斜边紧靠球面,P为切点,一条直角
边AC紧靠地面,并使三角板与地面垂直,如果测得PA=5
cm,
则球的半径等于( ).
A.5cm
B.
52cm
C.
5(2?1)cm
D.6cm
2. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台
风中心30千米内的地区
为危险区,城市B在A的正东40千米处,
B城市处于危险区内的时间为( ).
A.0.5小时 B.1小时
C.1.5小时 D.2小时
3. 在
?ABC
中,已知
(a
2
?b
2
)sin(A?B)?(a
2
?b
2
)sin(A?B)
,
则
?ABC
的形状( ).
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
4.在
?ABC
中,已知
a?4
,
b?6
,
C?120
o
,则
sinA
的值是 .
5. 一船以每小时15
km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B
在北偏东
60
o
,行驶4h后
,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东
15
o
,
这时船与灯塔的距离为
km.
课后作业
1. 隔河可以看到两个目标,但不能到达,在岸边选取相
距
3
km的
C、D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=3
0°,
∠ADB=45°,A、B、C、D在同一个平面,求两目标A、B间的
距离.
2. 某
船在海面A处测得灯塔C与A相距
103
海里,且在北偏东
30?
方向;测得
灯塔B与A相距
156
海里,且在北偏西
75?
方向.
船由
A
向正北方向航行到D处,测得灯塔B在南偏西
60?
方向.
这时灯塔
C与D相距多少海里?
§1.2应用举例—②测量高度
学习目标
1.
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部
不可到达的物体高度测量的问题;
2. 测量中的有关名称.
学习过程
一、课前准备
复习1:在
?
ABC中,
cosA
?
b
?
5
,则
?
ABC的形状是怎样?
cosBa3
复习2:在
?
ABC中,
a
、b、c分别为
?<
br>A、
?
B、
?
C的对边,若
a:b:c
=1:1:<
br>3
,求A:B:C的值.
二、新课导学
※ 学习探究
新知:坡度、仰角、俯角、方位角
方位角
---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角 ;
坡度---
沿余坡向上的方向与水平方向的夹角;
仰角与俯角---
视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时,称为仰
角;当视线在水平线之下时,称为俯角.
探究:AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点,
设计
一种测量建筑物高度AB的方法.
分析:选择基线HG,使H、G、B三点共线,
要求AB,先求AE
在
?ACE
中,可测得角
,关键求AC
在
?ACD
中,可测得角 ,线段
,又有
?
故可求得AC
※ 典型例题
例1. 如图,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角
?
=54
?40<
br>?
,
在塔底C处测得A处的俯角
?
=50
?1
?. 已知铁塔BC部分的高为27.3
m,求出山高CD(精确到1 m)
例2. 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时<
br>测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15
?
的方向上,行驶5km后
到达B处,
测得此山顶在东偏南25
?
的方向上,仰角为8
?
,求此山
的高度C
D.
问题1:
欲求出CD,思考在哪个三角形中研究比较
适合呢?
问题2:
在
?
BCD中,已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算
出
哪条边的长?
变式:某人在
山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标,
测得目标A在南偏西57°,俯角是60°,测
得目标B在南偏东
78°,俯角是45°,试求山高.
三、总结提升
※ 学习小结 <
br>利用正弦定理和余弦定理来解题时,要学会审题及根据题意画
方位图,要懂得从所给的背景资料中
进行加工、抽取主要因素,进
行适当的简化.
※ 知识拓展
在湖面上
高h处,测得云之仰角为
?
,湖中云之影的俯角为
?
,
则云高为h
g
sin(
?
?
?
)
.
sin(
?
?
?
)
学习评价
※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:
1.
在
?
ABC中,下列关系中一定成立的是( ).
A.
a?bsinA
B.
a?bsinA
C.
a?bsinA
D.
a?bsinA
2.
在
?
ABC中,AB=3,BC=
13
,AC=4,则边AC上的高为(
).
A.
32
2
B.
33
2
C.
3
D.
3
2
3
3. D、C、B
在地面同一直线上,DC=100米,从D、C两地测得A
的仰角分别为
30
o
和
45
o
,则A点离地面的高AB等于( )米.
A.100
B.
503
C.50
(3?1)
D.50
(3?1)
4. 在地面上
C
点,测得一塔塔顶
A
和塔基
B
的仰角分别是
60?
和
30?
,
已知塔基
B
高出地面
20m
,则塔身
AB
的高为____
_____
m
.
5. 在
?
ABC中,
b?22
,
a?2
,且三角形有两解,则A的取值范围
是
.
课后作业
1. 为测某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20m的楼的
楼顶处测
得塔顶A的仰角为30°,测得塔基B的俯角为45°,则塔AB的
高度为多少m?
2. 在平地上有A、B两点,A在山的正东,B在山的东南,且在A
的南25°西300米的
地方,在A侧山顶的仰角是30°,求山高.
§1.2应用举例—③测量角度
学习目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角
度的实际问题.
学习过程
一、课前准备
复习1:在
△ABC
中,已知
c?2
,
C?
?
,且
1
absinC?3
,求<
br>a,b
.
3
2
复习2:设
?ABC
的内角A
,
B
,
C的对边分别为a,b,c,且A=
60
o
,
c?3
,求
a
的值.
c
二、新课导学
※ 典型例题
例1.
如图,一艘海轮从A出发,沿北偏东75
?
的方向航行67.5 n
mile
后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32
?
的方向航行54.0 n m
ile
后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎
样的方向航行,需要航
行多少距离?(角度精确到0.1
?
,距离精确到
0.01n mile)
分析:
首先由三角形的内角和定理求出角
?
ABC,
然后用余弦定理算出AC边,
再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角
?
CAB.
例2. 某巡逻艇在A处发现北偏东45
?
相距9海里的C处有一艘走
私船,正沿南偏东75
?
的方向以10海里小时的速度向
我海岸行驶,
巡逻艇立即以14海里小时的速度沿着直线方向追去,问巡逻艇应
该沿什么方向去
追?需要多少时间才追赶上该走私船?
※ 动手试试
练1. 甲、乙两船同时从B点出发,甲船以每小时10(
3
+1)km的
速度向正东航行,乙船以每小时20km的速度沿南60°东的方向航
行,1小时后甲、乙两船分别到达A、C两点,求A、C两点的距
离,以及在A点观察C点的方向角.
练2. 某渔
轮在A处测得在北45°的C处有一鱼群,离渔轮9海里,
并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时1
0海里的速度游去,渔
轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕,问渔轮应沿什
么方向
,需几小时才能追上鱼群?
三、总结提升
※ 学习小结
1.
已知量与未知量全部集中在一个三角形中,依次利用正弦定理
或余弦定理解之.;
2.已知量
与未知量涉及两个或几个三角形,这时需要选择条件足
够的三角形优先研究,再逐步在其余的三角形中求
出问题的解.
