高一数学必修5知识点总结

2014年高中数学必修5知识点总结
第一章：解三角形
1、正弦定理：在
???C
中，
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C
的对边，
R
为
???C的外接圆的半径，则有
abc
???2R
．
sin?sin?sinC
2、正弦定理的变形公式：①
a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，
c?2RsinC
；
abc
②
sin??
，
s in??
，
sinC?
；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中）
2R2R2R
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
；
a?b?cabc
④．
???
sin??sin??sinCsin?si n?sinC
111
3、三角形面积公式：
S
???C
?bcsin ??absinC?acsin?
．
222
4、余 定理：在
???C中，有
a?b?c?2bccos?
，
b?a?c?2accos?
，
222222
c
2
?a
2
?b
2
?2ab cosC
．
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
? c
2
5、余弦定理的推论：
cos??
，
cos??
，cosC?
．
2bc2ac2ab
6、设
a
、
b、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的对边，则：①若
a?b?c
，则
C?90
为直角三角形； < br>②若
a?b?c
，则
C?90
为锐角三角形；③若
a?b?c
，则
C?90
为钝角三角形．

222
o
222
o
222
o
第二章：数列
1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
2、数列的项：数列中的每一个数．
3、有穷数列：项数有限的数列．
4、无穷数列：项数无限的数列．
5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．
6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
7、常数列：各项相等的数列．
8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
9、数 列的通项公式：表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与序号
n
之间的关系的公式．
10、数列的递推公式：表示任一项
a
n< br>与它的前一项
a
n?1
（或前几项）间的关系的公式．
11、如果一 个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个
常数称为 等差数列的公差．
12、由三个数
a
，
?
，
b
组 成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则
?
称为
a
与
b
的等差中项．若
b?
a?c
，则称
b
为
a
与
c
的等差中项．
2
13、若等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公差是
d
，则
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
．

通项公式的变形：①
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
；②
a
1
?a
n
?
?
n?1
?
d
；③
d?
⑤
d?
a
n
?a
1
a?a
1
；④
n?
n
?1
；
n?1d
a
n
?a
m
．
n?m< br>*
14、若
?
a
n
?
是等差数列，且
m?n ?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
），则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；若
?
a
n
?
是等差
*
数列，且
2n?p ?q
（
n
、
p
、
q??
），则
2a
n
?a
p
?a
q
；下角标成等差数列的项仍是等差数列；连
续m项和构成的数列成等差数列。
15、等差数列的前
n
项和的公式：①
S
n
?
n
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
d
． ；②
S
n
?na< br>1
?
22
16、等差数列的前
n
项和的性质：①若项数为2nn??
*
，则
S
2n
?n
?
a
n
?a
n?1
?
，且
S
偶
?S
奇
? nd
，
??
S
奇
S
a
n
（其中
?
n
．②若项数为
2n?1
?
n??
*
?
， 则
S
2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
，且
S
奇
?S
偶
?a
n
，
奇
?
S
偶
a
n?1
S
偶
n?1
S
奇< br>?na
n
，
S
偶
?
?
n?1
?a
n
）．
17、如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一 项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个
常数称为等比数列的公比．
18、在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等比数列，则
G
称为
a
与
b< br>的等比中项．若
G?ab
，则
称
G
为
a
与< br>b
的等比中项．
n?1
19、若等比数列
?
a
n< br>?
的首项是
a
1
，公比是
q
，则
a
n
?a
1
q
．
2
aa
?
?
n? 1
?
n?m
n?1n?m
?
n
． 20、通项公式的变形： ①
a
n
?a
m
q
；②
a
1
?a< br>n
q
；③
q?
n
；④
q
a
1
a
m
*
21、若
?
a
n
?
是等比数列， 且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
），则
a
m
?a
n
?a
p
?a< br>q
；若
?
a
n
?
是等比数
列，且
2 n?p?q
（
n
、
p
、
q??
），则
a< br>n
?a
p
?a
q
；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连续 m
项和构成的数列成等比数列。
*
2
?
na
1
?
q?1
?
?
22、等比数列
?
a
n
?的前
n
项和的公式：
S
n
?
?
a
1< br>?
1?q
n
?
a?aq
．
1n
?
?
q?1
?
?
1?q1?q
?

