高中数学必修5测试题及答案全套.doc

第一章 解三角形
测试一 正弦定理和余弦定理
Ⅰ 学习目标
1．掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形.
2．会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．在△ABC中，若BC＝
2
，AC＝2，B＝45°，则角A等于( )
(A)60° (B)30° (C)60°或120° (D)30°或150°
2．在△ ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝3，cosC＝－
则c等于( )
(A)2
1
，
4
(B)3 (C)4 (D)5
3 ．在△ABC中，已知
cosB?
(A)
32
,sinC?
，AC＝ 2，那么边AB等于( )
53
5

3
(C)
5

4
(B)
20

9
(D)
12

5
4．在△ABC中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知B＝30°，c＝150，b＝50
3
，
那么这个三角 形是( )
(A)等边三角形 (B)等腰三角形
(C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形
5．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，如 果A∶B∶C＝1∶2∶3，那
么a∶b∶c等于( )
(A)1∶2∶3 (B)1∶
3
∶2 (C)1∶4∶9 (D)1∶
2
∶
3

二、填空题
6．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，B ＝45°，C＝75°，
则b＝________.
7．在△ABC中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝2
3
，c＝4，则
A＝________.
8．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2cosBcosC＝1－cos A，则△
ABC形状是________三角形.
9．在△ABC中，三个内角A，B，C的 对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝4，B＝60°，则
c＝________.
10．在△ABC中，若tanA＝2，B＝45°，BC＝
5
，则 AC＝________.
三、解答题
11．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分 别是a，b，c，若a＝2，b＝4，C＝60°，
试解△ABC.

12．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝
13
.
(1)求角B的大小；
(2)若D是BC的中点，求中线AD的长.



13．如图，△OAB的顶点为O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，求角A的大小.




14．在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，且a，b 是方程x
2
－2
3
x＋2＝0的两根，2cos(A
＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长；
(3)求△ABC的面积.



测试二 解三角形全章综合练习
Ⅰ 基础训练题
一、选择题
1．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b
2
＋c
2
－a
2
＝bc，则角A等
于( )
(A)
π

6
(B)
π

3
(C)
2π

3
A?BC
?cos

22
(D)
5π

6
2．在△ABC中，给出下列关系式：
①sin(A＋B)＝sinC ②cos(A＋B)＝cosC ③
sin
其中正确的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
3．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝3，sinA＝
＝< br>2
，sin(A＋C)
3
3
，则b等于( )
4

(A)4
8
(B)
3
(C)6 (D)
27

8
4．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b ，c，若a＝3，b＝4，sinC＝
2
，则
3
此三角形的面积是( )
(A)8 (B)6 (C)4 (D)3
5．在△ABC中，三个内角A，B，C的对 边分别是a，b，c，若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
且sinA＝2sinBcosC， 则此三角形的形状是( )
(A)直角三角形 (B)正三角形
(C)腰和底边不等的等腰三角形 (D)等腰直角三角形
二、填空题
6．在△A BC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝
2
，b＝2，B＝45°，则角A＝________.
7．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 若a＝2，b＝3，c＝
19
，则
角C＝________.
8．在△AB C中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，c＝4，cosA＝
3
，则< br>5
此三角形的面积为________.
9．已知△ABC的顶点A(1，0)，B( 0，2)，C(4，4)，则cosA＝________.
10．已知△ABC的三个内角A，B， C满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，那么边BC上的
中线AD的长为________.
三、解答题
11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＝3，b＝4，C＝60°.
(1)求c；
(2)求sinB.



12．设向量a，b满足a·b＝3，|a|＝3，|b|＝2.
(1)求〈a，b〉；
(2)求|a－b|.



13．设△OAB的顶点为O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，若BD⊥OA于D.
(1)求高线BD的长；
(2)求△OAB的面积.


14．在△ABC中，若sin
2
A＋sin
2
B＞sin
2< br>C，求证：C为锐角.

(提示：利用正弦定理



abc
???2R
，其中R为△ABC外接圆半径)
sinAsinBsinC
Ⅱ 拓展训练题
15．如图，两条直路OX与OY相交 于O点，且两条路所在直线夹角为60°，甲、乙两人分
别在OX、OY上的A、B两点，| OA |＝3km，| OB |＝1km，两人同时都以4kmh的速度
行走，甲沿
XO
方 向，乙沿
OY
方向.
问：(1)经过t小时后，两人距离是多少(表示为t的函数)？
(2)何时两人距离最近？




16．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且
(1)求角B的值；
(2)若b＝
13
，a＋c＝4，求△ABC的面积.



cosBb
.
??
cosC2a?c

第二章 数列
测试三 数列
Ⅰ 学习目标
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解 数列是一种特殊
的函数.
2．理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项.
3．了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．数列{a
n
}的前四项依次是：4，44，4 44，4444，…则数列{a
n
}的通项公式可以是(
(A)a
n
＝4n (B)a
n
＝4
n

(C)a
n
＝
4
n
9
(10－1) (D)a
n
＝4×11
n

2．在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x，48，63，……中，x的值是( )
(A)30 (B)35 (C)36 (D)42
3．数列{a
n
}满足 ：a
1
＝1，a
n
＝a
n
－
1
＋3n，则 a
4
等于( )
(A)4 (B)13 (C)28 (D)43
4．156是下列哪个数列中的一项( )
(A){n
2
＋1} (B){n
2
－1} (C){n
2
＋n} (D){n
2
＋n－1}
5．若数列{a
n
}的通项公式为an
＝5－3n，则数列{a
n
}是( )
(A)递增数列 (B)递减数列 (C)先减后增数列 (D)以上都不对
二、填空题
6．数列的前5项如下，请写出各数列的一个通项公式：
(1)
1,
23
,
1
2
,
2
5
,
1
3,?,a
n
＝________；
(2)0，1，0，1，0，…，a
n
＝________.
7．一个数列 的通项公式是a
n
2
n
＝
n
2
?1
.
(1)它的前五项依次是________；
(2)0.98是其中的第________项.
8．在数列{a
n
}中， a
1
＝2，a
n
＋
1
＝3a
n
＋1，则a
4
＝________.
9．数列{a
n
}的通项公式为
a
1
n
?
1?2?3?
?
?(2n?1)
(n∈N
*
)，则a
3
＝________.
10．数列{a
n< br>}的通项公式为a
n
＝2n
2
－15n＋3，则它的最小项是第___ _____项.
三、解答题
11．已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝14－3n.
(1)写出数列{a
n
}的前6项；
(2)当n≥5时，证明a
n
＜0.



)

n
2
?n?1
12．在数列{a
n
}中，已 知a
n
＝(n∈N
*
).
3
(1)写出a
10< br>，a
n
＋
1
，
a
n
2
；
(2)79



13．已知函数
f(x)?x?
2
是否是此数列中的项？若是，是第几项？
3
1
，设a
n
＝f(n)(n∈N
＋
).
x
(1)写出数列{a
n
}的前4项；
(2)数列{a
n
}是递增数列还是递减数列？为什么？



测试四 等差数列
Ⅰ 学习目标
1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题.
2．掌握等差数列的前n项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.
3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．数列{a
n
}满足：a
1
＝ 3，a
n
＋
1
＝a
n
－2，则a
100
等 于( )
(A)98 (B)－195 (C)－201 (D)－198
2．数列 {a
n
}是首项a
1
＝1，公差d＝3的等差数列，如果a
n
＝2008，那么n等于( )
(A)667 (B)668 (C)669 (D)670
3．在等差数列{a
n
}中，若a
7
＋a
9
＝16 ，a
4
＝1，则a
12
的值是( )
(A)15 (B)30 (C)31 (D)64
4．在a和b(a≠b)之间插入n个数，使它们与a，b组成等差数列，则该数列的公差为( )
b?ab?ab?ab?a
(B) (C) (D)
nn?1n?1n?2< br>5．设数列{a
n
}是等差数列，且a
2
＝－6，a
8
＝6，S
n
是数列{a
n
}的前n项和，则( )
(A)S
4
＜S
5
(B)S
4
＝S
5
(C)S
6
＜S
5
(D)S
6
＝S
5

二、填空题
6．在等差数列{an
}中，a
2
与a
6
的等差中项是________.
7．在等差数列{a
n
}中，已知a
1
＋a
2
＝5，a< br>3
＋a
4
＝9，那么a
5
＋a
6
＝____ ____.
8．设等差数列{a
n
}的前n项和是S
n
，若S17
＝102，则a
9
＝________.
9．如果一个数列的前n 项和S
n
＝3n
2
＋2n，那么它的第n项a
n
＝____ ____.
10．在数列{a
n
}中，若a
1
＝1，a
2
＝2，a
n
＋
2
－a
n
＝1＋(－1)
n
(n∈N
*
)，设{a
n
}的前n项和是S
n
，< br>则S
10
＝________.
三、解答题
11．已知数列{a< br>n
}是等差数列，其前n项和为S
n
，a
3
＝7，S
4
＝24．求数列{a
n
}的通项公式.
(A)

12．等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
， 已知a
10
＝30，a
20
＝50.
(1)求通项a
n
；
(2)若S
n
＝242，求n.