※ 知识拓展
已知
?
ABC的三边长均为有理
数,A=
3
?
,B=
2
?
,则
cos5
?
是有理数,
还是无理数?
因为
C?
?
?5
?
,由余弦定理知
a
2
?b
2
?c
2
cosC?
2ab
为有理数, 所以
cos5
?
??cos(
?
?5
?
)??
cosC
为有理数.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为(
).
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※
当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:
1. 从A处望B处的仰角为
?
,
从B处望A处的俯角为
?
,则
?
,
?
的关系为(
).
A.
?
?
?
B.
?
=
?
C.
?
+
?
=
90
o
D.
?
+
?
=
180
o
2. 已知两线
段
a?2
,
b?22
,若以
a
、
b
为边作
三角形,则边
a
所对
的角A的取值范围是(
).
A.
(
?
,
?
)
B.
(0,
?
]
63
2
6
C.
(0,
?
)
D.
(0,
?
]
4
3. 关于
x
的方程
sinAgx
2
?2sinBgx?sinC?0
有相等实根,且A、B、C
是
?
的三个内角,则三角形的三边
a、b、c
满足( ).
A.
b?ac
B.
a?bc
C.
c?ab
D.
b
2
?ac
4.
△ABC中,已知a:b:c=(
3
+1) :(
3
-1):
10
,则此三角形中最大
角的度数为 .
5.
在三角形中,已知:A,a,b给出下列说法:
(1)若A≥90°,且a≤b,则此三角形不存在
(2)若A≥90°,则此三角形最多有一解
(3)若A<90°,且a=bsinA,则此三角形为直角三角形,且B=90°
(4)当A<90°,a(5)当A<90°,且bsinA其中正确说法的序号是
.
课后作业
1. 我舰在敌岛A南偏西
50?
相距12海
里的B处,发现敌舰正由岛
沿北偏西
10?
的方向以10海里小时的速度航行.问我舰
需以多大速
度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰?
2.
§1.2应用举例—④解三角形
学习目标
1.
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三
角形的问题;
2.
掌握三角形的面积公式的简单推导和应用;
3. 能证明三角形中的简单的恒等式.
学习过程
一、课前准备
复习1:在
?
ABC中
(1)若
a?1,b?3,B?120?
,则
A
等于
.
(2)若
a?33
,
b?2
,
C?150?
,
则
c?
_____.
复习2:
在
?ABC
中,
a?33
,
b?2
,
C?150?
,则高BD=
,三角形
面积= .
二、新课导学
※ 学习探究
探究:在
?
ABC中,边BC上的高分别记为h
a
,那么它如何用已知
边和角表示?
h
a
=bsinC=csinB
根据以前学过的三角形面积公式S=
1
ah,
2
代入可以推导出下面的三角形面积公式,S=
1
absinC,
2
或S= ,
同理S= .
新知:三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之
积的一半.
※ 典型例题
例1. 在
?
ABC中,根据下列条件
,求三角形的面积S(精确到
0.1cm
2
):
(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5
?
;
(2)已知B=62.7
?
,C=65.8
?
,b=3.16cm;
(3)已知三边的长分别
为
a=41.4cm,b=27.3cm,
c=38.7cm.
变式:在某市进行城市环境建设
中,要把一个三角形的区域改造成
室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,<
br>88m,127m,这个区域的面积是多少?(精确到0.1cm
2
)
例2. 在
?
ABC中,求证:
a
2
?b2
sin
2
A?sin
2
B
(1)
2
?
;
csin
2
C
(2)
a
2
+
b
2
+
c
2
=2(bccosA+cacosB+abc
osC).
小结:证明三角形中恒等式方法:
应用正弦定理或余弦定理,“边”
化“角”或“角”化“边”.
※ 动手试试
练1. 在
?
ABC中,已知
a?28c
m
,
c?33cm
,
B?45
o
,则
?
A
BC的面积
是 .
练2.
在
?
ABC中,求证:
c(acosB?bcosA)?a
2
?b
2
.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 三角形面积公式:
S=
1
absinC= =
.
2
2.
证明三角形中的简单的恒等式方法:应用正弦定理或余弦定理,
“边”化“角”或“角”化“边”.
※ 知识拓展
三角形面积
S?
2
p(p?a)(p?b)(p?c)
,
这里
p?
1
(a?b?c)
,这就是著名的海伦公式.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好
B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:
1. 在
?ABC
中,
a?2,b?3,C?60
?
,则<
br>S
?ABC
?
( ).
A.
23
B.
3
2
C.
3
D.
3
2
5
2. 三角形两边之差为2,夹角的正弦值为
3
,面积为
9
,那么这个
2
三角形的两边长分别是( ).
A. 3和5
B. 4和6 C. 6和8 D. 5和7
3. 在
?ABC
中,若
2cosB?sinA?sinC
,则
?ABC
一定是( )三角形.
A. 等腰 B. 直角 C. 等边 D. 等腰直角
4.
?ABC
三边长分别为
3,4,6
,它的较大锐角的平分线分三角形的面
积比是
.
5. 已知三角形的三边的长分别为
a?54cm
,则
?
ABC
b?61cm
,
c?71cm
,
的面积是 .
课后作业
2. 已知在
?
ABC中,
?
B
=30
?
,b=6,c=6
3
,求a及
?
ABC的面积S.
2. 在△ABC中,若
sinA?sinB?sinC?(cosA?cosB)
,试判断△ABC的形状.
§1.2应用举例(练习)
学习目标
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量
的实际问题;
2.三角形的面积及有关恒等式.
学习过程
一、课前准备
复习1:解三角形应用题的关键:将实际问题转化为解三角形问题
来解决.
复习2:基本解题思路是:
①分析此题属于哪种类型(距离、高度、角度);
②依题意画出示意图,把已知量和未知量标在图中;
③确定用哪个定理转化,哪个定理求解;
④进行作答,并注意近似计算的要求.
二、新课导学
※
典型例题
例1. 某观测站C在目标A的南偏西
25
o
方向,从A出发有一
条南
偏东
35
o
走向的公路,在C处测得与C相距31
km
的公路上有一人正
沿着此公路向A走去,走20
km
到达D,此时测得CD距离为21
km
,
求此人在D处距A还有多远?
例2. 在某点B处测得
建筑物AE的顶端A的仰角为
?
,沿BE方向
前进30m,至点C处测得顶端A的仰角
为2
?
,再继续前进10
3
m
至D点,测得顶端A的仰角为4
?
,求
?
的大小和建筑物AE的高.
例3. 如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ABC=60°,
AC=7,AD
=6,S
△
ADC
=
15
3
2
,求AB的长.
