最新(人教版)高中数学必修五教案全集名师优秀教案

(人教版)高中数学必修五教案全集
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦
定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜
三角形的两类基本问题。
让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关
系，引导学生通过观 察，推导，比较，由特殊
到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运
算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三
角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间
的普遍联系与辩证统一。
重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点：已知两边和其中一边的
对角解三角形时判断解的个数。
学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：
abc，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关,,ABCsinsinsin
系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现
向量知识的简捷，新颖。
教学用具：直尺、投影仪、计算器
如图1．1-1，固定
ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点,，C转动。 A
思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ ，
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否 ，
3

用一个等式把这种关系精确地表示出来？ (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角
三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设,
aBC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，A,sincbc，又,
A BC,sinsin1,,cc
abc则 b c,,,ABCsinsinsin
c
abc从而在直角三角形ABC中， C a ,,ABCsinsinsin
B
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当
ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据,
ab任意角三角函数的定义，有CD=,则， aBbAsinsin,,ABsinsin
C
cb同理可得， b ,CBsinsin
a
abc从而 A ,,ABCsinsinsin
c B
4
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而
可以考虑用向量来研究这个问题。

（证法二）：过点A作jAC,， C

由向量的加法可得 ABACCB,，

则 jABjACCB,,,，() A
B

?jABjACjCB,,,，,j

00 jABAjCBCcos900cos90,,，,，，，，
ac?,，即 cAaCsinsin,sinsinAC

bc同理，过点C作jBC,,，可得 sinsinBC
abc从而 ,,ABCsinsinsin
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学,
生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，
即
abc,,ABCsinsinsin（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的 正弦成正
比，且比
例系数为同一正数，即存在正数k使，，； akA,sinbkB,sinckC,sin

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abcabcbac（2）等价于，， ,,,,,ABCABCBACsinsinsinsinsinsinsinsinsin
从而知正弦定理的基本作用为：
bAsin?已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如； a,sinB
?已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，
a如。 ABsinsin,b
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作
。
例1．在00中，已知，，cm，解三角形。 A,32.0B,81.8,ABCa,42.9
解：根据三角形内角和定理，
0CAB,,，180()
000 ,,，180(32.081.8)
0 ； ,66.2
根据正弦定理，
0aBsin42.9sin81.8； bcm,,,80.1()0sinAsin32.0
根据正弦定理，
0aCsin42.9sin66.2 ccm,,,74.1().0sinAsin32.0
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
0例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角A,40,ABCa,20b,28
0度精确到，边长精确到1cm）。 1
6
解：根据正弦定理，
0bAsin28sin40 sin0.8999.B,,,a20
0000因为＜＜，所以，或 0180B,64B,116.B

0? 当时， B,64
00000 CAB,,，,,，,180()180(4064)76，
0aCsin20sin76 ccm,,,30().0sinAsin40
0? 当时， B,116
00000 CAB,,，,,，,180()180(40116)24，
0aCsin20sin24 ccm,,,13().0sinAsin40
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两
解的情形。
第5页练习第1（1）、2（1）题。
例3．已知abc，，0,60a,3ABC中，A，,求 ,，ABC，，sinsinsin
abc分析：可通过设一参数k(k>0)使, k,,,ABCsinsinsin
abcabc，，证明出 ,,,ABCABC，，sinsinsinsinsinsin
abc解：设 kk,,,(>o)ABCsinsinsin
则有，， akA,sinbkB,sinckC,sin
abc，，kAkBkCsinsinsin，，从而== kABC，，sinsinsinABC，，sinsinsin
3aabc，，又，所以=2 ,,2k,0AABC，，sinsinsinsinsin60
评述：在ABC中，等式,abcabc，， ,,kk,,,0，，ABCABC，，
sinsinsinsinsinsin
恒成立。
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已知ABC中，，求 ,sin:sin:sin1:2:3ABC,abc::
（答案：1：2：3）
（由学生归纳总结）

abcabc，，（1）定理的表示形式：； ,,kk,,,0，，ABCABC，，
sinsinsinsinsinsin
或，， (0)k,akA,sinbkB,sinckC,sin
（2）正弦定理的应用范围：
?已知两角和任一边，求其它两边及一角； ?已知两边和其中一边对角，求另
一边的对角。 ?课后思考题：（见例3）在abcABC中，，这个
kk,,,,(>o)ABCsinsinsin
k与ABC有什么关系？ ,
?课时作业：第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。
掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量
方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实
践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运
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算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，
来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 难点：勾股定理在余弦定
理的发现和证明过程中的作用。 学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形
全等的方法进行量
化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一
边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。
从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的
角

教学用具：直尺、投影仪、计算器
如图1．1-4，在
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, ,
已知a,b和C，求边c b ，
A c B图1．1-4)
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试
求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用
向量来研究这个问题。
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A

如图1．1-5，设CAb,cab,,CBa,，，ABc,，那么，则 b

c

2cccabab,,,,,，，，，

,,，,,, 2aabbab C a 22,，,, 2abab

B
从而 222cababC,，,2cos (图1．1-5)
222同理可证 abcbcA,，,2cos
222bacacB,，,2cos
于是得到以下定理
：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减
去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
222abcbcA,，,2cos
222bacacB,，,2cos
222cababC,，,2cos思考：这个式子中有 几个量？从方程的角度看已知其中三
个量，可以
求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
222bca，,cosA,2bc
222acb，,cosB,2ac
222bac，,cosC,2ba
从而知余弦定理及其推论的基本作用为： ?已知三角形的任意两边及它们的夹
角就可以求出第三边；
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?已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦
定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理
之间的关系？
（由学生总结）若0222ABC中，C=，则，这时 90cab,，,cos0C,

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
例1．在0ABC中，已知，，，求b及A a,23c,，62B,60,
222?解：? bacacB,，,2cos
220=(23)(62)223(62)，，,,,，cos 45
2=12(62)43(31)，，,，
= 8
? b,22.
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： A
222222bca，,，，,(22)(62)(23)1?解法一：?cosA,,,, 22bc222(62)，，，
0 ? A,60.
a230解法二：?sin AB,,,sinsin45,b22
又?62，＞ 2.41.43.8,，,
23＜ 21.83.6,，,
00?ac＜，即＜＜90, 0A
0? A,60.
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
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例2．在ABC中，已知，，，解三角形 ,acm,134.6bcm,87.8ccm,161.7
（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）
解：由余弦定理的推论得：
222cosbca，, A,2bc
22287.8161.7134.6，, ,287.8161.7，，
,0.5543,
0,； A,5620

222cab，,cos B,2ca
222134.6161.787.8，, ,2134.6161.7，，
,0.8398,
0,； B,3253
0000,,CAB,,，,,，180()180(56203253)
0 , ,9047.
第8页练习第1（1）、2（1）题。
2220在abcbc,，，ABC中，若，求角A（答案：A=120） ,
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是
余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：?．已知三边求三角；?．已知两边及
它们的夹角，求第三边。
?课后阅读：课本第9页[探究与发现] ?课时作业：第11页[习题1.1]A组第3
（1），4（1）题。
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掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形
时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角
形面积定理的应用。
通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会
综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形
问题。
通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形
的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条
件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或
一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决
方法。
教学用具：教学多媒体设备
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0思考：在ABC中，已知，，，解三角形。 A,133,acm,22bcm,25（由学生阅读
课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角
解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这
种情形下解三角形的问题。
在
ABC中，已知，讨论三角形解的情况 abA,,,
bAsin分析：先由可进一步求出B； sinB,a
0则CAB,,，180()
aCsin从而 c,A
1．当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。 ab,2．当A为
锐角时，
如果a?，那么只有一解； b
如果，那么可以分下面三种情况来讨论： ab,
（1）若，则有两解； abA,sin
（2）若，则只有一解； abA,sin

（3）若，则无解。 abA,sin

（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形
时，只有当A为锐角且
时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。 bAabsin,,
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0（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解，,A45,a,80b,100
的情况。
10（2）在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____，,C40,a,1c,2
个。
0（3）在axcm,ABC中，，，，如果利用正弦定理解三，,B45,bcm,2
角形有两解，求x的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3）222,,x）
在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。 ,,a,7b,5c,3
分析：由余弦定理可知
222abcA,，,,,是直角ABC是直角三角形222 abcA,，,,,是钝角ABC是钝角三
角形222abcA,，,,是锐角,ABC是锐角三角形
（注意：A是锐角,,ABC是锐角三角形）