13．数列{a
n
}是等差数列，且a
1
＝50，d＝－0.6．
(1)从第几项开始a
n
＜0；
(2)写出数列的前n项和公式S
n
，并求S
n
的最大值.



Ⅲ 拓展训练题
14．记数列{a
n
} 的前n项和为S
n
，若3a
n
＋
1
＝3a
n
＋2(n∈N
*
)，a
1
＋a
3
＋a
5
＋…＋a
99
＝90，求
S
100
．



测试五 等比数列
Ⅰ 学习目标
1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能解决一些简单问题.
2．掌握等比数列的前n项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.
3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能体会等比数列与指数函数的关系.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．数列{a
n
}满足：a
1
＝ 3，a
n
＋
1
＝2a
n
，则a
4
等于( )
3
(A) (B)24 (C)48 (D)54
8
2．在各项都为正 数的等比数列{a
n
}中，首项a
1
＝3，前三项和为21，则a
3
＋a
4
＋a
5
等于( )
(A)33 (B)72 (C)84 (D)189
3．在等比数列{a
n
}中，如果a
6
＝6，a
9
＝9，那么a
3
等于( )
316
(C) (D)3
29
4．在等比数列{a
n
}中，若a
2
＝9，a
5
＝243，则{a
n
}的前四项和为( )
(A)81 (B)120 (C)168 (D)192
－
5．若数列{a
n
}满足a
n
＝a
1
q
n1
(q＞1)，给出以 下四个结论：
①{a
n
}是等比数列； ②{a
n
}可能是等差数列也可能是等比数列；
③{a
n
}是递增数列； ④{a
n
}可能是递减数列.
其中正确的结论是( )
(A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④
二、填空题
(A)4 (B)

6．在等比数列{a
n
}中,a
1
，a
10
是方程3x
2
＋7x－9＝0的两根 ，则a
4
a
7
＝________.
7．在等比数列{a
n
}中，已知a
1
＋a
2
＝3，a
3
＋a
4
＝6，那么a
5
＋a
6
＝________.
8．在等 比数列{a
n
}中，若a
5
＝9，q＝
1
，则{a
n
}的前5项和为________.
2
827
9．在和之间插入三个数， 使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________.
32
10．设等比数列 {a
n
}的公比为q，前n项和为S
n
，若S
n
＋
1
，S
n
，S
n
＋
2
成等差数列，则q＝____ ____.
三、解答题
11．已知数列{a
n
}是等比数列，a
2
＝6，a
5
＝162.设数列{a
n
}的前n项和为S
n
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)若S
n
＝242，求n.



12．在 等比数列{a
n
}中，若a
2
a
6
＝36，a
3< br>＋a
5
＝15，求公比q.



13．已知实数 a，b，c成等差数列，a＋1，b＋1，c＋4成等比数列，且a＋b＋c＝15，求a，
b，c.



Ⅲ 拓展训练题
14．在下列由正数排成的数表中，每行 上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于
q，每列上的数从上到下都成等差数列.a
ij
表示位于第i行第j列的数，其中a
24
＝
＝1，a
54
＝
a
11

a
21

a
31

a
41

…
a
i1

…
1
，a
42
8
5
.
16
a
12

a
22

a
32

a
42

…
a
i2

…
a
13

a
23

a
33

a
43

…
a
i3

…
a
14

a
24

a
34

a
44

…
a
i4

…
a
15

a
25

a
35

a
45

…
a
i5

…
…
…
…
…
…

…
a
1j

a
2j

a
3j

a
4j

…
a
ij

…
…
…
…
…
…

…
(1)求q的值；
(2)求a
ij
的计算公式.



测试六 数列求和
Ⅰ 学习目标
1．会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和.

2．会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．已知等比数列的公比为2，且前4项的和为1，那么前8项的和等于( )
(A)15 (B)17 (C)19 (D)21
2．若数列{a
n
}是公差为
1
的等差数列，它的前100项和为145，则a
1
＋a
3
＋a
5
＋…＋a
99
的
2
值为( )
(A)60 (B)72.5 (C)85 (D)120
－
3．数列{a
n
}的通项公式a
n
＝(－1)
n1
·2n(n∈N
*)，设其前n项和为S
n
，则S
100
等于( )
(A)100 (B)－100 (C)200 (D)－200
4．数列
?
(A)
??
1
?
的前n项和为( )
(2n?1)(2n?1)
??
n2n
n2n
(B) (C) (D)
2n?12n?1
4n?2n?1
5．设数列{a
n
}的前 n项和为S
n
，a
1
＝1，a
2
＝2，且a
n＋
2
＝a
n
＋3(n＝1，2，3，…)，则S
100
等于( )
(A)7000 (B)7250 (C)7500 (D)14950
二、填空题
6．
1
2?1
?
1
3?2
?
1
4?3
?
?
?
1
n?1?n
＝____ ____.
7．数列{n＋
1
}的前n项和为________.
n2
22
2
8．数列{a
n
}满足：a
1
＝1， a
n
＋
1
＝2a
n
，则a
1
＋a
2
＋…＋a
n
＝________.
9．设n∈N
*
，a ∈R，则1＋a＋a
2
＋…＋a
n
＝________.
10．< br>1?
1111
?2??3????n?
n
＝________.
2482
三、解答题
11．在数列{a
n
}中，a
1＝－11，a
n
＋
1
＝a
n
＋2(n∈N
*< br>)，求数列{|a
n
|}的前n项和S
n
.



12．已知函数f(x)＝a
1
x＋a
2
x
2< br>＋a
3
x
3
＋…＋a
n
x
n
(n∈ N
*
，x∈R)，且对一切正整数n都有f(1)
＝n
2
成立.
(1)求数列{a
n
}的通项a
n
；
(2)求



111
??
?
?
.
a
1< br>a
2
a
2
a
3
a
n
a
n? 1

13．在数列{a
n
}中，a
1
＝1，当n≥2时 ，a
n
＝
1?



111
??
?
?
n?1
，求数列的前n项和S
n
.
242
Ⅲ 拓展训练题
14．已知数列{a
n
}是等差数列，且a
1
＝2，a
1
＋a
2
＋a
3
＝12.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)令b
n
＝a< br>n
x
n
(x∈R)，求数列{b
n
}的前n项和公式.



测试七 数列综合问题
Ⅰ 基础训练题
一、选择题
1．等差数列{a
n
}中，a
1
＝1，公差d ≠0，如果a
1
，a
2
，a
5
成等比数列，那么d等于( )
(A)3 (B)2 (C)－2 (D)2或－2
2．等比数列{a
n
}中，a
n
＞0，且a
2
a
4
＋2a
3
a
5
＋a
4
a
6
＝25，则a
3
＋a5
等于( )
(A)5 (B)10 (C)15 (D)20
3．如 果a
1
，a
2
，a
3
，…，a
8
为各项都 是正数的等差数列，公差d≠0，则( )
(A)a
1
a
8
＞a
4
a
5
(B)a
1
a
8
＜a
4
a
5

(C)a
1
＋a
8
＞a
4
＋a
5
(D)a
1
a
8
＝a
4
a
5

4 ．一给定函数y＝f(x)的图象在下列图中，并且对任意a
1
∈(0，1)，由关系式an
＋
1
＝f(a
n
)得到
的数列{a
n
}满足a
n
＋
1
＞a
n
(n∈N
*
)， 则该函数的图象是( )

5．已知数列{a
n
}满足a
1
＝0，
a
n?1
?
a
n
?3
(n∈N*
)，则a
20
等于( )
3a
n
?1
(C)
3
(D)(A)0
二、填空题
(B)－
3

3

2
?1
a,
?
1
?
2
n
6．设数列{a
n
}的首项a
1
＝，且
a
n?1
?
?
4?
a?
1
,
n
?
4
?
n
为偶 数,
则a
2
＝________，a
3
＝
n
为奇数 .
________.
7．已知等差数列{a
n
}的公差为2，前20项和 等于150，那么a
2
＋a
4
＋a
6
＋…＋a
20
＝________.
8．某种细菌的培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个) ，经过3个小时，这种细

菌可以由1个繁殖成________个.
9．在数 列{a
n
}中，a
1
＝2，a
n
＋
1
＝a
n
＋3n(n∈N
*
)，则a
n
＝________. < br>10．在数列{a
n
}和{b
n
}中，a
1
＝2，且 对任意正整数n等式3a
n
＋
1
－a
n
＝0成立，若bn
是a
n
与
a
n
＋
1
的等差中项，则 {b
n
}的前n项和为________.
三、解答题
11．数列{a< br>n
}的前n项和记为S
n
，已知a
n
＝5S
n
－3(n∈N
*
).
(1)求a
1
，a
2
，a
3
；
(2)求数列{a
n
}的通项公式；
(3)求a
1
＋a< br>3
＋…＋a
2n
－
1
的和.



12．已知函数f(x)＝
式.



13．设等差数列 {a
n
}的前n项和为S
n
，已知a
3
＝12，S
12
＞0，S
13
＜0.
(1)求公差d的范围；
(2)指出S
1
，S
2
，…，S
12
中哪个值最大，并说明理由.