D
A
2
1
60
0
B C
※ 动手试试
练1. 为测某塔AB的高度,在
一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶
处测得塔顶A的仰角为30°,测得塔基B的俯角为45°,则塔<
br>AB的高度为多少m?
练2.
两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在
观察站C的北偏东30°,灯塔B在观察
站C南偏东60°,则A、
B之间的距离为多少?
三、总结提升
※ 学习小结
1. 解三角形应用题的基本思路,方法;
2.应用举例中测量问题的强化.
※ 知识拓展
秦九韶“三斜求积”公式:
2
1
?
22
?
c2
?a
2
?b
2
?
?
?
ca?
?
S?
?
?
4
?
2
??
?
??
学习评价
※
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C.
一般 D. 较差
※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:
1. 某人向
正东方向走
xkm
后,向右转
150
o
,然后朝新方向走
3
km
,
结果他离出发点恰好
3km
,则
x
等于(
).
A.
3
B.
23
C.
3
或
23
D.3
2.在200米的山上顶,测得山下
一塔顶与塔底的俯角分别为
30
o
,60
o
,
则塔高为(
)米.
A.
200
B.
200
3
3
3
C.
400
D.
400
3
3
3
3. 在
?
ABC中
,
?A?60?
,
AC?16
,面积为
220
3
,那么
BC
的长度为
( ).
A.
25
B.
51
C.
493
D.
49
4. 从200米高的山顶A处测得地面上某两个景点B、C的俯角分别是30?和45?,且∠BAC=45?,则这两个景点B、C之间的距
离
.
5. 一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20
里处,随后货轮按北
偏西30°的方向航行,半小时后,又测得灯
塔在货轮的北偏东
45?
,则货轮的速度
.
课后作业
1. 3.5米长的棒斜靠在石堤旁,棒的一端在离堤足1.2
米地面上,
另一端在沿堤上2.8米的地方,求堤对地面的倾斜角.
2. 已知a
,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=
(
3,?1
),n=(c
osA,sinA). 若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC,
求角B.
第一章 解三角形(复习)
学习目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距
离的实际问题.
学习过程
一、课前准备
复习1: 正弦定理和余弦定理
(1)用正弦定理:
①知两角及一边解三角形;
②知两边及其中一边所对的角解三角形(要讨论解的个数).
(2)用余弦定理:
①知三边求三角;
②知道两边及这两边的夹角解三角形.
复习2:应用举例
① 距离问题,②高度问题,
③ 角度问题,④计算问题.
练:有一长为2公里的斜坡,它的倾斜角为30°,现要将倾斜角
改为45°,且高度不变.
则斜坡长变为___ .
二、新课导学
※ 典型例题
例1. 在
?ABC
中<
br>tan(A?B)?1
,且最长边为1,
tanA?tanB
,
tan
B?
1
,
2
求角C的大小及△ABC最短边的长.
例2.
如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里
的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前
往救援,同时把消
息告知在甲船的南偏西30
o
,相距10海里C处的乙船,试问乙船
应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1
o
)?
北
B
A 20
?
10
?
C
例3.
在
?
ABC中,设
tanA
?
2c?b
,
求A的值.
tanBb
※ 动手试试
练1. 如图,某海轮以60 n
mileh 的速度航行,在A点测得海面上
油井P在南偏东60°,向北航行40
min后到达B点,测得油井P
在南偏东30°,海轮改为北偏东60°的航向再行驶80
min到达C
点,求P、C间的距离.
北
练2. 在△ABC中,
b=10,A=30°,问a取何值时,此三角形有
C
B
60°
30°
A
60°
P
一个解?两个解?无解?
三、总结提升
※ 学习小结
1.
应用正、余弦定理解三角形;
2. 利用正、余弦定理解决实际问题(测量距离、高度、角度等);
3.在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. (边角转化).
※
知识拓展
设在
?ABC
中,已知三边
a
,
b
,<
br>c
,那么用已知边表示外接圆半
径R的公式是
abc
R?
p(p?a)(p?b)(p?c)
学习评价
※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测(时量:5分钟
满分:10分)计分:
1.
已知△ABC中,AB=6,∠A=30°,∠B=
120?
,则△ABC的
面积为(
).
A.9 B.18 C.9 D.18
3
2.在△ABC
中,若
c
2
?a
2
?b
2
?ab
,则∠C
=( ).
A. 60° B. 90° C.150° D.120°
3. 在
?
ABC中,
a?80
,
b?100
,A
=30°,则B的解的个数是( ).
A.0个 B.1个 C.2个
D.不确定的
4. 在△ABC中,
a?32
,
b?23
,
cosC?
1
,则
S
△ABC
?
_______
3
5. 在
?
ABC中,
a
、b、c分别为
?A、
?
B、
?
C的对边,若
a
2
?b
2
?c
2
?2bcsinA
,则A=___ ____.
课后作业
1. 已知
A
、
B
、
C
为
?ABC
的三内角,且其对边分别为
a
、
b
、
c<
br>,若
cosBcosC?sinBsinC?
1
.
2
(1)求
A
;
(2)若
a?23,b?c?4
,求
?ABC
的面积.
8bc
a
=3,2. 在△ABC中,B
、
C的对边,,
a,b,c
分别为角A
、
a
2
?c
2
?b
2
?
5
△ABC的面积为6,
(1)求角A的正弦值;
(2)求边b、c.
§2.1数列的概念与简单表示法(1)
学习目标
1. 理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;
2.
了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;
3.
对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的个通项公式.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
28
~ P
30
,找出疑惑之处)
复习1:函数,当x依次取1,2,3,…时,其函数值有什么
特点?
复习2:函数y=7x+9,当x依次取1,2,3,…时,其函数值有什
么特点?
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务:数列的概念
⒈ 数列的定义:
的一列数叫做数列.
⒉ 数列的项:数列中的
都叫做这个数列的项.
反思:
⑴
如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们是相同
的数列?
⑵
同一个数在数列中可以重复出现吗?
3. 数列的一般形式:
a
1
,a2
,a
3
,L,a
n
,L
,或简记为
?
a
n
?
,其中
a
n
是数列
的第 项.
4. 数列的通项公式:如果数列
?
a
n
?
的第
n项与n之间的关系可以
用 来表示,那么
就叫做这个数列
的通项公式.
反思:
⑴所有数列都能写出其通项公式?
⑵一个数列的通项公式是唯一?
⑶数列与函数有关系吗?如果有关,是什么关系?
5.数列的分类:
1)根据数列项数的多少分 数列和 数列;
2)根据数列中项的大小变化情况分为 数列,
数列,
数列和 数列.
※ 典型例题
例1写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
⑴
1,-
1
,
1
,-
1
;
2
3
4
⑵ 1, 0, 1, 0.