222222解：753,，abc,，，即，
?。 ,ABC是钝角三角形

（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。 ,sin:sin:sin1:2:3ABC,,（2）已
知ABC满足条件，判断ABC的类型。 ,aAbBcoscos,,（答案：（1）；（2）ABC是
等腰或直角三角形） ,ABC是钝角三角形,
3abc，，0在A,60ABC中，，，面积为，求的值 ,b,12ABC，，sinsinsin
111分析：可利用三角形面积定理以及sinsinsinSabCacBbcA,,,222
正弦定理
abcabc，， ,,,ABCABC，，sinsinsinsinsinsin
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13解：由得， sinSbcA,,c,222
222则3，即， abcbcA,，,2cosa,3
abc，，a从而 ,,2ABC，，Asinsinsinsin
（1）在ABC中，若，，且此三角形的面积，求角S,2203,a,55b,16C
222abc，,（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积，S,,4
求角C
000（答案：（1）60或120；（2）45） （1）在已知三角形的两边及其中一
边的对角解三角形时，有两解或
一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法； （3）三角形面积定理的应用。
（课时作业）
（1）在0B,30ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的,b,4c,10情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。
（3）在0A,60ABC中，，，，判断ABC的形状。 ,bc，,2,a,1（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程25760xx,,,的根，
求这个三角形的面积。

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(a)知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一
些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语 (b)过程与方法 ：首
先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的
几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——
引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根
据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同
时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比
解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多
种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正 (c)情感与价值：激发学
生学习数学的 兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表
达题意和应用转化思想解决数学
问题的能力
由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三
角形，得到实际问题的解
根据题意建立数学模型，画出示意图 让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它
们可以解决哪些类型的三角
形，让学生尝试绘制知识纲目图。生活中错综复杂的问题本源仍然是
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我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础。解
有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本
质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体
会。
直角板、投影仪（多媒体教室）

复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三
角形？
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们
遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”
在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什
么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高
度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、
相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在
实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够
的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限
性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开
始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何
测量距离。 3
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（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出
图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的
边、角，通过建立数学模型来求解
(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，
测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，
BAC=，ACB=。求A、B两点的距离(精确到0.1m) ，，51:75:

启发提问1：
ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较,
适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间
的距离的问题题目条件告 诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内
角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角， 应用正弦定理算出AB边。
解：根据正弦定理，得
ACAB = sin，ACBsin，ABC
ACsin，ACBAB = sin，ABC
55sin，ACB = sin，ABC
19
55sin75: = sin(180:,51:,75:)
55sin75: = sin54:
? 65.7(m)
答:A、B两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A
在观察站C的北偏东30::，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之
间的距离为多少？

老师指导学生画图，建立数学模型。
解略：a km 2
例2、（动画演示辅助点和辅助线）如图，A、B两点都在河的对岸（不
可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。 分析：这是例1的变式
题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测
量问题。首先需要构造三 角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已
知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方 法，分
别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测
得
BCA=， ,，
20
ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，应用正弦,,，，，,,,
定理得
AC = asin(,，,)asin(,，,) = sin[180:,(,，,，,)]sin(,，,，,)
asin,asin, BC = = sin[180:,(,，,，,)]sin(,，,，,)
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点,
间的距离

AB = 22 AC，BC,2AC，BCcos,分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不
同方法进行对比、分
析。
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得:BCA=60，，
:::ACD=30，CDB=45，BDA =60 ，，，
略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206 评注：可见，在研究
三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解
决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的
还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
课本第14页练习第1、2题
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
21
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中
在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型 （3）求解：利用正弦定
理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学
模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问
题的解
1、 课本第22页第1、2、3题
2、 思考题：某人在M汽车站的北偏西20
:的方向上的A处，观察
到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北
:偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米

后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达
M汽车站？

解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在
ABC,
中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得
222AC，BC,AB23cosC==, 2AC,BC31
43222则sinC =1- cosC =, 231
22
123sinC =, 31
:::所以 sinMAC = sin（120-C）= sin120cosC - cos120sinC ，
353= 62
在MAC中，由正弦定理得 ,
31ACsin，MAC353 MC =，==35 62sin，AMC3
2
从而有MB= MC-BC=15
答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。
(a)知识和技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步
解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用

(b)过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引
导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关
的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师
要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦
定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的
23
特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点，。 (c)情感与价值：让学
生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的
理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探
究中体验愉悦的成功体验
推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目
利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题 正弦定理和余弦定理的运用除
了记住正确的公式之外，贵在活用，体
会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角
形面积公式。同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合
规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯。 直角板、投影仪
师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它
的另一个表达公式。在
ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们,abc
如何用已知边和角表示？
生：h=bsinC=csinB a
h=csinA=asinC b
h=asinB=bsinaA c
24

1师：根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公2
1 式如h=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，a2大家
能推出其它 的几个公式吗？
11生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB 22
师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些
条件也可求出三角形的面积呢？
生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解
例1、在2ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm） ,
:（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;
::（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm 分析：这是一道在不
同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角
形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知
什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。 解：（1）应
用S=1acsinB，得 2
1:2 S=，，，14.823.5sin148.5?90.9(cm) 2
(2)根据正弦定理，
c b = sinBsinC
bsinC c = sinB
112sinCsinAS = bcsinA = b 22sinB
:::::A = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5
25
::sin65.8sin51.5122，， S = 3.16?4.0(cm) :2sin62.7(3)根据余弦定理的
推论，得

222，,cabcosB = 2ca
22238.7，41.4,27.3 = 2，38.7，41.4
?0.7697
22sinB = 1,cosB1,0.7697??0.6384
1应用S=acsinB，得 2
12S ?，，，41.438.70.6384?511.4(cm) 2
例2、如图,在某市进行城市环境 建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公
园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为
68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）？
师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？ 生：本题可转化为已知三
角形的三边，求角的问题，再利用三角形的
面积公式求解。
由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。 解：设
a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
cosB=222，,cab 2ca
222127，68,88 =?0.7532 2，127，68
2sinB=1,0.7532,0.6578
1应用S=acsinB 2
12 S ?，，，681270.6578?2840.38(m) 2
2答：这个区域的面积是2840.38m。
26
例3、在ABC中，求证： ,
2222a，bA，Bsinsin（1） ,22cCsin
222（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC） abc

分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左
右两边的特点，联想到用正弦定理来证明 证明：（1）根据正弦定理，可设
abc = = = k sinAsinBsinC
显然 k,0，所以
222222a，bksinA，ksinB 左边=, 222cksinC
22sinA，sinB ==右边 2sinC
（2）根据余弦定理的推论，
222222222，,，,bcac，a,babc 右边=2(bc+ca+ab) 2bc2ca2ab
222222222 =(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)
222=a+b+c=左边
:变式练习1：已知在3ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面,,，
积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的
个数。
答案：a=6,S=933;a=12,S=18
变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，
27
（1） acosA = bcosB
sinA，sinB（2） sinC = cosA，cosB
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”
（1） 师：大家尝试分别用两个定理进行证明。
生1：（余弦定理）得
222222a，,bcac，a,b，，=b 2bc2ca
222442222？(a,b),a,b(a，b)(a,b)c=

22222？ a,b或c,a，b
？根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形
生2：（正弦定理）得
sinAcosA=sinBcosB,
？sin2A=sin2B,
？2A=2B,
？A=B
？根据边的关系易得是等腰三角形 师：根据该同学的做法，得到的只有一种
情况，而第一位同学的做法
有两种，请大家思考，谁的正确呢？
生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为
sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180:，
:A+B=90
(2)（解略）直角三角形
28
课本第21页练习第1、2题
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角
的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形
状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混
用。
5
1、课本第23页练习第12、14、15题
2、如图，在四边形ABCD中，
::ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，，，，，

DC=3，求：
（1） AB的长
（2） 四边形ABCD的面积

略解（1）因为::BCD=75，ACB=45，所以 ，，
:: ACD=30 ，又因为BDC=45，所以 ，，
::::: DAC=180-（75+ 45+ 30）=30， ，
所以 AD=DC=3
:::: 在BCD中，CBD=180-（75+ 45）=60，所以 ,，
29
:6，23sin75BDDC = ，BD = = :::2sin75sin60sin60
222:在，，，ABD中，AB=AD+ BD-2ADBDcos75= 5, ,
所以得 AB= 5
3，231:（3） S，，，= ADBDsin75= ,ABD42
3，3同理， S= ,BCD4
6，33所以四边形ABCD的面积S= 4
本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角
形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当
达到以下学习目标：
（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、
余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些

与测量和几何计算有关的生活实际问题。
30
数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于
学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问
题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的
两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边
角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，
就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个
三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，
提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边
角关系.我们是否能得到 这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦
定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的 两条边及
其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状
完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是
研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个
角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并
为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，
提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与
角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着
31

