高中数学必修五考点

必修五
第一章 解三角形
和三角函数结合在一起考察。解三角函数多为解大题时的重要步骤。
需充分掌握边、角关系。
应对：记熟公式。并能熟练对公式进行变形。

第二章 数列
数列考查形 式有选择题、填空题、大题。大题分值较高，约占10分。
考点大致有数列求和、求通项公式等。 应对：有固定的规律方法，但不同题型方法不同，故应牢牢把握每一
种方法，会灵活变通。答题时（ 尤其是大题），注意将重要过程写清
楚（步骤分），具体计算过程可省略在试卷上。如果有思路，尽量算
出正确结果。
1、 数列及项的概念和表示。（了解记住）
按一定顺序排列着的一 列数称为数列。其中的每一个数叫做这个数列
的项。
了解有穷数列、无穷数列
递增数列、递减数列、常数列、摆动数列
2、 数列与函数

据通项公式可写出数列
3、 递推公式（掌握这种思路）


4、 等差数列

pq为常数。

求和：

5、 等比数列

求和：



具体方法及题
求数列通项公式
一、公式法
例1 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?2a
n
?3?2
，
a1
?2
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
解：
a
n?1
?2a
n
?3?2
两边除以
2
n
n?1
n
，得
a
n?1
a
n
3
a
n?1
a
n
3
a
n
????{}
是，则， 故数列
n?1nn?1nn
2222222

以
a
1< br>2
1
?
a
3
2
3
?1
为首项，?1?(n?1)
以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得
n
，
2
2
n
2
2
3
2
1
2
n
所以数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?(n?)2
。
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n?1
?2a
n
?3?2
n
转化为
a
n?1
a
n
3??
，说明数列
2
n?1
2
n
2
aa
n
3
{
n
}?1?(n?1)
是等差数列，再直接利用等差数列的通 项公式求出，进而求出数列
2
n
2
n
2
{a
n}
的通项公式。
二、累加法
例2 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?a
n
?2n?1，a
1
?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
解：由
a
n?1
?a
n
?2n?1
得
a
n?1
?a
n
?2n?1
则
a
n
?(a
n
?an?1
)?(a
n?1
?a
n?2
)??(a
3
?a
2
)?(a
2
?a
1
)?a
1
?[ 2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]??(2?2?1)?(2?1?1)?1
?2[(n?1 )?(n?2)??2?1]?(n?1)?1
(n?1)n
?2?(n?1)?1
2
?(n?1)(n?1)?1
?n
2
所以数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?n
2
。
评注：本题解题 的关键是把递推关系式
a
n?1
?a
n
?2n?1
转化为< br>a
n?1
?a
n
?2n?1
，进而求
出
(a
n
?a
n?1
)?(a
n?1
?a
n?2
)?

?(a
3
?a
2
)?(a
2
?a< br>1
)?a
1
，即得数列
{a
n
}
的通项公式 。
例3 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1?a
n
?2?3
n
?1，a
1
?3
，求数列< br>{a
n
}
的通项公式。
解：由
a
n?1
? a
n
?2?
n
?3
得
1a
n?1
?an
?2?3
n
?1
则

a
n
?( a
n
?a
n?1
)?(a
n?1
?a
n?2
)?
?(2?3
n?1
?1)?(2?3
n?2
?1)?
?2(3
n?1
?3
n?2
?
3(1?3
n?1
)
?2?(n?1)?3
1?3
?3
n
?3?n?1?3
?3
n
?n?1
所以
a
n
?3
n
?n?1.< br>
?(a
3
?a
2
)?(a
2
?a
1
)?a
1
?(2?3
2
?1)?(2?3
1
?1 )?3

?3
2
?3
1
)?(n?1)?3
评注： 本题解题的关键是把递推关系式
a
n?1
?a
n
?2?3
n
?1
转化为
a
n?1
?a
n
?2?3
n< br>?1
，
进而求出
a
n
?(a
n
?a
n?1
)?(a
n?1
?a
n?2
)?
项公式。
三、累乘法
例5 已知数列
{a
n
}
满足
a< br>n?1
?2(n?1)5
n
?a
n
，a
1
? 3
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
即得数列
{a
n
}
的通
?(a
3
?a
2
)?(a
2
?a
1
)?a
1
，
解：因为
a
n?1
?2(n?1)5
n
?a
n
，a
1
?3
， 所以
a
n
?0
，则
a
n?1
?2(n?1)5n
，故
a
n
a
n
?
a
n
a< br>n?1
??
a
n?1
a
n?2
?
a
3
a
2
??a
1
a
2
a
1
?[2 (2?1)?5
2
][2(1?1)?5
1
]?3