变式:写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各
数:
⑴
1
,
4
,
9
,
16
;
251017
⑵ 1, -1, 1, -1;
小结:要由数列的若干
项写出数列的一个通项公式,只需观察分析
数列中的项的构成规律,将项表示为项数的函数关系. <
br>例2已知数列
an
2
?b
7
2,,2,…的通项公式为
a
n
?
,求这个数列的
cn
4
第四项和第五项. 变式:已知数列
5
,
11
,
17
,
23
,
29
,…,则5
5
是它的第 项.
小结:已知数列的通项公式,只要将数列中的项代入通项公式,就
可以求出项数和项.
※ 动手试试
练1.
写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各
数:
⑴ 1,
1
,
1
,
35
1
7
;
⑵
1,
2
,
3
,2 .
练2.
写出数列
{n
2
?n}
的第20项,第n+1项.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的一个通项公式;
2. 会用通项公式写出数列的任意一项.
※ 知识拓展
数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数.
思考
:设
f(n)
=1+
1
+
1
+…+
2
3<
br>1
(n
?
N*
)那么
f(n?1)?f(n)
等3n?1
于( )
A.
1
3n?2
B.
11
?
3n3n?1
C.
11
?
3n?13n?2
D.
111
??
3n3n?13n?2
学习评价
※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:
1.
下列说法正确的是( ).
A. 数列中不能重复出现同一个数
B.
1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列
C. 1,1,1,1…不是数列
D.
两个数列的每一项相同,则数列相同
2.
下列四个数中,哪个是数列
{n(n?1)}
中的一项( ).
A. 380
B. 392 C. 321 D. 232
3. 在横线上填上适当的数:
3,8,15, ,35,48.
4.数列
{(?1)
5.
课后作业
1. 写出数列{
2
n
}的前5项.
2. (1)写出数列
}
的第4项是 .
1写出数列
?
1
,
1
,,
1
的一个通项公式
?
2?12?22?32?4
n(n?1)
2
.
2
2
?13
2
?1
,
23
,
4
2
?15
2
?1
,
45
的一个通项公式
为 .
(2)已知数列
3
,
7
,
11
,
15
,
19
,…
那么3
的第 项.
§2.1数列的概念与简单表示法(2)
11
是这个数列
学习目标
1. 了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;
2.
会由递推公式写出数列的前几项,并掌握求简单数列的通项公
式的方法.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
31
~ P
34
,找出疑惑之处)
复习1:什么是数列?什么是数列的通项公式?
复习2:数列如何分类?
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务:数列的表示方法
问题:观察钢管堆放示意图,寻找每层的钢管数
a
n
与层数n之间有何关系?
1. 通项公式法:
试试:上图中每层的钢管数
a
n
与层数n之间关系的一个通项公式
是
.
2. 图象法:
数列的图形是
,因为横坐标为 数,所
以这些点都在
y
轴的 侧,而点的个数取决于数列的
.从图
象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.
3. 递推公式法:
递推公式:如果已知数列
?
a
n
?
的第1项(或前几项),
且任一项
a
n
与
它的前一项
a
n?1
(或前n项)
间的关系可以用一个公式来表示,那
么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
试
试:上图中相邻两层的钢管数
a
n
与
a
n?1
之间关系的一
个递推公式
是 .
4. 列表法:
试试:上图中每层的钢管数
a
n
与层数n之间关系的用列表法如何表
示?
反思:所有数列都能有四种表示方法吗?
※ 典型例题
例1
a
1
?1
?
设数列
?
a
n
?
满足
?
写出这个数列的前五项.
1
?
a?1?
(n?1).
?
n
a
n?1
?
变式:
已知
a
1
?2
,
a
n?1
?2a
n
,写出前5项,并猜想通项公式
a
n
.
小结:由递推公式求数列的项,只要让n依次取不同的值代入递推
公式就可求出数列的项.
例2 已知数列
?
a
n
?满足
a
1
?0
,
a
n?1
?a
n?2n
, 那么
a
2007
?
( ).
A.
2003×2004 B. 2004×2005 C. 2007×2006 D.
2004
2
变式:已知数列
?
a
n
?<
br>满足
a
1
?0
,
a
n?1
?a
n<
br>?2n
,求
a
n
.
小结:由递推公式求数列的通项公式,适当的变形与化归及归纳猜
想都是常用方法.
※ 动手试试
练1. 已知数列
?
a
n
?
满足<
br>a
1
?1
,
a
2
?
2
,且
a
n?1
ga
n
?a
n
ga
n?1
?2a
n?1
ga
n?1
?0
3
(
n?2
),
求
a
3
,a
4
.
练2.(2005年
湖南)已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?0<
br>,
a
n?1
?
则
a
20
?
(
) .A.0 B.-
3
a
n
?3
3a
n
?1
(
n?N
*
),
3
2
C.
3
D.
练3. 在数列
?
a
n
?
中,
a
1
?2
,
a
17
?66
,通项公式是项数n的一次函数.
⑴ 求数列
?
a
n
?
的通项公式;
⑵
88是否是数列
?
a
n
?
中的项.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 数列的表示方法;
2. 数列的递推公式.
※ 知识拓展
n刀最多能将比萨饼切成几块?
意大利一家比萨饼店的员工乔治喜欢将比萨饼切成形
状各异的小块,以便出售. 他发现一刀能将饼切成两块,两刀最多
能切成4块,而三刀最多能
切成7块(如图).请你帮他算算看,
四刀最多能将饼切成多少块?n刀呢?
解析:将比萨饼抽象成一个圆,每一刀的切痕看成圆的一条弦.
因为任意两条弦最多只能有一
个交点,所以第n刀最多与前n-1
刀的切痕都各有一个不同的交点,因此第n刀的切痕最多被前n-<
br>1刀分成n段,而每一段则将相应的一块饼分成两块.
也就是说n
刀切下去最多能使饼增加n块. 记刀数为1时,饼的块数最多为
a
1,……,刀数为n时,饼的块数最多为
a
n
,所以
a
n
=
a
n?1
?n
.
由此可求得
a
n
=1+
n(n?1)
.
2
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※
当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:
1. 已知数列
a
n?1
?a
n
?3?0
,则数列
?
a
n
?
是(
).
A. 递增数列 B. 递减数列
C. 摆动数列 D.
常数列
2. 数列
?
a
n
?
中,
a
n<
br>??2n
2
?9n?3
,则此数列最大项的值是( ).
A.
3 B. 13 C. 13
1
D. 12
8
3. 数
列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
,a
n?1
?a
n
?2
(n≥1),则该数列的通项
a<
br>n
?
( ).
A.
n(n?1)
B.
n(n?1)
C.
4.
n(n?1)
2
已知数列
?
a
n
?满足
a
1
?
1
,
a
n
?(?1)n
g2a
n?1
(n≥2),则
a
5
?
3
n(n?1)
2
D.