密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识
出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角
的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，
在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边
及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形
状完全确定的三角形.我 们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如
何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边 和两
个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使
学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的
坚实基础上，形成良好的知识结构。
《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五
的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角
函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这
使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简
洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需
要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，
发挥了向量方法在解决问题中的威力。
在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理
的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边
平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关
系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以
及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的
32
平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第

三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角
是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”
学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，
学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题
抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所
学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学
问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸
如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问
题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问
题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。
1.1正弦定理和余弦定理（约3课时） 1.2应用举例（约4课时）
1.3实习作业（约1课时）
1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出
问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，
应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生
得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向
量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方
法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个
33
问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办
法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量
问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用
的算法。
2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知

识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及
用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识
和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实
际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的
一些问题。
2．1数列的概念与简单表示法 （一）教学目标
1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图
象、通项公式）；了解数列是一种特殊的函数； 2、过程与方法：通过三角形
数与正方形数引入数列的概念；通过类
比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公
式）；
34
3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研
究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的
联系，培养用已知去研究未知的能力。 （一） 教学重、难点
重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，
探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）；
难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公
式。
（二） 学法与教学用具
学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思
想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通
项公式。
教学用具：多媒体、投影仪、尺等

（三） 教学设想
1、 多媒体展示三角形数、正方形数，提问：这些数有什么规律？
与它所表示的图形的序号有什么关系？ 2、 （1）概括数列的概念：按照一定
顺序排列着的一列数称为数
列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。 （2）辩析数列的概念：“1，2，
3，4，5”与“5，4，3，2，1”是
同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？给出首项与第n 项的定
义及数列的记法：{an}
（3）数列的分类: 有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常
35
数列。
3、 数列的表示方法
x（1）函数y=7x+9 与y=3 ，当依次取1，2，3，?时，其函数值构成的数列各
有什么特点？
（2）定义数列{an}的通项公式
（3）数列{an}的通项公式可以看成数列的函数解析式，利用一个数
列的通项公式，你能确定这个数列的哪些方面的性质？ （4）用列表和图象等
方法表示数列，数列的图象是一系列孤立的
点。
4、例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，-12，13，-14；
（2）2，0，2，0．
引导学生观察数列的前4项的特点，寻找规律写出通项公式。
再思考：根据数列的前若干项写出的数列通项公式的形式唯一吗？

举例说明。
5、例2、图2.1-5中的三角形称为希尔宾斯基（Sierpinski）三角形，在下图
4个三角形
2．1数列的概念与简单表示法
海口一中 陆健青 中，着色三角形的个数 依次构成一个数列的前4项，请写出
这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。
36
通过多媒体展示希尔宾斯基（Sierpinski）三角形，引导学生观察着色三角 形
的个数的变化，寻找规律写出数列的一个通项公式，
并用图象表示数列。体会数列的图象是一系列孤立的点。
1、 问题：如果一个数列{an}的首项a=1，从第二项起每一项等于1
它的前一想的前一项的2倍再加1，即 a= 2 a+ 1（n?N，n>1），n n-1
（※）
你能写出这个数列的前三项吗？
像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，（※）式称为递推公式。
递推公式也是数列的一种表示方法。 2、 例3 设数列{an}满足

写出这个数列的前五项。
此题与例1的学习是互为相反的关系，也是为了引入下文的等差数
列，等差数列是最简单的递推数列。 3、 课堂练习：P
1~5， 课后作业：P 习题2.1 A组 1，2，4，3638
6。
4、 课堂小结：

（1） 数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型；
（2） 了解用列表、图象、通项公式、递推公式等方法表示数列；能
发现数列规律找出可能的通项公式。
37
（3）了解数列是一种特殊的函数。 （四） 评价设计
1、重视对学生学习数列的概念及表示法的过程的评价
关注学生在数列概念与表示法的学习中，对所呈现的问题情境是
否充满兴趣；在学习过程中，能否发现数列中的项的规律特点，写出
数列的通项公式，或递推公式。 2、 正确评价学生的数学基础知识和基础技
能
能否类比函数的性质，正确理解数列的概念，正确使用通项公式、列
表、图象等方法表示数列，了解数列是一种特殊的函数。了解递推公
式也是数列的一种表示方法。
通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数
列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用
有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。
让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观
察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用
相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操
作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数
列相应问题的研究。
培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。
38
重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公

式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的
联系。
难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 学法：引导学生首
先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置
问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列
的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以
用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
教学用具：投影仪
上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存
款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用
到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。
由学生观察分析并得出答案：
（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每 隔5数一次，
可以得到数列：0，5，____,____,____,____,??
2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列
为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组
39
成数列（单位：kg）：48，53，58，63。
水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放
水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水
位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理
工作的那天，水库每 天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，
8，5.5
我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把

利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本
利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10 000元钱，年利率是
0.72%。那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是： 时间 年初本金（元） 年
末本利和（元） 第1年 10 000 10 072 第2年 10 000 10 144 第3年 10 000
10 216 第4年 10 000 10 288 第5年 10 000 10 360
各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216，
288，10 360。
思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，?? ?
48，53，58，63 ?
18，15.5，13，10.5，8，
40
5.5 ?
10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ?
看这些数列有什么共同特点呢？
（由学生讨论、分析）
引导学生观察相邻两项间的关系，得到：
对于数列?，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列?，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列?，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ；
对于数列?，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 72 ；
由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一
项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数
的特点）。
对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚
10

才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前
一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做。
这个常数叫做等差数列的，公差通常用字 母d表示。那么对于以上四组等差数
列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。
41
aa：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，bb那么A应满足
什么条件？
由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可
以知道：
A-a=b-A
所以就有 a，b A,2
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，
这时，A叫做a与b的。
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）
都是它的前一项与 后一项的等差中项。 如数列：1，3，5，7，9，11，13?中 5是
3和7的等差中项，1和9的等差中项。 9是7和11的等差中项，5和13的等差
中项。 看来，
a，a,a，a,a，a,a，a 24154637
从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q
则 a，a,a，a mnpq
对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来
呢？这是我们接下来要学习的内容。 ?、我们是通过研究数列
{a}的第n项与序号n之间的关系去写出数n

列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等
42
差数列的通项公式。
由学生经过分析写出通项公式：
? 这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15
（=5+5+5），第4项是20（=5+5+5+5），??由此可以猜想得到
这个数列的通项公式是a,5n n
? 这个数列的第一项是48，第2项是53（=48+ 5），第3项是58
（=48+5×2），第4项是63（=48+5×3），由此可以猜想得到这个
数列的通项公式是a,48，5(n,1) n
? 这个数列的第一项是18，第2项是15 .5（=18-2.5），第3项是13（=18-
2.5×2），第4项是10.5（=18-2.5 ×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是
5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得 到这
个数列的通项公式是a,18,2.5(n,1) n
? 这个数列的第一项是100 72，第2项是10144（=10172+72），第3项是
10216（=10072+72×2） ，第4项是10288（=10072+72×3），第5项是10360
（=10072+72×4） ，由此可以猜想得到这个数列的通
项公式是a,10072，72(n,1) n
?、那么，如果任意给了一个等差数列的首项a和公差d，它的通项1
公式是什么呢？
引导学生根据等差数列的定义进行归纳：
a,a,d, 21
a,a,d, 32（n-1）个等式
a,a,d, 43

43
?
所以 a,a，d,21
a,a，d, 32
a,a，d, 43
??
思考：那么通项公式到底如何表达呢？
a,a，d, 21
a,a，d,(a，d)，d,a，2d, 321
a,a，d,(a，2d)，d,a，3d, 431
??
得出：由此我们可以猜想得出：a1
a,a，(n,1)d{a}n1n
a也就是 说，只要我们知道了等差数列的首项和公差d，那么这个1等差数列
的通项a就可以表示出来了。 n
除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通
项公式：
（迭加法）： {a}a,a,d,是等差数列，所以 nnn,1
a,a,d, n,1n,2
a,a,d, n,2n,3
??
a,a,d, 21
两边分别相加得 a,a,(n,1)d, n1
44

a,a，(n,1)d 所以 n1
（迭代法）：a,a，d{a}是等差数列，则有 nn,1n
,a，d，d n,2
,a，2d n,2
,a，d，2d n,3
,a，3d n,3
??
,a，(n,1)d 1
所以 a,a，(n,1)d n1
例1、?求等差数列8，5，2，?的第20项.
?-401是不是等差数列-5，-9，-13，?的项？如果是，是第几项？
分析：?要求出第20项，可以利用通项公式求出来。首项知道
了，还需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；
?这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判
断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公
式，并且需要注意的是，项数是否有意义。
解：?由
a,8，(21,1)，(,3),,49a=8，d=5-8=-3，n=20，得 201
?由a=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为1
a,,5,4(n,1),,4n,1,由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,n
45
使得-401=-4n-1成立。
解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。
例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是