q?1
时，
S
n
?
a
1
a
?
1
q
n
，即常数项与
q
n
项系数互为相反数。
1?q1?q
23、等比数列的前
n
项和的性质：①若项数为
2nn??
?
*
?
，则
S
偶
S
奇
?q
．
n
②
S
n?m
?S
n
?q?S
m
． ③
S
n
，
S
2n
?S
n
，
S
3n
?S
2n
成等比数列．

?
?S
n
?S
n?1
?
n?2
?
a?
aS
24、
n
与
n
的关系：
n
?

Sn?1
??
?
?
1

一些方法：
一、求通项公式的方法：
1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法
①若相邻两 项相减后为同一个常数设为
a
n
?kn?b
，列两个方程求解；
2
②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为
a
n
?an?bn?c
， 列三个方程求解；
n
③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为
a
n?aq?b
，q为相除后的常数，列两个方程求解；
2、由递推公式求通项公式： ①若化简后为
a
n?1
?a
n
?d
形式，可用等差数列 的通项公式代入求解；
②若化简后为
a
n?1
?a
n
?f (n),
形式，可用叠加法求解；
③若化简后为
a
n?1
?an
?q
形式，可用等比数列的通项公式代入求解；
④若化简后为
an?1
?ka
n
?b
形式，则可化为
(a
n?1
?x)?k(a
n
?x)
，从而新数列
{a
n
?x}是等比数列，
用等比数列求解
{a
n
?x}
的通项公式，再反过 来求原来那个。（其中
x
是用待定系数法来求得）
3、由求和公式求通项公式：
①
a
1
?S
1
②
a
n
?S
n
?S
n?1
③检验
a1
是否满足a
n
，若满足则为
a
n
，不满足用分段函数 写。
4、其他
（1）
a
n
?a
n?1
?f
?
n
?
形式，
f
?
n
?
便于求和 ，方法：迭加；
例如：
a
n
?a
n?1
?n?1

有：
a
n
?a
n?1
?n?1

a
2
?a
1
?3
a
3
?a
2
?4
L
a
n
?a
n?1
?n?1
各式相加得
a
n
?a
1
?3?4?
L
?n?1?a
1
?

?
n?4
??
n?1
?
2
（2）
a
n
?a
n?1
?a
n
a
n?1
形式，同除以a
n
a
n?1
，构造倒数为等差数列；
例如：
an
?a
n?1
?2a
n
a
n?1
，则
?
1
?
a
n
?a
n?1
11
?2??，即
??
为以-2为公差的等差数列。
a
n
a
n?1
a
n?1
a
n
?
a
n
?
（3）< br>a
n
?qa
n?1
?m
形式，
q?1
，方法 ：构造：
a
n
?x?q
?
a
n?1
?x
?
为等比数列；
例如：
a
n
?2a
n?1
?2，通过待定系数法求得：
a
n
?2?2
?
a
n?1?2
?
，即
?
a
n
?2
?
等比，公比 为2。
（4）
a
n
?qa
n?1
?pn?r
形式 ：构造：
a
n
?xn?y?qa
n?1
?x
?
n? 1
?
?y
为等比数列；
n
（5）
a
n
? qa
n?1
?p
形式，同除
p
，转化为上面的几种情况进行构造；
??
n

n
因为
a
n
?qa
n?1
?p
，则
a
n
q
a
n?1
q
??1?1
转化为（1）的方法，若不为1，转化为（3）的方，若
p
n
p p
n?1
p
法

二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）
①若
?
②若
?
?
a
k
?0
?
a
1
?0
，则
S
n
有最大值，当n=k时取到的最大值k满足
?

a?0
?
k?1
?
d?0
?
a
k?0
?
a
1
?0
，则
S
n
有最小值， 当n=k时取到的最大值k满足
?