.
5. 已知数列
?
a
n
?
满足<
br>a
1
?
1
,
a
n?1
?1?
21
a
n
(n≥2),
则
a
6
?
.
课后作业
1. 数列
?
a
n
?
中,
a
1
=0,
a
n?1
=
a
n
+(2n-1) (n∈N),写出前五项,并
归纳出通项公式.
2. 数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
,
a
n?1
?
2a
n
(n?N)
,写出前5项,并猜想通项公
a
n
?2
式
a
n
.
§2.2等差数列(1)
学习目标
1. 理解等差数列的概念,了
解公差的概念,明确一个数列是等差
数列的限定条件,能根据定义判断一个数列是等差数列;
2. 探索并掌握等差数列的通项公式;
3.
正确认识使用等差数列的各种表示法,能灵活运用通项公式求
等差数列的首项、公差、项数、指定的项.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
36
~
P
39
,找出疑惑之处)
复习1:什么是数列?
复习2:数列有几种表示方法?分别是哪几种方法?
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一:等差数列的概念
问题1:请同学们仔细观察,看看以下四个数列有什么共同特征?
①
0,5,10,15,20,25,…
② 48,53,58,63
③
18,15.5,13,10.5,8,5.5
④
10072,10144,10216,10288,10366
新知:
1.等差数列:一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它 一
项的
等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数
就叫做等差数列的 ,
常用字母 表示.
2.等差中项:由三个数a,A,
b组成的等差数列,
这时数 叫做数 和 的等差中项,用等式表示为A=
探究任务二:等差数列的通项公式
问题2:数列①、②、③、④的通项公式存在吗?如果存在,分别
是什么?
若一等差
数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
,公差是d,
则据其定义可得:
a
2
?a
1
?
,即:
a
2
?a
1
?
a
3
?a
2
?
,
即:
a
3
?a
2
?d?a
1
?
a
4
?a
3
?
,即:
a
4
?a
3
?d?a
1
?
……
由此归纳等差数列的通项公式可得:
a
n
?
∴已知一数列为等差数列,则只要知其首项
a
1
和公差d,便可求
得
其通项
a
n
.
※ 典型例题
例1
⑴求等差数列8,5,2…的第20项;
⑵
-401是不是等差数列-5,-9,-13…的项?如果是,是第几项?
变式:(1)求等差数列3,7,11,……的第10项.
(2)100是不是等差数列2,
9,16,……的项?如果是,是第几
项?如果不是,说明理由.
小结:要求出数
列中的项,关键是求出通项公式;要想判断一数是
否为某一数列的其中一项,则关键是要看是否存在一正
整数n值,
使得
a
n
等于这一数.
例2 已知数列{
a<
br>n
}的通项公式
a
n
?pn?q
,其中
p
、
q
是常数,那么
这个数列是否一定是等差数列?若是,首项与公差分别是多少?
变式:已知数列的通项公式为
a
n<
br>?6n?1
,问这个数列是否一定是等
差数列?若是,首项与公差分别是什么?
小结:要判定
?
a
n
?
是不是等差数
列,只要看
a
n
?a
n?1
(n≥2)是不是
一个与n无关
的常数.
※ 动手试试
练1.
等差数列1,-3,-7,-11,…,求它的通项公式和第20
项.
练2.在
等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
5
?10,
a
12
?31
, 求数列的首项与公差.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 等差数列定义:
a
n
?a
n?1
?d
(n≥2);
2.
等差数列通项公式:
a
n
?
a
1
?(n?1)d
(n≥1).
※ 知识拓展
1. 等差数列通项公式为
a
n<
br>?a
1
?(n?1)d
或
a
n
?a
m
?(n?m)d
. 分析等差数
列的通项公式,可知其为一次函数,图象上表现为直线
y?a
1
?(x?1)d
上的一些间隔均匀的孤立点.
2.
若三个数成等差数列,且已知和时,可设这三个数为
a?d,a,a?d
.
若四个数成等差数列,可设这四个数为
a?3d,a?d,a?d,a?3d
.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:
1.
等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是( ).
A. 92 B. 47
C. 46 D. 45
2. 数列
?
a
n
?
的通项公式
a
n
?2n?5
,则此数列是( ).
A.公差为2的等差数列 B.公差为5的等差数列
C.首项为2的等差数列
D.公差为n的等差数列
3. 等差数列的第1项是7,第7项是-1,则它的第5项是(
).
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
4.
在△ABC中,三个内角A,B,C成等差数列,则∠B= .
5.
等差数列的相邻4项是a+1,a+3,b,a+b,那么a= ,b
= .
课后作业
1. 在等差数列
?
a
n
?
中,
⑴已知
a
1
?2
,d=3,n=10,求
a
n
⑵已知
a
1
?3
,
a
n
?21,d=2,求n;
⑶已知
a
1
?12
,
a
6
?27
,求d;
⑷已知d=-
1
,
a
7
?8
,求
a
1
.
3
2. 一个木制梯形架的上下底边分别
为33cm,75cm,把梯形的两腰
各6等分,用平行木条连接各分点,构成梯形架的各级,试计算梯
形架中间各级的宽度.
§2.2等差数列(2)
学习目标
1.
进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式;
2.
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
39
~ P
40
,找出疑惑之处)
复习1:什么叫等差数列?
复习2:等差数列的通项公式是什么?
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务:等差数列的性质
1.
在等差数列
?
a
n
?
中,
d
为公差,
a
m
与
a
n
有何关系?
2. 在等差数列
?
a
n
?
中,
d
为公差,若
m,n,p,q?N
?
且
m?n?p?q
,则
a
m
,
a
n
,
a
p
,
a
q
有何关系?
※
典型例题
例1 在等差数列
?
a
n
?
中,已知
a
5
?10
,
a
12
?31
,求首项
a1
与公差
d
.
变式:在等差数列
?
a
n
?
中, 若
a
5
?6
,
a
8
?15
,求公差d及
a
14<
br>.
小结:在等差数列
{a
n
}中,公差d可以由数列中任意两项
a
m
与
a
n
通
过公式
a
m
?a
n
m?n
?d
求出.
例2 在等差数列
?
a
n
?
中
,
a
2
?a
3
?a
10
?a
11
?36
,求
a
5
?a
8
和
a
6
?
a
7
.
变式:在等差数列
?
a<
br>n
?
中,已知
a
2
?a
3
?a
4<
br>?a
5
?34
,且
a
2
ga
5
?5
2
,求公差
d.
小结:在等差数列中,
若m+n=p+q,则
a
m
?a
n
?a
p
?aq
,可以使得计
算简化.
※ 动手试试
练1. 在等差数列
?
a
n
?
中,
a
1
?a
4
?a
7
?39
,
a
2
?a
5
?a
8<
br>?33
,求
a
3
?a
6
?a
9
的<
br>值.