Ⅲ 拓展训练题
14．甲、乙两物体分别从相距70m的 两地同时相向运动.甲第1分钟走2m，以后每分钟比
前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每 分钟比前1分钟多走1m，乙继续每
分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？



15．在数列{a
n
}中，若a
1
，a
2
是正整数，且a
n
＝|a
n
－
1
－a
n
－
2
|，n＝3，4，5，…则称{a
n
}为“绝
对差数 列”.
(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)；
(2)若“ 绝对差数列”{a
n
}中，a
1
＝3，a
2
＝0，试求出通 项a
n
；
(3)*证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.



2
2
(x＞0)，设a
1
＝1，a
n?1
·f(a
n
)＝2(n∈N
*
)，求数列{a
n
}的通项公
2
x?4
测试八 数列全章综合练习
Ⅰ 基础训练题
一、选择题

1．在等差数列{a
n
}中，已知 a
1
＋a
2
＝4，a
3
＋a
4
＝12，那 么a
5
＋a
6
等于( )
(A)16 (B)20 (C)24 (D)36
2．在50和350间所有末位数是1的整数和( )
(A)5880 (B)5539 (C)5208 (D)4877
3．若a，b，c成等 比数列，则函数y＝ax
2
＋bx＋c的图象与x轴的交点个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)不能确定
4．在等差数列{a
n
} 中，如果前5项的和为S
5
＝20，那么a
3
等于( )
(A)－2 (B)2 (C)－4 (D)4
5．若{a
n
}是等差数列 ，首项a
1
＞0，a
2007
＋a
2008
＞0，a
2007
·a
2008
＜0，则使前n项和S
n
＞0
成立 的最大自然数n是( )
(A)4012 (B)4013 (C)4014 (D)4015
二、填空题
6．已知等比数列{a
n
}中，a
3
＝3，a
10
＝384，则该数列的通项a
n
＝________.
7．等 差数列{a
n
}中，a
1
＋a
2
＋a
3
＝ －24，a
18
＋a
19
＋a
20
＝78，则此数列前20 项和S
20
＝________.
8．数列{a
n
}的前n项和记 为S
n
，若S
n
＝n
2
－3n＋1，则a
n
＝________.
a
3
?a
6
?a
9
9． 等差数列{a
n
}中，公差d≠0，且a
1
，a
3
，a9
成等比数列，则
a
＝________.
4
?a
7
?a
10
10．设数列{a
n
}是首项为1的正数数列，且(n＋1 )a
n?1
－na
n
＋a
n
＋
1
a
n
＝0(n∈N
*
)，则它的通
项公式a
n
＝_____ ___.
三、解答题
11．设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且a
3
＋a
7
－a
10
＝8，a
11
－a
4
＝4，求S
13
.



12．已知数列{a
n
}中，a
1
＝1，点(a
n
，a< br>n
＋
1
＋1)(n∈N
*
)在函数f(x)＝2x＋1的图象 上.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)求数列{a
n
}的前n项和S
n
；
(3)设cn
＝S
n
，求数列{c
n
}的前n项和T
n
.



13．已知数列{a
n
}的前n项和S
n< br>满足条件S
n
＝3a
n
＋2.
(1)求证：数列{a
n
}成等比数列；
(2)求通项公式a
n
.



14．某渔业公 司今年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从
第二年开始包括维修费在 内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总
收入为50万元.
(1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；
(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？
(3)若当盈利总 额达到最大值时，渔船以8万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益
22

是多 少万元？



Ⅱ 拓展训练题
15．已知函数f(x)＝
(1)求a
n
；
(2)设b
n
＝a
n?1
＋a
n?2
＋…＋a
2n?1
，是否存 在最小正整数m，使对任意n∈N
*
有b
n
＜
成立？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.



16．已知f是直角坐标系平面xO y到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q
＝f(P).
设P
1(x
1
，y
1
)，P
2
＝f(P
1
) ，P
3
＝f(P
2
)，…，P
n
＝f(P
n
－
1
)，….如果存在一个圆，使所
有的点P
n
(x
n< br>，y
n
)(n∈N
*
)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn
(x
n
，y
n
)的一个收敛
圆.特别地，当P
1
＝f(P
1
)时，则称点P
1
为映射f下的不动点.
若点P(x，y)在映射f下的象为点Q(－x＋1，
222
1
x
2
?4
(x＜－2)，数列{a
n
}满足a
1
＝1，a
n＝f(－
1
a
n
?1
)(n∈N
*
).
m
25
1
y).
2
(1)求映射f下不动点的坐标； < br>(2)若P
1
的坐标为(2，2)，求证：点P
n
(x
n，y
n
)(n∈N
*
)存在一个半径为2的收敛圆.

第三章 不等式
测试九 不等式的概念与性质
Ⅰ 学习目标
1．了解日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景，掌握用作差的方 法比较两个代数
式的大小.
2．理解不等式的基本性质及其证明.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．设a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是( )
(A)a＞b
?
a－c＞b－c (B)a＞b
?
ac＞bc
(C)a＞b
?
a
2
＞b
2
(D)a＞b
?
ac
2
＞bc
2

2．若－1＜< br>?
＜
?
＜1，则
?
－
???
的取值范围是( )
(A)(－2，2) (B)(－2，－1) (C)(－1，0) (D)(－2，0)
3．设a＞2，b＞2，则ab与a＋b的大小关系是( )
(A)ab＞a＋b (B)ab＜a＋b (C)ab＝a＋b (D)不能确定
11
?
同时成立的条件是( )
ab
(A)a＞b＞0 (B)a＞0＞b (C)b＞a＞0 (D)b＞0＞a
5．设1＜x＜10，则下列不等关系正确的是( )
(A)lg
2
x＞lgx
2
＞lg(lgx) (B)lg
2
x＞lg(lgx)＞lgx
2

(C)lgx
2
＞lg
2
x＞1g(lgx) (D)lgx
2
＞lg(lgx)＞lg
2
x
二、填空题
6．已知a＜b＜0，c＜0，在下列空白处填上适当不等号或等号：
4．使不等式a＞b和
(1)(a－2)c________(b－2)c； (2)
cc
________； (3)b－a________|a|－|b|.
ab
a
b
7．已知a＜0，－1＜b＜0，那么a、ab、ab
2
按从小到大排列为________.
8．已知60＜a＜84，28＜b＜33，则a－b的取值范 围是________；的取值范围是________.
9．已知a，b，c∈R，给出四个论断： ①a＞b；②ac
2
＞bc
2
；③
ab
?
；④a－ c＞b－c.以其
cc
中一个论断作条件，另一个论断作结论，写出你认为正确的两个命题是< br>________
?
________；________
?
____ ____.(在“
?
”的两侧填上论断序号).
a?
3
2
10．设a＞0，0＜b＜1，则P＝
b
三、解答题
11．若a＞b＞0，m＞0，判断



与
Q?b
(a?1)(a?2)
的大小关系是________.
b
b?m
与的大小关系并加以证明.
a
a?m
a
2
b
2
12．设a＞0，b＞0，且a≠b，
p??
a
,q ?a?b
.证明：p＞q.
b
注：解题时可参考公式x
3
＋y3
＝(x＋y)(x
2
－xy＋y
2
).

Ⅲ 拓展训练题
13．已知a＞0，且a ≠1，设M＝log
a
(a
3
－a＋1)，N＝log
a
( a
2
－a＋1).求证：M＞N.



14．在等比数 列{a
n
}和等差数列{b
n
}中,a
1
＝b
1< br>＞0，a
3
＝b
3
＞0，a
1
≠a
3
，试比较a
5
和b
5
的大
小.



测试十 均值不等式
Ⅰ 学习目标
1．了解基本不等式的证明过程.
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．已知正数a，b满足a＋b＝1，则ab( )
11
(B)有最小值
42
2．若a＞0，b＞0，且a≠b，则( )
(A)有最小值(C)有最大值
1

4
(D)有最大值
1

2
a?b
?ab?
(A)
2
(C)
ab?
a
2
?b
2
2
a?b
?
(B)
ab?
2
a
2
?b
2

2
a
2
?b
2
a?b
?

22
a
2
?b
2
a?b
?ab?
(D)
2
2
3．若矩形的面积为a
2
(a＞0)，则其周长的最小值为( )
(A)a (B)2a (C)3a
4．设a，b∈R，且2a＋b－2＝0，则4a
＋2
b
的最小值是( )
(A)
22
(B)4 (C)
42

(D)4a
(D)8
5．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么( )
(A)ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一
(B)ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一
(C)ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一
(D)ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一
二、填空题
6． 若x＞0，则变量
x?
7．函数y＝
9
的最小值是________；取到最 小值时，x＝________.
x
4x
(x＞0)的最大值是________； 取到最大值时，x＝________.
2
x?1

16
的最大值是________.
a? 3
9．函数f(x)＝2log
2
(x＋2)－log
2
x的最小值 是________.
10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝3，且a，b，c成等比数列，则b 的取值范围是________.
三、解答题
8．已知a＜0，则
a?
1 1．四个互不相等的正数a，b，c，d成等比数列，判断
明.


12．已知a＞0，a≠1，t＞0，试比较
a?d
和
bc
的大小关系并 加以证
2
t?1
1
log
a
t与
log
a
的大小.
2
2



Ⅲ 拓展训练题
13．若正数x，y满足x＋y＝1，且不等式
x?