一个关于a、a、d、n（独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利n1
用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项
数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不
是数列中的项。 （放投影片）例2．某市出租车的计价标准为1.2元km，起步价为10元，即
最初的4km（不 含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的
目的地，且一路畅通，等候时间为 0，需要支付多少车费？
解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km， 乘客需
要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列
{a}来n
计算车费.
令a=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车1
行至14km处时 ，n=11，此时需要支付车费a,11.2，(11,1)，1.2,23.2(元) 11
答：需要支付车费23.2元。
例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要
学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际
问题。
（放投影片）思考例题：例3 已知数列
a,pn，q,{a}的通项公式为其nn
46
中p、q为常数，且p?0，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析：判定{a}是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也n
就是看a,a（n＞1）是不是一个与n无关的常数。 nn,1
解：取数列{a}a与a中的任意相邻两项（n＞1）， nnn,1

求差得 a,a,(pn，q),[p{n,1)，q],pn，q,(pn,p，q],p nn,1
它是一个与n无关的数.
所以{a}是等差数列。 n
课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？
这个数列的首项a,p，q,公差d,p。由此我们可以知道对于通项1
公式是形如a,pn，q的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是n
这个等差数列的公差，首项是p+q.
例题评述：通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方
法：如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必
定是等差数列。
引导学生动手画图研究完成以下探究： ?在直角坐标系中，画出通项公式为
a,3n,5的数列的图象。这个图n象有什么特点？
?在同一个直角坐标系中，画出函数 y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一
说等差数列a,pn，q与一次函数y=px+q的图象 之间有什么n
关系。
47
分析：?n为正整数，当n取1，2，3，??时，对应的a可以利用n
通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；
?画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线
上，数列的图象是改 一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于
是可以得出结论：等差数列a,pn，q的图象 是一次函数ny=px+q的图象的一个子
集，是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。
该处还可以引导学生从等差数列a,pn，q中的p的几何意义去探究。 n

例1之后：课本45页“练习”第1题； 例2之后：课本45页“练习”第2
题； 本节主要内容为：
?等差数列定义：即
a,a,d(n?2) nn,1
?等差数列通项公式：a,a，(n,1)d(n?1) n1
推导出公式：a,a，(n,m)d nm
1、已知{a}是等差数列. n
? 2aaa,，2aaa,，是否成立？呢？为什么？ 537519
? 21aaan,，，（）是否成立？据此你能得出什么结论？ nnn,，11
21aaan,，，（）是否成立？据此你又能得出什么结论？ nnknk,，
48
aa,mn{a}2、已知等差数列的公差为d.求证： ,dnmn,
通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数
列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用
有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。
通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等
差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律；由
学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数
列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性
质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。
培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的
能力。
重点：探索并掌握等差 数列的前n项和公式；学会用公式解决一些实际问题，
体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系。

难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前
n项公式解决一些简单的有关问题 学法：讲练结合
教学用具：投影仪
49
等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在
实际生活中经常遇到的问题。在200多年前，历史上最伟大的数学家
之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出等差数列这
么一出好戏。那时，高斯 的数学老师提出了下面的问题：1+2+3+??+100=？当
时，当其他同学忙于把100个数逐项 相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算
出了正确答案：（1+100）+（2+99）+??+（ 50+51）=101×50=5050
高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，?，n，?前100项的和的问题。
今天我们就来学习如何去求等差数列的前n项的和。
我们先来看看人们由高斯求前100个正整数的方法得到了哪些
启发。人们从高斯那里受到启 发，于是用下面的这个方法计算1，2，3，?，
n，?的前n项的和：
由 1 + 2 + ? + n-1 + n
n + n-1 + ? + 2 + 1
（n+1）+（n+1）+ ? +（n+1）+（n+1）
可知
(n，1)，n1，2，3，...，n, 2
上面这种加法叫“倒序相加法”
请同学们观察思考一下：高斯的算法妙在哪里？
50

高斯的算 法很巧妙，他发现了整个数列的第k项与倒数第k项的和与首项与尾
项的和是相等的这个规律并且把这个 规律用于求和中。这
种方法是可以推广到求一般等差数列的前n项和的。
一般地，称a，a，a，...，aS{a}为数列的前n项的和，用表示，123nnn
即S,a，a，a，...，a n123n
1、 思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？
思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。
我们用两种方法表示S： n
S,a，(a，d)，(a，2d)，...，[a，(n,1)d],? n1111
S,a，(a,d)，(a,2d)，...，[a,(n,1)d],? nnnnn

由?+?，得 2S,（）+（）+（）+...+（）aaaaaaaa，，，， n1111nnnn
n个
,n(a，a) 1n
()na，a1n 由此得到等差数列{a}S,的前n项和的公式 nn2
对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数
就可以求等差数列前n项和了。
2、 除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）
当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。
例如：
Saaaa,，，，... nn123
=aadadand，，，，，，，,()(2)...[(1)] 1111
51
naddnd，，，，,[2...(1)] = 1
=nand，，，，,[12...(1)] 1

nn(1), = nad，12
naa()，1n 这两个公式是可以相互转化的。把aand,，,(1)代入S,n1n2
nn(1),中，就可以得到 Snad,，n12
引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等
差数列的任意的第k项与倒数 第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。
第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差 之间的关系，而且是关于
n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。
这两个公式的共同点都是知道
a和n，不同点是第一个公式还需知道1
a，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用n
哪个公式。
（课本52页练习1、2）
1、 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列
{}a的前n项和S. n
?aan,,,,,4188，，； 18
?a,,,14.50.732，d，a； 1n
例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”
工程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001
52
年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市
用于“校校通”工程 的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入
的资金都比上一年增加50万元.那么从 2001年起的未来10年内，该市在“校校
通”工程中的总投入是多少？ ?、 先阅读题目；

?、 引导学生提取有用的信息，构件等差数列模型； ?、 写这个等差数列的
首项和公差，并根据首项和公差选择前n项
和公式进行求解。
解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经
费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列
{}a，表示n
从2001年起各年投入的资金，其中
a,500， d=50. 1
那么，到2010年（n=10），投入的资金总额为
10101，,（） S,，，，,1（万元） n2
答：从2001~2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250
万元.
例2．已知一个等差数列{}a前10项的和是310，前20项的和是1220.n
由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
引导学生分析得到：等差数列前n项和公式就是一个关于
aand、、n或者a、、的方程。若要确定其前n项求和公式，则要确定n11
a和d的关系式，从而求得。 1
53
分析：将已知条件代入等差数列前n项和 的公式后，可得到两个关于a与d的
二元一次方程，由此可以求得a与d，从而得到所求11前n项和的 公式.
解：由题意知 S,310，S,1220 ， 1020
（）nn,1 将它们代入公式 Snad,，，n12
1045310ad，,，1 得到 201901220ad，,1
解这个关于aa与d的方程组，得到=4，d=6， 11

（）nn,12 所以 Snnn,，，,，463n2
aa，1n另解： S,，,10310102
得 aa，,62； ? 110
aa，120 S,，,201220202
所以 aa，,122； ? 120
?-?，得， 1060d,
所以 d,6
代入?得： a,4 1
（）nn,12所以有 Sandnn,，,，3 n12
例题评述：此例题目的是建立等差数列前n项和与解方程之间的联系 .已知几
个量，通过解方程，得出其余的未知量.
例3 已知数列12{}aSnn,，的 前n项为，求这个数列的通项公式.nn2这个数列
是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么 ？
解：根据 Saaaa,，，，，... nnn121,
54
Saaa,，，，...（n 1） 与 ＞ nn,,1121
11122 可知，当n＞1时， aSSnnnnn,,,，,,，,,,（）（）[11]2nnn,1222
?
132 当n=1时， 也满足?式. aS,,，，,111122
1 所以数列{}a的通项公式为. an,,2nn2
3 由此可知，数列{}a是一个首项为，公差为2的等差数n2
列。
这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前n项和S，n可求出通
项

an （）,11 a, nS,S（n＞1） nn,1
用这种数列的Sa来确定的方法对于任何数列都是可行的，而且nn
还要注意SSa,,a不一定满足由求出的通项表达式，所以最后要nnn,11
验证首项aa是否满足已求出的. 1n
思考：结合例3，思考课本51页“探究”：一般地，如果一个数列{}an
2Spnqnr,，，.的前n项和为其中p、q、r为常数，且p?0，那么这n
个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
aa，1n引导分析得出：观察等差数列两个前n项和公式Sn,，和n2
（）nndd,12Sandnan,，,，,（），公式本身就不含常数项。 n11222
所以得到：如果一个数列前n项和公式是常数项为0，且关于n的二次型函
数，则这个数列一定是等差 数列.
55
24SS例4 已知等差数列的前n项和为，求使得最大的序543，，，....nn77
号n的值.
dd2 分析：等差数列的前n项和公式可以写成，所Snan,，,（）n122
dd2*以S可以看成函数当x=n时的函数值.另一yxa,，,,（）x（xN）n122
方面，容易知道S关于n的图象是一条抛物线上的一些点.因此，我n
们可以利用二次函数来求n的值.
245 解：由题意知，等差数列,的公差为，所以 543，，，....777
n5 Sn,，，,,[251]（）（）n27
27555151125nn,2 =,,,，（）n 1414256
15 于是，当n取与S最接近的整数即7或8时，取最大值. n2
课本52页“练习”第1、2、3、4题
1、已知数列,,a,是等差数列，S是其前n项和，且S，S-S，S-Sn61261812n