?
a
k?1
?0
?
d?0
三、数列求和的方法：
①叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；
②错位相减法：适用 于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：
a
n
?
?
2 n?1
?
?3
；
n
③分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通 项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：
a
n
?
111
11
?
11
?
??
，
a
n
?
等； < br>?
?
?
?
n
?
n?1
?
nn?1< br>?
2n?1
??
2n?1
?
2
?
2n?12 n?1
?
④一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和 的部分，如：
a
n
?2
n
?n?1
等；
四、综合性问题中
①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为
a?d和a?d类型，这样可以相加约掉，相乘为平方差；
②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为
aq和
a
类型，这样可以相乘约掉。
q

第三章：不等式
1、
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a ?b
．
比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。
2、不等式的性质： ①
a?b?b?a
；②
a?b,b?c?a?c
；③
a?b?a?c?b?c
；
④
a?b,c?0?ac?bc
，
a?b,c?0?ac?bc
；⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
； < br>⑥
a?b?0,c?d?0?ac?bd
；⑦
a?b?0?a?b
⑧< br>a?b?0?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?
．
3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的不等式．






4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
nn
?
n??,n?1
?
；

判别式
??b
2
?4ac

??0

??0

??0

二次函数
y?ax
2
?bx?c

?
a?0
?
的图象

有两个相异实数根
一元二次方程
ax
2

有两个相等实数根

?bx?c?0

?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0

?
a?0
?

ax
2
?bx?c?0

?
a?0
?
< br>?b??
x
1,2
?
2a
?
x
1
? x
2
?

1

x
1
?x
2
??
b

2a
没有实数根
?
xx?x或x?x
?
2
一元二次不
等式的解集

?b?
xx??
??

2a
??
?

R

?

?
xx
1
?x?x
2
?


5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是
1
的不等式．
6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
7、二元一次不等式（组） 的解集：满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序数对
?x,y
?
，所有这
样的有序数对
?
x,y
?
构 成的集合．
8、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
，坐标平面内的 点
?
?
x
0
,y
0
?
．
①若< br>??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点< br>?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x?? y?C?0
的上方．
②若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方．

9、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
．
①若
? ?0
，则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的区 域；
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域．
②若
??0
，则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域；
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方 的区域．
10、线性约束条件：由
x
，
y
的不等式（或方程）组成 的不等式组，是
x
，
y
的线性约束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
，
y
的解析式．
线性目标函数：目标函数为
x
，
y
的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
可行解：满足线性约束条件的解
?
x,y
?
．
可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．
a?b
称为正数
a
、
b
的算术平均数，
ab
称为正数
a
、
b
的几何平均数．
2
a?b
12、均值不等式定理： 若
a?0
，
b?0
，则
a?b?2ab
，即
?ab
．
2
11、设
a
、
b
是两个正数，则
13、常用的基 本不等式：
①
a
2
?b
2
?2ab
?
a ,b?R
?
；
a
2
?b
2
②
ab??
a,b?R
?
；
2
a
2
?b
2< br>?
a?b
??
a?b
?
③
ab?
?
?
??
?
a?0,b?0
?
；④
?
?
a, b?R
?
．
2
?
2
??
2
?
1 4、极值定理：设
x
、
y
都为正数，则有
s
2
⑴ 若
x?y?s
（和为定值），则当
x?y
时，积
xy
取得最 大值．
4
⑵若
xy?p
（积为定值），则当
x?y
时，和
x?y
取得最小值
2p
．
练习
数列
1.下列命题中正确的是 （ ）
(A)若a，b，c是等差数列，则log
2
a，log2
b，log
2
c是等比数列
(B)若a，b，c是等比数列 ，则log
2
a，log
2
b，log
2
c是等差数列
abc
(C)若a，b，c是等差数列，则2，2，2是等比数列
abc
(D)若a，b，c是等比数列，则2，2，2是等差数列
2. 等 比数列{a
n
}中，a
3
，a
9
是方程3x
2—11x+9=0的两个根，则a
6
=（ ）
A．3 B．
22
11
C．?3 D．以上皆非
6
3. 若a,b,c成等比数列，m是a,b的等差中项，n是b,c的等差中项，则
ac
??
（ ）
mn
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
n
4. 等比数列{a
n
}中，已知对任意自然数n，a
1
＋a
2
＋a
3
＋…＋a
n
=2－1，则
2222
a
1
＋a
2
＋a
3
＋…+a
n
等 于 （ ）
nn
n
(A)
(2?1)
(B)
(2?1)
(C)
4?1
(D)
(4?1)