14．(1)用函数单调性的定义讨论函数f(x)＝x＋
(2)设函数f(x)＝x＋



y?a
恒成立，求a的取值范围.
a
(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性；
x
a
(a＞0)在(0，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的解析式.
x
测试十一 一元二次不等式及其解法
Ⅰ 学习目标
1．通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
2．会解简单的一元二次不等式.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．不等式5x＋4＞－x
2
的解集是( )
(A){x|x＞－1，或x＜－4
}

(C){x|x＞4，或x＜1
}

2．不等式－x
2
＋x－2＞0的解集是( )
(A){x|x＞1，或x＜－2
}

(C)R
(B){x|－2＜x＜1}
(D)
?

(B){x|－4＜x＜－1
}

(D){x|1＜x＜4
}

3．不等式x
2
＞a
2
(a＜0)的解集为( )
(A){x|x＞±a} (B){x|－a＜x＜a
}

(D){x|x＞a，或x＜－a} (C){x|x＞－a，或x＜a
}

1
4．已知不等式ax
2
＋bx＋c＞0的解集为
{x|??x?2}，则不等式cx
2
＋bx＋a＜0的解集是
3
( )
1
}

2
1
(C){x－2＜x＜
}

3
(A){x|－3＜x＜

1
}

2
1
(D){x|x＜－2，或x＞
}

3
(B) {x|x＜－3，或x＞
5．若函数y＝px
2
－px－1(p∈R)的图象永远在x 轴的下方，则p的取值范围是( )
(A)(－∞，0) (B)(－4，0] (C)(－∞，－4) (D)[－4，0)
二、填空题
6．不等式x
2
＋x－12＜0的解集是________.
3x?1
?0
的解集是________.
2x?5
8．不等式|x
2
－1|＜1的解集是________.
9．不等式0＜x
2
－3x＜4的解集是________.
7．不等式< br>10．已知关于x的不等式x
2
－(a＋
11
)x＋1＜0的解集为非 空集合｛x|a＜x＜}，则实数a
aa
的取值范围是________.
三、解答题
11．求不等式x
2
－2ax－3a
2
＜0(a∈R)的解集.



?
x
2
?y
2
?2x?0
12．k在什么范围内取值时，方程组
?
有两组不同的实数解？
?
3x?4y?k?0



Ⅲ 拓展训练题
13．已知全集U＝R，集合A＝{x|x
2
－x－6＜0}，B＝{x|x
2
＋2x－8＞0}，C＝{x|x
2
－4ax＋3a
2
＜0}.
(1)求实数a的取值范围，使C
?
(A∩B)；
(2)求实数a的取值范围，使C
?
(
U
A)∩(
U
B).



14．设a∈R，解关于x的不等式ax
2
－2x＋1＜0.

测试十二 不等式的实际应用
Ⅰ 学习目标
会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．函数
y?
1
4?x
2
的定义域是( )
(A){x|－2＜x＜2
}
(B){x|－2≤x≤2
}

(D){x|x≥2，或x≤－2
}
(C){x|x＞2，或x＜－2
}

2．某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价p(元件)的关系为p＝300－2x，生产
x件的成本r＝500＋30x(元)，为使 月获利不少于8600元，则月产量x满足( )
(A)55≤x≤60 (B)60≤x≤65
(C)65≤x≤70 (D)70≤x≤75
3．国家为了加强 对烟酒生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附
加税时，每年大约产销100 万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征税r元，则每年
产销量减少10r万瓶，要使每年在此项经 营中所收附加税不少于112万元，那么r的取
值范围为( )
(A)2≤r≤10 (B)8≤r≤10
(C)2≤r≤8 (D)0≤r≤8
4．若关于x的不等式(1＋ k
2
)x≤k
4
＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有( )
(A)2∈M，0∈M (B)2
?
M，0
?
M
(C)2∈M，0
?
M (D)2
?
M，0∈M
二、填空题
5．已知矩形的周长为36cm，则其面积的最大值为________. 6．不等式2x
2
＋ax＋2＞0的解集是R，则实数a的取值范围是________.
7．已知函数f(x)＝x|x－2|，则不等式f(x)＜3的解集为________.
8．若不等式|x＋1|≥kx对任意x∈R均成立，则k的取值范围是________.
三、解答题
9．若直角三角形的周长为2，求它的面积的最大值，并判断此时三角形形状.



10．汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距 离才能停住，我们称这
段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个主要因素，在一个限速为40 kmh
的弯道上，甲乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得
甲 车刹车的距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m.已知甲乙两种车型的刹车距
离s(km)与 车速x(kmh)之间分别有如下关系：s
甲
＝0.1x＋0.01x
2
，s
乙
＝0.05x＋
0.005x
2
．问交通事故的主要责任方是谁？

Ⅲ 拓展训练题
11．当x∈[－1，3 ]时，不等式－x
2
＋2x＋a＞0恒成立，求实数a的取值范围.



12．某大学印一份招生广告，所用纸张(矩形)的左右两边留有宽为4cm的空白，上下留 有都
为6cm的空白，中间排版面积为2400cm
2
.如何选择纸张的尺寸，才能使 纸的用量最小？



测试十三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
Ⅰ 学习目标
1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.
2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．已知点A(2，0)，B(－1，3)及直线l：x－2y＝0，那么( )
(A)A，B都在l上方 (B)A，B都在l下方
(C)A在l上方，B在l下方 (D)A在l下方，B在l上方
?
x?0,
?
2．在平面直角坐标系中，不 等式组
?
y?0,
所表示的平面区域的面积为( )
?
x?y?2
?
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
3．三条直线y＝x，y＝－x，y＝2围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是( )
?
y?x,
?
(A)
?
y??x,

?< br>y?2.
?
?
y?x,
?
(B)
?
y??x ,

?
y?2.
?
?
y?x,
?
(C)< br>?
y??x,

?
y?2.
?
?
y?x,< br>?
(D)
?
y??x,

?
y?2.
??
x?y?5?0,
?
4．若x，y满足约束条件
?
x?y?0 ,
则z＝2x＋4y的最小值是( )
?
x?3,
?
(A)－6 (B)－10 (C)5 (D)10
5．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒
装磁盘. 根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )
(A)5种 (B)6种 (C)7种 (D)8种
二、填空题
?
x?0
6．在平面直 角坐标系中，不等式组
?
所表示的平面区域内的点位于第________象限.
y ?0
?
7．若不等式|2x＋y＋m|＜3表示的平面区域包含原点和点(－1，1)，则m的 取值范围是

________.
?
x?1,
?
8． 已知点P(x，y)的坐标满足条件
?
y?3,
那么z＝x－y的取值范围是____ ____.
?
3x?y?3?0,
?
?
x?1,
y
?
9．已知点P(x，y)的坐标满足条件
?
y?2,
那么的取值范围是_ _______.
x
?
2x?y?2?0,
?
10．方程|x|＋ |y|≤1所确定的曲线围成封闭图形的面积是________.
三、解答题
11．画出下列不等式(组)表示的平面区域：
?
x?1,
?
(1)3x＋2y＋6＞0 (2)
?
y??2,

?
x?y?1?0.
?



12．某实验室需购某种化工原料106kg，现在市场上该原料有两种包装，一 种是每袋35kg，
价格为140元；另一种是每袋24kg，价格为120元.在满足需要的前提下， 最少需要花
费多少元？



Ⅲ 拓展训练题
13． 商店现有75公斤奶糖和120公斤硬糖，准备混合在一起装成每袋1公斤出售，有两种
混合办法：第一 种每袋装250克奶糖和750克硬糖，每袋可盈利0.5元；第二种每袋装
500克奶糖和500克硬 糖，每袋可盈利0.9元.问每一种应装多少袋，使所获利润最大？
最大利润是多少？



14．甲、乙两个粮库要向A，B两镇运送大米，已知甲库可调出100吨，乙库 可调出80吨，
而A镇需大米70吨，B镇需大米110吨，两个粮库到两镇的路程和运费如下表：


A镇
B镇
路程(千米)
甲库
20
25
乙库
15
20
12
10
运费(元吨·千米)
甲库 乙库
12
8
问：(1)这两个粮库各运往A、B两镇多少吨大米，才能使总运费最省？此时总运费是多
少？
(2)最不合理的调运方案是什么？它给国家造成不该有的损失是多少？

测试十四 不等式全章综合练习
Ⅰ基础训练题
一、选择题
1．设a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式中一定正确的是( )
(A)ac
2
＞bc
2
(B)
11
?

ab
(C)a－c＞b－c (D)|a|＞|b|
?
x?y?4?0,< br>?
2．在平面直角坐标系中，不等式组
?
2x?y?4?0,
表示的平 面区域的面积是( )
?
y?2
?
3
(B)3 (C)4 (D)6
2
3．某房地产公司要在一块圆形的土地上，设计一个矩形的停车场.若圆的半径为 10m，则这
个矩形的面积最大值是( )
(A)50m
2
(B)100m
2
(C)200m
2
(D)250m
2

