高中数学必修五数列知识点

一、知识纲要
(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．
(2)等差、等比数列的定义．
(3)等差、等比数列的通项公式．
(4)等差中项、等比中项．
(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．
二、方法总结
1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．
2．等差、等比数列中，
a
1
、
a
n
、
n
、
d(q)
、
S
n
“知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．
3．求等比数列的前
n
项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．
4．数 列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．
三、知识内容：
1.数列
数列的通项公式：
a
n
??
?
a
1
?S
1
(n?1)
数列 的前n项和：
S
n
?a
1
?a
2
?a
3< br>???a
n

S?S(n?2)
n?1
?
n
1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
2、数列的项：数列中的每一个数．
3、有穷数列：项数有限的数列．
4、无穷数列：项数无限的数列．
5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．
6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
7、常数列：各项相等的数列．
8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
9、数 列的通项公式：表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与序号
n
之间的关系的公式．
10、数列的递推公式：表示任一项
a
n< br>与它的前一项
a
n?1
（或前几项）间的关系的公式．
2
例 1.已知数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
?2n?n
,求数列
?
a
n
?
的通项公式.
22
当
n?1
时，
a
1
?S
1
?1
, 当
n≥2
时，
a
n
?2n?n?2(n?1)?(n?1)?4n? 3
,经检验
n?1
时
a
1
?1
也适
合
a
n
?4n?3
,∴
a
n
?4n?3
( n?N
?
)


2.等差数列
等差数列的定义：如果一个 数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数
叫 做等差数列的公差，公差通常用字母
d
表示。
等差数列的判定方法:[来源:学*科*网]
（1）定义法：对于数列
?
a
n
?
，若
a
n?1
?a
n
?d
( 常数)，则数列
?
a
n
?
是等差数列。
（2）等差中项 ：对于数列
?
a
n
?
，若
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
，则数列
?
a
n
?
是等差数列。
等差数列的通项公式：
如果等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公差是
d
，则等差数列的通项为
a
n
?a
1
?(n?1)d
。
说明：该公式整理后是关于
n
的一次函数。
等差数列的前
n
项和：①
S
n
?
说明：对于公式 ②整理后是关于
n
的没有常数项的二次函数。[来源:学#科#网Z#X#X#K]
等差中项：[来源:Z_xx_]
如果
a
，
n(a
1?a
n
)
n(n?1)
d
②
S
n?na
1
?
2
2
A
，
b
成等差数列， 那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项。即：
A?
a?b
或
2A?a?b

2
说明：在一个等差数列中，从第2项起， 每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数
列中某一项是与 其等距离的前后两项的等差中项。
等差数列的性质：
（1）等差数列任意两项间的关系：如 果
a
n
是等差数列的第
n
项，
a
m
是等差 数列的第
m
项，且
m?n
，公差为
d
，则有
an
?a
m
?(n?m)d
[来源:Z*xx*]

（2）对于等差数列
?
a
n
?
，若
n?m?p?q
，则
a
n
?a
m
?a
p
?a
q
。
2n?p?q
（
n
、
p
、
q??
*），则
2a
n
?a
p
?a
q

也就是 ：
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
???
（3）若数列
?a
n?????
a
1
??????
a,a,a,?,a
n?2
,a
n?1
,a
n
，如图所示：
1
?
2
?
3
???????
a
2
?a
n?1

?
a
n
?
是等差数列，
S
n
是其前n项的和，
k?N
*
，那么
S
k
，
S
2k
?Sk
，
S
3k
?S
2k
成等差数列。如下图所示：

????????????
S
?
3k
????????? ???
a
1
?a
2
?a
3
???a
k?a
k?1
???a
2k
?a
2k?1
???a
3k
???????????????????????
S
k
S
2 k
?S
k
S
3k
?S
2k
例7.等差数列{a < br>n
}中，已知
a
1
?
11
1
，
a< br>6
?
，a
n
=33，则n为（ ）
3
3
(A)48 (B)49 (C)50 (D)51
例12.已知等差数列
?
a
n
?
满足
a
1
?a
2
?a
3
?L? a
101
?0
,则有( )
(A)a
1
?a
101
?0

(B)a
2
?a
100
?0

(C)a
3
?a
99
?0

(D)a
51
?51

2
例13. 已知数列
?< br>a
n
?
的前
n
项和
S
n
?3n?2 n
，
求证:数列
?
a
n
?
成等差数列，并求其首 项、公差、通项公式
.解：
a
1
?S
1
?3?2?1
,
22
当
n≥2
时,
a
n
?S
n
?S
n ?1
?3n?2n?[3(n?1)?2(n?1)]?6n?5
,
n?1
时 亦满足
∴
a
n
?6n?5
, ∴首项
a
1
?1
且
a
n
?a
n?1?6n?5?[6(n?1)?5]?6(常数)

∴
?
a
n< br>?
成等差数列且公差为6、首项
a
1
?1
、通项公式为
a
n
?6n?5

3.等比数列
等比数列的概念： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常 数叫做等比数列的公
比，公比通常用字母
q
表示（
q
等比中项： < br>如果在
a
与
b
之间插入一个数
G
，使
a，
G
，
b
成等比数列，那么
G
叫做
a
与
b
的等比中项。
也就是，如果是的等比中项，那么
等比数列的判定方法：
（1）定义法：对于数列
。
?0
）
Gb
2
?，即
G
aG
?ab
。
?
a
n
?，若
a
n?1
?q(q?0)
，则数列
?
a
n
?
是等比数列。 [来源:学科网ZXXK]
a
n
（2）等比中项：对于数列
等比数列的通项公式：
如果等比数 列
?
a
n
?
，若
a
n
a
n?2< br>?a
n
2
?1
，则数列
?
a
n
?< br>是等比数列。
?a
1
q
n?1
。
?
a< br>n
?
的首项是
a
1
，公比是
q
，则等比数列 的通项为
a
n
等比数列的前n项和：
a
1
?a
n
q
a
1
(1?q
n
)
S?(q?1)
S? (q?1)