，成等差数列，设成等差数列吗？ k,N,S,S,S,S,Sk2kk3k2k生：分析题意，解
决问题.
解：设,,a,a首项是，公差为d n1
则：S,a，a，a，a，a，a 6123456
S,S,a，a，a，a，a，a
2,(a，6d)，(a，6d)，(a ，6d)，(a，6d)，(a，6d)，(a，
6d)123456,(a，a，a，a，a，a)， 36d,S，36d1234566S,S,a，a，a，a，a，a
61718,(a，6d)，( a，6d)，(a，6d)，(a，6d)，(a，6d)，(a，
6d)789101112,(a， a，a，a，a，a)，36d789101112
,S,S，36d126
？S,S,S,S,S为等差数列61261812
56
S,S,S,S,S同理可得成等差数列. k2kk3k2k
*2、求集合的元素个数，并求这些元素的和。 ,,mm,7n,n,N,且m,100
1002解由m=100，得 n,,1477
满足此不等式的正整数n共有14个，所以集合m中的元素共有14个，从小到
大可列为：
7，7×2，7×3，7×4，?7×14
即：7，14，21，28，?98
这个数列是等差数列，记为
,,a,其中n
14，(7，98) a,7,a,98 ？S,,735114142
1002解由m=100，得 n,,1477 < /p>

满足此不等式的正整数n共有14个，所以集合m中的元素共有14个，从小到
大 可列为：
7，7×2，7×3，7×4，?7×14 即：7，14，21，28，?98 这个数列是等差数
列，记为,,a, 其中n
14，(7，98) a,7,a,98 ？S,,735114142
答：集合m中共有14个元素，它们和等于735
()na，a 等差数列1n{a}S,的前n项和的公式和nn2
nn(1),Snad,，n12
S,S,S,S,S也成等差数列.k2kk3k2k
课本52页A组第1、3、6
57
思考：课本53页B组第4题
24 （一）教学目标
1`．知识与技能：理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式；
理解这种数列的模型应用． ２．过程与方法：通过丰富实例抽象出等比数列
模型，经历由发现
几个具体数列的等比关系，归纳出等比数列的定
义，通过与等差数列的通项公式的推导类比，探
索等比数列的通项公式． ３．情态与价值：培养学生从实际问题中抽象出数
列模型的能力．
（二）教学重、难点
重点：等比数列的定义和通项公式
难点：等比数列与指数函数的关系 （三）学法与教学用具
学法：首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型，从而归纳出

等比数列的定义；与等差数列通项公式的推导类比，推导等比数列
通项公式。
教学用具：投影仪
（四）教学设想
[创设情景] 分析书上的四个例子，各写出一个数列来表示
[探索研究]
58
四个数列分别是?1, 2, 4, 8, ?
111?1,，，，? 248
23?1,20 ,20 ,20 ,?
2?10000×1.0198,10000×1.0198,10000×
3 41.019810000×1.0198,10000×
51.0198
观察四个数列:
对于数列?,从第2项起,每一项与前一项的比都等于2
对于数列?,从第2项起,每一项与前一项的比都等于1 2
对于数列?,从第2项起,每一项与前一项的比都等于20
对于数列?,从第2项起,每一项与前一项的比都等于1.0198
可知这些数列的共同特点:从第2项起, 每一项与前一项的
比都等于同一常数.
于是得到等比数列的定义:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比
等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列
的公比,通常用字母q表示(q?0)

因此,以上四个数列均是等比数列,公比分别是2，
1,20,1.0198. 2
与等差中项类似,如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b
2成等比数列,那么G叫做a与b的等差中项,这时,a,b一定同号,G=ab
在归纳等比数列公式时,让学生先回忆等差数列通项公式的
59
归纳,类比这个过程,归纳如下:a=aq 21
2a=aq=(aq)q=aq 3211
23 a=aq=(aq)q=aq4311
? ?
n-1 可得 a=aqn1
nxaaa111 上式可整理为a=q而y= q（q?1）是一个不为0的常数与nqqq
xna1指数函数q的乘积,从图象上看,表示数列 {q }中的各项的点是函q
xa1数 y= q 的图象上的孤立点 q
[注意几点]
n? 不要把a错误地写成a=aq nn1
? 对于公比q,要强调它是“从第2项起,每一项与它的前一项的比”
防止把相邻两项的比的次序颠倒
? 公比q是任意常数,可正可负
? 首项和公比均不为0
[例题分析]
例1 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种
物质是原来的84％.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?
评注:要帮助学生发现实际问题中数列的等比关系,抽象出数学模型;

通项公式反映了数列的本质特征,因此关于等比数列的问题首先应想
到它的通项公式a
n-1 =aqn1
例2 根据图2.4-2中的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列
60
的递推公式.这个数列是等比数列吗?
a，1n评注:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数n,
an是一个常数就行了
例3 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项
和第2项.
评注:帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系 例4 已知
{a}{b}是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表nn
格,从中你能得出什么结论?证明你的结论.
评注:两个等比数列的积仍然是等比数列
[随堂练习]第59页第1、2、3题
[课堂小结]
（1） 首项和公比都不为0
（2） 分别从定义、通项公式、相应图象的角度类比等差数列和等比
数列
（五）评价设计
（1）课后思考：课本第59页[探究]
（2）课后作业：第60页第1、2、6题
61
2.5n (一)教学目标

1、 知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式，并用公式解决实
际问题
2、 过程与方法：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前
n项和公式
3、 情态与价值：从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，
培养化简的能力
（二）教学重、难点
重点：使学生掌握等比数列的前n项和公式，用等比数列的前n项和
公式解决实际问题
难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式
（三）学法与教学用具
学法：由等比数列的结构特点推导出前n项和公式，从而利用公式解决实际问
题
教学用具：投影仪
（四）教学设想
教材开头的问题可以转化成求首项为1，公 比为2的等比数列的前64项的和.
类似于等差数列，我们有必要探讨等比数列的前n项和公
式。
一般地，对于等比数列
a
，a，a，．．．, a,．．． 123n
62
它的前n项和是
Sn= a+a+a+．．．+a 123n

由等比数列的通项公式,上式可以写成
2n-1 Sn= a+aq + aq +．．．+aq ?1111
? 式两边同乘以公比q得
2n-1n qSn= aq+ aq +．．．+aq+ aq ? 1111?,?的右边有很多相同的项,用?的
两边分别减去?的两边,得
n (1-q)Sn= aaq －11
当ｑ?１时，
na(1,q)1 Sn= （q?1） 1,q
n-1 又a =aq所以上式也可写成 n1
a,aq1n Sn=（q?1） 1,q
推导出等比数列的前n项和公式，本节开头的问题就可以解决了
[相关问题]
?当q=1时，等比数列的前n项和公式为Sn=na1
nna(1,q)a(q,1)11? 公式可变形为Sn==（思考q>1和q<1时分别使用1,qq,1
哪个方便）
? 如果已知a aq,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个 1,n,
[例题分析]
例1 求下列等比数列前8项的和:
63
111 (1),,,．．．； 248
1(2) a=27, a=,q<0 19243
评注:第(2)题已知a=27,n=8,还缺少一个已知条件,由题意显1
然可以通过解方 程求得公比q,题设中要求q<0,一方面是为了简化计算,另一方
面是想提醒学生q既可以为正数,又 可以为负数.