(A)
x
2
?x?2
4．设函数f(x)＝，若对x＞0恒有xf( x)＋a＞0成立，则实数a的取值范围是( )
2
x
(A)a＜1－2
2
(B)a＜2
2
－1 (C)a＞2
2
－1 (D)a＞1－2
2

(D)|a|＞1
5．设a，b∈R，且b(a＋b＋1)＜0，b(a＋b－1)＜0，则( )
(A)a＞1 (B)a＜－1 (C)－1＜a＜1
二、填空题
6．已知1＜a ＜3，2＜b＜4，那么2a－b的取值范围是________，的取值范围是________.
7．若不等式x
2
－ax－b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则a＋b＝________ .
＋
8．已知x，y∈R，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________.
9．若函数f(x)＝
2
x
2
?2ax??a
a
b
?1
的定义域为R，则a的取值范围为________.
10．三个同学对问题“关于x 的不等式x
2
＋25＋|x
3
－5x
2
|≥ax在[1，1 2]上恒成立，求实数a
的取值范围”提出各自的解题思路.
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.”
乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值.”
丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象.”
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是________.
三、解答题
11．已知全集U＝R，集合A＝{x| |x－1|＜6
}
，B＝{x|
(1)求A∩B；
(2)求(
U
A)∪B.


x?8
＞0}.
2x?1

12．某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原 料，每吨成本1000元，运费500
元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元， 运费400元，可得产品
100千克.今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过200 0元，问此工厂
每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大？



Ⅱ 拓展训练题
13．已知数集A＝{a
1
，a
2< br>，…，a
n
}(1≤a
1
＜a
2
＜…＜a
n
，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1
≤i≤j≤n)，a
i
a
j
与
a
j
a
i
两数中至少有一个属于A.
(1)分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
(2)证明：a
1
＝1，且



a
1< br>?a
2
?
?
?a
n
?1
?
?
?a
?1
?a
n
.
a
1
?1
?a
2n

测试十五 必修5模块自我检测题

一、选择题
1．函数
y?x
2
?4
的定义域是( )
(A)(－2，2) (B)(－∞，－2)∪(2，＋∞)
(C)[－2，2] (D)(－∞，－2]∪[2，＋∞)
2．设a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是( )
(A)a－b＜0
(C)
ab
＜


(B)0＜
a
＜1
b
a?b

2
(D)ab＞a＋b
?
x?1,
?
3．设不等式组?
y?0,
所表示的平面区域是W，则下列各点中，在区域W内的点是( )
?
x?y?0
?
11
(A)
(,)

23

11
(B)
(?,)

23
11
11
(C)
(?,?)
(D)
(,?)

23
23
4．设等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
，则下列不等式中一定成立的是( )
(A)a
1
＋a
3
＞0 (B)a
1
a
3
＞0 (C)S
1
＋S
3
＜0 (D)S
1
S
3
＜0
5．在△ABC中，三个内角A，B，C的对 边分别为a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶
b∶c等于( )
(A)1∶
3
∶2 (B)1∶2∶3 (C)2∶
3
∶1 (D)3∶2∶1
6．已知等差数列{a
n
}的前20项和S
20
＝340，则a
6
＋a
9
＋a
11
＋a
16
等于( )
(A)31 (B)34 (C)68 (D)70
7．已知正数x、 y满足x＋y＝4，则log
2
x＋log
2
y的最大值是( )
(A)－4 (B)4 (C)－2 (D)2
8．如图，在限速为90kmh的公路AB旁 有一测速站P，已知点P距测速区起点A的距离为
0.08 km，距测速区终点B的距离为0.05 km，且∠APB＝60°.现测得某辆汽车从A点
行驶到B点所用的时间为3s，则此车的速度介于( )

(A)60～70kmh (B)70～80kmh
(C)80～90kmh (D)90～100kmh
二、填空题
9．不等式x(x－1)＜2的解集为________.
10．在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则cos(A＋C)的值为________.
11．已知{a
n
}是公差为－2的等差数列，其前5项的和S
5
＝ 0，那么a
1
等于________.

12．在△ABC中，BC＝ 1，角C＝120°，cosA＝
2
，则AB＝________.
3
?< br>x?0,y?0
?
13．在平面直角坐标系中，不等式组
?
2x?y? 4?0
，所表示的平面区域的面积是________；
?
x?y?3?0
?
变量z＝x＋3y的最大值是________.
14．如图，n
2
(n≥ 4)个正数排成n行n列方阵，符号a
ij
(1≤i≤n，1≤j≤n，i，j∈N)表示位< br>于第i行第j列的正数.已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数
的公比都 等于q.若a
11
＝
11
，a
24
＝1，a
32< br>＝，则q＝________；a
ij
＝________.
24

三、解答题
15．已知函数f(x)＝x
2
＋ax＋6.
(1)当a＝5时，解不等式f(x)＜0；
(2)若不等式f(x)＞0的解集为R，求实数a的取值范围.


< br>16．已知{a
n
}是等差数列，a
2
＝5，a
5
＝ 14.
(1)求{a
n
}的通项公式；
(2)设{a
n
}的前n项和S
n
＝155，求n的值.



17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A，B是锐角，c ＝10，且
(1)证明角C＝90°；
(2)求△ABC的面积.



18．某厂生产甲、乙两种产品，生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如
下表所示.若每天配给该厂的煤至多56吨，供电至多45千瓦，问该厂如何安排生产，
使得该 厂日产值最大？

甲种产品
乙种产品

用煤(吨)
7
3
用电(千瓦)
2
5
产值(万元)
8
11
cosAb4
??
.
cosBa3

1
19．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cosA＝.
3
(1)求
sin
2
B?C
?cos2A
的值；
2
(2)若a＝
3
，求bc的最大值.


< br>20．数列{a
n
}的前n项和是S
n
，a
1
＝5， 且a
n
＝S
n
－
1
(n＝2，3，4，…).
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
11113
(2)求证：
???
?
???

a
1
a
2
a
3
a
n
5

参考答案
第一章 解三角形
测试一 正弦定理和余弦定理
一、选择题
1．B 2．C 3．B 4．D 5．B
提示：
3
，所以C＝60°或C＝120°，
2
当C＝60°时，∵B＝30°，∴A＝90°，△ABC是直角三角形；
当C＝120°时，∵B＝30°，∴A＝30°，△ABC是等腰三角形.
5．因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，
4．由正弦定理，得sinC＝
由正弦定理
abc
＝k，
??sinAsinBsinC
3
1
k，b＝k·sin60°＝k，c＝k·sin 90°＝k，
2
2
得a＝k·sin30°＝
所以a∶b∶c＝1∶
3
∶2.
二、填空题
3?37
2652
7．30° 8．等腰三角形 9． 10．
34
2
提示：
8．∵A＋B ＋C＝π，∴－cosA＝cos(B＋C).∴2cosBcosC＝1－cosA＝cos(B＋C)＋1，
∴2cosBcosC＝cosBcosC－sinBsinC＋1，∴cos(B－C)＝1，∴B－ C＝0，即B＝C.
9．利用余弦定理b
2
＝a
2
＋c
2
－2accosB.
6．
10．由tanA＝2，得
sinA?
三、解答题
11．c＝2
3
，A＝30°，B＝90°.
12．(1)60°；(2)AD＝
7
.
13．如右图，由两点间距离公式，
2
5
，根据正弦定理，得
ACBC
52
，得AC＝.
?
4
sinBsinA

得OA＝
(5?0)
2
?(2?0)
2
?29
，
同理得
OB?145,AB?232
.由余弦定理，得

OA
2
?AB
2
?OB
2
2
cosA＝，
?
2?OA?AB2
∴A＝45°.
14．(1)因为2cos(A＋B)＝1，所以A＋B＝60°，故C＝120°.
(2)由题意，得a＋b＝2
3
，ab＝2，
又AB
2
＝ c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcosC＝(a＋b)
2
－2ab－2abcosC
＝12－4－4×(
?
所以AB＝
10
.
(3)S
△
ABC
＝
33
11
absinC＝·2·＝.
22
22
1
)＝10.
2
测试二 解三角形全章综合练习
1．B 2．C 3．D 4．C 5．B
提示：
5．化简(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得b
2
＋c2
－a
2
＝bc，
b
2
?c
2
?a
2
1
由余弦定理，得cosA＝
?
，所以∠A＝60°.
2bc
2
因为sinA＝2sinBcosC，A＋B＋C＝180°，
所以sin(B＋C)＝2sinBcosC，
即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC.
所以sin(B－C)＝0，故B＝C.
故△ABC是正三角形.
二、填空题
6．30° 7．120° 8．
三、解答题
24
5
9． 10．
3

5
5
11．(1)由余弦定理，得c＝
13
；
239
.
13
12．(1)由a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉，得〈a，b〉＝60°；
(2)由向量减法几何意义，
知|a|，|b|，|a－b|可以组成三角形，
所 以|a－b|
2
＝|a|
2
＋|b|
2
－2|a|·|b| ·cos〈a，b〉＝7，
(2)由正弦定理，得sinB＝
故|a－b|＝
7
.
13．(1)如右图，由两点间距离公式，

得
OA?(5?0)
2
?(2?0)
2
?29
，
同理得
OB?145,AB?232
.
由余弦定理，得
OA2
?AB
2
?OB
2
2
cosA??,