?2? 1
?[2(n?1?1)5
n?1
][2(n?2?1)5
n?2
] ?
?2
n?1
[n(n?1)?
?3?2
n?1
?3?2] ?5
(n?1)?(n?2)?
?n!
n?1
?3
?5
n( n?1)
2
所以数列
{a
n
}
的通项公式为
an
?3?2?5
n(n?1)
2
?n!.

n
评注：本题解题的关键是把递推关系
a
n?1
?2(n?1)5?a
n
转化为
a
n?1
?2(n?1)5
n
，进而求
a
n
出
a
n
a
n?1
??
a
n?1
a
n?2
?
a
3
a
2
??a
1
， 即得数列
{a
n
}
的通项公式。
a
2
a
1
四、待定系数法
例7 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?2a
n
?3?5n
，a
1
?6
，求数列
?
a
n
?的通项公式。

解：设
a
n?1
?x?5
n?1
?2(a
n
?x?5
n
)
④
n
将< br>a
n?1
?2a
n
?3?5
n
代入④式，得
2a
n
?3?5
n
?x?5
n?1
?2
，等式两边 消去
a
n
?2x?5
n
n
x?5
，两边除以
5
，得
3?5x?2x则
代入④式得
,x??1,
2a
n
，得
3?5
n
?x?5
n?1
?2
a
n? 1
?5
n?1
?2(a
n
?5
n
)

1
⑤
a
n?1
?5
n?1
n
由
a
1
?5?6?5?1?0
及⑤式得
a
n
?5?0
，则，则数列
?2
{a?5}
是以
n
n
a
n?5
n
a
1
?5
1
?1
为首项，以2为公比的 等比数列，则
a
n
?5
n
?2
n?1
，故
a
n
?2
n?1
?5
n
。
评注：本题解题的关键 是把递推关系式
a
n?1
?2a
n
?3?5
n
转化 为
a
n?1
?5
n?1
?2(a
n
?5
n
)
，
从而可知数列
{a
n
?5
n
}
是等比数列，进而求出数列
{a
n
?5
n
}
的通项公式， 最后再求出数列
{a
n
}
的通项公式。
五、对数变换法









数列求和
第一类：公式法
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。
1、等差数列的前
n
项和公式

S
n
?n(a
1
?a
n
)
n(n?1)d
?na
1< br>?

22
2、等比数列的前
n
项和公式
?
na
1
(q?1)
?
S
n
?
?
a
1
(1?q
n
)
a
1
?a
n
q

?(q?1)
?
1?q1?q
?
第二类：乘公比错项相减（等差?
等比）
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求 数列
{a
n
?b
n
}
的前n项和，其中
{a
n
}
，
{b
n
}
分别是等差数列和等比数列。
例1：求数列
{nq
n?1
}
(
q
为常数)的前
n
项和。
解：Ⅰ、若
q
=0， 则
S
n
=0 Ⅱ、若
q
=1，则
S
n
?1?2?3???n?
Ⅲ、若
q
≠0且
q
≠1，
则
S
n
?1?2q? 3q
2
???nq
n?1
①
1
n(n?1)

2
qS
n
?q?2q
2
?3q
3
???nq
n
②
①式—②式：< br>(1?q)S
n
?1?q?q
2
?q
3
???qn?1
?nq
n

?
S
n
?
1
(1?q?q
2
?q
3
???q
n?1
?nq
n
)

1?q
11?q
n
(?nq
n
)

?S
n
?
1?q1?q
1?q
n
nq
n

?
?
S
n
?
(1?q)
2
1?q
?
?
0(q?0)
?
?
1
综上所述：
S
n
?
?
n(n?1)(q?1)

?
2
?
1 ?q
n
nq
n
?(q?0且q?1)
?
2
1?q< br>(1?q)
?
解析：数列
{nq
n?1
此类型的才适应错位相 减，
}
是由数列
?
n
?
与
q
n?1
对应项的积构成的，
??
（课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的）， 但要注意应按以上三种

情况进行分类讨论，最后再综合成三种情况。
第三类：裂项相消法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。
裂项法的实 质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最
终达到求和的目的通项分解（ 裂项）如：
1、乘积形式，如：
（1）、
a
n
?
111

??
n(n?1)nn?1
1111
?[?]

n(n?1 )(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)
（2）、
a
n
?
2、根式形式，如：
a
n
?
1
n?1?n
?n?1?n

例2：求数列
111
1
，，，…，，…的前
n
项和
S
n

1?22?33?4
n(n?1)
解：∵
11
1=
?

n(n?1)
nn?1

S
n
?1?
111111
???????

2233nn?1
1

?
S
n
?1?
n? 1
111
1
，，，…，，…的前
n
项和
S
n

1?32?43?5
n(n?2)
例3：求数列
解：由于：
11 1
1
=
(?
）
n(n?2)
2nn?2
则：S
n
?
1
?
11111
?
(1?)?(?)? ????(?)
?