例2 某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一
年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达
到30000台(结果保留到个位)?
评注:先根据等比数列的前n项和公式列方程,再用对数的知识解方程
[随堂练习]第66页第1.2.3题
[课堂小结]
(1) 等比数列的前n项和公式中要求q?1;这个公式可以变形成几个等
价的式子
(2) 如果已知a
aq,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个 1,n,
(五)评价设计
(1)课后阅读:课本67页[阅读与思考]
(2)课后作业:第69页1,2,4题
64
数学5 第二章数列 一、 课程要求
数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本模型。在本
模块中，学生将通过对日常中大量实际问题的分析，建立等差数
列和等比数列这两种模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，
感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。
1、 了解数列的概念，概念
2、 理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，
体会等差数列的通项公式与一次函数之间的关系。
3、 探索并掌握等差数列的前n项和公式，体会等差数列的前

n项和公式与二次函数之间的关系。 4、 理解等比数列的概念，探索并掌握等
比数列的通项公式，
体会等比数列的通项公式与指数函数之间的关系。
5、 探索并掌握等比数列的前n项和公式，体会等比数列的前
n项和公式与指数型函数之间的关系。 6、 能在具体的问题情境中，发现数列
的等差或等比关系，并
能用有关知识解决相应的问题。 二、 编写意图：
5、 数列是刻画离散过程的重要数学模型，数列的知识也是高等数
学的基础，它可以看成是定义在正整数集或其有限子集的函数，因
此，从函数的角度来研究数列，即是对函数学习的延伸，也是一种
特殊的函数模型。
65
6、 本章力求通过具体的问题情景展现，帮助学生了解数列的概
念，通过对具体问题的探究，理解与掌握两类特殊的数列，并应用
它们解决实际生活中相关的一些问题。编写中体现了数学来源于生
活，又服务于生活的这种基础学科的特点，使学生感觉到又亲切又
好奇，充满魅力。
7、 教材在例题、习题的编排上，注重让学生重点掌握数列的概念、
特殊数列的通项公式、求和公式等，并应用这些知识解决实际生活
中的问题，渗透函数思想解决问题。
8、 教材在内容设计上突出了一些重要的数学思想方法。如类比思
想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想、特殊到一般
等思想贯穿于全章内容的始终。
9、 教材在知识内容设计上，注意了数列与函数、算法、微积分、

方程等的联系，适度应用现代信息计术，帮助学生理解数学，提高
数学学习的兴趣。
三、 教学内容及课时安排建议
本章教学时间约12课时
2.1数列的概念与简单表示法 约2课时 2.2等差数列 约2课时 2.3等差数列
的前n项和 约2课时 2.4等比数列 约2课时 2.5等比数列的前n项和 约2课时
问题与小结 约2课时
66
四、 评价建议
1、 重视对学生数学学习过程的评价 关注学生在数列知识学习过程中，是否
对所呈现的现实问题情境充满
兴趣；在学习过
程中，能否发现数列的等差关系或等比关系，体会等差数列、等比数
列与一次函数、指数
函数的关系。
2、 正确评价学生的数学基础知识和基础技能
关注学生在数列知识的学习过程中，能否类比函数的性质，正确
理解数列的概念，发现数列的等差关系或等比关系，正确运用等差数
列、等比数列的通项公式和求和公式解决具体问题。
使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的
不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，
学习不等式的有关内容。
以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表
示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；

通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及
67
理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探
究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。 重点：用不等式
（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）
研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意
义和价值。
难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。
问题1：设点A与平面
,,的距离为d，B为平面上的任意一点，
则d?。 AB
问题2：某种杂志原以 每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。根据市场调
查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应 减少2000本。若把提价后杂志的定
价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收
入仍不低于20万元？
分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为x,2.5,,80 .2,，x,,0.1,,万
元。那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不
x,2.5,,等式80.2,，x?20 ,,0.1,,
问题3：某钢铁厂要把长度为4 000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生
产的要求，600mm钢管的数量不能超过 500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有
不等关系的不等式呢？
68
分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根..

根据题意，应有如下的不等关系： （1）解得两种钢管的总长度不能超过
4000mm；
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。 由以上不等关系，可得不等式组：
5006004000xy，,,
,3xy,,, x,0,
,y,0,
[练习]：第82页，第1、2题。 设问：等式性质中：等式两边加（减）同一
个数（或式子），结果
仍相等。不等式是否也有类似的性质呢？ 从实数的基本性质出发，可以证明
下列常用的不等式的基本性
质：
（1）
abbcac,,,,,
（2） abacbc,,，,，
（3）abcacbc,,,,,0
（4）abcacbc,,,,,0
证明：
(1) ,0,0abbcabbc,,,,,,,
()()0,,，，,abbc
0,,,,,acac
(2)()()0abbcababbc，,，,,,,，,，
69
(3),00,0abcabc,,,,,,

,,,,,()0abcacbc
,,acbc
例1讲解（第82页）
第82页，第3题。
利用以上基本性质，证明不等式的下列性质： (1),abcdacbd,,,，,，
(2)0,0abcdacbd,,,,,,
nnnn(3)0,,1;abnNnabab,,,,,,,
1.现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；
2.利用不等式的有关基本性质研究不等关系；
习题3.1（第83页）：（A组）4、5；（B组）2.
从实际问题中建立一元二次不等式，解一元二次不等
式；应用一元二次不等式解决日常生活中的实际问
题；能用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的
过程表示出来；
通过学生感兴趣的上网问题引入一元二次不等式的有
关概念，通过让学生比较两种不同的收费方式，抽象
70
出不等关系；利用计算机将数学知识用程序表示出
来；
培养学生通过日常生活中的例子，找到数学知识规率，
从而在实际生活问题中数形结合的应用以及计算机
在数学中的应用。
重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等

式的解法展开，突出体现数形结合的思想； 难点：理解二次函数、一元二次
方程与一元二次不等式解集的关系。
通过让学生阅读第84页的上网问题，得出一个关于x的一元二次不等式，
即
2 xx,,50
22首先考察不等式yxx,,5与二次函数以及一元二次方xx,,50
2程xx,,50的
关系。
2容易知道，方程xx,,0,5xx,,50有两个实根： 12
由二次函数的零点与相应的一元二次方程根的关系，知xx,,0,5是12
71
22yxx,,5yxx,,5二次函数的两个零点。通过学生画出的二次函数的图象，观察
而知，
2当时，函数图象位于x轴上方，此时，即； xx,,0,5y,0xx,,50
2当时，函数图象位于x轴下方，此时，即。 y,0xx,,5005,,x
2所以，一元二次不等式的解集是 xx05,,xx,,50,,
从而解决了以上的上网问题。
上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式2或
a xbxc，，,02axbxca，，,,0(0)的解集：可分,,,,,,0,0,0三种情况来讨论。 引
导学生将第86页的表格填充完整。
一.分析、讲解例2和例3，
练习：第89页1.（1）、（3）、（5）；2.（1）、（3） 二.分析、讲解例1
和例4
练习：第90页（A组）第5题，（B组）第4题。

下面利用计算器，用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的
过程表示出来：
（见第86页）
下面是具有一般形式
2(0)a,axbxc，，,0对应的一元二次方程
72
2axbxca，，,,0(0)的求根程序：
input “a,b,c=”;a,b,c
d=b*b-4*a*c
p=-b(2*a)
q=sqr(abs(d))(2*a)
if d<0 then
print “the result is R”
else
x1=p-q
x2=p+q
if x1=x2 then
print “the result is {xx<> “;p,”}”
else
print “the result is {xx> “;x2, “or x<”;x1,”}”
endif
endif
end
练习：第90页（B组）第3题。

1. 从实际问题中建立一元二次不等式，解一元二次不等式； 2. 应用一元二
次不等式解决日常生活中的实际问题； 3.能用一个程序框图把求解一般一元二次
不等式的过程表示出来：
73
习题3.2（A组）第1、2、6题；（B组）第1、2题。
（a）知识与技能：了解二元一次不等式组的相关概念，并能画出二
元一次不等式（组）来表示的平面区域
（b）过程与方法：本节课首先借助一个实例提出二元一次不等式组
的相关概念，通过例子说明如何用二元一次不等式（组）来表示的平
面区域。始终渗透“直线定界，特殊点定域”的思想，帮助学生用集
合的观点和语言来分析和描述结合图形的问题，使问题更清晰和准
确。教学中也特别提醒学生注意
AxByC，，,0(或<0)表示区域时不包
括边界，而AxByC，，,,0(或0)则包括边界
（c）情感与价值：培养学生数形结合、化归、集合的数学思想
灵活运用二元一次不等式（组）来表示的平面区域
如何确定不等式AxByC，，,0(或<0)AxByC，，,0表示的
哪一侧区域
74
启发学生观察图象，循序渐进地理解掌握相关概念。以学生探究为主，
老师点拨为辅。学生之间分组讨论，交流心得，分享成果，进行思维
碰撞。同时可借助计算机等媒体工具来进行演示。 直角板、投影仪（多媒体
教室）