2?OA?AB
2
所以A＝45°.
故BD＝AB×sinA＝2
29
.
11
·OA·BD＝·
29
·2
29
＝29.
22
abc
14．由正弦定理
???2R
，
sinAsi nBsinC
abc
得
?sinA,?sinB,?sinC
.
2 R2R2R
(2)S
△
OAB
＝
因为sin
2
A＋ sin
2
B＞sin
2
C，
a
2
bc
)?()
2
?()
2
，
2R2R2R
即a
2
＋b
2
＞c
2
. < br>所以
(
a
2
?b
2
?c
2
所以co sC＝＞0，
2ab
由C∈(0，π)，得角C为锐角.
15．(1)设t小时后甲、乙分别到达P、Q点，如图，

则|AP|＝4t，| BQ|＝4t，因为|OA|＝3，所以t＝
故当t∈[0，
?
h时，P与O重合.
4
?
]时，
4
|PQ|
2
＝(3－4t)
2
＋(1＋4t)
2
－2×(3－4t)×(1＋4t)×cos60°；
当t＞
?
h时，|PQ|
2
＝(4t－3)
2
＋(1＋4 t)
2
－2×(4t－3)×(1＋4t)×cos120°.
4
故得|PQ|＝
48t
2
?24t?7
(t≥0). < /p>

(2)当t＝
?
?241
?h
时，两人距离最近，最近 距离为2km.
2?484
16．(1)由正弦定理
abc
???2R
，
sinAsinBsinC
得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
所以等式
即
cosBbcosB2RsinB
可化为，
????< br>cosC2a?ccosC2?2RsinA?2RsinC
cosBsinB
， ??
cosC2sinA?sinC
2sinAcosB＋sinCcosB＝－cosC ·sinB，
故2sinAcosB＝－cosCsinB－sinCcosB＝－sin(B＋C)，
因为A＋B＋C＝π，所以sinA＝sin(B＋C)，
故cosB＝－
1
，
2
所以B＝120°.
(2)由余 弦定理，得b
2
＝13＝a
2
＋c
2
－2ac×cos12 0°，
即a
2
＋c
2
＋ac＝13
又a＋c＝4， < br>?
a?1
?
a?3
解得
?
，或
?
.
c?3
c?1
?
?
所以S
△
ABC
＝11
3
33
acsinB＝×1×3×＝.
24
22
第二章 数列
测试三 数列
一、选择题
1．C 2．B 3．C 4．C 5．B
二、填空题
1?(?1)
n
2
6．(1)
a
n
?
(或其他符合 要求的答案) (2)
a
n
?
(或其他符合要求的答案)
2
n?1
1491625
1
7．(1)
,,,,
(2)7 8．67 9． 10．4
15
25101726
提示：
9．注意a
n
的分母是1＋2＋3＋4＋5＝15.
10．将数列{an
}的通项a
n
看成函数f(n)＝2n
2
－15n＋3，利用 二次函数图象可得答案.
三、解答题
11．(1)数列{a
n
}的前6项依次是11，8，5，2，－1，－4；
(2)证明：∵n≥5，∴－3n＜－15，∴14－3n＜－1，
故当n≥5时，a
n
＝14－3n＜0.
109n
2
?3 n?1n
4
?n
2
?1
,a
n?1
?,a
n
2
?
12．(1)
a
10
?
；
333

2
是该数列的第15项.
3
1
38 15
13．(1)因为a
n
＝n－，所以a
1
＝0，a
2< br>＝，a
3
＝，a
4
＝；
234
n
(2)7 9
(2)因为a
n
＋
1
－a
n
＝[(n＋1)?
1
1
1
]－(n－)＝1＋
n(n?1)
n?1< br>n
又因为n∈N
＋
，所以a
n
＋
1
－an
＞0，即a
n
＋
1
＞a
n
.
所以数列{a
n
}是递增数列.
测试四 等差数列
一、选择题
1．B 2．D 3．A 4．B 5．B
二、填空题
6．a
4
7．13 8．6 9．6n－1 10．35
提示：
10．方法一：求出前10项，再求和即可；
方法二：当n为奇数时，由题 意，得a
n
＋
2
－a
n
＝0，所以a
1
＝ a
3
＝a
5
＝…＝a
2m
－
1
＝1(m∈
N
*
).
当n为偶数时，由题意，得a
n
＋
2
－a
n
＝2，
即a
4
－a
2
＝a
6
－a
4
＝… ＝a
2m
＋
2
－a
2m
＝2(m∈N
*
) .
所以数列{a
2m
}是等差数列.
故S
10
＝5a< br>1
＋5a
2
＋
5?(5?1)
×2＝35.
2
三、解答题
11．设等差数列{a
n
}的公差是d，依题意得
?
a
1
?2d?7,
?
a?3,
?
解得< br>?
1

?
4?3
d?2.
4a
1
? d?24.
?
?
2
?
∴数列{a
n
}的通项公式为 a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝2n＋1.
12．(1)设等差数列{a
n
}的公差是d，依题意得
?
a1
?9d?30,
?
a?12,
解得
?
1
< br>?
a?19d?50.
d?2.
?
?
1
∴数列{a< br>n
}的通项公式为a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝2n＋10.
n?(n?1)
×2＝n
2
＋11n，
2
∴S
n
＝n
2
＋11n＝242，解得n＝11，或n＝－22(舍).
13．( 1)通项a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝50＋(n－1)×(－0.6)＝－ 0.6n＋50.6.
解不等式－0.6n＋50.6＜0，得n＞84.3.
因为n∈N
*
，所以从第85项开始a
n
＜0.
n(n? 1)
n(n?1)
(2)S
n
＝na
1
＋d＝50n＋×( －0.6)＝－0.3n
2
＋50.3n.
2
2
由(1)知：数列 {a
n
}的前84项为正值，从第85项起为负值，
所以(S
n
)
max
＝S
84
＝－0.3×84
2
＋50.3×84＝2 108.4.
(2)数列{a
n
}的前n项和S
n
＝n×12＋< /p>

14．∵3a
n
＋
1
＝3a
n
＋2， ∴a
n
＋
1
－a
n
＝
2
，
3
2
的等差数列.
3
100
.
3
由等 差数列定义知：数列{a
n
}是公差为
记a
1
＋a
3
＋a
5
＋…＋a
99
＝A，a
2
＋a
4
＋a
6
＋…＋a
100
＝B，
则B＝(a
1
＋d )＋(a
3
＋d)＋(a
5
＋d)＋…＋(a
99
＋d)＝ A＋50d＝90＋
所以S
100
＝A＋B＝90＋90＋
1
100
＝213.
3
3
测试五 等比数列
一、选择题
1．B 2．C 3．A 4．B 5．D
提示：
5． 当a
1
＝0时，数列{a
n
}是等差数列；当a
1
≠0时， 数列{a
n
}是等比数列；
当a
1
＞0时，数列{a
n< br>}是递增数列；当a
1
＜0时，数列{a
n
}是递减数列.
二、填空题
6．－3 7．12 8．279 9．216 10．－2
提示：
10．分q＝1与q≠1讨论.
当q＝1时，S
n< br>＝na
1
，又∵2S
n
＝S
n
＋
1
＋S
n
＋
2
，
∴2na
1
＝(n＋1)a
1
＋(n＋2)a
1
，
∴a
1
＝0(舍).
a
1
(1?q
n
)
当q≠1，S
n
＝.又∵2S
n
＝S
n
＋
1
＋S
n
＋
2
，
1?q
a
1
( 1?q
n
)a
1
(1?q
n?1
)a
1
( 1?q
n?2
)
?
∴2×＝，
1?q1?q1?q
解得q＝－2，或q＝1(舍).
三、解答题
－
11．(1)a
n
＝2×3
n1
； (2)n＝5.
12．q＝±2或±
1
.
2
?
a?c? 2b,
?
a?2
?
a?11
?
??
13．由题意， 得
?
(a?1)(c?4)?(b?1)
2
，解得
?
b?5
，或
?
b?5
.
?
c?8
?
c??1< br>?
a?b?c?15.
??
?
a
54
?a
2 4
5?2
51
?
1
?
168
?
.
316
14．(1)设第4列公差为d，则
d?
故a
44
＝a54
－d＝
511a
1
??
，于是q
2
＝a
44
?
.
42
161644
由于a
ij< br>＞0，所以q＞0，故q＝
1
.
2

111
( 2)在第4列中，a
i4
＝a
24
＋(i－2)d＝
?(i?2)? i
.
81616
由于第i行成等比数列，且公比q＝
所以，a
ij
＝a
i4
·q
j4
＝
－
1
，
2
111
i?()
j?4
?i?()
j
.
1622
测试六 数列求和
一、选择题
1．B 2．A 3．B 4．A 5．C
提示：
1．因为a
5
＋a
6
＋a
7
＋a
8
＝(a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
)q
4
＝1×2
4
＝16，
所以S
8
＝(a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
)＋(a
5
＋a
6
＋a
7
＋a8
)＝1＋16＝17.
2．参考测试四第14题答案.
3．由通项公式，得 a
1
＋a
2
＝a
3
＋a
4
＝a
5
＋a
6
＝…＝－2，所以S
100
＝50×(－2)＝－100.