练2.
已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100
项,问它们有多少个相同项?
三、总结提升
※ 学习小结
1. 在等差数列中
,若m+n=p+q,则
a
m
?a
n
?a
p
?a<
br>q
注意:
a
m
?a
n
?a
m?n
,左右两边项数一定要相同才能用上述性质.
2.
在等差数列中,公差
d?
a
m
?a
n
.
m?n
※ 知识拓展
判别一个数列是否等差数列的三种方法,即:
(1)
a
n?1
?a
n
?d
;
(2)
a
n
?pn?q(p?0)
;
(3)
S
n
?an
2
?bn
.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好
B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:
1. 一个等差数列中,
a
15
?33
,
a
25<
br>?66
,则
a
35
?
( ).
A.
99 B. 49.5 C. 48 D. 49
2. 等差数列
?<
br>a
n
?
中
a
7
?a
9
?16
,
a
4
?1
,则
a
12
的值为( ).
A . 15 B. 30 C. 31 D. 64
3. 等
差数列
?
a
n
?
中,
a
3
,
a<
br>10
是方程
x
2
?3x?5?0
,则
a
5<
br>?a
6
=( ).
A. 3 B. 5 C. -3
D. -5
4. 等差数列
?
a
n
?
中,
a2
??5
,
a
6
?11
,则公差d=
.
5. 若48,a,b,c,-12是等差数列中连续五项,则a= ,
b=
,c= .
课后作业
1. 若
a
1
?a
2
?L?a
5
?30
,
a
6
?a
7
?L?a
10
?80
,
求
a
11
?a
12
?L?a
15
.
2.
成等差数列的三个数和为9,三数的平方和为35,求这三个数.
§2.3
等差数列的前n项和(1)
学习目标
1. 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路;
2. 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关
的问题.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
42
~
P
44
,找出疑惑之处)
复习1:什么是等差数列?等差数列的通项公式是什么?
复习2:等差数列有哪些性质?
二、新课导学
※ 学习探究
探究:等差数列的前n项和公式
问题:
1. 计算1+2+…+100=?
2. 如何求1+2+…+n=?
新知:
数列
{a
n
}
的前n项的和:
一般地,称
为数列
{a
n
}
的前n项的和,用
S
n
表示,即
S
n
?
反思:
① 如何求首项为
a
1
,第n项为
a
n
的等差数列
{a
n
}
的前n项的和?
② 如何求首项为
a
1
,公差为d的等差数列{a
n
}
的前n项的和?
试试:根据下列各题中的条件,求
相应的等差数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
.
⑴
a
1
??4,a
8
??18,n?8;
⑵
a
1
?14.5,d?0.7,n?15
.
小结:
1. 用
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
,必须具备三个条件: .
2
2. 用
S
n?na
1
?
n(n?1)d
,必须已知三个条件: .
2
※ 典型例题
例1
2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校
通”工程的统治》. 某市据此提出了
实施“校校通”工程的总目标:
从2001年起用10年时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.<
br>据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.
为了
保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万
元.
那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的
总投入是多少?
小结:解实际问题的注意:
① 从问题中提取有用的信息,构建等差数列模型;
②
写这个等差数列的首项和公差,并根据首项和公差选择前n项
和公式进行求解.
例2 已知一个等差数列
{a
n
}
前10项的和是310,前20项
的和是1220.
由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?
变式:等差数列
{a<
br>n
}
中,已知
a
10
?30
,
a
2
0
?50
,
S
n
?242
,求n.
小结:等差数列前n项和公式就是一个关于
a
n、a
1
、n或者a
1
、n、d
的方
程,已知几个量,通
过解方程,得出其余的未知量.
※ 动手试试
练1.一个凸多边形内角成等差数列,其中
最小的内角为120°,公
差为5°,那么这个多边形的边数n为( ).
A. 12
B. 16 C. 9 D. 16或9
三、总结提升
※ 学习小结
1. 等差数列前n项和公式的两种形式;
2. 两个公式适用条件,并能灵活运用;
3. 等差数列中的“知三求二”问题,即:已知等差数列之
a
1
,a
n
,q,n,S
n
五个量中任意的三个,列方程组可以求出其余的两个.
※ 知识拓展
1. 若数列
{a
n
}
的前n项的和
S
n
?An
2
?Bn
(A
?0
,A、B是与n无
关的
常数),则数列
{a
n
}
是等差数列.
2. 已知数
列
?
a
n
?
,
是公差为d的等差数列,S
n
是其前n项和,设
k?N
?
,S
k
,S
2k
?S
k
,S
3k
?S
2k
也成等差数列,公差为
k2
gd
.
学习评价
※
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C.
一般 D. 较差
※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:
1. 在等差
数列
{a
n
}
中,
S
10
?120
,那么
a
1
?a
10
?
( ).
A. 12
B. 24 C. 36 D. 48
2.
在50和350之间,所有末位数字是1的整数之和是( ).
A.5880 B.5684
C.4877 D.4566
3.
已知等差数列的前4项和为21,末4项和为67,前n项和为286,
则项数n为( )
A. 24 B. 26 C. 27 D. 28
4. 在等差数列
{a
n
}
中,
a
1
?2
,
d??
1
,则
S
8
?
.
5. 在等差数列
{a
n
}
中,
a
1
?25
,
a
5?33
,则
S
6
?
.
课后作业
1. 数列{
a
n
}是等差数列,公差为3,
a
n
=11,前
n
和
S
n
=14,求
n
和
a
3
.
2.
在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2? 这些数的和是
多少?
§2.3 等差数列的前
n
项和(2)
学习目标
1.
进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式;
2.
了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题;
3.
会利用等差数列通项公式与前
n项和的公式研究
S
n
的最大(小)
值.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
45
~
P
46
,找出疑惑之处)
复习1:等差数列{
a
n
}中,
a
4
=-15, 公差d=3,求
S
5
.
复习2:等差数列{
a
n
}中,已知
a
3
?1
,
a
5
?11
,求和
S
8
.
二、新课导学
※ 学习探究
问题:如果一个数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
?pn
2
?qn?r
,其中p、q、r
为常数,且
p?0
,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的
首项与公差分别是多少?
※ 典型例题
例1已知数列
{an
}
的前n项为
S
n
?n
2
?
1n
,求这个数列的通项公式.
这
2
个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?
变式:已知数列
{a
n
}
的前n项
为
S
n
?
1
n
2
?
2
n?3,求这个数列的通项
43
公式.
小结:数列通项
a
n
和前n项和
S
n
关系为 ?
S
1
(n?1)
,由此可由
S
n
求
a
n
.
a
n
=
?
S?S(n?2)
n?
1
?
n
24
2 已知等差数列
5,4,3,....
