人教版高中数学必修5《解三角形》教案

高中数学必修5 《解三角形》
知识点：
1、 正弦定理：在
?A BC
中，
a
、
b
、
c
分别为角
A
、
B
、
C
的对边，
R
为
?ABC
的外接圆 的半
径，则有
abc
???2R
．
sin?sin?sinC
2、 正弦定理的变形公式：
①
a?2Rsin ?
，
b?2Rsin?
，
c?2RsinC
；
②sin??
abc
，
sin??
，
sinC?
；
2R2R2R
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
；
a?b?cabc
???
．
sin??sin??sinCsin?sin?sinC
111
3、 三角形面积公 式：
S
?ABC
?bcsin??absinC?acsin?
．
222
④
b
2
?a
2
?c
2
?2acco s?
，
c
2
?a
2
?b
2
?2abcos C
．4、 余弦定理:在
???C
中，有
a
2
?b
2
?c
2
?2bccos?
，
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a< br>2
?b
2
?c
2
5、 余弦定理的推论：
cos??
，
cos??
，
cosC?
．
2bc
2ac2ab
6、 设
a
、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的对 边，则：
①若
a?b?c
，则
C?90
； ②若
a?b?c
，则
C?90
；
③若
a?b?c
，则
C?90
．
正弦定理和余弦定理是解 斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中
的边、角关系转化为角的关系或边的 关系．主要有以下五大命题热点：
222
222
?
222
?
?
一、求解斜三角形中的基本元素
是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元 素问题，进而求出三角形的三线(高、角
平分线、中线)及周长等基本问题．
例1
?ABC
中，
A?
A．
43sin
?
B?
?
3
，BC＝3，则
?ABC
的周长为( )
?
?
?
?
?
??
?
?3
B．
43sin
?
B?
?
?3

3
?6
??
C．
6sin
?
B?
?
?
?< br>?
?
??
D．
?36sinB?
???
?3

3
?
6
??
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例2 在ΔABC中，已知
AB?










466
，AC边上的中线BD=
5
，求sinA的值．
,cosB ?
36
二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．
例3 在
?ABC
中，已知
2sinAcosB?sinC
，那么< br>?ABC
一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
三、 解决与面积有关问题
主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．
?
例4 在
? ABC
中，若
?A?120
，
AB?5
，
BC?7
，则
?ABC
的面积S＝_________
四、求值问题
例5 在?ABC
中,
?A、?B、?C
所对的边长分别为
a、b、c
, 设
a、b、c
满足条件
b?c?bc?a

和







222
c1
??3
， 求
?A
和
tanB
的值．
b2
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五、正余弦定理解三角形的实际应用
利用正余弦定理解斜三角形，在实际生活 中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要
用到解三角形的知识。
【基础训练】
一、选择题
1．在△ABC中，若
C?90
0
,a?6,B?30
0
，则
c?b
等于( )
A．
1
B．
?1
C．
23
D．
?23

2．若
A
为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是( )
A．
sinA
B．
cosA
C．
tanA
D．
1

tanA
3．在△ABC中 ，角
A,B
均为锐角，且
cosA?sinB,
则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．等腰三角形一腰上的高是
3
，这条高与底边的夹角为
60
，则底边长为( )
A．
2
B．
0
3
C．
3
D．
23

2
5．在△
ABC
中，若
b?2asi nB
，则
A
等于( )
A．
30或60
B．
45或60
C．
120或60
D．
30或150

6．边长为
5,7,8
的三角形的最大角与最小角的和是( )
A．
90
B．
120
C．
135
D．
150

二、填空题
0< br>1．在
Rt
△ABC中，
C?90
，则
sinAsinB的最大值是_______________．
00000000
0000
2． 在△ABC中，若
a?b?bc?c,则A?
_________．
3．在△ABC中，若
b?2,B?30,C?135,则a?
_________．
4．在△ABC中，若
sinA
∶
sinB
∶
sinC?< br>7
∶
8
∶
13
，则
C?
_________ ____．
三、解答题

00
222
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1．在△ABC中，若
acosA?bcosB?ccosC,
则△A BC的形状是什么?






2．在△ABC中，求证：






3．在锐角△ABC中，求证：
sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC
．






4．在△ABC中，设
a?c?2b,A?C?






abcosBcosA
??c(?)

baba
?
3
,
求
sinB
的值．
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【综合训练】
一、选择题
1．在△ABC中，
A:B:C?1:2:3
，则
a:b:c
等于( )
A．
1:2:3
B．
3:2:1
C．
1:3:2
D．
2:3:1

2．在△ABC中，若角
B
为钝角，则
sinB?sinA
的值( )
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定
3．在△ABC中，若
A?2B
，则
a
等于( )
A．
2bsinA
B．
2bcosA
C．
2bsinB
D．
2bcosB

4．在△ABC 中，若
lgsinA?lgcosB?lgsinC?lg2
，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等边三角形 C．不能确定 D．等腰三角形
5．在△ABC中，若
(a?b?c)(b?c?a)?3bc,
则
A?
( )
A．
90
B．
60
C．
135
D．
150

0000
13
，则最大角的余弦是( )
14
1111
A．
?
B．
?
C．
?
D．
?

58
67
A?Ba? b
?
7．在△ABC中，若
tan
，则△ABC的形状是( )
2a?b
6．在△ABC中，若
a?7,b?8,cosC?
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
二、填空题
1．若在△ABC中，
?A?60
0
,b?1,S
?ABC
?3,
则
a?b?c
=_______．
sinA?sinB?sinC< br>2．若
A,B
是锐角三角形的两内角，则
tanAtanB
_____
1
(填>或<)．
3．在△ABC中，若
sinA?2cosBcosC, 则tanB?tanC?
_________．
4． 在△ABC中，若
a?9,b?10,c?12,
则△ABC的形状是_________．
5．在△ABC中，若
a?3,b?2,c?
6?2
则A?
____ _____．
2
6．在锐角△ABC中，若
a?2,b?3
，则边长
c
的取值范围是_________．
三、解答题
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1． 在△ABC中，
A?120
0
,c?b,a?21,S
?
ABC
?3
，求
b,c
．









2． 在锐角△ABC中，求证：
tanA?tanB?tanC?1
．








3． 在△ABC中，求证：
sinA?sinB?sinC?4cos








ABC
coscos
．
222
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4．在△ABC中，若
A?B?120
，则求证：











5．在△ABC中，若
acos
2
0
ab
??1
．
b?ca?c
CA3b
?ccos
2
?
，则求证：
a?c?2b
．
222
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