4．
??
?
??(1?)?(?)?
?
?(?)< br>
1?33?5(2n?1)(2n?1)2323522n?12n?1
111111 n
.
?[(1?)?(?)?
?
?(?)]?
23352n?12 n?12n?1
5．由题设，得a
n
＋
2
－a
n
＝ 3，所以数列{a
2n
－
1
}、{a
2n
}为等差数列，
前100项中奇数项、偶数项各有50项，
其中奇数项和为50×1＋
所以S
100
＝7500.
二、填空题
6．
n?1?1
7．
?
?
1,
?
9．
?
n?1,
?
n?1
?
1?a
,
?< br>1?a
50?4950?49
×3＝3725，偶数项和为50×2＋×3＝3775，
22
1
n(n?1)1
?
n
?1
8．(4
n
－1)
2
2
3
1
2
n?1
n

n
2
(a?0)
(a?1)
(a?
?
0,且a?
?
1)
10．
2??
提示：
6．利用
1
n?1?n
?n?1?n
化简后再求和.
2< br>a
n
a
n?1
?1
8．由a
n
＋
1
＝2a
n
，得
a
?2
，∴
2
＝4， a
n
n
2
故数列{a
n
}是等比数列，再利用等比数列 求和公式求和.
10．错位相减法.
三、解答题
11．由题意，得a
n
＋
1
－a
n
＝2，所以数列{a
n
}是等差数列， 是递增数列.
∴a
n
＝－11＋2(n－1)＝2n－13，

由a
n
＝2n－13＞0，得n＞
13
.
2
所以，当n≥7时，a
n
＞0；当n≤6时，a
n
＜0.
当n≤6时，S
n
＝|a
1
|＋|a
2
|＋…＋| a
n
|＝－a
1
－a
2
－…－a
n

＝－[n×(－11)＋
n(n?1)
×2]＝12n－n
2
； < br>2
当n≥7时，S
n
＝|a
1
|＋|a
2
| ＋…＋|a
n
|＝－a
1
－a
2
－…－a
6
＋a
7
＋a
8
＋…＋a
n

＝(a
1< br>＋a
2
＋…＋a
n
)－2(a
1
＋a
2＋…＋a
6
)
＝n×(－11)＋
n(n?1)6?5
×2－ 2[6×(－11)＋×2]＝n
2
－12n＋72.
22
(n∈N
*
).
?
12n?n
2
, (n?6)
S
n
＝
?
2
?
n?12n?72,(n ?7)
12．(1)∵f(1)＝n
2
，∴a
1
＋a
2＋a
3
＋…＋a
n
＝n
2
. ①
所以当n＝1时，a
1
＝1；
当n≥2时，a
1
＋a2
＋a
3
＋…＋a
n
－
1
＝(n－1)
2
②
①－②得，a
n
＝n
2
－(n－1)2
＝2n－1.(n≥2)
因为n＝1时，a
1
＝1符合上式.
所以a
n
＝2n－1(n∈N
*
).
111111
(2)

??
?
????
?
?
a
1
a
2
a
2
a
3
a
n
a
n?1
1?33?5(2n?1)(2n?1)
11111111
?(1?)?(?)?
?
?(?)

2323522n?12n?1
111111
?[(1?)?(?)?
?
?(?)]

23352n?12n?1
?
11n
.
(1?)?
22n ?12n?1
111
??
?
?
n?1
?
24
2
1?(1?
1
)
2
n
?2?
1
(n? 2)
.
1
2
n?1
1?
2
13．因为
a
n
?1?
111
所以
S
n
?a
1
?a
2
???a
n
?1?(2?)?(2?
2
)???(2 ?
n?1
)

2
22
111
?1?2(n?1)? (?
2
???
n?1
)

2
22
11(1?
n?1
)
1
2
?2n?1?
2
?2n? 2?
n?1
.
1
2
1?
2
14．(1)a
n
＝2n；
(2)因为b
n
＝2nx
n
，
所以数列{b
n< br>}的前n项和S
n
＝2x＋4x
2
＋…＋2nx
n
.
当x＝0时，S
n
＝0；

n(2?2n)
＝n(n＋1)；
2
当x≠0且x≠1时， S
n
＝2x＋4x
2
＋…＋2nx
n
，
＋
xS
n
＝2x
2
＋4x
3
＋…＋2nx
n1；
＋
两式相减得(1－x)S
n
＝2x＋2x
2
＋… ＋2x
n
－2nx
n1
，
当x＝1时，S
n
＝2 ＋4＋…＋2n＝
x(1?x
n
)
＋
所以(1－x)S
n< br>＝2－2nx
n1
，
1?x
2x(1?x
n
)2n x
n?1
?
即
S
n
?
.
1?x
(1?x)
2
(x?1)
?
n(n?1),
?
综上，数列{ b
n
}的前n项和
S
n
?
?
2x(1?x
n
)2nx
n?1

?,(x?1)
?
?
(1?x )
2
1?x
?
测试七 数列综合问题
一、选择题
1．B 2．A 3．B 4．A 5．B
提示：
5． 列出数列{a
n
}前几项，知数列{a
n
}为：0，－
3
，
3
，0，－
3
，
3
，0….不难发现
循环规律，即 a
1
＝a
4
＝a
7
＝…＝a
3m
－
2
＝0；
a
2
＝a
5
＝a
8
＝…＝a
3m
－
1
＝－
3
；
a
3
＝a< br>6
＝a
9
＝…＝a
3m
＝
3
.
所以a
20
＝a
2
＝－
3
.
二、填空题
331
11
6．
;
7．85 8．512 9．n
2
－n＋2 10．2[1－()
n
]
24
223
三、解答题
11．(1)
a
1
?
333
.
,a
2
??,a
3
?
41664
3
； < br>4
(2)当n＝1时，由题意得a
1
＝5S
1
－3，所以a< br>1
＝
当n≥2时，因为a
n
＝5S
n
－3，
所以a
n
－
1
＝5S
n
－
1
－3； < br>两式相减得a
n
－a
n
－
1
＝5(S
n－S
n
－
1
)＝5a
n
，
即4a
n
＝－a
n
－
1
.
由a
1
＝
3
≠0，得a
n
≠0.
4a
1
所以
a
n
??
(n≥2，n∈N
*
).
n?1
4

由等比数列定义知数列{a
n
}是 首项a
1
＝
所以
a
n
?
31
，公比q＝－ 的等比数列.
44
31
?(?)
n?1
.

44
31
(1?
n
)
16
?
4
(1?
1
)
. (3)a
1
＋a
3
＋…＋a
2n
－
1
＝
4
n
1
5
16
1?
16< br>2
12．由a
n?1
·f(a
n
)＝2，得
a
n?1
?
2
2
?2
，
2
a
n
?4
化简得a
n?1
－a
n
＝4(n∈N
*
).
由等差数列定义知数列{a
n
}是首项a
1
＝1，公差d＝4的等差 数列.
所以a
n
＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
由f(x)的定义域x＞0且f(a
n
)有意义，得a
n
＞0.
所以a
n
＝
4n?3
.
1
?
S?12a ??12?11d?0
121
?
?
2a?11d?0
?
2< br>?
?
1
13．(1)
?
，
1a?6d?0
?
S?13a??13?12d?0
?
1
131
?
2
?
2
2
22
2
又a
3
＝a
1
＋ 2d＝12
?
a
1
＝12－2d，
24
?
24? 7d?0
∴
?
，故
?
＜d＜－3.
3?d?0
7
?
(2)由(1)知：d＜0，所以a
1
＞a
2
＞a
3
＞…＞a
13
.
13
(a
1
＋a
13
)＝13a
7
＜0，
2
∴a
7
＜0，且a
6
＞0，故S
6
为最 大的一个值.
∵S
12
＝6(a
1
＋a
12
)＝ 6(a
6
＋a
7
)＞0，S
13
＝
14．(1)设 第n分钟后第1次相遇，依题意有2n＋
n(n?1)
＋5n＝70，
2
整理得n
2
＋13n－140＝0.解得n＝7，n＝－20(舍去).
∴第1次相遇是在开始运动后7分钟.
n(n?1)
＋5n＝3×70，
2
整理得n
2
＋13n－420＝0.解得n＝15，n＝－28(舍去).
∴第2次相遇是在开始运动后15分钟.
15．(1)a
1
＝3，a
2
＝1，a
3
＝2，a
4
＝1，a
5
＝1，a< br>6
＝0，a
7
＝1，a
8
＝1，a
9
＝0， a
10
＝1.(答案不
唯一)
(2)因为在绝对差数列{a
n}中，a
1
＝3，a
2
＝0，所以该数列是a
1
＝3， a
2
＝0，a
3
＝3，a
4
＝
3，a
5< br>＝0，a
6
＝3，a
7
＝3，a
8
＝0，….
即自第1项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3，
(2)设第n分钟后第2次相遇， 依题意有2n＋