提问：根据课本给出的实例,试用不等式来刻画资金分配的问题. 答:分析题意,
我们可得到以下式子
x，y,25000000,,
,12x，10y,3000000, ,x,0,,
,y,0,
引出:满足二元 一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),所有这样
的有序数对(x,y)构成的集合 称为二元一次不等式(组)的解集.有序实数对可以看成
直角坐标平面内点的坐标.于是, 二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标
系内的点构成的集合.
(1)问题: 二元一次不等式
x,y,6所表示的图形? (2)尝试
在直角坐标系中,所有点被直线x,y,6分成三类:
一类是在直线x,y,6上;
二类是在直线x,y,6左上方的区域内的点;
三类是在直线x,y,6右上方的区域内的点.
设点P(x,y)(x,y)是直线上的点,任取点A,使它的坐标满足不等式12
75
,在图3.3-2中标出点P和点A. x,y,6
(3)观察并讨论
我们发现,在直角坐标系中,以二元一次不等式的解为坐标的x,y,6
点都在直线的左上方;反之,直线左上方点的坐标也满足不等式
.因此,在直角坐标系中,不等式表示直线左上x,y,6x,y,6x,y,6
方的平面区域.类似地, 不等式表示直线右上方的平x,y,6x,y,6
面区域.我们称直线为这两个区域的边界.将直线画x,y,6x,y,6

成虚线,表示区域不包括边界.
(4)结论
一般地, 在直角 坐标系中,二元一次不等式Ax，By，C,0表示Ax，By，C,0某
侧所有点组成的平面区域.我 们把直线画成虚线,表示区域不包括边界.
而不等式Ax，By，C,0表示区域时则包括边界,把边界画成实线. (4)例1、画
出x，4y,4表示的平面区域（见教材第94页例1） 分析：画二元一次不等式表示
的平面区域常采用“直线定界，特殊点
定域”的方。特别是，当时，常把原点（0，0）作为测试点。 C,0
变式1：y,x
例2：用平面区域表示不等式组（见教材第94页例2） y,,3x，12,的解
集 ,x,2y,
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交
集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
76
x,y，5,0,,,变式1： x，y,0,,
,x,3,
变式2、画出不等式表示的平面区域 (x，2y，1)(x,y，4),0
课本第97页练习1、2、3
（1） 懂得画出二元一次不等式在平面区域中表示Ax，By，C,0(,0)
的图形
（2） 注意如何表示边界
5
1、课本第105页习题3.3第1、2题
2、由直线

x，y，2,0,x，2y，1,0,2x，y，1,0围成的三 角形区域（包括边界）用不等式
可表示为
（a）知识与技能：懂得将实际问题转化为线性规划问题 （b）过程与方法：
本节课是在学习了相关内容后的第二节课，学生
已经学会了如何画出一元二次不等式(组)所表示的平面区域.这节课
77
主要是通过实际生活中的例子提供给学生应用数学的实践机会。教师
要善于引导学生思维,调 动学习兴趣,让他们乐学并巧学,真切体会到数学在生
活中的妙用.针对本堂课的特点,采用多媒体教学 可更好地
促进教学双赢
（c）情感与价值：培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力，加强
学生之间的合作互助精神,并从数形结合中得到辨证唯物主义的思想
教育
探讨如何将实际问题转化为线性规划问题
如何将实际问题转化为线性规划问题
通 过分组讨论,让学生在活动中学会沟通和合作,提高分析和处理信息的能力.
充分尊重学生的自主性,以 学生探究为主,教师点拨为辅,
重在培养创新
直角板、投影仪（多媒体教室）
提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已
知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,
人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方
向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问
题。

78
例1、（幻灯片放映）某人准备投资1200万元兴办一所完全学校，对
教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位） 分别用数
学关系式来表示上述限制条件
学段 班级学生数 配备教师硬件建设(万教师年薪
数 元) (万元) 初中 45 2 26班 2人 高中 40 3 54班 2人 请学生分组讨
论, 寻找共同点,汇总结论,互相补充，得到正确解答 解：设开设初中班x个，高
中班y 个，根据题意，总共招生班数应
限制在20到30之间，所以有
2030,，,xy
考虑到所投资金的限制，得到
265422231200,xyxy，，，，，,
即 xy，,240
另外，开设的班数不能为负，则
xy,,0,0
把上面四个不等式合在一起，得到
（学生口答）
2030,,，,xy,
,xy，,240,,, 根据限制条件画出图形 x,0,,
,y,0,
例2、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料
是磷酸盐4t 、硝酸盐18 t；生产1车皮乙种肥料需要的主
79
要原料是磷酸盐1t 、硝酸盐15 t。现库存磷酸盐10t 、硝酸盐66 t，

在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，
并画出相应的平面区域。
解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满
足以下条件：
410,xy，,,
,181566,xy，,,, 在直角坐标系中画出平面区域。 x,0,,
,y,0,
总结：学生分组讨论后，对结果进行汇总时，老师要对学生展示的成
果进行点评，针对学习过程中出现的常见错误给予指正。
课本第97页练习4
解线性规划的应用题时，主要是认真分清题意，将题目条件准确地转
化为一元二次方程组，并根据约束条件画出平面区域
5
1、课本第97页练习第9、10、11题
2、课本第116页复习参考题B组第5题
(a) 知识和技能：了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目
80
标函数、可行解、可行域、 最优解等概念；了解线性规划的图解法，并会用
图解法求线性目标函
数的最大（小）值
(b)过程与方法：本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识
为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。考虑到
学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结
合，真正体现数学的工具性。同时，可借助计算机的直观演示可使教

学更富趣味性和生动性
(c)情感与价值：渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生
“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣
线性规划的图解法
寻求线性规划问题的最优解 通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实
践，调动多感官去体验
数学建模的思想；学生要学会用“数形结合”的方法建立起代数问题
和几何问题间的密切联系
直角板、投影仪，计算机辅助教材
师：在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的
等问题，如教材第98页所例（投影）
81
（板书）设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可的二元
一次不等式组：
xy，,28,,
,416,x,,, ※ 将上述不等式组表示成平面上的区域，如图412,y,,
,x,0,
y,0,,
3.3-9中阴影部分的整点。
5、
（1）尝试
若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安
排利润最大？
设生产甲产品x乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这

样，上述问题就转化为：
当x、y满足不等式※并且为非负整数时，z的最大值是多少？ ? 变形——把
2zzxyyx,，,,，23转变为，这是斜率为33
2z,，在y轴上的截距为的直线；当z变化时，可以得到一组互相平行33
2z的直线；的平面区域内有公共点当直线与不等式组确定yx,,，33
z时，在区域内找一个点P，使直线经点P时截距最大 3? 平移——通过平移
找到满足上述条件的直线 ? 表述——找到给M（4，2）后，求出对应的截距及z
的值 （2）概念引入
（学生阅读并填空）
82
xy，,28,,
,416,x,,,若，式中变量x、y满足上面不等式组，则不等zxy,，23412,y,,
,x,0,
y,0,,
式组叫做变量x、y的约束条件 ，叫做目标函数；又因为zxy,，23
这里的是关于变量x、y的一次解析式，所以又称为线性目zxy,，23
标函数。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集
合叫做可行域；其中使目标函数取得最大值的可行解（4，2）叫做最优解，
（3）变式
若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利2万元，问如何安排生产
才能获得最大利润 ？
xy,,,43,（4）例1、设,3525xy，,zxy,，2，式中变量x、y满足下列条件，,
,x,1,
求z的最大值和最小值

? 指出线性约束条件和线性目标函数
? 画出可行域的图形
? 平移直线yxz,,，2，在可行域内找到最优解 （5）提问：由此看出，你能找
出最优解和可行域之间的关系吗？
课本第103页练习第1题
了解线性规划问题的有关概念，掌握线性规划问题的图解法，懂得寻
83
求实际问题的最优解
5
1、课本第105页习题3.3第1、2题 2、思考题：若将例1中的z的目标函数
改为22z,x，y,求z的最大值
和最小值
(a)知识和技能：能够运用线性规划的图解法解决一些生活中的简单
最优问题
(b)过程与方法：将实际问题中错综复杂的条件列出目标函数和约束
条件对学生而言是一个难点，若要突破这个难点，教师在讲授中要根
据学生的认知情况，引导学生建立数学模型；同时，要给学生正确的
示范，利用精确的图形并结合推理计算求解
(c)情感与价值：培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解
决问题的的能力
把实际问题转化成线性规划问题，即建立数学模型，并相
应给出正确的解答
建立数学模型，并利用图解法找最优解
84