的前n
项和为
S
n
,求使得
S
n
最大的
77
例<
br>序号n的值.
变式:等差数列{
a
n
}中,
a
4
=-15,
公差d=3,
求数列{
a
n
}的
前n项和
S
n
的最小值.
小结:等差数列前项和的最大(小)值的求法.
(1)利用
a
n
: 当
a
n
>0,d<0,前n项
和有最大值,可由
a
n
≥0,且
a
n?1
≤0,求得n的值
;当
a
n
<0,d>0,前n项和有最小值,可由
a
n
≤0
,
且
a
n?1
≥0,求得n的值
(2)利用
S
n
:由
S
n
?
d
n
2
?(a
1?
d
)n
,利用二次函数配方法求得最大
22
(小)值时n的值
.
※ 动手试试
练1. 已知
S
n
?3n
2
?2n
,求数列的通项
a
n
.
练2. 有两个等差数列2,6,10,…,190及2,8,14,…200,
由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,求
这个新数列的各项之和.
三、总结提升
※ 学习小结
1.
数列通项
a
n
和前n项和
S
n
关系;
2.
等差数列前项和最大(小)值的两种求法.
※ 知识拓展
等差数列奇数项与偶数项的性质如下:
1°若项数为偶数2n,则
S
偶<
br>-S
奇
=nd
;
S
奇
=
a
a
n
偶
S
(n?2)
;
n?1
2°若项数为奇数2n+1,则
S
奇
-S
偶
=a
n?1
;
S
偶
?na
n?1
;
S<
br>奇
=(n?1)a
n?1
;
S
偶
=
n
.
S
奇
n?1
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好
B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:
1. 下列数列是等差数列的是( ).
A.
a
n
?n
2
B.
S
n
?2n?1
C.
S
n
?2n
2
?1
D.
S
n
?2n
2
?n
2. 等差数列{
a
n
}中,已知
S
15
?90
,那么
a
8<
br>?
( ).
A. 3 B. 4 C. 6
D. 12
3. 等差数列{
a
n
}的前m项和为30,前2m项和
为100,则它的前
3m项和为( ).
A. 70 B. 130
C. 140 D. 170
4. 在小于100的正整数中共有
个数被7除余2,这些数的
和为 .
5.
在等差数列中,公差d=
1
,
S
100
?145
,
2
则
a
1
?a
3
?a
5
?...?a<
br>99
?
.
课后作业
1.
在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项和为165,所有偶数
项和为150,求n的值.
2. 等差数列{
a
n
},a
1
?0
,
S
9
?S
12
,该数列前
多少项的和最小?
§2.4等比数列(1)
学习目标
1理解等比数列的概念;探索并掌握等比数列的通项公式、性质;
2.
能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,提高数学建模
能力;
3.
体会等比数列与指数函数的关系.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
48
~ P
51
,找出疑惑之处)
复习1:等差数列的定义?
复习2:等差数列的通项公式
a
n
?
,
等差数列的性质有:
二、新课导学
※ 学习探究
观察:①1,2,4,8,16,…
②1,
1
,
1
,1
,
24
8
1
,…
16
③1,20,
20
2
,
20
3
,
20
4
,…
思考以上四个数列有什么共同特征
新知:
1.
等比数列定义:一般地,如果一个数列从第 项起, 一项
与它的 一项的 等于
常数,那么这个数列就叫做等比数
列.这个常数叫做等比数列的 ,通常用字母
表示(q≠0),
即:
a
n
a
n?1
=
(q≠0)
2. 等比数列的通项公式:
a
2
?a
1
;
a
3
?a
2
q?(a
1
q)q?a<
br>1
;
; … …
∴
a
n
?a
n?1
q?a
1
?
等式成立的条件
3.
等比数列中任意两项
a
n
与
a
m
的关系是:
※
典型例题
例1 (1) 一个等比数列的第9项是
4
,公比是-
1
,求它的第1
9
a
4
?a
3
q?(a
1
q
2
)q?a
1
3
项;
(2)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与
第4项.
小结:关于等比数列的问题首先应想到它的通项
公式
a
n
?a
1
q
n?1
.
例2
已知数列{
a
n
}中,lg
a
n
?3n?5
,试用定义证明数列{
a
n
}是等比
数列.
小结:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数n,
a
n?1
a
n
是一个不为0的常数就行了.
※ 动手试试
练1. 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这
种物质是原来的84%.
这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?
练2.
一个各项均正的等比数列,其每一项都等于它后面的相邻两
项之和,则公比
q?
(
). A.
D.
5?1
2
3
2
B.
35
2
C.
5?1
2
三、总结提升
※ 学习小结
1. 等比数列定义;
2.
等比数列的通项公式和任意两项
a
n
与
a
m
的关系.
※ 知识拓展
在等比数列
{a
n
}
中,
⑴
当
a
1
?0
,q
>1时,数列
{a
n
}
是递增数列;
⑵ 当
a
1
?0
,
0?q?1
,数列
{a
n
}
是递增
数列;
⑶ 当
a
1
?0
,
0?q?1
时,数列<
br>{a
n
}
是递减数列;
⑷
当
a
1
?0
,q
>1时,数列
{a
n
}
是递减数列;
⑸
当
q?0
时,数列
{a
n
}
是摆动数列;
⑹
当
q?1
时,数列
{a
n
}
是常数列.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:
1. 在
?
a
n
?
为等比数列,
a
1
?12
,
a
2<
br>?24
,则
a
3
?
( ).
A. 36
B. 48 C. 60 D. 72
2. 等比数列的首项为
9
,末项
为
1
,公比为
2
,这个数列的项数n
83
3
=(
).
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 已知数列a,
a(1-a),
a(1?a)
2
,…是等比数列,则实数a的
取值范围是(
).
A. a≠1 B. a≠0且a≠1
C. a≠0
D. a≠0或a≠1
4. 设
a
1
,
a
2
,
a
3
,
a
4
成等比数列,公比为2,则
2a
1
?a
2
= .
2a
3
?a
4
5. 在等比数列
{a
n
}
中,
2a
4
?a
6
?a
5
,则公比q=
.
课后作业
在等比数列
{a
n
}
中,
⑴
a
4
?27
,q=-3,求
a
7
;
⑵
a
2
?18
,
a
4
?8
,求
a
1
和q;
⑶
a
4
?4
,
a
7
?6
,求
a
9
;
⑷
a
5<
br>?a
1
?15,a
4
?a
2
?6
,求
a
3
.
§2.4等比数列(2)
学习目标
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项概念;
2.
熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否成等比数
列的方法.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
51
~
P
54
,找出疑惑之处)
复习1:等比数列的通项公式
a
n
?
=
.
公比q满足的条件是
复习2:等差数列有何性质?