?
a
3n?1
?3,
?
所以
?
a
3n?2
?3,
(n＝0，1，2，3，…).
?< br>a
?
3n?3
?0,
(3)证明：根据定义，数列{a
n}必在有限项后出现零项，证明如下：
假设{a
n
}中没有零项，由于a
n
＝|a
n
－
1
－a
n
－
2
| ，所以对于任意的n，都有a
n
≥1，从而
当a
n
－
1< br>＞a
n
－
2
时，a
n
＝a
n
－1
－a
n
－
2
≤a
n
－
1
－ 1(n≥3)；
当a
n
－
1
＜a
n
－
2
时，a
n
＝a
n
－
2
－a
n
－< br>1
≤a
n
－
2
－1(n≥3)；
即a
n< br>的值要么比a
n
－
1
至少小1，要么比a
n
－
2
至少小1.
令c
n
＝
?
?
a
2n? 1
(a
2n?1
?a
2n
),
(n＝1，2，3，…).
?
a
2n
(a
2n?1
?a
2n
),则0＜c
n
≤c
n
－
1
－1(n＝2，3，4，…).
由于c
1
是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项c
n
＜0，
这与c
n
＞0(n＝1，2，3，…)矛盾，从而{a
n
}必有零项 .
若第一次出现的零项为第n项，记a
n
－
1
＝A(A≠0)，则 自第n项开始，每三个相邻的
项周期地取值0，A，A，即
?
a
n?3k< br>?0,
?
?
a
n?3k?1
?A,
(k＝0，1，2 ，3，…).
?
a
?
n?3k?2
?A,
所以绝对差数列 {a
n
}中有无穷多个为零的项.
测试八 数列全章综合练习
一、选择题
1．B 2．A 3．A 4．D 5．C
二、填空题
6．3·2
提示：
10．由(n＋1)a
n?1－na
n
＋a
n
＋
1
a
n
＝0，得[ (n＋1)a
n
＋
1
－na
n
](a
n
＋
1
＋a
n
)＝0，
n?1
?
因为a
n< br>＞0，所以(n＋1)a
n
＋
1
－na
n
＝0，即< br>a
，
n
n?1
a
a
a
12n?11
所以
a
n
?
a
2
?
a
3
??
?
a
n
?
??
?
?
?
.
12n?1
23nn
22
n
－
3
(n?1)
?
?1,
1
6
7．180 8．a
n
＝
?
9． 10．a
n
＝(n∈N
*
)
7
n
?
2n?4,(n?2)
a
n
三、解答题
11．S
13
＝156.
12．(1)∵点(a
n
，a< br>n
＋
1
＋1)在函数f(x)＝2x＋1的图象上，
∴a
n
＋
1
＋1＝2a
n
＋1，即a
n
＋
1＝2a
n
.
∵a
1
＝1，∴a
n
≠0，∴< br>a
n?1
＝2，
a
n
∴{a
n
}是公比q＝2的等比数列，

∴a
n
＝2
n1
.
－
1?(1?2
n
)
?2
n
?1
. (2 )S
n
＝
1?2
(3)∵c
n
＝S
n
＝2
n
－1，
∴T
n
＝c
1
＋c
2
＋c
3
＋…＋c
n
＝(2－1)＋(2
2
－1)＋…＋(2
n
－1)
2?(1?2
n
)
?n
＝2
n
＋
1
－n－2. ＝(2＋2＋…＋2)－n＝
1?2
2n
13．当n＝1时，由题意得S
1
＝3a
1
＋2，所以a
1
＝－1；
当n≥2时，因为S
n
＝3a
n
＋2，
所以S
n
－
1
＝3a
n
－
1
＋2；
两 式相减得a
n
＝3a
n
－3a
n
－
1
，
即2a
n
＝3a
n
－
1
.
由a
1
＝－1≠0，得a
n
≠0.
所以
a
n
?
n?1
a
3
(n≥2，n∈N
*
).
2
3
的等比数列.
2
由等比数列定义知数列{a
n
}是首项a
1
＝－1，公比q＝
所以a
n
＝－(
3
n
－
1
)．
2
14．(1)设第n年所需费用为a
n
(单位万元)，则
a1
＝12，a
2
＝16，a
3
＝20，a
4
＝ 24．
(2)设捕捞n年后，总利润为y万元，则
y＝50n－[12n＋
n(n ?1)
×4]－98＝－2n
2
＋40n－98．
2
由题意得y＞ 0，∴2n
2
－40n＋98＜0，∴10－
51
＜n＜10＋
51
.
∵n∈N
*
，∴3≤n≤17，即捕捞3年后开始盈利.
(3 )∵y＝－2n
2
＋40n－98＝－2(n－10)
2
＋102，
∴当n＝10时，y
最大
＝102．
即经过10年捕捞盈利额最大，共盈利102＋8＝110(万元).
15．(1)由an
＝f(－
1
a
n
?1
)，得
11
? ?4
(a
n
＋
1
＞0)，
22
a
n?1
a
n
∴{
111
}为等差数列，∴＝＋(n－1)·4．
22
a
1
2
a
n
a
n
1
4n?3
∵a
1
＝1，∴a
n
＝(n∈N
*
).
222
(2)由
b
n
?a
n?1
?a
n?2
?
?
?a
2n?1
?
111
，
??
?
?
4n?14n?58n?1
得b
n
－b
n
＋1
＝
1111111
???(?)?(?)

4n?18n?5 8n?98n?28n?58n?28n?9

?
37
?
(8n?2)(8n?5)(8n?2)(8n?9)
∵n∈N
*
，∴b
n
－b
n
＋
1
＞0，
∴b
n
＞b
n
＋
1
(n∈N
*
)，∴{b
n
}是递减数列.
∴b
n
的最大值为
b
1
?a
2
?a
3
?
22
14
.
45
m
成立，
25
若存在最小正整数m，使对任意n∈N
*
有b
n
＜
只要使b
1
＝
70
14m
即可，∴m＞.
?
45259< br>m
∴对任意n∈N
*
使b
n
＜成立的最小正整数m＝8． < br>25
16．(1)解：设不动点的坐标为P
0
(x
0
，y0
)，
?
x
?
0
由题意，得
?
?< br>?
y
?
0
?
??x
0
?1
1
?y
0
2
，解得
x
0
?
1
，y
0
＝0，
2
所以此映射f下不动点为P
0
(
1
，0).
2
?
x
n?1
??x
n
?1
?
(2)证明： 由P
n
＋
1
＝f(P
n
)，得
?
， 1
y
n?1
?y
n
?
2
?
所以xn
＋
1
－
111
＝－(x
n
－)，y
n
＋
1
＝y
n
.
222
因为x
1
＝2，y
1
＝2，
所以x
n
－
1
≠0，y
n
≠0，
2
1
2
??1,
y
n?1
?
1
. 所以
y
n
1
2
x
n
?
2
x
n?1
?
由等比数列定义，得数列{x
n
－
首项为x
1< br>－
1
}(n∈N
*
)是公比为－1，
2
13
＝的等比数列，
22
1313
－－
所以x
n
－＝×(－1)
n1
，则x
n
＝＋(－1)
n1
×.
2222
1
－
同理y
n
＝2×()
n1
.
2
131
－－
所以P
n
(＋(－1)
n1
×，2×()
n1
).
222
设A(
3
2
1n?12
1
，1)，则|AP
n
|＝
()?[1?2?()]< br>.
22
2

1
n
－
1
)≤2，
2
1
－
所以－1≤1－2×()
n1
＜1，
2< br>因为0＜2×(
所以|AP
n
|≤
()?1
＜2．
故所有的点P
n
(n∈N
*
)都在以A(
一个半径为2的收敛圆.
3
2
2
1
，1)为圆心，2为半径的圆内，即点P
n
(x
n
，y
n
)存在
2
第三章 不等式
测试九 不等式的概念与性质
一、选择题
1．A 2．D 3．A 4．B 5．C
提示：
3．∵a＞2，b＞2，∴
a?b1111
?????1
．∵ab＞0，∴ab＞a＋b.故选A.
abba22
5．∵1＜x＜10，∴0＜lgx＜1，∴lg(lgx)＜0．
又 lg
2
x－lgx
2
＝lgx(lgx－2)＜0，∴lg
2
x＜lgx
2
．故选C.
二、填空题
6．＞；＜；＝ 7．a＜ab
2
＜ab 8．a－b∈(27，56)，
a
20
∈(，3)
11
b
9．①
?
④；④
?
①；②
?
①；②
?
④( 注：答案不唯一，结论必须是上述四个中的两个)
10．P＜Q
提示：
8．由6 0＜a＜84，28＜b＜33
?
－33＜－b＜－28，
则27＜a－b＜56，< br>111
，
??
33b28
20a
??3
．
11b
313
10．∵(a＋)
2
－(a＋1)(a＋2)＝＞0，且a＋ ＞0，(a＋1)(a＋2)＞0，
242
3
∴a＋＞
(a?1)(a?2 )
，又∵0＜b＜1，∴P＜Q.
2
三、解答题
11．略解：
∵
bb?m
?
.证明如下：
aa?m
bb?mb(a?m)?a(b?m)m(b?a)
???
， aa?ma(a?m)a(a?m)
又a＞b＞0，m＞0，∴b－a＜0，a(a＋m)＞0，
bb?m
.
?
aa?m
12．证明：因为
∴