学生在建立数学模型中，应主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，
哪些与目标函数有关，列出正确的不等式组。可采用分组讨论，各组
竞争，自主总结，部分同学示范画图等方式，让学生更切身地在活动
中探索出建模的一般规律，并在交流中找到自己的思维漏洞 直角板、投影仪
前面我们已经学习了线性规划问题的有关概念和解法，现在让我们一
起来复习一下
例1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合
物,0.06kg的 蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg的食物A含有0.105kg的碳水化合
物,0.07kg蛋白质 ,0.14kg脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合
物,0.14kg蛋白 质,0.07kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,
同时花费最低,需要同时 食用食物A和食物B多少kg?
食物碳水化合物(kg) 蛋白质(kg) 脂肪(kg) (kg)
A 0.105 0.07 0.14
B 0.105 0.14 0.07
85
分析:?先将数据整理列表, 请学生回答总成本与A、B食物的含量之间的关
系，进一步确立变量和目标函数
?分析约束条件， 请学生回答总成本与A、B食物的含量变化而变化，这两者
的含量是否任意 变化，受什么因素制约？列出约束条件
?图解法求解
?老师引导，学生分组讨论后，交流心得，总结出解线性规划应
用题的一般步骤
例2、在上一节例3中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收

取160 0元，高中每人每年可收取学费2700元。那么开设初中班和高中班各多
少个，每年收取的学费总额最 多？ 解：设开设初中班x个，高中班y个，收取的
学费总额为z万元。
此时，目标函数为
zxy,，，，0.16450.2740,画出可行域。把
252,zxy,，7.210.8变形为，得到斜率为，在y 轴上的截yxz,,，3354
5距为z，随z变化的一组平行直线。由此观察出，当直线54
5zxy,，7.210.8经过可行域上的点M时，截距为z最大，即z最大。 54
xy，,30,,解方程组 得M的坐标为 ,xy，,240,
xy,,20,10, 所以，zxy,，,7.210.8252max
由此可知，开设20个初中班和10个高中班，收取的学费最多，
为252万元。
例3、在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000
元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元。那么分别生产甲、
86
乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？ 解：设生产甲种肥料x车
皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润z万元。
目标函数为画出可行域。 zxy,，0.5,
把变形为，得到斜率为，在y 轴上的截zxy,，0.5yxz,,，22,2
距为，随z变化的一组平行直线。由此观察出，当直线yxz,,，222z
经过可行域上的点M时，截距为最大，即z最大。 2z
181566,xy，,, 解方程组 得M的坐标为 ,410xy，,,
xy,,2,2,
所以，zxy,，,0.53max

由此可知，生产甲、乙两种肥料各2车皮 ，能够产生最大的利润，最大利润为
3万元。
小结：这两道例题在前面的内容中已经研究过约束条件以及相应的图
象，于是在复习原有知识的基础上再列出目标函数，利用直线平移法
求出最大（最小）截距，进而求解
课本第103页第2题
解线性规划应用题的一般步骤：设出所求的未知数；列出约束条件；
建立目标函数；作出可行域；运用平移法求出最优解。
5
1、课本第105页第3、4题
87
222、某家具厂有方木材90,五合板600，准备加工成书桌和书橱出mm
22售，已知生产每张书桌需要方木材0.1、五合板2，生产每个书mm
22橱需要方木料0.2、五合板1,出售一张书桌可获利润80元,出售mm
一个书橱可获 利润120元,如果只安排生产书桌,可获利润多少?如果只安排生
产书橱,可获利润多少?怎样安排生 产可使得利润最大? 答:24000元,54000
元,56000元
(a)知识与技能 ：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证
明；理解两个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数的
证明以及它的几何解释
(b)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于
引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破
难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题
的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分

析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质 (c)情感与价值：培养学生举
一反三的逻辑推理能力，并通过不等式
的几何解释，丰富学生数形结合的想象力
88
两个不等式的证明和区别
理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵 先让学生观察常见的图形，通过
面积的直观比较抽象出基本不等式。
从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动地学生的学习热情。
定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比
得到答案
直角板、圆规、投影仪（多媒体教室） (投影出图3.4-1)同学们,这是北京召
开的第2 4届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中
得到一些相等和
不等关系吗?
提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD中有4个
全等的直角三角形.设直角三角形的长为
a、，那么正方形的边长为b多少？面积为多少呢？
2222生答：， ab，ab，
提问2：那4个直角三角形的面积和呢？ 生答： 2ab
提问3：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们
22可得容易得到一个不等式，abab，,2。什么时候这两部分面积相等呢？
89
生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGHab,
22变成一个点，这时有 abab，,2

22（1）（板书）一般地，对于任意实数 a、，我们有，当abab，,2b
且仅当时，等号成立。 ab,
提问4：你能给出它的证明吗？
(学生尝试证明后口答,老师板书)
证明: 22222ababababababab，,,,,,,,,,2(),()0,()0,当时，当时,
22所以 abab，,2
22注意强调 当且仅当时, abab，,2ab,
(2)特别地,如果ababababab,,，,0,0,,用和分别代替、可得2,也可
写成
ab，,引导学生利用不等式的性质推导 abab,,,(0,0)2
(板书,请学生上台板演):
ab，要证: ,,,abab(0,0) ? 2
即证 ? ab，,
要证?,只要证 ? ab，,,0
2要证?,只要证 ( - ) ? ,0
显然, ?是成立的,当且仅当时, ?的等号成立 ab,
(3)观察图形3.4-3,得到不等式?的几何解释 (4)变式练习：
已知x、y都是正数，求证：
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xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2p? 如果积
12? 如果和 xyS，是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值4
课本第113页练习第1题
比较两个重要不等式的联系和区别
3、 课本第113页习题3.4第1题

4、 思考题：若1 xx,，0,求的最大值x
（a）知识与技能：能够运用基本不等式解决生活中的应用问题
（b）过程与方法：本节课是基本不等式应用举例的延伸。整堂课要
围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个
中心。3道例题的安排从易到难、从简单到复杂，适应学生的认知水
平。教师要根据课堂情况及时提出针对性问题，同时通过学生的解题
过程进一步发现学生的思维漏洞，纠正数学表达中的错误 （c）情感与价值：
进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及
思维的创新性和深刻性
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正确运用基本不等式
注意运用不等式求最大（小）值的条件 列出函数关系式是解应用题的关键，
也是本节要体现的技能之一。对
例题的处理可让学生思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，
使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤。 直尺和投影仪
提问：前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把
ab，叫做正数2
ab的算术平均数，把叫做正数的几何平均数。今天我们就ab、ab、
生活中的实际例子研究它的重用作用。
例1、（1）用篱笆围一个面积为1002的矩形菜园，问这个矩形的长、m
宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36m的
篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽
各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？ 分析：（1）当长和宽的乘
积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最

小值
（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大 解：（1）设矩
形菜园的长为xyxy,100, m,宽为 m,则 篱笆的长为2
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xy，（）m
xy，由 ， ,xy2
可得 xy，,2100
2（xy，） ,40
等号当且仅当，因此，这个矩形的长、宽为xyxy,,,时成立，此时10
10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m
(2)设矩形菜园的长为yxxy，xy， m,宽为 m,则2（）=36，=18，
2矩形菜园的面积为xy， m
xy，18由 可得 xy,81, xy,,,9,22
可得等号当且仅当 xyxy,,,时成立，此时9
因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为
281 m

3例2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800m,深为3 m。如
果池底每 平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能
使总造价最低？最低造价为 多少元？ 分析：若底面的长和宽确定了，水池的造价
也就确定了，因此可转化

为考察底面的长和宽各为多少时，水池的总造价最低。 解：设底面的长为xzy
m,宽为 m, 水池总造价为 元，根据题意，有

4800zxy,，，，，，150120(2323) 3

,，，240000720()xy
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3由容积为4800m,可得
34800xy,
xy,1600因此
由基本不等式与不等式性质，可得
240000720()2400007202，，,，，xyxy
z,，，24即

z,297600

可得等号当且仅当 xyxy,,,时成立，此时40所以,将水池的地面设计成边长为
40 m的正方形时总造价最低,最低

造价为297600元

课本第113页练习第2、3、4题
利用基本不等式来解题时，要学会审题及根据题意列出函数表达式,
要懂得利用基本不等式来求最大（小）值 5

1、 课本第113页习题3.4第2、3、4题

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