n2
1
3
1
3
5. 一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只
10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰能组成一等差数列，则这群羊共有 （ ）
A.6只 B.5只 C.8只 D.7只
6. 设公比为q(q＞0)的等比数列{a
n
}的前n项和为{S
n
}．若< br>S
2
?3a
2
?2
，
S
4
?3a< br>4
?2
，则q＝______________．
7. 数列
{a< br>n
}
满足
a
1
?1
，
（I）求证：数列{
11
??1
（
n?N
*
）。
2a
n?1
2a
n
1
}
是等差数列；
a
n
16
，求
n
的取值范围
33
32
8. 已知等比数列{a
n
}满足a
1
+ a
6
=11，且a
3
a
4
=.
9
（II ）若
a
1
a
2
?a
2
a
3
??? a
n
a
n?1
?

（1）求数列{a
n
}的通项a
n
；
（2）如果至少存在一个自然数m，恰使
24
a
m?1
，
(a
m
)
2
，a
m+1
+这三个数依次成等差数列，问这样的等比
39
数列{a
n
}是否存在?若存 在，求出通项公式；若不存在，请说明理由.
三角
o
1.某人朝正东方向走
x
千米后，向右转
150
并走3千米，结果他离出发点恰好
3
千米 ，那么
x
的值为
（ ）
(A)
3
(B)
23
(C)
3
或
23

2. 在△
ABC
中，若
(D) 3
abc
，则△
ABC
是
??
cosAcosBcosC
，B，C
对边的边长分别是
a，b，c
，已知
c?2
， 3. 在
△ABC
中，内角
A
C?
?
3
． （Ⅰ）若
△ABC
的面积等于
3
，求
a，b
；（Ⅱ）若
sinB?2sinA
，求
△ABC
的面积．
1. 对于任意实数
a
、b、c、d，命题①
若a?b,c?0,则ac?bc
；②
若a ?b,则ac?bc
③
22
11
若ac
2
?bc
2
,则a?b
；④
若a?b,则?
；⑤
若a?b?0,c?d,则a c?bd
．其中真命题的个数是
ab
（ ）
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2.下列不等式一定成立的是 （ ）
11
)?lgx(x?0)
B．
sinx??2(x?k
?
,k?Z)

4sinx
1
2
C．
x?1?2|x|(x?R)
D．
2
?1(x?R)

x?1
+
3. 设x,y
?
R,且xy-(x+y)=1,则 （ ）
A．
lg(x?
2
(A) x+y
?
2
2
+2 (B) xy
?
2
+1 (C) x+y
?
(
2
+1)
2
(D)xy
?
2
2
+2
（ ） 4. 已知点（3 ， 1）和点（－4 ， 6）在直线 3x–2y + m = 0 的两侧，则
A．m＜－7或m＞24
C．m＝－7或m＝24
B．－7＜m＜24
D．－7≤m≤ 24

?
1，x?0;
5. 、已知
f (x)?
?
，则不等式
x?
?
x?2
?
?f(x? 2)?5
的解集是__________
?
?1，x?0
6. 已知
f(x)?x?(a?
（I）当
a?
2
1
)x?1
，
a
1
时，解不等式
f(x)?0
；
2
（II）若
a?0
，解关于x的不等式
f(x)?0
。