○
1 23当
q
○
n
○n
1?q
1?q
等比数列的性质：
?1
时，
S
n
?na
1

n?m
①等比数列任意两项间的关系：如果
a
n
是等比数列的第
n
项，a
m
是等差数列的第
m
项，且
m?n
，公比为
q
，则有
a
n
?a
m
q

②对于等比数列
?
a
n
?
，若
n?m?u?v
，则
an
?a
m
?a
u
?a
v

也就是：< br>a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
???
1
?a
n
?????
a
??????
a,a,a,?,a
n?2
,a
n?1,a
n
。如图所示：
1
?
2
?
3
?? ?????

a
2
?a
n?1

③若数列?
a
n
?
是等比数列，
S
n
是其前n项的和，
k?N
*
，那么
S
k
，
S
2k
? S
k
，
S
3k
?S
2k
成等比数列。如下图所示：
????????????
S
?
3k
????????????a
1
?a
2
?a
3
???a
k
?a< br>k?1
???a
2k
?a
2k?1
???a
3k???????????????????????
S
k
S
2k
?S
k
3

S
3k
?S
2k
例8.在等比 数列
?
a
n
?
中,
a
7
?12,q?
2
,则
a
19
?_____.

例9.
2?3
和
2?3
的等比中项为( )
(A)1

(B)?1

(C)?1

(D)2

例10. 在等比 数列
?
a
n
?
中，
a
2
??2
，
a
5
?54
，求
a
8
，
2
解： ∵
a
5
是
a
2
与
a
8
的等比中项 ，∴
54?a
8
??2
∴
a
8
??1458

例11.在等比数列
?
a
n
?
中,
a
1
和
a
10
是方程
2x?5x?1?0
的两个根,
2
则
a
4
?a
7
?
( )
(A)?
4.数列前n项和
（1）重要公式：
2
511

(B)

(C)?

(D)

2
222
1?2?3??n?
n(n?1)
；
2
n(n?1)(2n?1)
；
6

1
2
?2
2
?3
2
??n
2
?
1
1
3
?2
3
??n
3
?[n(n?1)]
2
2
（2）等差数列中，
S
m?n
（3）等比数列中，
S
m?n
?S
m
?S
n
?mnd

?S
n
?q< br>n
S
m
?S
m
?q
m
S
n

（4）裂项求和：
111
??
；（
n?n!?(n?1)!?n!< br>）
n(n?1)nn?1
五、例析数列求和的常用方法
数列求和是数列教学 内容的中心问题之一，也是近年高考命题的一个热点问题。掌握一些求和的方法和技巧可以提高解决此问
题的能力。本文例析了一些求和的方法，仅供参考。
（一）倒序相加法：将一个数列倒过来排序（倒序 ），当它与原数列相加时，若有因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则
这样的数列可用倒序相加法求 和。如等差数列的求和公式
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
的推导。
2
?b
n
}
的前
n
项和，其中
{a
n
}
、 （二）错位相减法：这是推导等比数列的前
n
项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
{a
n
{b
n
}
分别是等差数列和等比数列。
（三）分组求和法 所谓分组求和法，即将一个数列中的项拆成几项，转化成特殊数列求和。

例3．已知数 列
{a
n
}
满足
a
n
1
?n?()
n?1
，求其前
n
项和
S
n
。
2
（四 ）公式法（恒等式法）：利用已知的求和公式来求和，如等差数列与等比数列求和公式，再如
1?2?3 ???n

?
n(n?1)
1
2222
、
1?2?3???n?n(n?1)(2n?1)
等公式。
6
2
（五）拆项（裂项）相消法：若数列
{a
n
}
能裂项成
a
n
?f(n?1)?f(n)
，即所裂两项具有传递性（即关于n的相邻项，
使展开后中 间项能全部消去）。
例5．已知数列
{a
n
}
满足
an
?
1
，求数列
{a
n
}
的前
n项和
S
n

n(n?1)
（六）通项化归法：即把数列的通项公式先求出来，再利用数列的特点求和。 < br>例．求数列
1,
111
的前
n
项和
S
n
,,?,
1?21?2?31?2?3???n
（七）并项法求和：在数列求和 中，若出现相邻两项（或有一定规律的两项）和为常数时，可用并项法，但要注意
n
的奇偶性。
例7．已知数列
a
n
?(?1)
n
(2n?1)
， 求数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
100
（八）奇偶分析项：当数列中的项有符号限制时，应分
n
为奇数、偶数进行讨论。 < br>例8．若
a
n
?(?1)
n?1
(4n?3)
，求数 列
{a
n
}
的前
n
项和
（九）利用周期性求和： 若数列
{a
n
}
，都有
a
n?T
周期数列，其中< br>T
为其周期。[来源:学科网]
例9．已知数列
{a
n
}< br>中，
a
1
?a
n
（其中
n?N
0
,
N
0
为给定的自然数，
T?0
），则称数列
{a
n
}
为
?2,a
n?1
?1?
1
a
n
，求其前
3n
项的和
S
3n
.
（十）导数法：利用函数的求导来计算数列的和。
例10．求数列
{a
n< br>}
前
n
项和
S
n
，其中
a
n
?nsinnx
.
（十一）待定系数法：若数列的和是一个多项式，可以考虑用待定系数法。
例11．求
1?3
，
3?5
，
5?7
，
7?9
，
?
，
(2n?1)(2n?1)
的和
S
n