二、新课导学
※ 学习探究
问题1:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,
b成等比数列,
则
G
?
b
?G
2
?ab?G?
aG
新知1:等比中项定义
如果在a与b中间插入一个数G
,使a,G,b成等比数列,那么
称这个数G称为a与b的等比中项. 即G=
(a,b同号).
试试:数4和6的等比中项是 .
问题2: <
br>1.在等比数列{
a
n
}中,
a
5
2
?a<
br>3
a
7
是否成立呢?
2.
a
n
2
?a
n?1
a
n?1
(n?1)
是否成立?你
据此能得到什么结论?
3.
a<
br>n
2
?a
n?k
a
n?k
(n?k?0)
是
否成立?你又能得到什么结论?
新知2:等比数列的性质
在等比数
列中,若m+n=p+q,则
a
m
a
n
?a
p
a<
br>k
.
试试:在等比数列
?
a
n
?
,已知
a
1
?5,a
9
a
10
?100
,那么
a
18
?
.
※ 典型例题
例1已知
{a
n
},{bn
}
是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写
表格,从中你能得出什么结论
?证明你的结论.
例 自选1 自选2
a
n
b
n
a
n
gb
n
{a
n
gb
n
}
2
3?()
n
3
?5?2
n?1
4
?10?()
n?1
3
是否等
比
是
变式:项数相同等比数列{
a
n
}与
{
b
n
},数列{
a
n
}也一定是等比数列
bn
吗?证明你的结论.
小结:两个等比数列的积和商仍然是等比数列.
例2在等比数列{
a
n}中,已知
a
4
ga
7
??512
,且
a3
?a
8
?124
,公比为整数,
求
a
10<
br>.
变式:在等比数列{a
n
}中,已知
a
7
ga
12
?5
,
则
a
8
ga
9
ga
10
ga
11
?
.
※ 动手试试
练1. 一个直角三角形三边成等比数列,则( ).
A. 三边之比为3:4:5
B. 三边之比为1:
3
:3
C. 较小锐角的正弦为
5?1
2
D. 较大锐角的正弦为
5?1
2
练2. 在
7和56之间插入
a
、
b
,使7、
a
、
b
、56成等比数列,若
插入
c
、
d
,使7、
c
、<
br>d
、56成等差数列,求
a
+
b
+
c
+d
的值.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 等比中项定义;
2.
等比数列的性质.
※ 知识拓展
公比为q的等比数列
{a
n
}
具有如下基本性质:
1.
数列
{|a
n
|}
,
{a
n
2
}
,
{ca
n
}(c?0)
,
{a
nm
}(m?N<
br>*
)
,
{a
n
k
}
等,也为等比数
列,公比分别为
|q|,q
2
,q,q
m
,q
k
.
若数列
{b
n
}
为等比数列,则
{a
n
gb
n
}
,
{
a
n
}
b
n
也等比.
2. 若
m?N
*
,则
a
n
?a
m
gq
n?m
. 当m=1时,便得到等比数列的通项公式.
3. 若
m?
n?k?l
,
m,n,k,l?N
*
,则
a
m
ga
n
?a
k
ga
l
.
4. 若
{a
n
}
各项为正,c>0,则
{log
c
a
n
}<
br>是一个以
log
c
a
1
为首项,
log
c<
br>q
为
公差的等差数列. 若
{b
n
}
是以d为公差的
等差数列,则
{c
b
}
是以
c
b
为
首项,
c
d
为公比的等比数列.
当一个数列既是等差数列又是等比数
列时,这个数列是非零的常数列.
n
1
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好
B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:
a
2
a
4
?2a
3
a
5
?a5
2
?16
,
a
n
?0
,1. 在
?
a
n
?
为等比数列中,那么
a
3
?a
5<
br>?
( ).
A. ±4 B. 4 C. 2 D. 8
2. 若-9,a
1
,a
2
,-1四个实数成等差数列,-9,b<
br>1
,b
2
,b
3
,
-1五个实数成等比数列,则b
2
(a
2
-a
1
)=(
).
A.8 B.-8 C.±8 D.
9
8
3. 若正数a,b,c依次成公比大于1的等比数列,则当x>1时,
loga
x
,
log
b
x
,
log
c
x
( )
A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列
C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列
4.
在两数1,16之间插入三个数,使它们成为等比数列,则中间
数等于 .
5.
在各项都为正数的等比数列
?
a
n
?
中,
a
5ga
6
?9
,
则log
3
a
1
+
log
3
a
2
+
…
+
log
3
a
10
?
.
课后作业
1. 在
?
a
n
?
为等比数列中,
a
1
ga
9
?64
,
a
3
?a
7<
br>?20
,求
a
11
的值.
2. 已知等差数列
?
a
n
?
的公差
d≠0,且
a
1
,
a
3
,
a
9
成
等比数列,求
a
1
?a
3
?a
9
a
2?a
4
?a
10
.
§2.5等比数列的前n项和(1)
学习目标
1. 掌握等比数列的前n项和公式;
2.
能用等比数列的前n项和公式解决实际问题.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
55
~ P
56
,找出疑惑之处)
复习1:什么是数列前n项和?等差数列的数列前n项和公式是什
么?
复习2:已知
等比数列中,
a
3
?3
,
a
6
?81
,求
a
9
,a
10
.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务: 等比数列的前
n
项和
故事:“国王对国际象棋的发明者的奖励”
新知:等比数列的前n项和公式
设等比
数列
a
1
,a
2
,a
3
,La
n
L
它的前n项和是
S
n
?
a
1
?a
2?a
3
?La
n
,公比
为q≠0,
公式的推导方法一:
?
S
n
?a
1
?a
1
q?a
1
q
2
?
L
a
1
qn?2
?a
1
q
n?1
?
则
?
qS?
?
?
n
?(1?q)S
n
?
当
q?1
时,
S
n
?
①
或
S
n
?
②
当q=1时,
S
n
?
公式的推导方法二:
由等比数列的定义,
a
2
a
1
?
a
3
a
?L?
n
?q
,
a
2
a
n?1
a
2
?a
3
?
L
?a
n
S?a
?
n1
?q
,
a
1
?
a
2
?
L
?a
n?1
S
n
?a
n
有
即
S
n
?a
1
?q
.
S
n
?a
n
∴
(1?q)S
n
?a1
?a
n
q
(结论同上)
公式的推导方法三:
S<
br>n
?
a
1
?a
2
?a
3
?Lan
=
a
1
?q(a
1
?a
2
?a
3
?La
n?1
)
=
a
1
?qS
n?1
=
a
1
?q(S
n
?an
)
.
∴
(1?q)S
n
?a
1
?a
n
q
(结论同上)
试试:求等比数列
1
,
1
,
1
,…的前8项的和.
24
8
※ 典型例题
例1已知a
1
=27,a
9
=
1
,q<0,求这个等比数列前
243
5项的和.
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