2
?
324nn?2
??
1111
?)

?

S
n
?(1??
22n?1n?2
311
?

?

S
n
??
42n?22n?4
解析：要先观察 通项类型，在裂项求和时候，尤其要注意：究竟是像例2一样剩下首尾
两项，还是像例3一样剩下四项。
第四类：倒序相加法
这是推导等差数列的前
n
项和公式时所用的方法，就是 将一个数列倒过来排列（反序），
再把它与原数列相加，就可以得到
n
个
(a
1
?a
n
)
。

例4：若函数
f( x)
对任意
x?R
都有
f(x)?f(1?x)?2
。
（1）
a
n
?f(0)?f()?f()???f(
证明你的结论；
（2）求数列
{
1
n
2
n
n?1
)?f( 1)
，数列
{a
n
}
是等差数列吗？是
n
1
}
的的前
n
项和
T
n
。
a
n
?a
n?1
解：（1）、
a
n
?f(0)?f()?f()???f (
12n?1
)?f(1)
（倒序相加）
nnn
n?1n?21
)?f()???f()?f(0)

?a
n
?f(1)?f(
nnn
1n?12n?2
1?0???? ???1

nnnn
则，由条件：对任意
x?R
都有
f( x)?f(1?x)?2
。

2n?1）
?
2a
n
?2?2?2???2?（
?
a
n
?n?1
?
a
n?1
?n?2

?
a
n?1
?a
n
?1

从而：数列{a
n
}
是
a
1
?2,d?1
的等差数列。
（2）、
1111

???
a
n
?a
n? 1
(n?1)(n?2)n?1n?2
1111
?????

2?3 3?44?5（n?1）?(n?2)
?
T
n
=
11111111n
????

?
T
n
=
??????
233 4n?1n?22n?22n?4
n
故：
T
n
=
2n?4
解析：此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序
相加的。
此例题不仅利用了倒序相加法，还利用了裂项相消法。在数列问题中，要学会灵活应用
不同的方 法加以求解。
第五类：分组求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这 类数列适当拆开，可分为几个
等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。
例 5：求数列{
1
n?1
+
n?2
}的前
n
项和S
n

n(n?1)

解：令
a
n
?
1

b
n
?n?2
n?1

n(n?1)
S
n
?(a
1
?b
1
)?(a
2
?b
2
)?(a
3
?b
3
)???(a
n
?b
n
)

?
S
n
?(a
1
?a
2
? a
3
???a
n
)?(b
1
?b
2
?b< br>3
???b
n
)

111111
???????)? (1?2?2?3?2
2
???n?2
n?1
)

223 3nn?1
1
)?(1?2?2?3?2
2
???n?2
n?1)

?
S
n
?(1?
n?1
?
Sn
?(1?
令
T
n
?1?2?2?3?2
2
? ??n?2
n?1
①
2T
n
?2?2?2
2?3?2
3
???n?2
n
②
①式—②式：
(1?2)T
n
?1?2?2
2
?2
3
???2
n?1
?n?2
n

?
T
n
??(1?2?22
?2
3
???2
n?1
?n?2
n
)

1?2
n
?n?2
n
)

?
T
n
??(
1?2
?
T
n
?(n?1)?2
n?1

故：
S
n
?(1?
11
)?(n?1) ?2
n
?1?2??(n?1)?2
n

n?1n?1
第六类：拆项求和法
在这类方法中，我们先研究通项，通项可以分解成 几个等差或等比数列的和或差的形式，
再代入公式求和。
例7：求数列9，99，999，… 的前n项和
S
n

分析：此数列也既不是等差数列也不是等比数列启发学生先 归纳出通项公式
a
n
?10
n
?1
可转化为一个等比数列与一个常数列。分别求和后再相加。
解：由于：
a
n
?10
n
?1

则：
S
n
?9?99?99??

?
S
n
?(10
1
?1)?(10
2
?1)?(10
3
? 1)???(10
n
?1)

?
S
n
?(101
?10
2
?10
3
???10
n
)?(1? 1?1???1)

10?10
n
?10
?n

?
S
n
?
1?10

10
n?1
?10
?n

?
S
n
?
9
1111
?2 ?3?????n
n

248
2
11
解：由于：
a
n
?n
n
?n?
n

22
1111
则：
S
n
=
(1?2?3???n)?(???????
n
)
（等差+等比，利用公式求和）
248
2
11
(1?()n
)
1
2
=
n(n?1)?
2

1< br>2
1?
2
11
n
=
n(n?1)?1?()

22
例8：
S
n
=
1
解析：根据通项的特点，通项 可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。